伯剋利實數學分析 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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[美] 查理斯·C. 皮尤 著

圖書標籤:

• 數學分析
• 實分析
• 伯剋利
• 高等數學
• 微積分
• 數學
• 學術
• 教材
• 理論基礎
• 函數

齣版社： 機械工業齣版社

ISBN：9787111561989

版次：1

商品編碼：12377432

品牌：機工齣版

包裝：平裝

叢書名： “十三五”國傢重點齣版物齣版規劃項目 名校名傢基礎學科係列

開本：16開

齣版時間：2018-06-01

用紙：膠版紙

頁數：358

內容簡介

本書是實分析教材。本教材作者曾經使用本書在加州大學伯剋利分校長期講授實分析課程，獲得瞭來自學生和數學界的廣泛好評。本書還先後被哈佛大學等多所高校作為實分析課程教材或參考書。本書的主要內容有：實數、拓撲初探、實變量函數、函數空間、多元微積分和勒貝格理論。本書適閤的專業為數學與應用數學、信息與計算科學和統計學等數學類專業。本書適閤作為這些專業的高年級本科生、研究生或博士生的教材使用。本書對於相關領域的科研人員也是很好的參考書。

目錄

譯者序
前言
第1 章　實數 1
1　序言 1
2　分割 9
3　歐幾裏得空間 18
4　基數 23
5　. 基數的比較 27
6　微積分基本框架 29
練習 32
第2 章　拓撲初探 43
1　度量空間概念 43
2　緊性 62
3　連通性 67
4　覆蓋 71
5　康托爾(Cantor)集 76
6　. 康托爾集精論 79
7　. 完備化 86
練習 91
第3 章　實變量函數 112
1　導數 112
2　黎曼積分 123
3　級數 143
練習 148
第4 章　函數空間 163
1　一緻收斂和C0 [a, b] 163
2　冪級數 169
3　C0 上的緊性與等度連續 171
4　C0 中的一緻逼近 175
5　壓縮與常微分方程(ODE) 184
6　. 解析函數 189
7　. 無處可導的連續函數 193
8　. 無界函數空間 199
練習 201
第5 章　多元微積分 217
1　綫性代數 217
2　導數 220
3　高階導數 228
4　光滑類 231
5　隱函數與反函數 233
6　. 秩定理 237
7　. 拉格朗日乘子 243
8　多重積分 245
9　微分形式 255
10　斯托剋斯公式 266
11　. 布勞威爾不動點定理 274
附錄A: 迪厄多內的結束語 276
附錄B: 卡瓦列裏原理溯源 277
附錄C: 復數域的簡短迴顧 278
附錄D: 極坐標形式 279
附錄E: 行列式 281
練習 283
第6 章　勒貝格理論 299
1　外測度 299
2　可測性 302
3　正則性 306
4　勒貝格積分 311
5　勒貝格積分的極限錶達式 317
6　意大利測度理論 321
7　維塔利覆蓋和稠密點 324
8　勒貝格微積分基本定理 329
9　勒貝格最終定理 333
附錄A: 平移與不可測集閤 337
附錄B: 巴拿赫-塔斯基悖論 339
附錄C: 黎曼積分與下方圖形麵積 340
附錄D: 李特爾伍德的三項原理 341
附錄E: 圓 342
附錄F: 點錢 343
參考讀物 343
參考書目 344
練習 346

《經典拓撲學導論》 作者： [此處可填入一位知名拓撲學傢/數學傢的名字，例如：劉易斯·費爾南德斯] 齣版社： [此處可填入一傢權威學術齣版社的名稱，例如：普林斯頓大學齣版社] 齣版年份： 2023年 --- 捲首語：空間的幾何與抽象的魅力 本書旨在為嚴肅的數學學習者，特彆是那些渴望深入理解現代數學基礎結構——拓撲學的讀者，提供一本全麵、嚴謹而又富於啓發性的導論。拓撲學，常被稱為“橡皮泥幾何學”，它研究的是空間在連續變形下保持不變的性質。它超越瞭歐幾裏得幾何的度量和角度的限製，將我們對“鄰近性”、“連通性”和“緊緻性”的直覺提升到瞭一個高度抽象且精確的代數和分析框架之中。 在當前的數學教育體係中，高等分析的訓練往往側重於測度、積分和泛函分析，而拓撲學作為連接這些分支與代數、幾何的橋梁，其基礎理論的紮實性常常被忽略。本書正是填補瞭這一空白，它不僅詳述瞭基礎的拓撲空間理論，更注重培養讀者構建抽象模型、進行精確拓撲推理的能力。 第一部分：基礎概念與集閤論的奠基 (The Foundations: Setting the Stage) 本部分將讀者從熟悉的度量空間（如 $mathbb{R}^n$ 上的歐幾裏得空間）齣發，平穩過渡到更一般化的拓撲結構。 第一章：從度量到拓撲 我們首先迴顧瞭度量空間的基本定義、開球與閉球的概念，以及完備性、稠密性的重要性。核心在於建立一個清晰的直覺：拓撲結構是如何在不依賴距離的情況下，定義“鄰域”和“收斂性”的？ 本章詳細闡述瞭拓撲空間的嚴格定義——通過指定一組開集的族來定義拓撲結構。我們將深入探討鄰域基（Neighborhood Basis）和可數化（Countability）的概念，特彆是可數鄰域基在分析學中的關鍵作用。 第二章：拓撲的構造與操作 本章專注於如何從已有的空間構造新的拓撲空間。 子空間拓撲： 如何將一個拓撲空間 $X$ 中的子集 $A$ 賦予一個自然的拓撲結構。我們將分析開集和閉集在子空間中的繼承性。 商拓撲（Quotient Topology）： 這是全書中最關鍵的構造之一。它允許我們將一個空間通過一個等價關係“粘閤”起來，形成新的、通常維度更低但結構更緊湊的空間（例如，將單位圓周 $S^1$ 視為 $[0, 1]$ 上的商空間）。我們將詳細討論商映射的連續性條件，以及如何利用商空間來構造重要的拓撲對象如球麵、環麵。 積拓撲（Product Topology）： 針對多個拓撲空間笛卡爾積的自然拓撲結構，特彆是Tychonoff定理的初步探討。 第三章：連續性、同胚與拓撲性質 拓撲學的核心是同胚（Homeomorphism），即雙射且反函數也連續的映射。本章精確定義瞭連續映射在拓撲語境下的含義，並探討瞭連續映射如何保持拓撲性質。我們將詳細對比拓撲性質（如連通性、緊緻性）與度量性質（如完備性），明確指齣哪些性質在拓撲變換下保持不變。 第二部分：核心拓撲性質的深入剖析 (The Core Properties: Connectivity and Compactness) 拓撲學的“威力”體現在其對空間全局特性的描述能力上。本部分將集中於兩大支柱性概念：連通性與緊緻性。 第四章：連通性 (Connectivity) 連通性描述瞭空間“不可分割”的程度。 路徑連通性與連通性： 區分這兩個概念，並證明在 $mathbb{R}^n$ 中它們是等價的，但在更一般的拓撲空間中則不然。 路徑（Paths）和局部路徑連通性： 路徑的重要性不僅在於連接兩點，更在於其在代數拓撲中作為生成基本群的工具。 極大連通子集與分支（Components）： 討論連通分支的唯一性及其在分析結構中的應用。 第五章：緊緻性 (Compactness)——分析學的核心遺産 緊緻性是度量空間中“有界閉集”的拓撲推廣，它賦予瞭分析學中許多基本定理（如連續函數的最大值存在性）普適的有效性。 開覆蓋的定義： 從開覆蓋的視角定義緊緻性。 Tychonoff定理的完整證明： 詳述任意多個緊緻空間的乘積空間依然是緊緻的。 局部緊緻性： 討論局部緊緻性在函數空間理論（如Ascoli定理的預備知識）中的作用。 緊緻性與連續函數： 證明連續函數將緊集映為緊集，並探討由此導齣的極限點和收斂性的特性。 第三部分：分離公理與特殊空間 (Separation Axioms and Special Spaces) 為瞭能夠更有效地進行分析計算，我們需要對拓撲空間施加更強的“分離”約束。 第六章：分離公理（Separation Axioms） 本章係統地介紹瞭從 $T_0$ 到 $T_5$（豪斯多夫空間）的一係列分離公理。 Hausdorff (T2) 空間： 證明這是實現序列收斂性唯一性的必要條件，也是後續所有重要分析理論得以建立的基礎。我們將證明，在一個 Hausdorff 空間中，緊子集一定是閉集。 正規（Normal, T4）和完全正則（T3 $frac{1}{2}$）空間： 這些更強的分離性是Urysohn引理和Tietze擴展定理的先決條件，是泛函分析中研究連續函數的重要工具。 第七章：度量空間的拓撲特性重訪 在引入分離公理後，我們重新審視度量空間，並證明瞭以下關鍵的拓撲等價關係： Metrizable Spaces： 討論哪些拓撲空間可以被一個度量所誘導。 Baire 範疇定理（Baire Category Theorem）： 在完備的度量空間（或更一般的，完備的Hausdorff空間）中，非空開集的稠密性，這是泛函分析中證明存在性定理的強大武器。 第四部分：導嚮代數拓撲的初步探索 (Prelude to Algebraic Topology) 本書的最後一部分將目光投嚮“不變子式”的研究，即如何利用代數工具來區分拓撲上不同的空間。 第八章：基本群（The Fundamental Group） 雖然本書的主要焦點是點集拓撲，但對基本群的引入是必要的，它展示瞭拓撲學如何與代數組閤。 路徑的同倫： 定義路徑的同倫概念，並證明同倫關係是一個等價關係。 基本群 $pi_1(X, x_0)$： 定義基於一個基點的基本群，並展示其群結構的非交換性。 連續映射對基本群的影響： 證明連續映射誘導齣群同態。我們將計算 $mathbb{R}^n$（平凡群）和圓周 $S^1$（整數群 $mathbb{Z}$）的基本群，用代數差異來嚴格證明它們拓撲上不可同胚。 結語：通往現代數學的門戶 《經典拓撲學導論》的結構設計，旨在為讀者在邁嚮代數拓撲（如同調論）、微分幾何和泛函分析等高級領域時，提供一個堅不可摧的理論基石。本書的論證風格嚴謹，習題設計富有挑戰性，旨在訓練讀者將直覺轉化為形式化的數學證明。掌握瞭這些概念，讀者便能真正理解“結構”如何在各種數學構建中得以保持和轉換。 --- 推薦讀者對象： 數學專業本科高年級學生。 研究生階段需要補習拓撲學基礎的理工科學生。 對數學基礎結構有濃厚興趣，希望從歐幾裏得空間深入抽象空間的自學者。

評分☆☆☆☆☆

從一個已經完成瞭本科階段基礎學習，準備邁嚮研究生階段的讀者的角度來看，《伯剋利實數學分析》提供瞭一個完美的“橋梁”。它不像入門教材那樣流於錶麵，蜻蜓點水；但它也避免瞭某些研究生教材的“高冷”，直接拋齣大量需要預備知識纔能理解的定理。這本書的獨特之處在於，它將“理論的深度”與“實踐的連接點”把握得恰到好處。例如，在講解收斂性的判彆時，它會穿插一些在信號處理或概率論中常見的函數序列示例，這讓我意識到抽象的數學工具是如何在實際科學領域中發揮作用的。這種與“應用”的若即若離，正是實分析的魅力所在——它既是純數學的基石，又是所有分析分支的源頭活水。我發現自己不再隻是被動地接受知識，而是開始主動思考：“如果我改變這個條件，結論會如何變化？”這種主動探索欲的激發，纔是任何一本偉大教材的真正價值所在。

評分☆☆☆☆☆

說真的，這本書的份量擺在那裏，初看時可能會讓人望而生畏，感覺像是要啃下一塊硬骨頭。但隨著閱讀的深入，我發現它更像是一部結構精密的建築藍圖。作者在構建實數係統時，那種對邏輯一緻性的執著，讓人肅然起敬。它不是那種為瞭讓你“通過考試”而準備的速成手冊，而是真正緻力於培養你對數學本質的理解。我特彆喜歡它在處理反例時的細緻程度。一個好的數學傢懂得如何通過反例來劃定定理的邊界，這本書在這方麵毫不吝嗇筆墨，為每一個關鍵定理都精心準備瞭反駁的“陷阱”，讓你深刻理解為什麼每條假設都是不可或缺的。這種對細節的尊重，使得讀者在學習過程中很少會産生“為什麼會這樣？”的睏惑，因為你幾乎可以預料到作者下一步會如何解答。對於那些真正熱愛數學的靈魂來說，這本書提供的知識密度和思維訓練，是無價的財富。

評分☆☆☆☆☆

說實話，剛翻開這本《伯剋利實數學分析》時，我內心是有些忐忑的。畢竟“伯剋利”這三個字在數學界的分量可不輕，我擔心內容會過於艱深晦澀，超齣我目前的水平。然而，閱讀體驗完全顛覆瞭我的預期。這本書的魅力在於它的“深度與廣度並存”。它在保證數學嚴謹性的同時，非常注重與經典分析的聯係。比如，在討論測度論的部分，作者沒有急於引入復雜的Lebesgue積分，而是先花大量篇幅迴顧瞭Riemann積分的局限性，這種“對比教學法”極大地增強瞭讀者學習新概念的動機。作者在處理一些關鍵定理的證明時，會給齣不止一種思路，這對於拓寬視野非常有幫助。我特彆欣賞它在引入高級概念時那種循序漸進的節奏感，像是爬一座設計精良的山峰，每到一個平颱，都能讓你停下來欣賞一下風景，消化一下剛纔攀登的辛苦。書中的插圖雖然不多，但每一張都點到瞭核心，絕非為瞭裝飾。對於有誌於深入研究數學，尤其是希望未來能接觸到泛函分析或微分幾何的同學來說，這本書無疑是打下堅實基礎的不二之選。

評分☆☆☆☆☆

這本《伯剋利實數學分析》簡直是數學學習者的“聖經”！我從大一開始接觸實分析，當時感覺就像在迷宮裏摸索，各種定義和定理層齣不窮，看得我暈頭轉嚮。直到我偶然發現瞭這本書，簡直是醍醐灌頂。首先，它的敘述方式非常清晰和嚴謹，作者仿佛是手把手地引導你，從最基礎的$epsilon-delta$定義開始，步步為營，構建起整個實數係統的宏大結構。那些看似抽象的拓撲概念，在書中的講解下變得異常直觀。比如，講到緊集的時候，書中的例子和論證邏輯真的讓我豁然開朗，以前覺得很難理解的 Heine-Borel 定理，在這裏被闡述得淋灕盡緻。更重要的是，它不僅僅是知識的堆砌，更注重培養讀者的數學思維。大量的習題設計得非常巧妙，有的看似簡單，實則暗藏玄機，需要你真正理解背後的原理纔能解開。我記得有一次為瞭一道關於均勻收斂的習題熬瞭好幾個通宵，但最終解齣來的那種成就感，是其他任何教材都無法比擬的。這本書真正教會我的，是如何像一個數學傢一樣去思考問題，去構建邏輯鏈條。

評分☆☆☆☆☆

這本書的排版和印刷質量簡直無可挑剔，這是我作為一個長期與紙質書打交道的讀者最看重的一點。在閱讀復雜的數學公式時，清晰的字體和閤理的行間距能極大地減輕閱讀疲勞。你翻開任何一頁，都能感受到齣版方的用心。更不用說它的索引和符號錶設計得非常人性化，需要迴溯某個定義或符號時，查找起來極為方便快捷。我之前用過幾本國外引進的分析教材，翻譯質量參差不齊，很多地方的術語翻譯得生硬彆扭，讀起來總有隔閡感。但《伯剋利實數學分析》在這方麵做得非常齣色，它似乎找到瞭一個完美的平衡點，既保持瞭原著的學術水準，又確保瞭中文讀者的閱讀流暢性。我甚至願意花時間去對比原版，看看中文版是如何巧妙地處理那些難以直譯的數學錶達的。一本好的教材，除瞭內容本身，載體的重要性不言而喻，這本書在這一點上做到瞭極緻的優雅。