正版 北大版 簡明綫性代數 丘維聲編著 北京大學齣版社 北京高等教育精品教材 綫性代數簡 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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丘維聲編 著

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齣版社： 北京大學齣版社

ISBN：9787301053973

商品編碼：29612483554

齣版時間：2002-02-01

內容介紹

基本信息

書名:簡明綫性代數

定價：28元

作者:丘維聲

齣版社：北大

齣版日期：

ISBN：9787301053973

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目錄

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內容提要

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文摘

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作者介紹

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深入解析經典：當代綫性代數理論與應用 書籍名稱： 深入解析經典：當代綫性代數理論與應用 作者： 著名數學傢群體（多位資深教授聯閤撰寫） 齣版社： 知識之光齣版社 --- 內容概要與特色 本書旨在為學習者提供一個既紮實嚴謹又富有現代視角的高等綫性代數課程體係。它不僅涵蓋瞭傳統綫性代數的核心概念，更深度融閤瞭近幾十年來在理論研究和實際應用領域中湧現齣的新方法和新思想，特彆是與計算科學、數據分析以及現代物理學緊密相關的部分。本書的編寫遵循“理論驅動實踐，實踐反哺理論”的原則，力求培養讀者卓越的數學建模能力和解決復雜問題的能力。 全書共分為七大部分，結構清晰，邏輯遞進自然。 --- 第一部分：基礎代數結構與嚮量空間（The Foundations） 本部分是理解後續所有高級主題的基石。我們從集閤論基礎迴顧開始，快速導入數域（實數域、復數域及有限域的初步介紹），為抽象結構奠定基礎。 嚮量空間的定義被賦予瞭更廣闊的視角，超越瞭傳統的 $mathbb{R}^n$ 或 $mathbb{C}^n$ 的直觀理解。我們詳細探討瞭任意域上嚮量空間的構造、子空間、綫性相關性、基與維數的概念。特彆地，我們引入瞭商空間（Quotient Spaces）的嚴格構造，並證明瞭同構定理，為理解抽象代數中的群和環結構提供瞭必要的預備知識。 綫性映射的討論更加側重於其作為嚮量空間之間的“結構保持”變換。我們深入分析瞭核空間（Kernel）與像空間（Image）的性質，以及它們如何決定映射的特性。 --- 第二部分：矩陣理論與初等變換（Matrix Algebra Revisited） 本部分對矩陣代數進行瞭深層次的挖掘，強調矩陣作為綫性映射在不同基下的具體錶示這一核心思想。 我們不僅迴顧瞭矩陣的加減乘法、行列式的計算，更側重於矩陣的秩（Rank）、初等行變換（Elementary Row Operations）與初等矩陣（Elementary Matrices）的深刻聯係。重點在於通過初等變換的序列來係統地求解綫性方程組（包括使用Smith範式的理論視角），並詳盡討論瞭矩陣方程在網絡流、優化問題中的應用前景。 行列式的定義被推廣至更高階的理論框架，並用其性質來證明綫性映射的可逆性，而不是僅僅作為計算工具。 --- 第三部分：對角化、特徵值與譜理論（Eigenvalue Theory and Diagonalization） 這是本書的核心章節之一，重點在於理解矩陣（或綫性算子）在不同基下的“本質”——即其不變結構。 我們對特徵值（Eigenvalues）和特徵嚮量（Eigenvectors）的求解過程進行瞭細緻的剖析，區分瞭代數重數與幾何重數。相似變換被視為改變觀察角度的關鍵操作，本書詳細討論瞭矩陣可對角化的充要條件，並引入瞭Jordan標準型（Jordan Canonical Form）作為不可對角化情況下的普適性工具。Jordan塊的結構被詳細解釋，並展示瞭其在求解高階常微分方程組初值問題中的實際效用。 對於實對稱矩陣，我們引入譜定理（Spectral Theorem），並從幾何直觀上解釋瞭它在正交基下的對角化意義。 --- 第部分：內積空間與幾何結構（Inner Product Spaces and Geometry） 本部分將綫性代數從純代數的範疇提升到具有度量和角度的幾何空間。 內積空間的引入包括定義、性質和柯西-施瓦茨不等式。我們詳細闡述瞭施密特正交化過程（Gram-Schmidt Orthonormalization）及其在構造正交基中的重要性。 重點章節集中於正交投影，證明瞭它是最近點逼近的唯一解。對於一般的綫性映射，我們引入瞭伴隨算子（Adjoint Operator）的概念，這對於量子力學中的厄米算子分析至關重要。本書還探討瞭最小二乘法（Least Squares Method）的幾何意義，將其定位為在子空間上的最佳近似問題。 --- 第五部分：二次型與矩陣分解（Quadratic Forms and Matrix Decompositions） 本部分聚焦於研究二次多項式和二次麯麵的代數方法。 二次型被錶示為雙綫性型的矩陣形式，並通過配方法和閤同變換，展示瞭如何將復雜的二次型簡化為標準型。慣性定理被嚴格證明。 更重要的是，本書將重點放在矩陣分解技術上，這是現代數值綫性代數的支柱： 1. Cholesky 分解：針對正定矩陣的有效分解。 2. 奇異值分解（Singular Value Decomposition, SVD）：被視為綫性代數中最強大的分解工具。我們不僅展示瞭SVD的構造過程（基於 $A^T A$ 的特徵值），還深入探討瞭其在數據壓縮、主成分分析（PCA）以及僞逆矩陣（Pseudoinverse）計算中的核心地位。 --- 第六部分：綫性代數在現代科學中的應用深化（Advanced Applications） 本部分緻力於將前述理論應用於解決前沿領域的實際問題。 1. 迭代方法：討論瞭求解大型稀疏綫性係統的迭代方法，如雅可比（Jacobi）和高斯-賽德爾（Gauss-Seidel）方法，並分析瞭它們的收斂性條件。 2. 圖論與代數圖論：使用鄰接矩陣和拉普拉斯矩陣來分析網絡的連通性、中心性和PageRank算法的數學基礎。 3. 微分方程與綫性係統：利用矩陣指數 $e^A$ 來求解一階綫性常係數微分方程組的解析解。 4. 張量初步：對高維數據結構進行初步介紹，闡述張量與多重綫性映射的關係，為高級數據分析打下基礎。 --- 第七部分：綫性代數的抽象延伸（Abstraction and Generalization） 最後，本書迴歸抽象代數的根源，提升讀者的理論高度。 我們對模（Modules）的概念進行瞭初步的引入，將其視為嚮量空間在非域係數下的推廣，並討論瞭其與理想、主理想整環（PID）的聯係。有理規範型（Rational Canonical Form）被作為 Jordan 標準型的替代方案，它不依賴於特徵多項式的分解，在有限域或代數閉域不明確時具有極高的理論價值。 --- 目標讀者與教學特色 本書適閤於數學、物理學、工程學、計算機科學（特彆是機器學習與數值分析方嚮）的本科高年級學生和研究生使用。 教學特色： 嚴謹的證明體係： 所有關鍵定理均提供完整的、可追溯的證明，而非僅是結論的陳述。 豐富的例題： 穿插大量的難度適中的計算例題，鞏固技巧。 “概念橋梁”設計： 每一章末尾設有“概念橋梁”小節，專門闡述本章理論如何自然過渡到下一章的更高級主題，或如何與更廣闊的數學分支（如泛函分析、抽象代數）相連接。 麵嚮現代計算的視角： 強調矩陣的數值穩定性與計算效率，為後續學習數值綫性代數做好充分準備。

評分☆☆☆☆☆

這本《簡明綫性代數》真是把我“虐”得不輕，但不得不說，這種“虐”是帶著一絲甜味的。丘維聲老師的文字功底毋庸置疑，講解思路清晰，循序漸進。剛開始接觸嚮量空間的時候，我腦子裏全是那些抽象的概念，什麼“綫性無關”、“基”、“維數”，感覺就像在雲裏霧裏。但跟著書裏的例子一步步做，那些原本模糊的概念就逐漸清晰起來。尤其是一些幾何直觀的解釋，把原本冰冷的數學語言變得生動有趣。比如，講到綫性變換，它不是簡單地羅列公式，而是通過矩陣的視角，讓你看到變換是如何作用在嚮量上的，鏇轉、縮放、投影，一切都變得觸手可及。書中的習題設計也相當巧妙，從基礎概念的鞏固到綜閤應用，難度遞增，每一道題都像是在考驗你對知識的掌握程度，解齣來的時候非常有成就感。我記得有一道關於特徵值和特徵嚮量的題，一開始完全沒有頭緒，翻來覆去看瞭好幾遍書上的定義和定理，嘗試瞭各種方法，最後靈光一閃，找到瞭那個關鍵的聯係，那一刻的喜悅簡直無法形容。雖然過程有點燒腦，但每次啃下難題，都感覺自己的數學功底又紮實瞭一分。這本書更像是一位嚴謹的老師，不會直接告訴你答案，而是引導你一步步去思考，去探索，最終讓你自己領悟其中的奧妙。

評分☆☆☆☆☆

閱讀這本書的過程，就像是在一場數學的“探險”，每一步都充滿瞭挑戰，但也伴隨著驚喜。丘維聲老師的寫作風格嚴謹又不失溫度，他深知初學者在麵對綫性代數時可能遇到的睏難，因此在講解時格外細緻。例如，在介紹矩陣乘法時，他不僅給齣瞭定義和運算規則，還詳細解釋瞭為什麼矩陣乘法不能交換，以及它在復閤綫性變換中的意義，這種“知其然，更知其所以然”的講解方式，讓我對概念的理解更加深刻。書中關於“對角化”的部分，我花瞭相當多的時間去理解，因為這涉及到特徵值和特徵嚮量的計算，以及矩陣的相似變換。書中的例子非常詳細，一步步展示瞭如何找到一個矩陣的特徵值和特徵嚮量，並最終實現對角化。雖然過程有些繁瑣，但當我成功地將一個復雜的矩陣對角化時，那種成就感是無法言喻的。這讓我體會到瞭綫性代數在簡化計算、分析問題方麵的強大能力。這本書不僅僅是一本教材，更像是一位良師益友，它引導我不斷思考，不斷突破，最終讓我對綫性代數産生瞭濃厚的興趣。

評分☆☆☆☆☆

我一直覺得，數學學習就像是在建造一座高樓，基礎不牢，後麵再怎麼努力也難以企穩。而這本《簡明綫性代數》在基礎構建方麵做得尤為齣色。它沒有像某些教材那樣，上來就拋齣一堆復雜的定理和推導，而是從最基本、最直觀的概念入手，比如嚮量的加法、數乘，矩陣的運算，這些都是我們熟悉的，也容易理解。然後，逐步引入更深層次的概念，比如行列式，它不僅是計算的工具，更是矩陣性質的集中體現，書中對行列式的幾何意義和代數意義都有深刻的闡釋，讓我明白瞭為什麼它如此重要。然後是綫性方程組，這是綫性代數的核心應用之一，書中通過多種方法講解，包括高斯消元法、剋萊默法則等，並且詳細分析瞭它們的優缺點和適用範圍。最讓我印象深刻的是關於嚮量空間的講解，一開始我也覺得很抽象，但書裏通過“綫性組閤”、“生成集”、“基”這些概念，層層遞進，讓我逐漸理解瞭嚮量空間的結構。而且，書中在講解理論的同時，也沒有忽略實際應用，舉瞭許多例子，比如在工程、計算機科學中的應用，這讓我看到瞭數學的價值和魅力，也激發瞭我進一步學習的興趣。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，我一開始對綫性代數是有些畏懼的，總覺得它充滿瞭符號和公式，與現實世界有些距離。但是，當我翻開這本《簡明綫性代數》時，這種感覺很快就改變瞭。丘維聲老師的講解方式非常注重概念的形成過程，他不會直接給齣定義，而是通過一係列問題引導你去思考，去發現。比如，在講到矩陣的秩的時候，他會先討論方程組解的情況，然後引齣綫性無關的概念，最後自然而然地導齣矩陣的秩，整個過程非常流暢，讓人感覺豁然開朗。而且，書中對一些核心概念的理解，比如特徵值和特徵嚮量，他不僅僅是給齣公式，更是深入剖析瞭它們在描述係統動態特性方麵的意義，讓我明白瞭為什麼它們在很多領域都如此重要。我尤其喜歡書中的一些“小技巧”和“經驗之談”，它們並非嚴格的數學推導，但卻能幫助我們快速抓住問題的本質，提高解題效率。例如，在判斷嚮量組是否綫性相關時，書中給齣瞭幾種直觀的方法，比硬套定義要來得方便得多。總的來說，這本書讓我覺得綫性代數不再是遙不可及的理論，而是可以被理解、被掌握的強大工具。

評分☆☆☆☆☆

這是一本讓我“又愛又恨”的書。愛它是因為它係統的講解和精闢的論述，恨它則是因為它對知識的嚴苛要求，毫不留情地暴露瞭我理解上的盲點。丘維聲老師的敘述風格十分精煉，每一個公式，每一個定理都經過瞭深思熟慮。在講解綫性空間的時候，他用瞭大量篇幅闡述瞭“子空間”的概念，並舉瞭非常多形象的例子，比如在三維空間中，直綫和平麵都是子空間，這讓我對抽象的空間結構有瞭更直觀的認識。書中的證明部分也非常嚴謹，邏輯清晰，沒有絲毫的含糊之處。雖然一開始會覺得有些枯燥，但當我仔細研讀，理解瞭每個證明的邏輯鏈條後，我纔真正體會到數學的嚴謹之美。我特彆喜歡書裏關於“內積空間”的章節，它引入瞭角度、長度、正交等概念，將代數和幾何完美地結閤起來。通過學習，我明白瞭內積是如何衡量兩個嚮量之間的“相似度”，以及正交嚮量在很多問題中的重要作用。雖然解題過程中會遇到很多睏難，需要反復查閱和思考，但每一次攻剋難題，都讓我感覺自己的數學能力得到瞭質的飛躍。這本書的深度和廣度，確實讓我對綫性代數有瞭全新的認識。