中科大 解析幾何競賽讀本 蔡玉書 中國科學技術大學齣版社 高考數學 中學生高中數學聯賽解析幾何題型解 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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齣版社： 中國科學技術大學齣版社

ISBN：9787312040603

商品編碼：28301183308

叢書名： 解析幾何 競賽讀本

 

 

解析幾何競賽讀本

作者:蔡玉書

齣版社:中國科學技術大學齣版社

齣版時間:2017年08月 

版 次：1

頁 數：

字 數：550000

印刷時間：2017年08月01日

開 本：16開

紙 張：膠版紙

包 裝：平裝

ISBN：9787312040603

定價：58.00元

內容簡介

全書詳細介紹數學聯賽中解析幾何的題型和解題方法.解析幾何的基本內容包括：直綫和圓、圓錐麯綫、參數方程和極坐標、軌跡問題、圓錐麯綫的切綫和極綫問題；基本題型包括：圓錐麯綫性質的研究、圓錐麯綫的值問題；解題技巧包括：平麵幾何性質的使用、圓錐麯綫有關直徑性質的使用、點差法的使用、兩條直綫閤成技巧的使用、麯綫係方程的使用.本書還對解析幾何中一般圓錐麯綫的性質進行瞭深入研究，這些可以用於命題研究和試題研究.作為本書的新亮點,第10章對平麵幾何競賽試題的解析法證明進行瞭充分的展示.本書內容豐富,方法多樣,習題充足,可作為參加全國高中數學聯賽的中學生復習解析幾何的用書,也可作為廣大數學奧林匹剋教練員進行高中數學聯賽考前輔導的教材，或高等院校數學係本科生和研究生選修數學競賽的參考書.

目錄

前言

第1章直綫和圓

例題選講

練習題

第2章圓錐麯綫

例題選講

練習題

第3章圓錐麯綫參數方程的應用

例題選講

練習題

第4章圓錐麯綫極坐標方程的應用

例題選講

練習題

第5章解析幾何中的軌跡問題

例題選講

練習題

第6章解析幾何中的值問題

例題選講

練習題

第7章圓錐麯綫中與切綫相關的問題

例題選講

練習題

第8章圓錐麯綫統一直角坐標方程的應用

例題選講

練習題

第9章解析幾何解題技巧的研究

例題選講

練習題

第10章平麵幾何問題解析法證明

例題選講

練習題

附錄習題解答

第1章

第2章

第3章

第4章

第5章

第6章

第7章

第8章

第9章

第10章

參考文獻

 

 

 

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經典數學著作導覽：聚焦高中與競賽的解析幾何之光 本書旨在為廣大高中生、數學愛好者以及準備參與各項數學競賽（尤其是高中數學聯賽）的學員，提供一份係統、深入且極具針對性的解析幾何學習指南。本書的編寫核心理念在於，將理論的嚴謹性與解題的實用性緊密結閤，力求突破傳統教材的深度和廣度，直擊競賽對解析幾何知識的考察精髓。 本書的結構規劃嚴謹，內容覆蓋麵廣，旨在構建一個清晰、遞進的學習路徑。它並非對現有中學解析幾何教材的簡單重復，而是立足於更高階的數學視野，對二維和三維空間中的點、直綫、圓錐麯綫（橢圓、拋物綫、雙麯綫）以及進階的立體幾何（直綫、平麵、二次麯麵初步）進行深度剖析。 第一部分：基礎的再夯實與深化——從坐標係到二次麯綫的本質洞察 本書的開篇部分，將從最基礎的笛卡爾坐標係入手，但視角會立即提升。我們不會停留在簡單的距離公式和中點公式上，而是深入探討坐標變換（如平移、鏇轉）對幾何性質的內在影響。重點剖析鏇轉坐標係如何簡化對特定麯綫的方程錶示，這是解決競賽中涉及斜角或非標準定位問題的關鍵技巧。 直綫與圓的深化處理： 直綫方程的多種形式及其應用： 不僅涵蓋點斜式、斜截式，更側重於參數方程和嚮量形式在處理綫段中點、垂直關係和角度問題時的效率優勢。 圓的性質與最值問題： 強調圓的幾何定義在解析法中的體現，特彆是利用圓的參數方程解決與切綫、弦長、範圍確定的最優化問題，以及圓與圓之間的關係（公切綫、相交性）。 圓錐麯綫的本質揭示與標準化： 這是本書的核心內容之一。我們對待橢圓、拋物綫和雙麯綫的態度是“超越方程，直擊定義”。 1. 焦點、準綫、離心率的統一視角： 深入解析圓錐麯綫的幾何生成過程，強調“到定點距離與到定直綫距離之比為常數”這一核心定義，並推導齣標準方程。 2. 共軛軸與輔助圓： 引入輔助工具，如橢圓的“輔圓”概念，用於簡化切綫斜率、弦的中點問題，以及判斷點與麯綫的位置關係。 3. 參數方程的威力： 詳細介紹三種麯綫的參數方程，並展示如何利用三角函數或雙麯函數來統一處理麯綫上的點，極大地簡化瞭涉及角度或特定比例關係的計算。 第二部分：競賽熱點——弦、切、交、過 解析幾何競賽題目的絕大多數難點集中在處理麯綫上的“弦”及其“中點”、“切綫”以及“焦點弦”等問題上。本書將這一模塊拆解為若乾個專題，逐一攻破。 核心方法論——“設而不求”與“點差法”的精妙運用： 點差法（弦與中點）： 這是解決“已知弦中點，求弦所在的直綫族”問題的利器。本書將詳細闡述點差法的幾何意義，並給齣在不同麯綫（特彆是拋物綫和雙麯綫）上應用該方法的規範步驟，避免繁瑣的聯立求解。 斜率存在性分析： 針對競賽中常見的“斜率不存在”或“斜率趨於無窮”的邊界情況，本書提供專門的討論，確保解題的完備性。 焦點弦與通徑問題： 焦點弦的性質： 深入探討橢圓和雙麯綫中焦點弦的長度公式、中點坐標與焦點的關係。尤其關注拋物綫的焦點弦與其準綫的關係，這常常是快速鎖定答案的捷徑。 通徑的特殊性： 突齣拋物綫通徑的長度等於四個焦準距之和的結論，及其在求麵積、求定值問題中的應用。 切綫性質的綜閤考查： 本書對切綫問題的處理不再局限於求導（雖然導數法是現代解析幾何的重要工具），而是強調利用判彆式法（聯立判彆式等於零）和中點弦公式（點差法推導的切綫方程形式）。重點分析： 過麯綫上一點的切綫； 過麯綫上一點的切綫族（外一點引切綫）； 切綫的交點軌跡。 第三部分：高階技巧與空間想象力的培養——從二維到三維的過渡 為瞭滿足對更高難度聯賽（如省賽或更高階選拔）的要求，本書加入瞭對非標準解析幾何工具和基礎立體幾何中解析方法的介紹。 1. 嚮量法與解析幾何的融閤： 解析幾何的本質是幾何問題代數化的體現。本書提倡將空間嚮量的思想引入二維平麵，用嚮量的點乘（內積）和叉乘（外積的平麵化處理）來衡量角度和垂直關係，這比純粹的斜率運算更為直觀和簡潔。例如，利用嚮量法快速判斷兩條直綫的垂直性，或計算點到直綫的距離。 2. 極坐標與參數方程的高級應用： 在處理圓周運動或軌道問題時，極坐標往往比直角坐標係更具優勢。本書會展示如何將標準圓錐麯綫方程轉化為極坐標形式，並利用極坐標來解決涉及角度的定值或定點問題。 3. 立體幾何的解析基礎（入門）： 雖然本書主攻平麵解析幾何，但會提供必要的橋梁章節，介紹如何在三維空間中利用坐標係錶示點、直綫（方嚮嚮量）和平麵（法嚮量）。這部分內容服務於幫助讀者理解，解析幾何思想如何無縫擴展到立體幾何，為後續學習打下堅實基礎。重點講解平麵方程的構建和綫麵夾角、二麵角的嚮量計算方法。 本書特色總結 本書的價值在於其“以賽促學，以題帶點”的編排思路。它精選瞭大量曆年來不同省份和全國性數學競賽中涉及解析幾何的經典和變型題目，並對每道題進行瞭詳盡的“解題思路剖析”和“知識點提煉”。 我們緻力於： 方法係統化： 將零散的解題技巧歸納為清晰的模塊（如“點差法應用集錦”、“參數方程在最值中的地位”）。 思維可視化： 強調在代數運算過程中，始終保持對幾何圖形的想象，避免陷入純粹的數字運算泥潭。 難度適中偏上： 內容難度設定在對現有教材知識點已經掌握，但希望在競賽中取得突破的學生的水平之上，是提升解題速度和準確率的理想讀物。 通過研習本書，讀者將不僅掌握解析幾何的計算技巧，更重要的是，能夠領悟幾何與代數相互轉化的深刻哲學，從而在任何涉及平麵幾何分析的數學挑戰中遊刃有餘。

評分☆☆☆☆☆

作為一名對高中數學競賽，尤其是解析幾何闆塊有濃厚興趣的學生，我發現這本書的深度和廣度都遠超齣瞭普通教材的要求。它真正做到瞭“競賽”級彆，很多在學校課堂上老師都很少提及的技巧和陷阱，這本書都一一揭示瞭。例如，關於圓錐麯綫的判定定理和特殊性質的挖掘，書裏提供瞭非常多巧妙的視角，讓我對這些經典圖形的內在聯係有瞭更深刻的認識。我特彆欣賞它在處理那些“邊緣情況”時所展現齣的嚴謹性，這些往往是區分普通選手和優秀選手的關鍵。讀完這本書，我感覺自己看問題的角度變刁鑽瞭，不再滿足於錶麵的計算，而是去探究背後的幾何結構。這對於提高解題速度和準確率，無疑是一劑強心針。

評分☆☆☆☆☆

這本書在解析幾何的學習方法上給瞭我耳目一新的感覺。它不僅僅是羅列公式和例題，而是深入剖析瞭不同題型的本質，引導讀者去理解幾何直覺與代數運算之間的橋梁。特彆是對於那些看似復雜的空間問題，作者總能用一種非常直觀的方式將它們轉化為易於處理的代數模型。我記得有一次我在一個關於橢圓焦點問題的卡殼瞭很久，按照傳統的解法總是繞不齣來，但翻閱這本書的相應章節後，我豁然開朗，原來可以用嚮量法來巧妙地避開繁瑣的坐標計算。這種思維上的啓迪遠比單純掌握一道題目的解法要寶貴得多。它教會瞭我如何去構建數學模型，如何靈活運用不同的工具箱來解決同一個問題，這對於我後續準備更高級的數學競賽非常有幫助。這本書的編排邏輯也非常嚴謹，從基礎概念的鋪墊到復雜定理的深入探討，層層遞進，讓人感到紮實和自信。

評分☆☆☆☆☆

這本書的閱讀體驗非常流暢，即便是一些相對抽象的概念，作者也能通過生動的語言和精選的配圖來闡釋清楚。很多時候，教材的文字會顯得乾巴巴、枯燥乏味，讓人難以投入，但這本書的行文風格充滿瞭對數學美的追求，讀起來更像是在欣賞一場精心編排的數學魔術。對於我這種偏好通過實例來鞏固理論的學習者來說，書中的例題選擇非常具有代錶性，它們不僅涵蓋瞭曆年經典賽事的題型，還對解題步驟進行瞭詳盡的分析和批注，指齣瞭每一步推理的邏輯依據。我感覺自己不是在被動地接受知識，而是在與一位經驗豐富的導師進行深入的交流和探討，這種沉浸式的學習過程，極大地提升瞭我的學習效率。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，這本書的難度是偏高的，它顯然是為那些有一定基礎、目標是衝擊更高層次數學競賽的同學準備的。它沒有刻意去“迎閤”初學者，而是直麵瞭解析幾何中最具挑戰性的那部分內容。書中對於某些高級定理的引入和推導過程，展現瞭作者深厚的學術功底。這對我來說既是挑戰也是動力，每攻剋一個難點，成就感都特彆強。它更像是一本“進階手冊”而非“入門指南”。通過這本書的訓練，我發現自己對數學的理解不再停留在公式的錶麵，而是開始觸及到更深層次的幾何構型與代數錶達的對偶關係。這對於培養一種成熟的數學傢思維，是至關重要的。

評分☆☆☆☆☆

我必須強調這本書在係統性上的優勢。解析幾何的學習，最怕的就是東一榔頭西一棒子，知識點散亂不成體係。然而，這本書的章節劃分非常清晰，它構建瞭一個完整的知識框架，從二維到三維，從直綫到圓錐麯綫，每一步都緊密相連，邏輯鏈條完整無缺。特彆是對於如何將復雜的空間解析幾何問題降維處理的技巧，這本書提供瞭非常係統的訓練。它沒有迴避那些計算量大的題目，而是教會你如何“化繁為簡”，如何預見計算中的難點並提前布局。我之前在學習空間嚮量與立體幾何的交叉部分時總感到吃力，但讀瞭這本書後，感覺像是打通瞭任督二脈，所有的知識點都串聯起來，形成瞭一個堅固的知識網絡。