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內容簡介

本書是實分析教材。本教材作者曾經使用本書在加州大學伯剋利分校長期講授實分析課程，獲得瞭來自學生和數學界的廣泛好評。本書還先後被哈佛大學等多所高校作為實分析課程教材或參考書。本書的主要內容有：實數、拓撲初探、實變量函數、函數空間、多元微積分和勒貝格理論。本書適閤的專業為數學與應用數學、信息與計算科學和統計學等數學類專業。本書適閤作為這些專業的高年級本科生、研究生或博士生的教材使用。本書對於相關領域的科研人員也是很好的參考書。

目錄

譯者序
前言
第1 章　實數 1
1　序言 1
2　分割 9
3　歐幾裏得空間 18
4　基數 23
5　. 基數的比較 27
6　微積分基本框架 29
練習 32
第2 章　拓撲初探 43
1　度量空間概念 43
2　緊性 62
3　連通性 67
4　覆蓋 71
5　康托爾(Cantor)集 76
6　. 康托爾集精論 79
7　. 完備化 86
練習 91
第3 章　實變量函數 112
1　導數 112
2　黎曼積分 123
3　級數 143
練習 148
第4 章　函數空間 163
1　一緻收斂和C0 [a, b] 163
2　冪級數 169
3　C0 上的緊性與等度連續 171
4　C0 中的一緻逼近 175
5　壓縮與常微分方程(ODE) 184
6　. 解析函數 189
7　. 無處可導的連續函數 193
8　. 無界函數空間 199
練習 201
第5 章　多元微積分 217
1　綫性代數 217
2　導數 220
3　高階導數 228
4　光滑類 231
5　隱函數與反函數 233
6　. 秩定理 237
7　. 拉格朗日乘子 243
8　多重積分 245
9　微分形式 255
10　斯托剋斯公式 266
11　. 布勞威爾不動點定理 274
附錄A: 迪厄多內的結束語 276
附錄B: 卡瓦列裏原理溯源 277
附錄C: 復數域的簡短迴顧 278
附錄D: 極坐標形式 279
附錄E: 行列式 281
練習 283
第6 章　勒貝格理論 299
1　外測度 299
2　可測性 302
3　正則性 306
4　勒貝格積分 311
5　勒貝格積分的極限錶達式 317
6　意大利測度理論 321
7　維塔利覆蓋和稠密點 324
8　勒貝格微積分基本定理 329
9　勒貝格最終定理 333
附錄A: 平移與不可測集閤 337
附錄B: 巴拿赫-塔斯基悖論 339
附錄C: 黎曼積分與下方圖形麵積 340
附錄D: 李特爾伍德的三項原理 341
附錄E: 圓 342
附錄F: 點錢 343
參考讀物 343
參考書目 344
練習 346

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