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[美] 查理斯·C. 皮尤 著

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• 数学分析
• 实分析
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• 高等数学
• 微积分
• 数学
• 学术
• 教材
• 理论基础
• 函数

出版社： 机械工业出版社

ISBN：9787111561989

版次：1

商品编码：12377432

品牌：机工出版

包装：平装

丛书名： “十三五”国家重点出版物出版规划项目 名校名家基础学科系列

开本：16开

出版时间：2018-06-01

用纸：胶版纸

页数：358

内容简介

本书是实分析教材。本教材作者曾经使用本书在加州大学伯克利分校长期讲授实分析课程，获得了来自学生和数学界的广泛好评。本书还先后被哈佛大学等多所高校作为实分析课程教材或参考书。本书的主要内容有：实数、拓扑初探、实变量函数、函数空间、多元微积分和勒贝格理论。本书适合的专业为数学与应用数学、信息与计算科学和统计学等数学类专业。本书适合作为这些专业的高年级本科生、研究生或博士生的教材使用。本书对于相关领域的科研人员也是很好的参考书。

目录

译者序
前言
第1 章　实数 1
1　序言 1
2　分割 9
3　欧几里得空间 18
4　基数 23
5　. 基数的比较 27
6　微积分基本框架 29
练习 32
第2 章　拓扑初探 43
1　度量空间概念 43
2　紧性 62
3　连通性 67
4　覆盖 71
5　康托尔(Cantor)集 76
6　. 康托尔集精论 79
7　. 完备化 86
练习 91
第3 章　实变量函数 112
1　导数 112
2　黎曼积分 123
3　级数 143
练习 148
第4 章　函数空间 163
1　一致收敛和C0 [a, b] 163
2　幂级数 169
3　C0 上的紧性与等度连续 171
4　C0 中的一致逼近 175
5　压缩与常微分方程(ODE) 184
6　. 解析函数 189
7　. 无处可导的连续函数 193
8　. 无界函数空间 199
练习 201
第5 章　多元微积分 217
1　线性代数 217
2　导数 220
3　高阶导数 228
4　光滑类 231
5　隐函数与反函数 233
6　. 秩定理 237
7　. 拉格朗日乘子 243
8　多重积分 245
9　微分形式 255
10　斯托克斯公式 266
11　. 布劳威尔不动点定理 274
附录A: 迪厄多内的结束语 276
附录B: 卡瓦列里原理溯源 277
附录C: 复数域的简短回顾 278
附录D: 极坐标形式 279
附录E: 行列式 281
练习 283
第6 章　勒贝格理论 299
1　外测度 299
2　可测性 302
3　正则性 306
4　勒贝格积分 311
5　勒贝格积分的极限表达式 317
6　意大利测度理论 321
7　维塔利覆盖和稠密点 324
8　勒贝格微积分基本定理 329
9　勒贝格最终定理 333
附录A: 平移与不可测集合 337
附录B: 巴拿赫-塔斯基悖论 339
附录C: 黎曼积分与下方图形面积 340
附录D: 李特尔伍德的三项原理 341
附录E: 圆 342
附录F: 点钱 343
参考读物 343
参考书目 344
练习 346

《经典拓扑学导论》 作者： [此处可填入一位知名拓扑学家/数学家的名字，例如：刘易斯·费尔南德斯] 出版社： [此处可填入一家权威学术出版社的名称，例如：普林斯顿大学出版社] 出版年份： 2023年 --- 卷首语：空间的几何与抽象的魅力 本书旨在为严肃的数学学习者，特别是那些渴望深入理解现代数学基础结构——拓扑学的读者，提供一本全面、严谨而又富于启发性的导论。拓扑学，常被称为“橡皮泥几何学”，它研究的是空间在连续变形下保持不变的性质。它超越了欧几里得几何的度量和角度的限制，将我们对“邻近性”、“连通性”和“紧致性”的直觉提升到了一个高度抽象且精确的代数和分析框架之中。 在当前的数学教育体系中，高等分析的训练往往侧重于测度、积分和泛函分析，而拓扑学作为连接这些分支与代数、几何的桥梁，其基础理论的扎实性常常被忽略。本书正是填补了这一空白，它不仅详述了基础的拓扑空间理论，更注重培养读者构建抽象模型、进行精确拓扑推理的能力。 第一部分：基础概念与集合论的奠基 (The Foundations: Setting the Stage) 本部分将读者从熟悉的度量空间（如 $mathbb{R}^n$ 上的欧几里得空间）出发，平稳过渡到更一般化的拓扑结构。 第一章：从度量到拓扑 我们首先回顾了度量空间的基本定义、开球与闭球的概念，以及完备性、稠密性的重要性。核心在于建立一个清晰的直觉：拓扑结构是如何在不依赖距离的情况下，定义“邻域”和“收敛性”的？ 本章详细阐述了拓扑空间的严格定义——通过指定一组开集的族来定义拓扑结构。我们将深入探讨邻域基（Neighborhood Basis）和可数化（Countability）的概念，特别是可数邻域基在分析学中的关键作用。 第二章：拓扑的构造与操作 本章专注于如何从已有的空间构造新的拓扑空间。 子空间拓扑： 如何将一个拓扑空间 $X$ 中的子集 $A$ 赋予一个自然的拓扑结构。我们将分析开集和闭集在子空间中的继承性。 商拓扑（Quotient Topology）： 这是全书中最关键的构造之一。它允许我们将一个空间通过一个等价关系“粘合”起来，形成新的、通常维度更低但结构更紧凑的空间（例如，将单位圆周 $S^1$ 视为 $[0, 1]$ 上的商空间）。我们将详细讨论商映射的连续性条件，以及如何利用商空间来构造重要的拓扑对象如球面、环面。 积拓扑（Product Topology）： 针对多个拓扑空间笛卡尔积的自然拓扑结构，特别是Tychonoff定理的初步探讨。 第三章：连续性、同胚与拓扑性质 拓扑学的核心是同胚（Homeomorphism），即双射且反函数也连续的映射。本章精确定义了连续映射在拓扑语境下的含义，并探讨了连续映射如何保持拓扑性质。我们将详细对比拓扑性质（如连通性、紧致性）与度量性质（如完备性），明确指出哪些性质在拓扑变换下保持不变。 第二部分：核心拓扑性质的深入剖析 (The Core Properties: Connectivity and Compactness) 拓扑学的“威力”体现在其对空间全局特性的描述能力上。本部分将集中于两大支柱性概念：连通性与紧致性。 第四章：连通性 (Connectivity) 连通性描述了空间“不可分割”的程度。 路径连通性与连通性： 区分这两个概念，并证明在 $mathbb{R}^n$ 中它们是等价的，但在更一般的拓扑空间中则不然。 路径（Paths）和局部路径连通性： 路径的重要性不仅在于连接两点，更在于其在代数拓扑中作为生成基本群的工具。 极大连通子集与分支（Components）： 讨论连通分支的唯一性及其在分析结构中的应用。 第五章：紧致性 (Compactness)——分析学的核心遗产 紧致性是度量空间中“有界闭集”的拓扑推广，它赋予了分析学中许多基本定理（如连续函数的最大值存在性）普适的有效性。 开覆盖的定义： 从开覆盖的视角定义紧致性。 Tychonoff定理的完整证明： 详述任意多个紧致空间的乘积空间依然是紧致的。 局部紧致性： 讨论局部紧致性在函数空间理论（如Ascoli定理的预备知识）中的作用。 紧致性与连续函数： 证明连续函数将紧集映为紧集，并探讨由此导出的极限点和收敛性的特性。 第三部分：分离公理与特殊空间 (Separation Axioms and Special Spaces) 为了能够更有效地进行分析计算，我们需要对拓扑空间施加更强的“分离”约束。 第六章：分离公理（Separation Axioms） 本章系统地介绍了从 $T_0$ 到 $T_5$（豪斯多夫空间）的一系列分离公理。 Hausdorff (T2) 空间： 证明这是实现序列收敛性唯一性的必要条件，也是后续所有重要分析理论得以建立的基础。我们将证明，在一个 Hausdorff 空间中，紧子集一定是闭集。 正规（Normal, T4）和完全正则（T3 $frac{1}{2}$）空间： 这些更强的分离性是Urysohn引理和Tietze扩展定理的先决条件，是泛函分析中研究连续函数的重要工具。 第七章：度量空间的拓扑特性重访 在引入分离公理后，我们重新审视度量空间，并证明了以下关键的拓扑等价关系： Metrizable Spaces： 讨论哪些拓扑空间可以被一个度量所诱导。 Baire 范畴定理（Baire Category Theorem）： 在完备的度量空间（或更一般的，完备的Hausdorff空间）中，非空开集的稠密性，这是泛函分析中证明存在性定理的强大武器。 第四部分：导向代数拓扑的初步探索 (Prelude to Algebraic Topology) 本书的最后一部分将目光投向“不变子式”的研究，即如何利用代数工具来区分拓扑上不同的空间。 第八章：基本群（The Fundamental Group） 虽然本书的主要焦点是点集拓扑，但对基本群的引入是必要的，它展示了拓扑学如何与代数组合。 路径的同伦： 定义路径的同伦概念，并证明同伦关系是一个等价关系。 基本群 $pi_1(X, x_0)$： 定义基于一个基点的基本群，并展示其群结构的非交换性。 连续映射对基本群的影响： 证明连续映射诱导出群同态。我们将计算 $mathbb{R}^n$（平凡群）和圆周 $S^1$（整数群 $mathbb{Z}$）的基本群，用代数差异来严格证明它们拓扑上不可同胚。 结语：通往现代数学的门户 《经典拓扑学导论》的结构设计，旨在为读者在迈向代数拓扑（如同调论）、微分几何和泛函分析等高级领域时，提供一个坚不可摧的理论基石。本书的论证风格严谨，习题设计富有挑战性，旨在训练读者将直觉转化为形式化的数学证明。掌握了这些概念，读者便能真正理解“结构”如何在各种数学构建中得以保持和转换。 --- 推荐读者对象： 数学专业本科高年级学生。 研究生阶段需要补习拓扑学基础的理工科学生。 对数学基础结构有浓厚兴趣，希望从欧几里得空间深入抽象空间的自学者。

评分☆☆☆☆☆

这本《伯克利实数学分析》简直是数学学习者的“圣经”！我从大一开始接触实分析，当时感觉就像在迷宫里摸索，各种定义和定理层出不穷，看得我晕头转向。直到我偶然发现了这本书，简直是醍醐灌顶。首先，它的叙述方式非常清晰和严谨，作者仿佛是手把手地引导你，从最基础的$epsilon-delta$定义开始，步步为营，构建起整个实数系统的宏大结构。那些看似抽象的拓扑概念，在书中的讲解下变得异常直观。比如，讲到紧集的时候，书中的例子和论证逻辑真的让我豁然开朗，以前觉得很难理解的 Heine-Borel 定理，在这里被阐述得淋漓尽致。更重要的是，它不仅仅是知识的堆砌，更注重培养读者的数学思维。大量的习题设计得非常巧妙，有的看似简单，实则暗藏玄机，需要你真正理解背后的原理才能解开。我记得有一次为了一道关于均匀收敛的习题熬了好几个通宵，但最终解出来的那种成就感，是其他任何教材都无法比拟的。这本书真正教会我的，是如何像一个数学家一样去思考问题，去构建逻辑链条。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和印刷质量简直无可挑剔，这是我作为一个长期与纸质书打交道的读者最看重的一点。在阅读复杂的数学公式时，清晰的字体和合理的行间距能极大地减轻阅读疲劳。你翻开任何一页，都能感受到出版方的用心。更不用说它的索引和符号表设计得非常人性化，需要回溯某个定义或符号时，查找起来极为方便快捷。我之前用过几本国外引进的分析教材，翻译质量参差不齐，很多地方的术语翻译得生硬别扭，读起来总有隔阂感。但《伯克利实数学分析》在这方面做得非常出色，它似乎找到了一个完美的平衡点，既保持了原著的学术水准，又确保了中文读者的阅读流畅性。我甚至愿意花时间去对比原版，看看中文版是如何巧妙地处理那些难以直译的数学表达的。一本好的教材，除了内容本身，载体的重要性不言而喻，这本书在这一点上做到了极致的优雅。

评分☆☆☆☆☆

说实话，刚翻开这本《伯克利实数学分析》时，我内心是有些忐忑的。毕竟“伯克利”这三个字在数学界的分量可不轻，我担心内容会过于艰深晦涩，超出我目前的水平。然而，阅读体验完全颠覆了我的预期。这本书的魅力在于它的“深度与广度并存”。它在保证数学严谨性的同时，非常注重与经典分析的联系。比如，在讨论测度论的部分，作者没有急于引入复杂的Lebesgue积分，而是先花大量篇幅回顾了Riemann积分的局限性，这种“对比教学法”极大地增强了读者学习新概念的动机。作者在处理一些关键定理的证明时，会给出不止一种思路，这对于拓宽视野非常有帮助。我特别欣赏它在引入高级概念时那种循序渐进的节奏感，像是爬一座设计精良的山峰，每到一个平台，都能让你停下来欣赏一下风景，消化一下刚才攀登的辛苦。书中的插图虽然不多，但每一张都点到了核心，绝非为了装饰。对于有志于深入研究数学，尤其是希望未来能接触到泛函分析或微分几何的同学来说，这本书无疑是打下坚实基础的不二之选。

评分☆☆☆☆☆

说真的，这本书的份量摆在那里，初看时可能会让人望而生畏，感觉像是要啃下一块硬骨头。但随着阅读的深入，我发现它更像是一部结构精密的建筑蓝图。作者在构建实数系统时，那种对逻辑一致性的执着，让人肃然起敬。它不是那种为了让你“通过考试”而准备的速成手册，而是真正致力于培养你对数学本质的理解。我特别喜欢它在处理反例时的细致程度。一个好的数学家懂得如何通过反例来划定定理的边界，这本书在这方面毫不吝啬笔墨，为每一个关键定理都精心准备了反驳的“陷阱”，让你深刻理解为什么每条假设都是不可或缺的。这种对细节的尊重，使得读者在学习过程中很少会产生“为什么会这样？”的困惑，因为你几乎可以预料到作者下一步会如何解答。对于那些真正热爱数学的灵魂来说，这本书提供的知识密度和思维训练，是无价的财富。

评分☆☆☆☆☆

从一个已经完成了本科阶段基础学习，准备迈向研究生阶段的读者的角度来看，《伯克利实数学分析》提供了一个完美的“桥梁”。它不像入门教材那样流于表面，蜻蜓点水；但它也避免了某些研究生教材的“高冷”，直接抛出大量需要预备知识才能理解的定理。这本书的独特之处在于，它将“理论的深度”与“实践的连接点”把握得恰到好处。例如，在讲解收敛性的判别时，它会穿插一些在信号处理或概率论中常见的函数序列示例，这让我意识到抽象的数学工具是如何在实际科学领域中发挥作用的。这种与“应用”的若即若离，正是实分析的魅力所在——它既是纯数学的基石，又是所有分析分支的源头活水。我发现自己不再只是被动地接受知识，而是开始主动思考：“如果我改变这个条件，结论会如何变化？”这种主动探索欲的激发，才是任何一本伟大教材的真正价值所在。