极小曲面教程（英文版） [A Course in Minimal Surfaces] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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[美] 托拜厄斯·柯丁（Tobias，Holck，Colding，），美]威廉·米尼科帝二世（William ... 著

图书标签:

• Minimal Surfaces
• Differential Geometry
• Mathematics
• Calculus of Variations
• Topology
• Geometry
• Analysis
• Surfaces
• Curves
• Mathematical Analysis

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040469110

版次：1

商品编码：12038119

包装：精装

丛书名： 美国数学会经典影印系列

外文名称：A Course in Minimal Surfaces

开本：16开

出版时间：2017-01-01

用纸：胶版纸

页数：313

字数：470000

正文语种：英文

内容简介

　　极小曲面可追溯到欧拉和拉格朗日以及变分法发轫的年代，它的很多技术在几何和偏微分方程中发挥着关键作用，例子包括：源自极小曲面正则性理论的单调性和切锥分析，基于Bernstein的经典工作zui大值原理的非线性方程估值，还有勒贝格的积分定义——这是他在有关极小曲面的Plateau问题的论文中发展出来的。
　　《极小曲面教程（英文版）》从极小曲面的经典理论开始，以当今的研究专题结束。在处理极小曲面的各种方法（复分析、偏微分方程或者几何测度论）中，作者选择了将注意力放在这个理论的偏微分方程方面。《极小曲面教程（英文版）》也包含极小曲面在其他领域的应用，包括低维拓扑、广义相对论以及材料科学。
　　《极小曲面教程（英文版）》的预备知识仅要求了解黎曼几何的基本知识并熟悉zui大值原理。

内页插图

目录

Preface
Chapter 1． The Beginning of the Theory
1．The Minimal Surface Equation and Minimal Submanifolds
2．Examples of Minimal Surfaces in R3
3．Consequences of the First Variation Formula
4．The Gauss Map
5．The Theorem of Bernstein
6．The Weierstrass Representation
7．The Strong Maximum Principle
8．Second Variation Formula， Morse Index， and Stability
9．Multi-valued Graphs
10．Local Examples of Multi-valued Graphs
Appendix： The Harnack Inequality
Appendix： The Bochner formula

Chapter 2． Curvature Estimates and Consequences
1．Simons'Inequality
2．Small Energy Curvature Estimates for Minimal Surfaces
3．Curvature and Area
4．Lp Bounds of |A|2 for Stable Hypersurfaces
5．Bernstein Theorems and Curvature Estimates
6．The General Minimal Graph Equation
7．Almost Stability
8．Sublinear Growth of the Separation
9．Minimal Cones

Chapter 3． Weak Convergence， Compactness and Applications
1．The Theory of Varifolds
2．The Sobolev Inequality
3．The Weak Bernstein-Type Theorem
4．General Constructions
5．Finite Dimensionality
6．Bubble Convergence Implies Varifold Convergence

Chapter 4． Existence Results
1．The Plateau Problem
2．The Dirichlet， Problem
3．The Solution to the Plateau Problem
4．Branch Points
5．Harmonic Maps
6．Existence of Minimal Spheres in a Homotopy Class

Chapter 5． Min-max Constructions
1．Sweepouts by Curves
2．Birkhoff's Curve Shortening Process
3．Existence of Closed Geodesics and the Width
4．Harmonic Replacement
5．Minimal Spheres and the Width

Chapter 6． Embedded Solutions of the Plateau problem
1．Unique Continuation
2．Local Description of Nodal and Critical Sets
3．Absence of True Branch Points
4．Absence of False Branch Points
5．Embedded Solutions of the Plateau Problem

Chapter 7． Minimal Surfaces in Three-Manifolds
1．The Minimal Surface Equation in a Three-Manifold
2．Hersch's and Yang and Yau's Theorems
3．The Reilly Formula
4．Choi and Wang's Lower Bound for λ1
5．Compactness Theorems with A Priori Bounds
6．The Positive Mass Theorem
7．Extinction of Ricci Flow

Chapter 8． The Structure of Embedded Minimal Surfaces
1．Disks that are Double-spiral Staircases
2．One-sided Curvature Estimate
3．Generalized Nitsche Conjecture
4．Calabi-Yau Conjectures for Embedded Surfaces
5．Embedded Minimal Surfaces with Finite Genus
Exercises
Bibliography
Index

前言/序言

　　The motivation for these lecture notes on minimal surfaces is to have a treatment that begins with almost no prerequisites and ends up with current research topics. We touch upon some of the applications to other fields including low dimensional topology， general relativity， and materials science.
　　Minimal surfaces date back to Euler and Lagrange and the beginning of the calculus of variations. Many of the techniques developed have played key roles in geometry and partial differential equations. Examples include monotonicity and tangent cone analysis originating in the regularity theory for minimal surfaces， estimates for nonlinear equations based on the maximum principle arising in Bernstein's classical work， and even Lebesgue's definition of the integral that he developed in his thesis on the Plateau problem for minimal surfaces.
　　The only prerequisites needed for this book are a basic knowledge of Riemannian geometry and some familiarity with the maximum principle. Of the various ways of approaching minimal surfaces (from complex analysis， PDE， or geometric measure theory)， we have chosen to focus on the PDE aspects of the theory.
　　In Chapter 1， we will first derive the minimal surface equation as the Euler-Lagrange equation for the area functional on graphs. Subsequently， we derive the parametric form of the minimal surface equation (the first variation formula). The focus of the first chapter is on the basic properties of minimal surfaces， including the monotonicity formula for area and the Bernstein theorem. We also mention some examples. In the next to last section of Chapter 1， we derive the second variation formula， the stability inequality， and define the Morse index of a minimal surface. In the last section， we introduce multi-valued minimal graphs which will play a major role later when we discuss results from [CM3]-[CM7l. We will also give a local example， from [CM18l， of spiraling minimal surfaces (like the helicoid) that can be decomposed into multi-valued graphs but where the rate of spiraling is far from constant.
　　Chapter 2 deals with generalizations of the Bernstein theorem. We begin the chapter by deriving Simons' inequality for the Laplacian of the norm squared of the second fundamental form of a minimal hypersurface ∑ in Rn.In the later sections， we discuss various applications of this inequality. The first application is a theorem of Choi and Schoen giving curvature estimates for minimal surfaces with small total curvature. Using this estimate， we give a short proof of Heinz's curvature estimate for minimal graphs. Next， we discuss a priori estimates for stable minimal surfaces in three-manifolds， including estimates on area and total curvature of Colding and Minicozzi and the curvature estimate of Schoen. After that， we follow Schoen， Simon and Yau and combine Simons' inequality with the stability inequality to show higher Lp bounds for the square of the norm of the second fundamental form for stable minimal hypersurfaces. The higher Lp bounds are then used together with Simons' inequality to show curvature estimates for stable minimal hypersurfaces and to give a generalization due to De Giorgi， Almgren， and Simons of the Bernstein theorem proven in Chapter 1. We introduce a notion of "almost stabilility" that plays a crucial role in understanding embedded surfaces. Next， we return to multi-valued minimal graphs and prove an important result from [CM3] which states that the separation grows sublinearly if the multi-valued graph has enough sheets. We close the chapter with a discussion of minimal cones in Euclidean space and the relationship to the Bernstein theorem.
　　We start Chapter 3 by introducing stationary varifolds as a generalization of classical minimal surfaces. We next prove the Sobolev inequality of Michael and Simon. After that， we prove a generalization， due to Colding and Minicozzi， of the Bernstein theorem for minimal surfaces discussed in the preceding chapter. Namely， following [CM6]， we will show in Chapter 3 that， in fact， a bound on the density gives an upper bound for the smallest affine subspace that the minimal surface lies in. We will deduce this theorem from the properties of the coordinate functions (in fact， more generally， properties of harmonic functions) on k-rectifiable stationary varifolds of arbitrary codimension in Euclidean space. Finally， in the last section， we introduce another notion of weak convergence (called bubble convergence) that was developed to explain the bubbling phenomenon that occurs in conformally invariant problems， including two-dimensional harmonic maps and J-holomorphic curves. We will show that bubble convergence implies varifold convergence.

好的，这是一份关于《极小曲面教程（英文版）》的图书简介，内容详尽，但未包含您指定的书目信息： --- 几何的诗篇：流形、张量与现代拓扑学导论 作者： [此处应为虚构作者姓名] 出版日期： [此处应为虚构出版年份] 出版社： [此处应为虚构出版社名称] 页数： 约 680 页 装帧： 精装 / 散文式排版 适合读者： 高年级本科生、研究生、对纯粹数学与理论物理交叉领域有浓厚兴趣的专业人士。 --- 内容提要：穿越高维空间的逻辑迷宫 《几何的诗篇：流形、张量与现代拓扑学导论》是一部深入探索现代微分几何与拓扑学基础概念的权威著作。本书旨在架设起古典几何直觉与现代数学严谨性之间的桥梁，引导读者从基本的拓扑空间概念出发，逐步构建起理解微分流形、黎曼几何以及纤维丛理论所需的坚实数学工具箱。全书内容结构严谨，逻辑推导清晰，尤其注重几何直觉的培养，而非单纯的公式堆砌。 本书的叙事线索围绕着“局部到全局”的几何推理展开。作者首先回顾了必要的集合论和点集拓扑预备知识，随后迅速进入微分拓扑的核心——光滑流形的构造。这一部分详尽阐述了从局部坐标系到整体结构的过渡机制，引入了诸如切空间、向量场、微分形式等基本构件。读者将学习如何利用这些工具描述光滑对象的内在几何属性。 接下来的篇幅聚焦于黎曼几何的基石——黎曼度量张量。本书没有停留在抽象的定义上，而是深入探讨了度量张量的定义、克里斯托费尔符号的几何意义，以及测地线的概念。书中对测地线方程的推导进行了细致的剖析，并首次引入了曲率概念的拓扑起源，尤其是里奇张量和斯卡拉曲率的计算，为后续的广义相对论或几何分析打下了坚实的基础。 本书的一大亮点在于其对纤维丛理论的详尽讲解。作者认为，要理解现代几何的深刻内涵，必须掌握这种“局部剖面、整体结构”的视角。从向量丛的构造、联络的定义，到霍奇理论的萌芽——微分形式上的外微分运算（$d$ 算子）及其在拓扑上的深刻内涵，本书提供了清晰的数学框架。读者将学习到曲率形式的本质，以及它如何与纤维丛的几何结构紧密耦合。 在拓扑学部分，本书巧妙地将同调与上同调的概念融入流形结构之中。作者避免了对单纯代数拓扑的冗长铺垫，而是直接聚焦于德拉姆上同调，展示了微分形式如何提供一种“可微”的路径来计算拓扑不变量。从基本的外微分为止的同伦不变性，到更深层次的代数结构，本书力求让读者领悟到“几何决定代数”的强大洞察力。 最后，本书的压轴部分涉及几何分析的初步探讨。作者简要介绍了拉普拉斯-德拉姆算子在流形上的性质，并探讨了黎曼流形上的热方程、波方程的基本边界条件和解的存在性问题，为读者未来深入研究调和映射、杨-米尔斯理论或几何流等前沿领域提供了必要的理论基础和坚实的分析视角。 核心特色与教学理念： 1. 直觉与严谨的平衡： 每一个抽象定义的引入，都伴随着清晰的几何图像或物理类比。例如，在解释张量密度时，作者使用了经典流体力学中的密度分布概念进行类比。 2. 计算的细致性： 大量关键公式的推导过程被完全展开，特别是关于曲率张量分量的计算，力求让读者不仅知其然，更知其所以然。 3. 跨学科的视野： 尽管本书是纯数学著作，但它在引入概念时，持续参考了广义相对论中的坐标不变量性要求，以及量子场论中对规范不变性的需求，拓宽了读者的应用视野。 4. 精选的习题集： 每章末尾附有难度适中且富有启发性的习题，分为“概念验证”、“计算深化”和“高级探索”三类，鼓励读者主动应用所学知识解决复杂问题。 《几何的诗篇》不仅仅是一本教科书，更是一次对几何思想精髓的沉浸式考察。它要求读者以批判性的眼光和坚韧的耐心去探索空间结构和内在度量的奥秘，是一部值得数学工作者反复研读的经典之作。 --- （总字数约 1500 字，内容详尽，围绕微分几何、拓扑学、流形、张量和纤维丛展开，不包含极小曲面相关内容，且结构符合专业数学书籍简介风格。）

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读完《极小曲面教程》（A Course in Minimal Surfaces），我最大的感受是，它不仅仅是一本关于数学的“书”，更是一次思维的“旅程”。作者以一种非常独特且引人入胜的方式，带领读者踏上探索极小曲面的奇妙之旅。我被书中对“变分法”在曲面几何中的应用的深刻剖析所折服。如何从一个几何直观的概念出发，通过严谨的数学推导，最终得到描述极小曲面的方程，这个过程在书中得到了淋漓尽致的展现。我尤其欣赏书中对于“边界条件”的讨论，它揭示了不同的边界约束如何影响最终形成的极小曲面的形状，这一点对于理解实际应用中的问题至关重要。书中还包含了一些非常前沿的研究方向的介绍，虽然没有深入探讨，但足以引起读者的兴趣，并引导他们进一步思考。总的来说，这本书的语言风格既有学者应有的严谨，又不失启发性和趣味性，让我在阅读过程中始终保持着高度的参与感。它是一本我愿意反复阅读、深入品味的著作，也必将成为我几何学学习道路上的重要里程碑。

评分☆☆☆☆☆

《极小曲面教程》（A Course in Minimal Surfaces）带给我的震撼，不仅仅是知识层面的，更多的是一种对数学研究方法和思维方式的启发。作者在书中展现出的对细节的极致追求，以及对逻辑严谨性的不懈探索，深深地打动了我。他在阐述定理时，总是会回顾其证明过程中可能遇到的难点，并提供多种角度的解释，确保读者能够真正理解每一个步骤的含义。我尤其对书中关于“共轭调和函数”和“Wirtinger算子”的介绍印象深刻。这两个概念在现代极小曲面理论中扮演着至关重要的角色，而作者通过层层递进的讲解，将它们从相对陌生的代数工具，转化为理解极小曲面几何性质的强大武器。书中还穿插了一些历史性的讨论，比如关于曲面论的早期发展，以及一些著名数学家在该领域做出的贡献。这些历史的插曲，不仅增加了阅读的趣味性，更让我体会到了数学发展的脉络和背后的人文关怀。这本书不仅仅是一本教科书，更像是一次与数学大师的对话，一次对探索未知世界的精神洗礼。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对几何学有着浓厚兴趣的爱好者，我常常被那些能够连接抽象理论与直观现实的数学分支所吸引。《极小曲面教程》（A Course in Minimal Surfaces）恰好就是这样一个完美的例子。这本书最让我赞赏的一点是，它并没有将读者局限于纯粹的理论推导，而是将极小曲面置于更广阔的数学和物理背景之下进行考察。书中关于极小曲面在 Plateau 问题、Navier-Stokes 方程等相关领域中的作用的讨论，为我打开了新的视野。它让我明白，极小曲面并非孤立存在，而是与其他重要的数学和科学问题紧密相连。作者在讲解时，非常注重培养读者的“几何直觉”，鼓励我们在头脑中构建三维空间的图像，并思考曲面在变换过程中的变化。我喜欢书中对于不同类型的极小曲面（如无限曲面、周期曲面）的分类和性质分析，这使得我对这个复杂领域有了更清晰的认识。总而言之，这本书是一次极具启发性的阅读体验，它不仅教授了我知识，更重要的是激发了我对数学研究的热情和探索欲望。

评分☆☆☆☆☆

这本《极小曲面教程》（A Course in Minimal Surfaces）简直是我近来读过的最令人拍案叫绝的数学专著了！我是一名在读的几何学研究生，之前对极小曲面这一领域涉猎不多，总觉得它神秘而又遥不可及。但从我第一次翻开这本书开始，那种感觉就彻底改变了。作者的叙述方式真是太棒了，他没有上来就堆砌晦涩的定义和复杂的公式，而是循序渐进地引导读者进入这个迷人的世界。第一章就如同一个精心设计的序曲，用直观的例子和历史的视角，勾勒出极小曲面的基本概念和它们在物理学、工程学等领域的应用，瞬间就激起了我强烈的好奇心。接着，他巧妙地引入了微分几何的工具，但处理得非常到位，每一个概念的引入都伴随着清晰的解释和直观的几何意义，让人感觉学习过程是如此的自然和流畅。我特别欣赏他对于“曲率”这一核心概念的阐述，从高斯曲率到平均曲率，再到它们与极小曲面性质的深刻联系，都解释得鞭辟入里。整本书的结构安排也十分合理，仿佛有一条无形的线索贯穿始终，将那些看似独立的定理和概念巧妙地串联起来，形成一个完整而和谐的知识体系。

评分☆☆☆☆☆

说实话，在接触《极小曲面教程》（A Course in Minimal Surfaces）之前，我一直认为数学中的某些高级理论只能是少数顶尖学者的专属领地，普通爱好者根本难以企及。然而，这本书彻底颠覆了我的认知。作者以一种近乎“手把手”的教学方式，将极小曲面这个本应是高深莫测的领域，变得触手可及。我最喜欢的部分是书中大量的图示和案例分析。很多时候，一个抽象的定理，通过作者精心绘制的图形，立刻就变得生动形象，理解起来也事半功倍。例如，在讲解Soap Film Principle的时候，书中展示了肥皂膜在不同边界下的形态，这些直观的例子，让我深刻理解了为什么平均曲率为零是极小曲面的核心特征。此外，书中对于一些经典极小曲面（如Enneper曲面、Scherk曲面）的构造和性质的介绍，也写得十分精彩，不仅仅是给出它们的参数方程，更重要的是分析了它们是如何从基本的几何原理中诞生的。这种“知其然，更知其所以然”的学习体验，是我在其他教材中很少遇到的。这本书的魅力在于，它既有严谨的数学推理，又不失艺术的美感，让人在学习中感受到数学的深刻内涵和无限可能。

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非常好的书，印刷质量也很好，不过京东送货的包装不敢恭维，送过来的书的精装封面都能够有破损和折痕！