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蔡占川 著

圖書標籤:

• 工程數學
• 數學基礎
• 高等數學
• 工程應用
• 數學分析
• 綫性代數
• 微分方程
• 數值分析
• 概率論
• 數學建模

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030568632

版次：31

商品編碼：12330971

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2018-04-01

頁數：279

字數：365000

正文語種：中文

內容簡介

《工程數學基礎》內容包括：記數、坐標、函數、畫圖、空間、平均、逼近及分形。《工程數學基礎》共8章，每一章均包括概觀、具體數學與數學實驗三個部分。第1章介紹記數法，包括位值製記數法的意義與價值、復數基、斐波那契數係等；第2章介紹坐標，包括齊次坐標、麵積坐標、平行軸坐標係等；第3章介紹函數，包括函數的錶達方式、函數的可視錶達、函數圖像變換等；第4章介紹畫圖，包括依錶達式畫圖、按像素畫圖、不同投影下的地圖等；第5章介紹空間，包括綫性空間、內積空間、正交函數等；第6章介紹平均，包括加權平均、函數的平均、矩方法等；第7章介紹逼近，包括魏爾斯特拉斯逼近定理、樣條函數、小二乘法等；第8章介紹分形，包括茹利亞集與曼德布洛特集、分形插值、分形維數等。

目錄

目錄
序
前言
引：寫給學生 1
第1章 記數 3
1.1 概觀 3
1.1.1 熟知的事實 4
1.1.2 進位製係統的基 5
1.1.3 進一步的思考 6
1.2 具體數學 7
1.2.1 取復數為基 8
1.2.2 高斯整數與0-1碼的轉換 11
1.2.3 斐波那契數係 12
1.3 數學實驗 14
1.3.1 實驗一 信息在負數基下的錶示 14
1.3.2 實驗二 高斯整數在復數基下生成的圖形 17
1.3.3 實驗三 復數基記數法下的文本和圖像信息錶示 20
第2章 坐標 26
2.1 概觀 26
2.1.1 體會笛卡兒 27
2.1.2 熟知的幾個坐標 29
2.1.3 坐標概念的推廣 29
2.2 具體數學 30
2.2.1 齊次坐標 31
2.2.2 麵積坐標 32
2.2.3 平行軸坐標係 35
2.3 數學實驗 36
2.3.1 實驗一 齊次坐標與幾何變換 37
2.3.2 實驗二 圖像的透視變換 41
2.3.3 實驗三 麵積坐標下的區域分割 45
第3章 函數 48
3.1 概觀 48
3.1.1 函數的錶達方式 50
3.1.2 函數的可視錶達 51
3.1.3 泛函分析 51
3.2 具體數學 52
3.2.1 函數的運算 52
3.2.2 典型的函數 54
3.2.3 函數泰勒級數展開 60
3.2.4 函數展開成傅裏葉級數 69
3.2.5 函數圖像變換 72
3.3 數學實驗 76
3.3.1 實驗一 魏爾斯特拉斯函數 76
3.3.2 實驗二 函數泰勒展開之階數影響 79
3.3.3 實驗三 吉布斯現象 85
第4章 畫圖 89
4.1 概觀 89
4.1.1 仿真圖與示意圖 91
4.1.2 作圖與作圖工具緊密相關 95
4.1.3 畫圖的兩種思路 96
4.2 具體數學 96
4.2.1 依錶達式畫圖 97
4.2.2 按像素畫圖 102
4.2.3 埃捨爾畫圖 105
4.2.4 不同投影下的地圖 106
4.2.5 畫圖與識圖聯係緊密 108
4.3 數學實驗 111
4.3.1 實驗一 切比雪夫多項式 111
4.3.2 實驗二 利用阿諾爾德變換畫圖 114
4.3.3 實驗三 畫不同投影下的月錶地形圖 118
第5章 空間 124
5.1 概觀 124
5.1.1 綫性空間 125
5.1.2 賦範綫性空間 126
5.1.3 內積空間 127
5.2 具體數學 128
5.2.1 標準正交基 128
5.2.2 綫性無關函數之正交化 130
5.2.3 正交函數 133
5.2.4 連續正交函數 134
5.2.5 非連續正交函數 140
5.3 數學實驗 162
5.3.1 實驗一 基於富蘭剋林函數的數字麯綫正交錶達 162
5.3.2 實驗二 張量積形式的沃爾什函數與哈爾函數 167
5.3.3 實驗三 基於V-係統的幾何圖組正交錶達 171
第6章 平均 176
6.1 概觀 176
6.1.1 畢達哥拉斯平均 177
6.1.2 加權平均 179
6.1.3 權函數概念 180
6.2 具體數學 182
6.2.1 函數的平均 182
6.2.2 用URN模型構造調配函數 183
6.2.3 矩方法 186
6.2.4 矩母函數 192
6.2.5 蘭喬斯平滑因子 193
6.3 數學實驗 195
6.3.1 實驗一 數字圖像的融閤 195
6.3.2 實驗二 高斯平均 199
6.3.3 實驗三 蘭喬斯平滑因子之應用 203
第7章 逼近 208
7.1 概觀 208
7.1.1 魏爾斯特拉斯逼近定理 210
7.1.2 拉格朗日插值多項式 211
7.1.3 迭代逼近法 212
7.2 具體數學 212
7.2.1 拉格朗日插值基函數 213
7.2.2 伯恩斯坦多項式 217
7.2.3 樣條函數 218
7.2.4 B-樣條麯綫 222
7.2.5 多結點樣條基函數 226
7.2.6 單位算子的逼近 229
7.2.7 最小二乘法 232
7.3 數學實驗 234
7.3.1 實驗一 貝齊爾麯綫 234
7.3.2 實驗二 迭代法解方程組 240
7.3.3 實驗三 麯麵逼近 244
第8章 分形 250
8.1 概觀 250
8.1.1 什麼是分形 251
8.1.2 典型的分形 252
8.1.3 什麼是分形維數 255
8.2 具體數學 256
8.2.1 茹利亞集與曼德布洛特集 257
8.2.2 迭代函數係統 260
8.2.3 分形插值 264
8.2.4 分形維數 266
8.3 數學實驗 270
8.3.1 實驗一 二叉樹與H-分形 270
8.3.2 實驗二 混沌遊戲 273
8.3.3 實驗三 月球地形的分形維數 276
後記 280

現代計算物理學導論 麵嚮對象： 本書主要麵嚮高等院校理工科專業（如物理學、化學、材料科學、工程學等）的本科高年級學生及研究生，同時也適閤對計算方法在科學研究中應用感興趣的科研人員和工程師。 核心理念： 現代科學研究，尤其是在復雜係統和前沿交叉領域，越來越依賴於精確的數值模擬和計算建模。本書旨在為讀者提供一套堅實的理論基礎和實用的編程技能，使他們能夠將抽象的物理模型轉化為可執行的計算機程序，並深入理解計算結果背後的物理意義。我們強調“理論指導實踐，實踐反哺理論”的循環過程。 內容結構與特色： 本書共分為四個主要部分，層層遞進，確保讀者既能掌握基礎工具，又能應對復雜的現代問題。 第一部分：計算科學的基石與工具箱 (Foundation and Toolbox) 本部分側重於建立計算物理學所需的基本數學和編程框架。我們摒棄瞭傳統教材中對純粹數學理論的冗長推導，而是聚焦於如何將這些理論轉化為高效的算法。 第一章：計算物理學的範式與流程 介紹從物理問題到數學模型，再到數值算法，最後到代碼實現的完整計算流程。 探討計算模擬的局限性、誤差分析的基本概念（截斷誤差與捨入誤差的辨析）。 工具介紹： 詳細闡述Python生態係統（NumPy, SciPy, Matplotlib）在科學計算中的核心地位，強調嚮量化操作的效率優勢。 第二章：綫性代數與矩陣運算的數值實現 不包含內容： 對綫性代數公理和抽象嚮量空間的深入理論探討。 核心關注： 稠密矩陣與稀疏矩陣的存儲格式（CSR, CSC等）。如何高效求解大型綫性係統 $Ax=b$。 重點算法： 介紹高斯消元法的穩定性問題，重點講解LU分解、Cholesky分解在工程問題中的應用。對於大規模問題，詳細剖析迭代法（雅可比法、高斯-賽德爾法、共軛梯度法 (CG)）的收斂性判據和預處理器的選擇。 特徵值問題： 介紹冪迭代法和QR算法的原理及在量子化學計算中的初步應用。 第三章：數值微分與積分的精確控製 數值微分： 導數的有限差分近似（前嚮、後嚮、中心差分）的誤差分析。龍貝算法（Richardson Extrapolation）在提高精度中的應用。 數值積分： 牛頓-科特斯公式（梯形法則、辛普森法則）的適用範圍。重點講解高斯求積（Gauss Quadrature）的原理，強調其在處理特定函數族積分時的卓越性能。討論多重積分的濛特卡洛方法（Monte Carlo Integration），並對比其與確定性方法的適用場景。 第二部分：常微分方程的動態模擬 (Ordinary Differential Equations Dynamics) 本部分聚焦於描述時間演化過程的 ODE 係統，這是描述經典力學、電路學和簡單反應動力學的核心工具。 第四章：一階常微分方程的數值積分 不包含內容： 詳細的理論穩定性區間分析（如$A$-穩定性的嚴格數學證明）。 算法實踐： 歐拉方法的局限性。深入講解Runge-Kutta (RK) 方法族，尤其是經典的四階RK4的實現及其在非綫性振子問題中的應用。 剛性方程處理： 引入“剛性” (Stiffness) 的概念。重點介紹隱式方法，如後嚮歐拉法和Crank-Nicolson法，及其在需要長時間步長模擬中的必要性。 第五章：多步法與適應性步長控製 多步法： 介紹Adams-Bashforth（顯式）和Adams-Moulton（隱式）方法的結構和局部截斷誤差估計。 自適應控製： 如何根據誤差估計自動調整時間步長 $Delta t$，以在保持精度的同時最大化計算效率。實施示例包括Fehlberg方法的基本框架。 第三部分：偏微分方程的數值求解 (Partial Differential Equations Solvers) PDEs是描述場論、熱傳導、流體力學和波動現象的核心。本部分詳細介紹求解二維和三維問題的三大主流方法。 第六章：有限差分法 (Finite Difference Method, FDM) 基礎構建： 二維拉普拉斯方程和泊鬆方程的離散化。講解泊鬆方程的求解與邊界條件的實現（Dirichlet, Neumann）。 時間相關問題： 熱傳導方程（拋物型PDE）的顯式和隱式處理。強調Crank-Nicolson方法在熱傳導模擬中的穩定性和精度摺衷。 波動方程： 雙麯型PDE的顯式差分格式，以及著名的“數字色散”現象的初步討論。 第七章：有限元法 (Finite Element Method, FEM) 概述 概念引入： 重點理解形函數（Shape Functions）和變分原理（弱形式）。 實踐應用： 如何將一個物理域分解為網格（Mesh Generation的挑戰）。以求解一個簡單的靜力學問題為例，演示如何構建全局剛度矩陣和載荷嚮量。 軟件接口： 介紹如何使用現有的有限元庫（如FEniCS或COMSOL的底層邏輯）來配置和運行模擬，而非從零開始編寫高度復雜的全局組裝代碼。 第八章：譜方法與快速傅裏葉變換 (Spectral Methods and FFT) 高精度需求： 介紹譜方法的原理——用全局基函數（如傅裏葉級數或切比雪夫多項點）來近似解。 FFT的威力： 詳細解釋快速傅裏葉變換算法，並展示它如何在頻域中極大地簡化捲積和偏微分方程的求解（特彆是周期性邊界條件下的對流問題）。 第四部分：隨機性與復雜係統 (Stochasticity and Complex Systems) 本部分將讀者帶入非確定性模擬和高級計算方法的領域。 第九章：濛特卡洛方法的高級應用 不包含內容： 馬爾可夫鏈（Markov Chain）的嚴格遍曆性證明。 馬爾可夫鏈濛特卡洛 (MCMC)： 重點講解Metropolis-Hastings算法和Gibbs采樣器，用於從復雜、高維的概率分布中抽取樣本，這在統計物理和貝葉斯推斷中至關重要。 應用實例： 如何利用MCMC研究二維伊辛 (Ising) 模型的相變行為。 第十章：分子動力學模擬 (Molecular Dynamics, MD) 集成算法： 詳細介紹速度Verlet算法，它是MD模擬中最常用的積分器，並闡述其時間可逆性和能量守恒的優勢。 力場與勢能： Lennard-Jones勢的實際應用。周期性邊界條件（PBC）的處理。 宏觀性質提取： 如何通過時間平均從微觀模擬中計算齣宏觀可觀測物理量（如擴散係數、熱導率），並討論如何使用牛頓積分方法處理長程相互作用（如PME算法的簡化概念）。 附錄：高性能計算基礎 介紹並行計算的基本概念：Amdahl定律，以及OpenMP和MPI的基本使用模式。強調在解決現代大型物理問題時，並行化是不可或缺的技能。 本書特色總結： 本書的結構設計旨在平衡理論的深度和工程的實用性。每章後均附有難度適中的編程練習，要求讀者使用至少一種現代科學計算語言（推薦Python或Julia）實現所學算法。我們強調算法的魯棒性、效率和物理詮釋，而非僅僅是數學上的完美收斂，確保讀者能夠獨立地應對真實的科學計算挑戰。

評分☆☆☆☆☆

這本書的“後記”部分，是整本書中最具人情味也最讓我動容的地方。通常的教材後記無非是緻謝或展望，但這本卻花瞭大篇幅介紹瞭幾位在曆史上對該學科做齣過關鍵貢獻卻不甚為人知的小人物，甚至附上瞭他們早年的一些手稿照片和傢書片段。作者以一種近乎“考古學傢”的口吻，揭示瞭那些看似堅不可摧的數學定理背後，所蘊含的人類的掙紮、誤解和最終的靈光乍現。這種對“人”在科學進步中作用的強調，徹底打破瞭我對數學冰冷、純粹的刻闆印象。它讓我意識到，即便是最嚴謹的邏輯體係，也是由有血有肉、會犯錯、會堅持的人們構建起來的。讀到那些老數學傢們在艱苦條件下演算的場景描述，我感到一股強烈的共鳴和敬畏，也更堅定瞭自己在這條學習道路上堅持下去的決心。這種對學科人文精神的挖掘和傳承，是任何純粹的公式集閤都無法比擬的寶貴財富。

評分☆☆☆☆☆

這套書的配套資源係統簡直是業界良心，雖然我主要依賴紙質版，但偶爾使用的在綫習題庫讓我驚嘆於其精細化管理。不同於其他很多教材隻提供標準答案的敷衍做法，這裏的習題解析是模塊化的。如果你做錯瞭，係統不會直接給齣完整解答，而是根據你錯誤的類型（比如是計算失誤、概念混淆還是邏輯跳躍）給你推送相應的知識點迴顧鏈接和微型教程。這種“靶嚮治療”式的反饋機製，極大地提升瞭自學的效率。我記得有一次我提交瞭一個涉及到復變函數路徑積分的答案，雖然結果數值上接近正確，但積分方嚮的選取寫錯瞭，係統立刻標注齣這是“定嚮性誤差”，並鏈接到瞭關於格林公式在不同區域應用時的方嚮約定說明。這種細緻入微的指導，讓我感覺自己仿佛有一個全天候待命的助教在身邊，隨時準備糾正我思維中的微小偏差。這種對學習過程的深入介入和優化，是很多厚重的數學著作所無法比擬的優勢。

評分☆☆☆☆☆

如果說有什麼地方讓我感到略微吃力，那可能就是書中對某些高級拓撲和泛函分析概念的“點到為止”。作者顯然是預設瞭一個讀者具備相當紮實的微積分和基礎代數背景，對於那些僅有高中或大學基礎物理背景的讀者來說，書中後半部分關於抽象空間和算子理論的引入顯得有些倉促和跳躍。例如，在引入勒貝格積分的測度空間時，對“可測集”的討論僅僅停留在直覺層麵，缺乏更嚴格的集閤論基礎支撐，這使得我不得不頻繁地查閱其他專門的測度論書籍來補足這塊短闆。這並非是缺點，我理解這或許是作者為瞭控製全書篇幅和聚焦於“應用數學基礎”的定位所做的取捨。然而，這種取捨也導緻瞭這本書在某些關鍵轉摺點上的“信息密度”過高，對於渴望從底層原理開始構建知識體係的讀者來說，可能會感到被“推著跑”的焦慮感。總而言之，它更像是一座精心修建的空中花園的入口，風景絕美，但要走完整個花園，你可能還需要備一把更高倍率的望遠鏡。

評分☆☆☆☆☆

這本書的敘事方式，老實說，一開始讓我有些不適應，它更像是一位經驗豐富、脾氣有點古怪的教授在給你開小竈，而不是一本標準的教科書。它沒有那種循規蹈矩的“定義-定理-證明”的刻闆流程，而是經常在引入新概念之前，先拋齣一個非常生活化、甚至有些哲學意味的問題作為引子。比如，在講解綫性代數中的“基”的概念時，作者花瞭整整三頁紙來討論“什麼是‘基本’的視角”，而不是直接給齣嚮量組綫性無關和構成張成的嚴格定義。這種“先入為主，後入骨髓”的教學法，對於習慣瞭傳統灌輸教育的人來說，無疑是一種挑戰，需要讀者主動去構建知識間的內在聯係。但一旦你跟上作者的節奏，你會發現思維被極大地拓寬瞭。那些原本枯燥的公式，在作者的敘述下仿佛擁有瞭生命和目的性，你知道瞭它們“為什麼”要被這樣構造齣來，而不是僅僅記住“如何”使用它們。我發現自己不再滿足於解題，而是開始思考，如果稍微改變一個參數，整個數學結構會發生怎樣的微妙變化，這纔是真正的思維躍遷。

評分☆☆☆☆☆

這本書的排版真是讓人眼前一亮，那種樸實無華的字體選擇，恰到好處的行距，讀起來絲毫沒有負擔感。我尤其喜歡它在章節過渡時設計的那些小插圖，雖然都是一些簡單的幾何圖形或者符號的組閤，但卻巧妙地起到瞭視覺緩衝的作用，讓人在處理復雜概念的間隙能夠稍微喘口氣。內容上，感覺作者在力求精確的同時，也兼顧到瞭初學者的接受度。那些理論的推導過程，步驟清晰得像是電影裏的慢動作迴放，每一步的邏輯跳躍都被細心地填補瞭空白，這對於我這種數學基礎不算牢固的讀者來說，簡直是福音。我記得有一次在學習某個積分變換時，被一個關鍵的假設卡住瞭好幾天，翻遍瞭手頭其他資料都雲裏霧裏，最後還是在這本書裏找到瞭那個被巧妙地放在腳注裏的解釋，一下子就豁然開朗瞭。書的裝幀質量也無可挑剔，那種略帶磨砂質感的封麵，拿在手裏沉甸甸的，讓人感覺捧著的是一份知識的重量，而不是一份廉價的印刷品。我常常帶著它去咖啡館，即便是長時間的閱讀也不會覺得手指被硬邦邦的紙張硌著，細節之處見真章，這本書的設計者顯然是深諳閱讀體驗之道。