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丘维声编 著

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出版社： 北京大学出版社

ISBN：9787301053973

商品编码：29612483554

出版时间：2002-02-01

内容介绍

基本信息

书名:简明线性代数

定价：28元

作者:丘维声

出版社：北大

出版日期：

ISBN：9787301053973

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内容提要

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文摘

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作者介绍

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深入解析经典：当代线性代数理论与应用 书籍名称： 深入解析经典：当代线性代数理论与应用 作者： 著名数学家群体（多位资深教授联合撰写） 出版社： 知识之光出版社 --- 内容概要与特色 本书旨在为学习者提供一个既扎实严谨又富有现代视角的高等线性代数课程体系。它不仅涵盖了传统线性代数的核心概念，更深度融合了近几十年来在理论研究和实际应用领域中涌现出的新方法和新思想，特别是与计算科学、数据分析以及现代物理学紧密相关的部分。本书的编写遵循“理论驱动实践，实践反哺理论”的原则，力求培养读者卓越的数学建模能力和解决复杂问题的能力。 全书共分为七大部分，结构清晰，逻辑递进自然。 --- 第一部分：基础代数结构与向量空间（The Foundations） 本部分是理解后续所有高级主题的基石。我们从集合论基础回顾开始，快速导入数域（实数域、复数域及有限域的初步介绍），为抽象结构奠定基础。 向量空间的定义被赋予了更广阔的视角，超越了传统的 $mathbb{R}^n$ 或 $mathbb{C}^n$ 的直观理解。我们详细探讨了任意域上向量空间的构造、子空间、线性相关性、基与维数的概念。特别地，我们引入了商空间（Quotient Spaces）的严格构造，并证明了同构定理，为理解抽象代数中的群和环结构提供了必要的预备知识。 线性映射的讨论更加侧重于其作为向量空间之间的“结构保持”变换。我们深入分析了核空间（Kernel）与像空间（Image）的性质，以及它们如何决定映射的特性。 --- 第二部分：矩阵理论与初等变换（Matrix Algebra Revisited） 本部分对矩阵代数进行了深层次的挖掘，强调矩阵作为线性映射在不同基下的具体表示这一核心思想。 我们不仅回顾了矩阵的加减乘法、行列式的计算，更侧重于矩阵的秩（Rank）、初等行变换（Elementary Row Operations）与初等矩阵（Elementary Matrices）的深刻联系。重点在于通过初等变换的序列来系统地求解线性方程组（包括使用Smith范式的理论视角），并详尽讨论了矩阵方程在网络流、优化问题中的应用前景。 行列式的定义被推广至更高阶的理论框架，并用其性质来证明线性映射的可逆性，而不是仅仅作为计算工具。 --- 第三部分：对角化、特征值与谱理论（Eigenvalue Theory and Diagonalization） 这是本书的核心章节之一，重点在于理解矩阵（或线性算子）在不同基下的“本质”——即其不变结构。 我们对特征值（Eigenvalues）和特征向量（Eigenvectors）的求解过程进行了细致的剖析，区分了代数重数与几何重数。相似变换被视为改变观察角度的关键操作，本书详细讨论了矩阵可对角化的充要条件，并引入了Jordan标准型（Jordan Canonical Form）作为不可对角化情况下的普适性工具。Jordan块的结构被详细解释，并展示了其在求解高阶常微分方程组初值问题中的实际效用。 对于实对称矩阵，我们引入谱定理（Spectral Theorem），并从几何直观上解释了它在正交基下的对角化意义。 --- 第部分：内积空间与几何结构（Inner Product Spaces and Geometry） 本部分将线性代数从纯代数的范畴提升到具有度量和角度的几何空间。 内积空间的引入包括定义、性质和柯西-施瓦茨不等式。我们详细阐述了施密特正交化过程（Gram-Schmidt Orthonormalization）及其在构造正交基中的重要性。 重点章节集中于正交投影，证明了它是最近点逼近的唯一解。对于一般的线性映射，我们引入了伴随算子（Adjoint Operator）的概念，这对于量子力学中的厄米算子分析至关重要。本书还探讨了最小二乘法（Least Squares Method）的几何意义，将其定位为在子空间上的最佳近似问题。 --- 第五部分：二次型与矩阵分解（Quadratic Forms and Matrix Decompositions） 本部分聚焦于研究二次多项式和二次曲面的代数方法。 二次型被表示为双线性型的矩阵形式，并通过配方法和合同变换，展示了如何将复杂的二次型简化为标准型。惯性定理被严格证明。 更重要的是，本书将重点放在矩阵分解技术上，这是现代数值线性代数的支柱： 1. Cholesky 分解：针对正定矩阵的有效分解。 2. 奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）：被视为线性代数中最强大的分解工具。我们不仅展示了SVD的构造过程（基于 $A^T A$ 的特征值），还深入探讨了其在数据压缩、主成分分析（PCA）以及伪逆矩阵（Pseudoinverse）计算中的核心地位。 --- 第六部分：线性代数在现代科学中的应用深化（Advanced Applications） 本部分致力于将前述理论应用于解决前沿领域的实际问题。 1. 迭代方法：讨论了求解大型稀疏线性系统的迭代方法，如雅可比（Jacobi）和高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）方法，并分析了它们的收敛性条件。 2. 图论与代数图论：使用邻接矩阵和拉普拉斯矩阵来分析网络的连通性、中心性和PageRank算法的数学基础。 3. 微分方程与线性系统：利用矩阵指数 $e^A$ 来求解一阶线性常系数微分方程组的解析解。 4. 张量初步：对高维数据结构进行初步介绍，阐述张量与多重线性映射的关系，为高级数据分析打下基础。 --- 第七部分：线性代数的抽象延伸（Abstraction and Generalization） 最后，本书回归抽象代数的根源，提升读者的理论高度。 我们对模（Modules）的概念进行了初步的引入，将其视为向量空间在非域系数下的推广，并讨论了其与理想、主理想整环（PID）的联系。有理规范型（Rational Canonical Form）被作为 Jordan 标准型的替代方案，它不依赖于特征多项式的分解，在有限域或代数闭域不明确时具有极高的理论价值。 --- 目标读者与教学特色 本书适合于数学、物理学、工程学、计算机科学（特别是机器学习与数值分析方向）的本科高年级学生和研究生使用。 教学特色： 严谨的证明体系： 所有关键定理均提供完整的、可追溯的证明，而非仅是结论的陈述。 丰富的例题： 穿插大量的难度适中的计算例题，巩固技巧。 “概念桥梁”设计： 每一章末尾设有“概念桥梁”小节，专门阐述本章理论如何自然过渡到下一章的更高级主题，或如何与更广阔的数学分支（如泛函分析、抽象代数）相连接。 面向现代计算的视角： 强调矩阵的数值稳定性与计算效率，为后续学习数值线性代数做好充分准备。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我一开始对线性代数是有些畏惧的，总觉得它充满了符号和公式，与现实世界有些距离。但是，当我翻开这本《简明线性代数》时，这种感觉很快就改变了。丘维声老师的讲解方式非常注重概念的形成过程，他不会直接给出定义，而是通过一系列问题引导你去思考，去发现。比如，在讲到矩阵的秩的时候，他会先讨论方程组解的情况，然后引出线性无关的概念，最后自然而然地导出矩阵的秩，整个过程非常流畅，让人感觉豁然开朗。而且，书中对一些核心概念的理解，比如特征值和特征向量，他不仅仅是给出公式，更是深入剖析了它们在描述系统动态特性方面的意义，让我明白了为什么它们在很多领域都如此重要。我尤其喜欢书中的一些“小技巧”和“经验之谈”，它们并非严格的数学推导，但却能帮助我们快速抓住问题的本质，提高解题效率。例如，在判断向量组是否线性相关时，书中给出了几种直观的方法，比硬套定义要来得方便得多。总的来说，这本书让我觉得线性代数不再是遥不可及的理论，而是可以被理解、被掌握的强大工具。

评分☆☆☆☆☆

我一直觉得，数学学习就像是在建造一座高楼，基础不牢，后面再怎么努力也难以企稳。而这本《简明线性代数》在基础构建方面做得尤为出色。它没有像某些教材那样，上来就抛出一堆复杂的定理和推导，而是从最基本、最直观的概念入手，比如向量的加法、数乘，矩阵的运算，这些都是我们熟悉的，也容易理解。然后，逐步引入更深层次的概念，比如行列式，它不仅是计算的工具，更是矩阵性质的集中体现，书中对行列式的几何意义和代数意义都有深刻的阐释，让我明白了为什么它如此重要。然后是线性方程组，这是线性代数的核心应用之一，书中通过多种方法讲解，包括高斯消元法、克莱默法则等，并且详细分析了它们的优缺点和适用范围。最让我印象深刻的是关于向量空间的讲解，一开始我也觉得很抽象，但书里通过“线性组合”、“生成集”、“基”这些概念，层层递进，让我逐渐理解了向量空间的结构。而且，书中在讲解理论的同时，也没有忽略实际应用，举了许多例子，比如在工程、计算机科学中的应用，这让我看到了数学的价值和魅力，也激发了我进一步学习的兴趣。

评分☆☆☆☆☆

这本《简明线性代数》真是把我“虐”得不轻，但不得不说，这种“虐”是带着一丝甜味的。丘维声老师的文字功底毋庸置疑，讲解思路清晰，循序渐进。刚开始接触向量空间的时候，我脑子里全是那些抽象的概念，什么“线性无关”、“基”、“维数”，感觉就像在云里雾里。但跟着书里的例子一步步做，那些原本模糊的概念就逐渐清晰起来。尤其是一些几何直观的解释，把原本冰冷的数学语言变得生动有趣。比如，讲到线性变换，它不是简单地罗列公式，而是通过矩阵的视角，让你看到变换是如何作用在向量上的，旋转、缩放、投影，一切都变得触手可及。书中的习题设计也相当巧妙，从基础概念的巩固到综合应用，难度递增，每一道题都像是在考验你对知识的掌握程度，解出来的时候非常有成就感。我记得有一道关于特征值和特征向量的题，一开始完全没有头绪，翻来覆去看了好几遍书上的定义和定理，尝试了各种方法，最后灵光一闪，找到了那个关键的联系，那一刻的喜悦简直无法形容。虽然过程有点烧脑，但每次啃下难题，都感觉自己的数学功底又扎实了一分。这本书更像是一位严谨的老师，不会直接告诉你答案，而是引导你一步步去思考，去探索，最终让你自己领悟其中的奥妙。

评分☆☆☆☆☆

阅读这本书的过程，就像是在一场数学的“探险”，每一步都充满了挑战，但也伴随着惊喜。丘维声老师的写作风格严谨又不失温度，他深知初学者在面对线性代数时可能遇到的困难，因此在讲解时格外细致。例如，在介绍矩阵乘法时，他不仅给出了定义和运算规则，还详细解释了为什么矩阵乘法不能交换，以及它在复合线性变换中的意义，这种“知其然，更知其所以然”的讲解方式，让我对概念的理解更加深刻。书中关于“对角化”的部分，我花了相当多的时间去理解，因为这涉及到特征值和特征向量的计算，以及矩阵的相似变换。书中的例子非常详细，一步步展示了如何找到一个矩阵的特征值和特征向量，并最终实现对角化。虽然过程有些繁琐，但当我成功地将一个复杂的矩阵对角化时，那种成就感是无法言喻的。这让我体会到了线性代数在简化计算、分析问题方面的强大能力。这本书不仅仅是一本教材，更像是一位良师益友，它引导我不断思考，不断突破，最终让我对线性代数产生了浓厚的兴趣。

评分☆☆☆☆☆

这是一本让我“又爱又恨”的书。爱它是因为它系统的讲解和精辟的论述，恨它则是因为它对知识的严苛要求，毫不留情地暴露了我理解上的盲点。丘维声老师的叙述风格十分精炼，每一个公式，每一个定理都经过了深思熟虑。在讲解线性空间的时候，他用了大量篇幅阐述了“子空间”的概念，并举了非常多形象的例子，比如在三维空间中，直线和平面都是子空间，这让我对抽象的空间结构有了更直观的认识。书中的证明部分也非常严谨，逻辑清晰，没有丝毫的含糊之处。虽然一开始会觉得有些枯燥，但当我仔细研读，理解了每个证明的逻辑链条后，我才真正体会到数学的严谨之美。我特别喜欢书里关于“内积空间”的章节，它引入了角度、长度、正交等概念，将代数和几何完美地结合起来。通过学习，我明白了内积是如何衡量两个向量之间的“相似度”，以及正交向量在很多问题中的重要作用。虽然解题过程中会遇到很多困难，需要反复查阅和思考，但每一次攻克难题，都让我感觉自己的数学能力得到了质的飞跃。这本书的深度和广度，确实让我对线性代数有了全新的认识。