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北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组 著

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店铺： 盛况空前图书专营店

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040119152

商品编码：16014212893

包装：平装

出版时间：2003-07-01

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基本信息

书名：高等代数

定价：24.40元

作者：北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组

出版社：高等教育出版社

出版日期：2003-07-01

ISBN：9787040119152

字数：350000

页码：432

版次：3

装帧：平装

开本：大32开

商品重量：0.400kg

编辑推荐

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内容提要

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从本书的前身《高等代数讲义》(1964年由高等教育出版社出版)算起，它已问世近40年了。国内广大读者从它得益，也对它肯定。本书又是从我们的师长段学复教授、聂灵沼教授、丁石孙教授继承下来的，我们感到它有着历史的纪念意义。因此在修订时力求保持它原来的框架和原来的风格。
这次修订有如下几点：
(1)文字上的推敲，特别是一些名词，如“映上”、“1—1”等均用现代流行的“满射”、“单射”来替代。
(2)删去广义逆及代数基本概念两部分内容。我们发现两者都不必作为基础课内容。特别是后者，现在数学专业专科也要开设抽象代数或近世代数课程，它就更不必要在基础课中占据课时了。
(3)增加了矩阵的有理标准形，辛空间两节和附录二“整数的可除性理论”。
增添了若尔当标准形的存在性的一个“几何”证明。
(4)用(*)注出了一些选学内容。根据学时和需要，教师可自行决定选择其中哪些内容。

目录

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作者介绍

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文摘

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序言

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《现代数学概论》 导言：数字的奇妙世界与逻辑的严谨构建 在人类文明漫长的探索历程中，数学始终扮演着至关重要的角色。它不仅是理解宇宙运行规律的基石，更是推动科技进步、社会发展的强大引擎。从古老的几何测量到现代的量子计算，数学的触角无处不在。本书《现代数学概论》旨在带领读者走进一个广阔而深邃的数学世界，揭示隐藏在数字、图形和逻辑背后的精妙结构与深刻思想。我们并非要深入探讨某一特定数学分支的复杂理论，而是试图勾勒出一幅现代数学的全景图，展现其核心概念、发展脉络以及在各个领域的影响力。 本书的编排力求清晰流畅，循序渐进。我们将从最基础的数理概念出发，逐步引入更抽象、更高级的数学工具，并展示它们如何相互关联，共同构建起现代数学的宏伟殿堂。我们强调的是理解数学的“为什么”和“是什么”，而非 rote learning（死记硬背）。通过生动形象的例子、恰当的比喻以及必要的逻辑推理，我们希望激发出读者对数学的兴趣，培养其严谨的逻辑思维能力和解决问题的创新能力。 第一章：数的扩展与代数的萌芽——从自然数到抽象结构 数的概念是数学的起点，也是人类认识世界的第一步。本章将回顾数的历史演变，从最直观的自然数，到整数、有理数、实数，直至我们熟悉但又充满未知的复数。我们将探讨每一种数的扩展所带来的数学上的便利与哲学上的深刻意义。例如，负数的引入解决了减法运算中的许多问题，无理数的发现打破了古希腊人对数论的固有认知，而复数的出现则在代数方程求解方面打开了全新的局面。 在此基础上，我们将初步接触代数的思想。代数不仅仅是符号的运算，它更关注的是运算的规律和结构的共性。我们将探讨方程的概念，理解等式的意义，并介绍一些基本的代数方程的求解方法。这里的重点将放在代数思想的形成过程，以及它如何为后续更复杂的数学结构打下基础。我们将看到，通过引入字母和符号，数学家们能够更抽象地描述和解决问题，这为数学的飞跃式发展奠定了基础。 第二章：空间之魅——几何学的演进与非欧世界的探索 几何学是另一门古老而迷人的数学分支，它描绘了我们所处的空间。本章将从欧几里得几何学这一经典体系出发，回顾其公理化思想的伟大成就，以及其在测量、建筑、天文学等领域的广泛应用。我们将深入理解点、线、面、角等基本概念，以及它们之间的关系。 然而，数学的发展从不停止。本章的另一重要部分将是介绍非欧几里得几何学的诞生。爱因斯坦的相对论等现代物理学的重大突破，正是建立在对欧几里得几何学的深刻反思和非欧几何学的理解之上。我们将探讨平行公理的独立性问题，以及它是如何导致了球面几何、双曲几何等全新几何学体系的出现。这种对空间概念的拓展，不仅丰富了数学的内涵，也极大地影响了我们对宇宙结构的认知。我们将通过直观的例子，帮助读者理解这些抽象的几何空间。 第三章：集合的语言——构建现代数学的基础 在现代数学中，集合论扮演着“万物之母”的角色。本章将引入集合的基本概念，包括集合的定义、元素、子集、并集、交集、差集等基本运算。我们将看到，几乎所有的数学对象，无论是数字、函数，还是空间中的点，都可以用集合来描述和定义。 集合论的引入，为数学提供了一种统一的语言和严谨的逻辑基础。我们将探讨一些重要的集合，如自然数集、整数集、实数集等，并理解它们之间的包含关系。此外，本章还将触及集合的基数概念，这为我们理解无限集合的大小提供了工具，并引导我们思考无穷的奥秘。通过学习集合论，读者将为后续更深入的数学学习打下坚实的基础，并领略数学的抽象之美。 第四章：逻辑的基石——证明的力量与数学推理 数学的生命力在于其严谨性，而严谨性的核心在于逻辑推理和证明。本章将专注于数学证明的思想和方法。我们将从最简单的命题和逻辑联结词出发，理解什么是数学真理，以及如何通过逻辑推理来验证数学命题的正确性。 我们将介绍几种常见的证明方法，例如直接证明、反证法、数学归纳法等。通过分析一些经典的数学证明案例，读者将亲身体验数学推理的魅力，并学会如何构建一个严谨的数学证明。理解证明的意义，不仅仅是掌握一种技巧，更是培养一种严谨的思维方式，这对于解决各种复杂问题都至关重要。本章旨在让读者认识到，数学不仅仅是一堆公式和计算，更是一种基于逻辑推理的智慧活动。 第五章：函数的世界——映射、变化与关系 函数是现代数学中最核心、最普遍的概念之一。本章将带领读者走进函数的世界，理解函数作为一种“输入-输出”的映射关系。我们将探讨函数的定义、定义域、值域、单调性、奇偶性等基本性质。 我们将介绍各种常见的函数类型，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等，并理解它们各自的图像特征和应用场景。函数是描述变化和关系的有力工具，在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。本章将侧重于理解函数的核心思想，以及如何利用函数来刻画现实世界中的各种现象。 第六章：概率的尺度——不确定性中的规律 在我们的生活中，不确定性无处不在。概率论正是研究和量化这种不确定性的科学。本章将从概率的基本概念出发，介绍事件、概率的定义、概率的基本性质以及一些基本的概率计算方法。 我们将探讨条件概率、独立事件等重要概念，并通过一些生动有趣的例子，如抛硬币、掷骰子，来加深对概率的理解。概率论的应用范围极其广泛，从统计推断到风险评估，从金融建模到机器学习，都离不开概率的理论支持。本章旨在让读者认识到，即使面对随机性，我们也能从中发现规律，并做出更明智的决策。 第七章：数据与统计——从信息到洞察 在信息爆炸的时代，数据的价值日益凸显。统计学则是从数据中提取有用信息、揭示事物规律的科学。本章将介绍统计学的基本概念，包括数据的收集、整理、描述和分析。 我们将学习如何计算均值、方差、标准差等描述性统计量，以及如何利用图表（如直方图、散点图）来直观地展示数据特征。此外，本章还将初步介绍统计推断的基本思想，如样本与总体的关系，以及如何根据样本信息对总体做出合理的推断。统计学让我们能够更科学地理解和利用数据，从而做出更准确的判断和预测。 第八章：算法的思考——计算的逻辑与效率 随着计算机科学的飞速发展，算法的思想已经渗透到我们生活的方方面面。本章将从算法的基本概念出发，探讨什么是算法，以及如何设计和分析算法。 我们将介绍一些基础的算法思想，如排序、查找等，并讨论算法的效率问题，即时间和空间复杂度。理解算法不仅是学习如何编写程序，更是培养一种将问题分解、逻辑化、系统化解决的思维模式。算法思维是现代社会的核心竞争力之一，它让我们能够更有效地处理信息和解决问题。 第九章：数学的边界与未来——未解之谜与交叉学科 数学的魅力不仅在于其已有的辉煌成就，更在于其不断拓展的边界和未知的领域。本章将简要回顾数学史上的几个重要未解之谜，例如哥德巴赫猜想、黎曼猜想等，并介绍它们的研究意义。 同时，我们将探讨数学与其他学科的交叉融合，例如数学与物理学的协同发展，数学在生物学、经济学、社会学等领域的应用。现代数学正朝着更加抽象、更加综合的方向发展，各种新兴的数学分支也在不断涌现。本章旨在展望数学的未来，激发读者对数学更深层次的思考和探索。 结语：数学思维的塑造与终身学习 《现代数学概论》希望为读者打开一扇通往数学世界的大门。我们相信，数学并非高不可攀的学科，而是逻辑、美感与力量的结合。通过理解本书所介绍的核心概念和思想，读者不仅能够对现代数学有一个初步的认识，更重要的是，能够培养一种严谨、抽象、善于发现规律的数学思维。 数学思维是一种解决问题的强大工具，它能够帮助我们更清晰地分析问题，更有效地找到解决方案，并更富有创造性地应对挑战。无论您未来的职业方向是什么，拥有良好的数学思维都将为您带来巨大的优势。 我们鼓励读者在阅读本书后，能够继续探索自己感兴趣的数学领域，进行更深入的学习。数学的学习是一个持续的过程，每一次的理解都会带来新的启示。愿本书能够点燃您对数学的热情，成为您在知识海洋中探索的起点。

评分☆☆☆☆☆

这本《高等代数》的编排结构也相当合理，它似乎是为那些希望深入理解数学理论的读者量身定制的。开篇的集合论和逻辑基础部分，虽然看似基础，却为后续所有章节的理解奠定了必要的语言和工具。紧接着，作者将线性代数中的核心概念，如向量空间、线性变换、特征值和特征向量等，进行了系统性的梳理和拓展，这对于我这种有一定线性代数基础的人来说，是一次很好的巩固和提升。我发现，作者在讲解线性代数时，非常注重从几何直观出发，用向量的旋转、伸缩等操作来类比线性变换，这使得原本抽象的概念变得生动起来。进入到抽象代数部分，对群、环、域的介绍，循序渐进，从最简单的例子入手，逐步过渡到更复杂的结构。书中关于有限群的分类，以及有限域的构造，都给我留下了深刻的印象，让我体会到了数学的美妙和力量。

评分☆☆☆☆☆

从阅读体验上来说，这本《高等代数》的语言风格相当独特。它不像一些教科书那样枯燥乏味，而是带有一种思考的深度和探索的乐趣。作者在阐述定理和证明时，常常会穿插一些历史典故或者数学家的思想火花，这使得阅读过程充满了人文气息。例如，在介绍群论的起源时，作者回顾了高斯、拉格朗日等数学家在早期代数研究中的贡献，让我对数学的发展历程有了更直观的认识。此外，书中对某些证明的给法也别具匠心，并非总是给出最简洁的推导，而是会提供几种不同的思路，让读者有机会从不同角度理解问题的本质。我尤其喜欢的是书中关于同态和同构的讲解，作者通过类比函数映射的性质，将抽象的代数结构之间的关系形象化。虽然某些章节的难度较大，需要反复阅读和思考，但这种沉浸式的学习过程，让我收获颇丰，感觉自己不仅仅是在学习知识，更是在参与一场智力的挑战。

评分☆☆☆☆☆

从另一个角度来看，这本《高等代数》就像一位严谨而循循善诱的老师，它不会轻易放过任何一个细节。在讲解群的定义和性质时，作者花了相当大的篇幅来解释“封闭性”、“结合律”、“单位元”和“逆元”这些基本要素的重要性，并且通过大量的例子来阐述不同群的结构特征。例如，关于置换群的介绍，不仅仅停留在理论层面，还详细分析了不同置换的构成及其对集合的影响，这让我对置换的理解上升了一个层次。接着，在进入到环和域的讨论时，作者同样保持了这种严谨性，对加法和乘法的分配律、交换律等性质进行了细致的剖析，并且引入了理想、商环等关键概念。我特别欣赏书中关于理想的讲解，它将抽象的理想概念与具体的模运算联系起来，使得理解商环的结构变得更加容易。虽然有时候会觉得某些证明略显冗长，但正是这种细致入微的讲解，才让我能够扎实地掌握每一个知识点，避免了“知其然而不知其所以然”的困境。

评分☆☆☆☆☆

说实话，在拿起这本书之前，我对于“高等代数”这个名词总是带有一些畏惧感，觉得它离实际应用太远。然而，这本书彻底改变了我的看法。它并没有将自己局限于纯粹的理论推导，而是巧妙地融入了一些与计算机科学、密码学甚至物理学相关的应用背景。例如，在讲解群论时，作者提到了其在编码理论中的应用，说明了如何利用群的结构来设计纠错码。在关于多项式环的部分，也涉及到了有限域在密码学中的重要作用，比如RSA加密算法就离不开有限域的运算。这种将理论与实际相结合的教学方式，极大地提升了我的学习积极性。我开始意识到，这些看似抽象的数学概念，其实是支撑现代科技发展的重要基石。虽然有些应用部分的介绍篇幅有限，但足以让我窥见高等代数在现实世界中的广泛影响力，这是一种非常令人振奋的体验。

评分☆☆☆☆☆

这本《高等代数》给我留下了深刻的印象，虽然我之前对抽象代数的基础理论并非完全陌生，但这本书的讲解方式依然带来了不少惊喜。作者在引入群论、环论和域论等核心概念时，并没有直接堆砌定义和定理，而是从一些直观的例子出发，比如对称群在几何中的应用，或者整数环的性质，让读者能够逐步体会到这些抽象概念的实际意义和深刻内涵。我尤其喜欢的是其中关于伽罗瓦理论的章节，作者通过精心设计的例题，将抽象的群论工具巧妙地应用于解决多项式的根式可解性问题，这种将抽象理论与具体问题相结合的处理方式，极大地激发了我学习的兴趣。书中对线性代数部分的回顾和延伸也相当到位，将向量空间的抽象性质与矩阵运算紧密联系起来，为理解后续更复杂的代数结构打下了坚实的基础。虽然阅读过程中遇到过一些需要反复揣摩的证明，但每当我克服一个难点，都有一种豁然开朗的感觉，这种学习体验是其他许多教科书难以比拟的。