Schur凸函數與不等式 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

簡體網頁||繁體網頁

☆☆☆☆☆

石煥南 著

圖書標籤:

• Schur函數
• Schur凸函數
• 不等式
• 數學分析
• 凸分析
• 優化
• 組閤數學
• 實分析
• 函數不等式
• 數學

齣版社： 哈爾濱工業大學齣版社

ISBN：9787560364933

版次：1

商品編碼：12259775

包裝：平裝

開本：16

齣版時間：2017-10-01

用紙：膠版紙

編輯推薦

本書適閤數學研究人員、大學數學教師、研究生、本科生、中學數學教師及數學愛好者參考閱讀。

內容簡介

Schur凸函數是受控理論的核心概念,是比熟知的凸函數更為廣泛的一類函數,有著廣泛的應用.本書介紹有關Schur凸函數的基本理論和推廣,並且介紹瞭Schur凸函數在不等式方麵的應用.本書包含瞭國內外學者近年來所獲得的大量新的研究成果,提供瞭六百篇有關的參考文獻.

目錄

目錄

引言

第一章 控製不等式

第二章 Schur凸函數的定義和性質

第三章 Schur凸函數與初等對稱函數不等式

第四章 Schur凸函數與其他對稱函數不等式

第五章 Schur凸函數與序列不等式

第六章 Schur凸函數與積分不等式

第七章 Schur凸函數與二元平均值不等式

第八章 Schur凸函數與多元平均值不等式

第九章 Schur凸函數與幾何不等式

參考文獻

人名索引

主題索引

編輯手記

《凸函數與優化理論基礎》 內容提要： 本書旨在全麵而深入地探討凸分析和凸優化的基本理論與核心概念。全書結構嚴謹，邏輯清晰，從實分析的基礎齣發，逐步構建起凸集、凸函數、凸優化問題的理論框架，並詳細闡述瞭解決這些問題的關鍵方法。本書不僅涵蓋瞭經典的凸優化理論，也融入瞭現代研究的熱點，力求為讀者提供一個紮實且前沿的知識體係。 第一章 預備知識與背景 本章首先迴顧讀者在實分析、泛函分析和綫性代數中需要掌握的基礎知識。這包括拓撲空間的基本概念（如開集、閉集、緊集）、度量空間以及賦範綫性空間。重點梳理瞭 $mathbb{R}^n$ 上的拓撲性質，為後續的凸集定義奠定基礎。此外，本章還簡要介紹瞭凸性的直觀理解和在工程、經濟、機器學習等領域的初步應用場景，以激發讀者的學習興趣。 第二章 凸集：結構與性質 凸集是凸分析的基石。本章係統地定義瞭凸集，並通過各種方式刻畫凸集，例如仿射組閤、凸組閤、極點、極端方嚮等。我們將深入探討凸集的拓撲性質，包括凸集的閉包、內部、邊界及其對凸性的影響。特彆地，本書將詳細討論常見的凸集類型，如多麵體、錐、球體和橢球體，並介紹分離定理（Hahn-Banach 定理的凸集版本）和支撐超平麵定理，這些定理是理解凸優化對偶性的關鍵工具。 第三章 凸函數：定義、運算與光滑性 本章的核心是凸函數的定義及其重要性質。我們將嚴格定義凸函數和（嚴格）擬凸函數，並探討其等價刻畫，例如一階和二階導數判彆法（在可微和二次可微情況下）。凸函數運算的封閉性是本章的另一重點，包括函數加法、最大值、最小化、非負加權求和以及復閤運算等。此外，我們還將考察凸函數的光滑性，討論 Lipschitz 連續性、光滑性（$C^1$ 和 $C^2$ 屬性）以及它們與函數增長率的關係。 第四章 凸函數的極值與結構 本章關注凸函數在特定集閤上的行為。我們將分析凸函數在凸集上的極小值問題。核心內容包括：凸函數的局部極小值即為全局極小值的性質，以及梯度信息在確定極小值點時的作用。對於無約束問題，我們將介紹次梯度（Subgradient）的概念，這是處理不可微凸函數的核心工具。次梯度的定義、性質以及次梯度方法（次梯度下降法）將被詳細闡述，並分析其收斂性。 第五章 凸優化問題：標準形式與對偶性 凸優化問題是本書的核心應用領域。本章首先將常見的優化問題（如綫性規劃、二次規劃）轉化為標準凸優化問題的形式。我們將嚴格引入優化問題的原始問題（Primal Problem）。隨後，本章將花費大量篇幅介紹凸優化中的對偶理論。通過拉格朗日函數，我們將推導齣對偶問題（Dual Problem）。卡羅什-庫恩-塔剋（KKT）條件作為原始問題和對偶問題解的充要條件將被深入探討，這是解決約束優化問題的理論基石。 第六章 求解算法：一階方法 本章聚焦於求解大規模凸優化問題的一階迭代算法。首先介紹經典的梯度下降法及其收斂性分析，特彆關注步長選擇策略（如最優綫搜索和固定步長）。在此基礎上，我們將引入更先進的一階方法，如次梯度法、近端梯度法（Proximal Gradient Methods）以及動量加速方法（如 Nesterov 加速梯度法）。這些方法的收斂率分析和實際應用中的策略將被詳細討論。 第七章 求解算法：二階方法與內點法 當問題具有一定的光滑性和結構時，二階信息可以提供更快的收斂速度。本章將介紹牛頓法及其在凸優化中的應用。我們將討論如何利用海森矩陣的信息來構造搜索方嚮。隨後，本書將轉嚮求解凸優化問題的強大工具——內點法（Interior Point Methods）。我們將重點介紹障礙函數法（Barrier Methods），解釋如何通過引入障礙函數將約束問題轉化為一係列無約束問題，並討論其全局收斂性和多項式時間復雜度。 第八章 應用與擴展 本章將探討凸分析和凸優化在現代學科中的前沿應用。內容包括：稀疏優化（如 $ell_1$ 範數最小化），在機器學習（如支持嚮量機 SVM）和信號處理中的應用。此外，我們還將簡要介紹半定規劃（SDP）的基礎知識，作為一類重要的非綫性凸優化問題。本章旨在展示理論工具的強大威力，並為讀者後續的深入研究提供方嚮。 讀者對象： 本書適閤於數學、應用數學、運籌學、計算機科學、控製工程以及金融工程等領域的本科高年級學生、研究生以及從事相關研究和工程實踐的專業人員。讀者應具備微積分、綫性代數和基礎實分析的知識。 本書特色： 理論與實踐並重： 理論論證嚴謹，同時配有大量的例子和算法描述。 內容全麵深入： 覆蓋從基礎凸集到先進內點法的完整體係。 清晰的數學推導： 所有關鍵定理和算法均提供詳細的證明過程。

評分☆☆☆☆☆

《Schur 凸函數與不等式》這本書，對於那些在數學領域，特彆是分析學和優化方嚮有所建樹的研究人員來說，無疑是一份寶貴的饋贈。書中對於 Schur 凸函數性質的挖掘，其細緻程度令人贊嘆。作者不僅清晰地梳理瞭 Schur 凸函數與其它凸函數類（如一般的凸函數、凹函數、對數凹函數等）之間的相互關係，更深入地探討瞭 Schur 凸函數在不動點定理、逼近論以及控製理論等領域中的潛在應用。我特彆注意到書中關於 Schur 凹函數與最優傳輸理論的聯係，這部分內容為理解非歐幾裏得度量下的最優輸運問題提供瞭一個全新的視角。此外，書中對 Schur 乘積不等式的深入研究，也為矩陣不等式的研究開闢瞭新的思路。在閱讀過程中，我多次被作者巧妙的證明技巧所摺服，這些技巧不僅體現瞭深厚的理論功底，更彰顯瞭作者在數學研究中的獨到見解。這本書的論述嚴謹，邏輯清晰，並且充分考慮到瞭讀者的背景，使得即使是初次接觸 Schur 凸函數的讀者，也能從中獲益良多。對於那些希望將 Schur 凸函數作為研究工具，或者對其理論基礎進行深入探索的學者而言，這本書是必不可少的參考。

評分☆☆☆☆☆

我是一名對數學有著濃厚興趣的業餘愛好者，平時喜歡閱讀一些數學普及讀物，但偶爾也會挑戰一些更具深度的書籍，而《Schur 凸函數與不等式》恰恰就屬於後者。老實說，初次翻開這本書時，我有些被書中密密麻麻的公式和符號所震撼，感覺它更像是給專業人士看的“天書”。然而，作者以一種非常耐心和循序漸進的方式，為我打開瞭通往 Schur 凸函數世界的大門。我特彆喜歡書中對 Schur 凸函數幾何意義的直觀解釋，通過將它與嚮量的“部分和”以及“排序”聯係起來，讓原本抽象的概念變得生動起來。書中關於 Schur 變換的討論，也給我留下瞭深刻的印象。雖然我可能無法完全理解每一個證明的細節，但我能夠感受到作者想要傳達的核心思想： Schur 凸函數是如何提供一種統一的框架來分析和證明一類重要的不等式。這本書就像一位循循善誘的老師，它不會直接告訴你答案，而是引導你一步步去思考，去探索。即使某些章節我暫時難以完全消化，但整體上，它極大地激發瞭我對這個領域的興趣，也讓我對數學研究的嚴謹性和創造性有瞭更深的認識。

評分☆☆☆☆☆

我是一位對不等式理論情有獨鍾的數學愛好者，多年來涉獵過不少相關書籍，而《Schur 凸函數與不等式》這本書，在我看來，無疑是該領域的一部集大成之作。它不僅僅是羅列不等式，更重要的是，它構建瞭一個完整的理論框架，將 Schur 凸函數這一強大的工具，係統地融入到不等式證明的實踐之中。作者在書中對 Schur 凸函數的引入，並非是憑空而來，而是從其與概率論、統計學等領域的緊密聯係齣發，讓讀者能夠理解其齣現的“閤理性”和“必然性”。書中對 Schur 乘積不等式和 Schur 積分不等式的詳盡闡述，為解決一係列經典不等式問題提供瞭統一的途徑。我尤其欣賞作者在處理具體不等式問題時，所展現齣的分析的深度和證明的巧妙。他能夠從 Schur 凸函數的角度，發掘齣隱藏在看似迥異的不等式背後的共同結構，並藉此構建齣簡潔而有力的證明。這本書的閱讀體驗，是一種“頓悟”式的學習過程，每一次對新不等式證明的理解，都讓我感受到數學思維的魅力。它讓我明白瞭，掌握一個強大的理論工具，能夠極大地提升解決問題的效率和思維的廣度。對於任何希望在不等式領域有所突破的讀者來說，這本書都將是不可多得的良師益友。

評分☆☆☆☆☆

作為一名曾經在學術領域摸爬滾打過多年的研究者，我對於數學專著的評價標準嚮來是相當挑剔的。然而，《Schur 凸函數與不等式》這本書，無疑在我的高評價名單上占據瞭一席之地。它的價值，絕非流於錶麵，而是體現在其內容的深度和廣度上。作者對於 Schur 凸函數的研究，幾乎可以說是傾注瞭心血，從其起源、基本性質，到其在優化理論、組閤數學、以及更廣泛的分析學領域中的應用，都有著詳盡的論述。我尤其欣賞書中關於 Jensen 不等式的推廣以及與凸函數不等式之間聯係的討論，這部分內容對於理解 Schur 凸函數的本質，以及如何利用其強大性質來簡化復雜的不等式證明，起到瞭至關重要的作用。書中引用的參考文獻，也都是該領域的經典之作，這充分說明瞭作者紮實的學術功底和對研究現狀的深刻把握。閱讀過程中，我時常會停下來，仔細思考作者提齣的每一個命題和證明思路，並嘗試將其應用到自己曾經遇到過的一些問題中。這種理論與實踐相結閤的閱讀體驗，是我在其他許多同類書籍中難以獲得的。總而言之，這是一本值得反復研讀的著作，對於任何希望深入理解 Schur 凸函數及其在不等式理論中扮演角色的讀者來說，都具有不可替代的價值。

評分☆☆☆☆☆

這本《Schur 凸函數與不等式》著實讓人眼前一亮！作為一名數學愛好者，我一直對那些看似優雅卻蘊含深刻數學思想的工具著迷。Schur 凸函數，這個概念我之前隻在一些高階的分析課程中零星接觸過，總覺得它神秘而強大，但又難以抓住其精髓。拿到這本書，我立刻被其嚴謹的編排和深入淺齣的講解所吸引。作者並沒有直接拋齣復雜的定理，而是從 Schur 凸函數的基本定義和性質入手，一步步引導讀者理解其內在的邏輯。我特彆喜歡其中關於“Majorization”（支配）概念的闡述，這可能是理解 Schur 凸函數的關鍵。書中通過一係列精心設計的例子，將抽象的定義轉化為具體的圖像和不等式，讓我得以直觀地感受 Schur 凸函數的威力。尤其是作者在討論 Schur 乘積和 Schur 積分時，將這些概念與矩陣理論以及概率論中的某些思想巧妙地聯係起來，讓我深刻體會到數學不同分支之間的融會貫通。讀完開頭幾章，我感覺自己對 Schur 凸函數的理解上升瞭一個新的颱階，它不再僅僅是一個符號或公式，而是變成瞭一個可以用來分析和解決問題的有力工具。我非常期待後麵章節將如何展現 Schur 凸函數在各種不等式證明中的應用，相信這本書會成為我工具箱裏的一件利器。