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蔡占川 著

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• 工程数学
• 数学基础
• 高等数学
• 工程应用
• 数学分析
• 线性代数
• 微分方程
• 数值分析
• 概率论
• 数学建模

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030568632

版次：31

商品编码：12330971

包装：平装

开本：16开

出版时间：2018-04-01

页数：279

字数：365000

正文语种：中文

内容简介

《工程数学基础》内容包括：记数、坐标、函数、画图、空间、平均、逼近及分形。《工程数学基础》共8章，每一章均包括概观、具体数学与数学实验三个部分。第1章介绍记数法，包括位值制记数法的意义与价值、复数基、斐波那契数系等；第2章介绍坐标，包括齐次坐标、面积坐标、平行轴坐标系等；第3章介绍函数，包括函数的表达方式、函数的可视表达、函数图像变换等；第4章介绍画图，包括依表达式画图、按像素画图、不同投影下的地图等；第5章介绍空间，包括线性空间、内积空间、正交函数等；第6章介绍平均，包括加权平均、函数的平均、矩方法等；第7章介绍逼近，包括魏尔斯特拉斯逼近定理、样条函数、小二乘法等；第8章介绍分形，包括茹利亚集与曼德布洛特集、分形插值、分形维数等。

目录

目录
序
前言
引：写给学生 1
第1章 记数 3
1.1 概观 3
1.1.1 熟知的事实 4
1.1.2 进位制系统的基 5
1.1.3 进一步的思考 6
1.2 具体数学 7
1.2.1 取复数为基 8
1.2.2 高斯整数与0-1码的转换 11
1.2.3 斐波那契数系 12
1.3 数学实验 14
1.3.1 实验一 信息在负数基下的表示 14
1.3.2 实验二 高斯整数在复数基下生成的图形 17
1.3.3 实验三 复数基记数法下的文本和图像信息表示 20
第2章 坐标 26
2.1 概观 26
2.1.1 体会笛卡儿 27
2.1.2 熟知的几个坐标 29
2.1.3 坐标概念的推广 29
2.2 具体数学 30
2.2.1 齐次坐标 31
2.2.2 面积坐标 32
2.2.3 平行轴坐标系 35
2.3 数学实验 36
2.3.1 实验一 齐次坐标与几何变换 37
2.3.2 实验二 图像的透视变换 41
2.3.3 实验三 面积坐标下的区域分割 45
第3章 函数 48
3.1 概观 48
3.1.1 函数的表达方式 50
3.1.2 函数的可视表达 51
3.1.3 泛函分析 51
3.2 具体数学 52
3.2.1 函数的运算 52
3.2.2 典型的函数 54
3.2.3 函数泰勒级数展开 60
3.2.4 函数展开成傅里叶级数 69
3.2.5 函数图像变换 72
3.3 数学实验 76
3.3.1 实验一 魏尔斯特拉斯函数 76
3.3.2 实验二 函数泰勒展开之阶数影响 79
3.3.3 实验三 吉布斯现象 85
第4章 画图 89
4.1 概观 89
4.1.1 仿真图与示意图 91
4.1.2 作图与作图工具紧密相关 95
4.1.3 画图的两种思路 96
4.2 具体数学 96
4.2.1 依表达式画图 97
4.2.2 按像素画图 102
4.2.3 埃舍尔画图 105
4.2.4 不同投影下的地图 106
4.2.5 画图与识图联系紧密 108
4.3 数学实验 111
4.3.1 实验一 切比雪夫多项式 111
4.3.2 实验二 利用阿诺尔德变换画图 114
4.3.3 实验三 画不同投影下的月表地形图 118
第5章 空间 124
5.1 概观 124
5.1.1 线性空间 125
5.1.2 赋范线性空间 126
5.1.3 内积空间 127
5.2 具体数学 128
5.2.1 标准正交基 128
5.2.2 线性无关函数之正交化 130
5.2.3 正交函数 133
5.2.4 连续正交函数 134
5.2.5 非连续正交函数 140
5.3 数学实验 162
5.3.1 实验一 基于富兰克林函数的数字曲线正交表达 162
5.3.2 实验二 张量积形式的沃尔什函数与哈尔函数 167
5.3.3 实验三 基于V-系统的几何图组正交表达 171
第6章 平均 176
6.1 概观 176
6.1.1 毕达哥拉斯平均 177
6.1.2 加权平均 179
6.1.3 权函数概念 180
6.2 具体数学 182
6.2.1 函数的平均 182
6.2.2 用URN模型构造调配函数 183
6.2.3 矩方法 186
6.2.4 矩母函数 192
6.2.5 兰乔斯平滑因子 193
6.3 数学实验 195
6.3.1 实验一 数字图像的融合 195
6.3.2 实验二 高斯平均 199
6.3.3 实验三 兰乔斯平滑因子之应用 203
第7章 逼近 208
7.1 概观 208
7.1.1 魏尔斯特拉斯逼近定理 210
7.1.2 拉格朗日插值多项式 211
7.1.3 迭代逼近法 212
7.2 具体数学 212
7.2.1 拉格朗日插值基函数 213
7.2.2 伯恩斯坦多项式 217
7.2.3 样条函数 218
7.2.4 B-样条曲线 222
7.2.5 多结点样条基函数 226
7.2.6 单位算子的逼近 229
7.2.7 最小二乘法 232
7.3 数学实验 234
7.3.1 实验一 贝齐尔曲线 234
7.3.2 实验二 迭代法解方程组 240
7.3.3 实验三 曲面逼近 244
第8章 分形 250
8.1 概观 250
8.1.1 什么是分形 251
8.1.2 典型的分形 252
8.1.3 什么是分形维数 255
8.2 具体数学 256
8.2.1 茹利亚集与曼德布洛特集 257
8.2.2 迭代函数系统 260
8.2.3 分形插值 264
8.2.4 分形维数 266
8.3 数学实验 270
8.3.1 实验一 二叉树与H-分形 270
8.3.2 实验二 混沌游戏 273
8.3.3 实验三 月球地形的分形维数 276
后记 280

现代计算物理学导论 面向对象： 本书主要面向高等院校理工科专业（如物理学、化学、材料科学、工程学等）的本科高年级学生及研究生，同时也适合对计算方法在科学研究中应用感兴趣的科研人员和工程师。 核心理念： 现代科学研究，尤其是在复杂系统和前沿交叉领域，越来越依赖于精确的数值模拟和计算建模。本书旨在为读者提供一套坚实的理论基础和实用的编程技能，使他们能够将抽象的物理模型转化为可执行的计算机程序，并深入理解计算结果背后的物理意义。我们强调“理论指导实践，实践反哺理论”的循环过程。 内容结构与特色： 本书共分为四个主要部分，层层递进，确保读者既能掌握基础工具，又能应对复杂的现代问题。 第一部分：计算科学的基石与工具箱 (Foundation and Toolbox) 本部分侧重于建立计算物理学所需的基本数学和编程框架。我们摒弃了传统教材中对纯粹数学理论的冗长推导，而是聚焦于如何将这些理论转化为高效的算法。 第一章：计算物理学的范式与流程 介绍从物理问题到数学模型，再到数值算法，最后到代码实现的完整计算流程。 探讨计算模拟的局限性、误差分析的基本概念（截断误差与舍入误差的辨析）。 工具介绍： 详细阐述Python生态系统（NumPy, SciPy, Matplotlib）在科学计算中的核心地位，强调向量化操作的效率优势。 第二章：线性代数与矩阵运算的数值实现 不包含内容： 对线性代数公理和抽象向量空间的深入理论探讨。 核心关注： 稠密矩阵与稀疏矩阵的存储格式（CSR, CSC等）。如何高效求解大型线性系统 $Ax=b$。 重点算法： 介绍高斯消元法的稳定性问题，重点讲解LU分解、Cholesky分解在工程问题中的应用。对于大规模问题，详细剖析迭代法（雅可比法、高斯-赛德尔法、共轭梯度法 (CG)）的收敛性判据和预处理器的选择。 特征值问题： 介绍幂迭代法和QR算法的原理及在量子化学计算中的初步应用。 第三章：数值微分与积分的精确控制 数值微分： 导数的有限差分近似（前向、后向、中心差分）的误差分析。龙贝算法（Richardson Extrapolation）在提高精度中的应用。 数值积分： 牛顿-科特斯公式（梯形法则、辛普森法则）的适用范围。重点讲解高斯求积（Gauss Quadrature）的原理，强调其在处理特定函数族积分时的卓越性能。讨论多重积分的蒙特卡洛方法（Monte Carlo Integration），并对比其与确定性方法的适用场景。 第二部分：常微分方程的动态模拟 (Ordinary Differential Equations Dynamics) 本部分聚焦于描述时间演化过程的 ODE 系统，这是描述经典力学、电路学和简单反应动力学的核心工具。 第四章：一阶常微分方程的数值积分 不包含内容： 详细的理论稳定性区间分析（如$A$-稳定性的严格数学证明）。 算法实践： 欧拉方法的局限性。深入讲解Runge-Kutta (RK) 方法族，尤其是经典的四阶RK4的实现及其在非线性振子问题中的应用。 刚性方程处理： 引入“刚性” (Stiffness) 的概念。重点介绍隐式方法，如后向欧拉法和Crank-Nicolson法，及其在需要长时间步长模拟中的必要性。 第五章：多步法与适应性步长控制 多步法： 介绍Adams-Bashforth（显式）和Adams-Moulton（隐式）方法的结构和局部截断误差估计。 自适应控制： 如何根据误差估计自动调整时间步长 $Delta t$，以在保持精度的同时最大化计算效率。实施示例包括Fehlberg方法的基本框架。 第三部分：偏微分方程的数值求解 (Partial Differential Equations Solvers) PDEs是描述场论、热传导、流体力学和波动现象的核心。本部分详细介绍求解二维和三维问题的三大主流方法。 第六章：有限差分法 (Finite Difference Method, FDM) 基础构建： 二维拉普拉斯方程和泊松方程的离散化。讲解泊松方程的求解与边界条件的实现（Dirichlet, Neumann）。 时间相关问题： 热传导方程（抛物型PDE）的显式和隐式处理。强调Crank-Nicolson方法在热传导模拟中的稳定性和精度折衷。 波动方程： 双曲型PDE的显式差分格式，以及著名的“数字色散”现象的初步讨论。 第七章：有限元法 (Finite Element Method, FEM) 概述 概念引入： 重点理解形函数（Shape Functions）和变分原理（弱形式）。 实践应用： 如何将一个物理域分解为网格（Mesh Generation的挑战）。以求解一个简单的静力学问题为例，演示如何构建全局刚度矩阵和载荷向量。 软件接口： 介绍如何使用现有的有限元库（如FEniCS或COMSOL的底层逻辑）来配置和运行模拟，而非从零开始编写高度复杂的全局组装代码。 第八章：谱方法与快速傅里叶变换 (Spectral Methods and FFT) 高精度需求： 介绍谱方法的原理——用全局基函数（如傅里叶级数或切比雪夫多项点）来近似解。 FFT的威力： 详细解释快速傅里叶变换算法，并展示它如何在频域中极大地简化卷积和偏微分方程的求解（特别是周期性边界条件下的对流问题）。 第四部分：随机性与复杂系统 (Stochasticity and Complex Systems) 本部分将读者带入非确定性模拟和高级计算方法的领域。 第九章：蒙特卡洛方法的高级应用 不包含内容： 马尔可夫链（Markov Chain）的严格遍历性证明。 马尔可夫链蒙特卡洛 (MCMC)： 重点讲解Metropolis-Hastings算法和Gibbs采样器，用于从复杂、高维的概率分布中抽取样本，这在统计物理和贝叶斯推断中至关重要。 应用实例： 如何利用MCMC研究二维伊辛 (Ising) 模型的相变行为。 第十章：分子动力学模拟 (Molecular Dynamics, MD) 集成算法： 详细介绍速度Verlet算法，它是MD模拟中最常用的积分器，并阐述其时间可逆性和能量守恒的优势。 力场与势能： Lennard-Jones势的实际应用。周期性边界条件（PBC）的处理。 宏观性质提取： 如何通过时间平均从微观模拟中计算出宏观可观测物理量（如扩散系数、热导率），并讨论如何使用牛顿积分方法处理长程相互作用（如PME算法的简化概念）。 附录：高性能计算基础 介绍并行计算的基本概念：Amdahl定律，以及OpenMP和MPI的基本使用模式。强调在解决现代大型物理问题时，并行化是不可或缺的技能。 本书特色总结： 本书的结构设计旨在平衡理论的深度和工程的实用性。每章后均附有难度适中的编程练习，要求读者使用至少一种现代科学计算语言（推荐Python或Julia）实现所学算法。我们强调算法的鲁棒性、效率和物理诠释，而非仅仅是数学上的完美收敛，确保读者能够独立地应对真实的科学计算挑战。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版真是让人眼前一亮，那种朴实无华的字体选择，恰到好处的行距，读起来丝毫没有负担感。我尤其喜欢它在章节过渡时设计的那些小插图，虽然都是一些简单的几何图形或者符号的组合，但却巧妙地起到了视觉缓冲的作用，让人在处理复杂概念的间隙能够稍微喘口气。内容上，感觉作者在力求精确的同时，也兼顾到了初学者的接受度。那些理论的推导过程，步骤清晰得像是电影里的慢动作回放，每一步的逻辑跳跃都被细心地填补了空白，这对于我这种数学基础不算牢固的读者来说，简直是福音。我记得有一次在学习某个积分变换时，被一个关键的假设卡住了好几天，翻遍了手头其他资料都云里雾里，最后还是在这本书里找到了那个被巧妙地放在脚注里的解释，一下子就豁然开朗了。书的装帧质量也无可挑剔，那种略带磨砂质感的封面，拿在手里沉甸甸的，让人感觉捧着的是一份知识的重量，而不是一份廉价的印刷品。我常常带着它去咖啡馆，即便是长时间的阅读也不会觉得手指被硬邦邦的纸张硌着，细节之处见真章，这本书的设计者显然是深谙阅读体验之道。

评分☆☆☆☆☆

如果说有什么地方让我感到略微吃力，那可能就是书中对某些高级拓扑和泛函分析概念的“点到为止”。作者显然是预设了一个读者具备相当扎实的微积分和基础代数背景，对于那些仅有高中或大学基础物理背景的读者来说，书中后半部分关于抽象空间和算子理论的引入显得有些仓促和跳跃。例如，在引入勒贝格积分的测度空间时，对“可测集”的讨论仅仅停留在直觉层面，缺乏更严格的集合论基础支撑，这使得我不得不频繁地查阅其他专门的测度论书籍来补足这块短板。这并非是缺点，我理解这或许是作者为了控制全书篇幅和聚焦于“应用数学基础”的定位所做的取舍。然而，这种取舍也导致了这本书在某些关键转折点上的“信息密度”过高，对于渴望从底层原理开始构建知识体系的读者来说，可能会感到被“推着跑”的焦虑感。总而言之，它更像是一座精心修建的空中花园的入口，风景绝美，但要走完整个花园，你可能还需要备一把更高倍率的望远镜。

评分☆☆☆☆☆

这本书的叙事方式，老实说，一开始让我有些不适应，它更像是一位经验丰富、脾气有点古怪的教授在给你开小灶，而不是一本标准的教科书。它没有那种循规蹈矩的“定义-定理-证明”的刻板流程，而是经常在引入新概念之前，先抛出一个非常生活化、甚至有些哲学意味的问题作为引子。比如，在讲解线性代数中的“基”的概念时，作者花了整整三页纸来讨论“什么是‘基本’的视角”，而不是直接给出向量组线性无关和构成张成的严格定义。这种“先入为主，后入骨髓”的教学法，对于习惯了传统灌输教育的人来说，无疑是一种挑战，需要读者主动去构建知识间的内在联系。但一旦你跟上作者的节奏，你会发现思维被极大地拓宽了。那些原本枯燥的公式，在作者的叙述下仿佛拥有了生命和目的性，你知道了它们“为什么”要被这样构造出来，而不是仅仅记住“如何”使用它们。我发现自己不再满足于解题，而是开始思考，如果稍微改变一个参数，整个数学结构会发生怎样的微妙变化，这才是真正的思维跃迁。

评分☆☆☆☆☆

这本书的“后记”部分，是整本书中最具人情味也最让我动容的地方。通常的教材后记无非是致谢或展望，但这本却花了大篇幅介绍了几位在历史上对该学科做出过关键贡献却不甚为人知的小人物，甚至附上了他们早年的一些手稿照片和家书片段。作者以一种近乎“考古学家”的口吻，揭示了那些看似坚不可摧的数学定理背后，所蕴含的人类的挣扎、误解和最终的灵光乍现。这种对“人”在科学进步中作用的强调，彻底打破了我对数学冰冷、纯粹的刻板印象。它让我意识到，即便是最严谨的逻辑体系，也是由有血有肉、会犯错、会坚持的人们构建起来的。读到那些老数学家们在艰苦条件下演算的场景描述，我感到一股强烈的共鸣和敬畏，也更坚定了自己在这条学习道路上坚持下去的决心。这种对学科人文精神的挖掘和传承，是任何纯粹的公式集合都无法比拟的宝贵财富。

评分☆☆☆☆☆

这套书的配套资源系统简直是业界良心，虽然我主要依赖纸质版，但偶尔使用的在线习题库让我惊叹于其精细化管理。不同于其他很多教材只提供标准答案的敷衍做法，这里的习题解析是模块化的。如果你做错了，系统不会直接给出完整解答，而是根据你错误的类型（比如是计算失误、概念混淆还是逻辑跳跃）给你推送相应的知识点回顾链接和微型教程。这种“靶向治疗”式的反馈机制，极大地提升了自学的效率。我记得有一次我提交了一个涉及到复变函数路径积分的答案，虽然结果数值上接近正确，但积分方向的选取写错了，系统立刻标注出这是“定向性误差”，并链接到了关于格林公式在不同区域应用时的方向约定说明。这种细致入微的指导，让我感觉自己仿佛有一个全天候待命的助教在身边，随时准备纠正我思维中的微小偏差。这种对学习过程的深入介入和优化，是很多厚重的数学著作所无法比拟的优势。