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内容简介

　　本书介绍分形集及其分析，主要包括三部分内容。第一部分介绍各种各样常见的分形集，如自相似集（包括pcf集）、随机分形、Julia集和Mandelbrot集，同时也介绍反问题、拼贴定理、L-系统。该部分所涉及的理论很少，主要是压缩映像原理。所有分形图像都是利用Matlab程序实现，每个图像后面都附上Matlab代码。第二部分介绍研究分形集几何性质所常用概念，如Hausdorff测度、自相似测度和Hausdorff维数，同时给出一类常见分形集Hausdorff维数的计算方法，该部分所涉及的理论主要是测度论的基本知识。第三部分介绍分形集上的分析，如Sierpinski垫上狄氏型构造、定义域刻画以及对应的热核估计等，该部分所涉数学理论知识较多，但不超出数学系研究生范围。本书前两部分内容可作为初学者或工程专业人士参考，第三部分内容主要面向数学系高年级本科生、研究生或相关专业人士。

内页插图

目录

《现代数学基础丛书》序
前言
符号说明
第1章 自相似集
1．1 压缩映像原理
1．2 Hausdorff度量
1．3 自相似集
1．4 自相似集的例子
1．4．1 自相似集的例子
1．4．2 自仿集的例子
1．4．3 后临界有限自相似集
1．5 Karl Weierstrass和Georg Cantor简介
1．6 练习题

第2章 分形
2．1 羊齿叶
2．2 树
2．3 花边图案和花环
2．4 Koch曲线
2．5 渗流丛
2．6 分形与确定分形
2．7 练习题

第3章 Julia集、Mandelbrot集和反问题
3．1 Julia集
3．2 Mandelbrot集
3．3 拼贴定理及反问题
3．4 Beno*t Mandelbrot和Gaston Julia简介
3．5 练习题

第4章 L—系统
4．1 不含X，Y的确定L—系统
4．2 含X，Y的确定L—系统
4．3 含中括弧的确定L—系统
4．4 含其他字母的确定L—系统
4．5 L—系统
4．6 练习题

第5章 Hausdorff测度和Hausdorff维数
5．1 测度
5．2 自相似测度
5．3 Hausdorff测度
5．4 Hausdorff维数
5．5 Hausdorff维数的计算
5．6 Felix Hausdorff和Waclaw Sierpiński简介
5．7 练习题

第6章 热半群和狄氏型
6．1 自伴算子和谱分解
6．2 半群
6．3 热半群
6．4 狄氏型
6．5 Lejeune Dirichlet简介
6．6 练习题

第7章 Sierpiński垫上的狄氏型
7．1 Sierpiński垫上狄氏型的构造
7．2 调和函数
7．3 有效阻抗
7．4 Green函数
7．5 Laplace算子
7．6 练习题

第8章 Sierpiński垫上狄氏型定义域的刻画
8．1 度量空间上Sobolev型空间
8．2 狄氏型定义域的刻画
8．3 练习题

第9章 热核理论
9．1 热核的定义
9．2 热核估计的意义
9．2．1 测度的正则性
9．2．2 热核的狄氏型
9．3 从属热核
9．3．1 卷积半群和从属热核
9．3．2 Laplace变换
9．3．3 完全单调函数
9．3．4 Bernstein函数
9．4 从属热核的估计
9．5 练习题

第10章 Sierpiński垫上的热核估计
10．1 抛物极大值原理
10．2 半群的超压缩性
10．3 Sierpiński垫上热核上界估计
10．3．1 热核上对角估计
10．3．2 Poisson型方程
10．3．3 PBt1B估计
10．3．4 尾部Pt1Bc的指数估计
10．3．5 热核非对角上界估计
10．4 Sierpiński垫上热核下界估计
10．4．1 下对角估计
10．4．2 近似下对角估计
10．4．3 非对角下界估计
10．5 练习题

参考文献
索引
《现代数学基础丛书》已出版书目

前言/序言

　　对于数学研究与培养青年数学人才而言，书籍与期刊起着特殊重要的作用。许多成就卓越的数学家在青年时代都曾钻研或参考过一些优秀书籍，从中汲取营养，获得教益。
　　20世纪70年代后期，我国的数学研究与数学书刊的出版由于文化大革命的浩劫已经破坏与中断了10余年，而在这期间国际上数学研究却在迅猛地发展着。1978年以后，我国青年学子重新获得了学习、钻研与深造的机会。当时他们的参考书籍大多还是50年代甚至更早期的著述。据此，科学出版社陆续推出了多套数学丛书，其中《纯粹数学与应用数学专著》丛书与《现代数学基础丛书》更为突出，前者出版约40卷，后者则逾80卷。它们质量甚高，影响颇大，对我国数学研究、交流与人才培养发挥了显著效用。
　　《现代数学基础丛书》的宗旨是面向大学数学专业的高年级学生、研究生以及青年学者，针对一些重要的数学领域与研究方向，作较系统的介绍。既注意该领域的基础知识，又反映其新发展，力求深入浅出，简明扼要，注重创新。
　　近年来，数学在各门科学、高新技术、经济、管理等方面取得了更加广泛与深入的应用，还形成了一些交叉学科。我们希望这套丛书的内容由基础数学拓展到应用数学、计算数学以及数学交叉学科的各个领域。
　　这套丛书得到了许多数学家长期的大力支持，编辑人员也为其付出了艰辛的劳动。它获得了广大读者的喜爱。我们诚挚地希望大家更加关心与支持它的发展，使它越办越好，为我国数学研究与教育水平的进一步提高做出贡献。
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