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内容简介

　　《现代数学基础丛书：Littlewood-Paley理论及其在流体动力学方程中的应用》内容涉及Littlewood-Paley理论及其在流体动力学方程中的应用两大部分。其一包含了频率空间的局部化、Besov空间的Littlewood-Paley刻画、Bony的仿积分解及仿线性化技术、新型的Bemstein不等式等，其二在Littlewood-Paley理论的框架下，建立输运扩散方程解的时空正则性估计、频谱层次的正则性估计及零阶Besov空间的log-型估计，给出了既包含对流，也包含扩散现象的流体动力学问题的统一处理方法，在这个新的框架下，重点讨论了不可压的Euler方程与Navier-Stol（es方程、Boussinesq方程、临界Quasi-Geostrophic方程及可压的Navier-Stokes方程等。
　　《现代数学基础丛书：Littlewood-Paley理论及其在流体动力学方程中的应用》的特点是将现代调和分析理论，诸如：频率空间的分析、Fourier局部化技术、Bony的仿积分解及仿线性化技术等和传统的连续模方法、DeGiorgi-Nash-Moser迭代技术相结合，充分利用与开发流体动力学方程内在的几何与代数结构、正交结构、消失条件来研究相应的非线性相互作用，达到在自然临界空间研究流体动力学方程的目的，《现代数学基础丛书：Littlewood-Paley理论及其在流体动力学方程中的应用》可供理工科大学数学系、应用数学系的高年级本科生、研究生、教师以及相关的科学工作者阅读参考。

内页插图

目录

前言/序言

　　Littlewood-Paley理论最重要的作用之一就是频率空间的局部化。众所周知，Fourier变换将物理空间中的微分运算转化成频率空间中的代数运算，Littlewood-Paley分解将缓增分布形式地写成在频率空间意义下几乎正交的光滑函数的和，从而实现在不同频段上求导与微分运算的代数化。Littlewood-Paley理论在偏微分方程研究中的辉煌成就当属Bony的仿积分解理论，它是Bony在研究双曲型方程解的奇性传播时引入的，经过Meyer等数学家发展后广泛地应用到偏微分方程的研究。随着其他重要的分析工具，诸如：振荡积分理论、Fourier限制性估计与Strichartz估计、Profiles分解与集中紧原理等方法的发展与使用，进一步突显了Littlewood-Paley理论的框架性、普适性、灵活性等特征，从而使这一理论逐步成为研究非线性发展方程的基本工具。
　　本书的主旨就是Littlewood-Paley理论及其在各种流体动力学方程中的应用。Littlewood-Paley理论的基本思想就是频率空间分析与局部化理论，其优势包括几个主要方面：其一是微分算子或一般的Fourier乘子算子作用到Fourier变换具有环形支集（或球形支集）的分布上等价数乘运算（或被数乘估计控制）。其二是将函数或缓增分布分解成一系列在频率空间上几乎正交的光滑函数的和式，展示了内在的几何与代数结构，以便给出非线性相互作用的精确分析。特别地，Bony的仿积分解与仿线性化技术为非线性估计提供了强有力的武器。其三是Littlewood-Paley理论不仅给出了一般可微函数空间（研究偏微分方程的载体）的完美刻画，同时也提供了研究偏微分方程的基本工具。已有的关于输运方程与扩散方程的研究框架基本上处于相互独立的状况，因此，它们各自的经典研究方式并不适用于对方。许多物理模型特别是流体动力学问题中均涉及对流和扩散两种现象，发展一种同时适应对流和扩散两种现象的研究框架是很有意义的。它丰富了输运扩散方程的研究，给出了一个统一的框架与研究方法。与此同时，Fourier局部化方法不仅适用于不可压模型，也可以应用到可压的流体动力学问题。
　　第1章从频率空间上的局部化出发，通过经典Bernstein不等式与频率空间上的单位分解定理，给出齐次与非齐次型的Littlewood-Paley分解理论，在Littlewood-Paley理论的框架下，讨论Besov空间理论，特别是Besov空间的各种不同刻画之间的等价关系等，作为Littlewood-Paley理论的重要组成部分，着重介绍Bony的仿积分解及仿线性化技术。作为应用，着重讨论了新型的Bernstein不等式，它是建立分数阶耗散算子在局部化空间（如：Besov空间、分数阶Sobolev空间等）正性估计的基础，在研究分数阶发展型方程中起着重要的作用。
　　第2章主要通过Fourier局部化方法建立输运扩散方程的解在Besov空间框架下的一致性估计。需要指出的是，输运项中的向量场可以不满足不可压条件，因此它不仅适合于不可压的流体动力学方程，同时可以应用到可压的流体动力学问题。鉴于Besov空间、Triebel-Lizorkin空间的局部化特征，我们讨论了各种形式的局部化估计与交换子估计，另一方面，充分利用输运扩散方程的Lagrange形式，将对流项的估计转化为平坦空间中的Laplace算子与非平坦空间中的Laplace算子所派生的交换子估计，因此可以通过二次微局部化的过程来处理含交换子型扰动项的热传导方程。
　　第3章首先在Besov空间的框架下，给出d维空间不可压Euler方程的Cauchy问题的局部适定性与Blow-up准则。作为Beale-Kato-Majda准则特例，就直接推出二维不可压Euler方程Cauchy问题光滑解的整体适定性，其次，通过建立Vishik的“衰减型正交性”及log-型估计，证明二维不可压Euler方程的Cauchy问题在临界空间中的整体适定性。3.3节详细讨论具有轴对称无旋的三维不可压Euler方程，利用其特殊的几何结构、涡度场不同分解的“衰减正交性”等证明了具有轴对称无旋的三维不可压Euler方程的Cauchy问题在临界与次临界空间中的整体适定性。最后，还详细研究二维不可压Navier-Stokes方程在Besov空间Bp1中的无黏性极限问题，其中p≥2的情形源于Hmidi-Keraani〔HK3〕，p〈2的情形是本书中首次给出。
　　第4章集中讨论具部分黏性的二维Boussinesq方程的Cauchy问题的整体适定性。4.1节主要基于用能量估计与log-型不等式，建立具部分黏性的二维Boussinesq方程的Cauchy问题光滑解的整体适定性。4.2节利用Fourier局部化方法及相应的输运扩散方程在Besov型空间中的正则性估计、频谱层次上的正则性估计等，在临界空间中建立具部分黏性的二维Boussinesq方程的Cauchy问题的整体适定性。4.3节利用Boussinesq方程组自身的耦合结构与对称化的理念，在适当的条件下，证明了具有轴对称初值的三维Boussinesq方程的Cauchy问题的整体适定性。
　　第5章着力于临界Quasi-Geostrophic方程。5.1节给出了在临界空间的局部适定性与Blow-up机制，同时还介绍了这一方程的研究历史。5.2节主要介绍Kiselev-Nazarov-Volberg的连续模方法，它主要基于如下重要观察：奇异积分算子虽然不能保持连续模，但它对连续模的破坏也不大。5.3节主要讨论Caffarelli-Vasseur方法，这是一个普适性的方法，基本思想是采用调和扩张及DeGiorgi-Nash-Moser迭代技术建立Leray-Hopf弱解的正则性。
　　第6章主要介绍作者采用Littlewood-Paley理论研究可压缩Navier-Stokes方程的一个结果，这是一个新的尝试。首先给出了一个线性化的双曲抛物耦合系统的基本解，通过Fourier局部化方法，分析此系统在不同的频率空间中表现的不同效应，从而引入了适合高低频演化的Hybrid-Besov空间这一新的框架。为了克服高频时对流项作为扰动项带来的关于密度的导数损失，引入了频谱层次上的Lagrange坐标，从而得到了具有高振荡初值（即某种意义上的大初值）的整体适定性。
　　最后，在附录中给出了经典的不可压Navier-Stokes方程的研究进展，以方便读者参考使用。内容涉及Leray-Hopf弱解、光滑解的局部适定性、Kato的双模方法、时空正则性与单模方法、Lp-方法及无条件唯一性等，主要取材于文献〔Chem3〕，〔Cal〕，〔Lem1〕及〔MiZ〕。
　　本书的初稿始于在北京大学国际数学中心、香港中文大学数学研究所、北京应用物理与计算数学研究所等讲座与课程的讲稿，后经认真修改、增删而成，在本书形成过程中，得到了田刚院士、辛周平教授的大力支持，作者深表感谢，本书的部分内容与张恭庆院士、洪家兴院士、陆善镇教授进行了交流，得到了鼓励与支持，在此表示由衷的感谢。作者感谢周毓麟院士、郭柏灵院士等长期的指导与帮助，以及对本书提出的许许多多的建设性意见。
　　最后，作者还要感谢年轻同事与学生：陈琼蕾副研究员、徐桂香副研究员、原保全教授、苑佳博士、吴刚博士、张军勇博士及博士生薛留堂、郑孝信、程星、郑继强、夏素霞、张谦、徐夫义、杨建伟、王大卫、路静等，他们为本书的校对做了许多有益的工作。
　　本书得到国家科学技术学术著作出版基金、国家杰出青年基金、国家自然科学基金、北京应用物理与计算数学研究所“学习、创造、提高”活动的资助。
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