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张恭庆 著

图书标签:

• 变分学
• 数学分析
• 微积分
• 优化
• 泛函分析
• 高等数学
• 理论物理
• 应用数学
• 数学教材
• 经典教材

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040319583

版次：1

商品编码：10706586

包装：平装

丛书名： 现代数学基础

开本：16开

出版时间：2011-06-01

页数：319

正文语种：中文

内容简介

　　 变分学是数学分析的一个重要组成部分，是一门与其他数学分支密切联系、并有广泛应用的数学学科。近几十年来，变分学不论是在理论上还是在应用中都有了很大发展，与数学其他分支的联系也更加紧密，已经成为大学数学教育不可缺少的部分。
　　 《变分学讲义》是作者在北京大学为高年级本科生和低年级研究生开设“变分学”课程所用的讲义。全书共二十讲，分为三大部分：第一部分（一到八讲）是经典变分学的基本内容，第二部分（九到十四讲）重点介绍直接方法及其理论基础，第三部分（十五到二十讲）是专题选讲。其材料的选取，内容的编排，问题与概念的表述，以及证明的分析与讲解均极具特色。
　　 《变分学讲义》适用于数学及相关专业的本科生、研究生、教师以及研究人员，也可供工科、经济学、管理学等专业的教师和学生使用参考。

内页插图

目录

前言
第一讲 变分学与变分问题
§1.1 前言
§1.2 泛函
§1.3 典型例子
§1.4 进一步的例子

第二讲 euler-lagrange方程
§2.1 函数极值必要条件之回顾
§2.2 euler-lagrange方程的推导
§2.3 边值条件
§2.4 求解euler-lagrange方程的例子

第三讲 泛函极值的必要条件与充分条件
§3.1 函数极值的再回顾
§3.2 二阶变分
§3.3 legendre-hadamard条件
§3.4 jacobi场
§3.5 共轭点

第四讲 强极小与极值场
§4.1 强极小与弱极小
§4.2 强极小值的必要条件与weierstrass过度函数
§4.3 极值场与强极小值
§4.4 mayer场，hilbert不变积分
§4.5 强极小值的充分条件
§4.6 定理4.4 的证明（n]1的情形）

第五讲 hamilton-jacobi理论
§5.1 程函与carath eodory方程组
§5.2 legendre变换
§5.3 hamilton方程组
§5.4 hamilton-jacobi方程
§5.5 jacobi定理

第六讲 含多重积分的变分问题
§6.1 euler-lagrange方程的推导
§6.2 边值条件
§6.3 二阶变分
§6.4 jacobi场

第七讲 约束极值问题
§7.1 等周问题
§7.2 逐点约束
§7.3 变分不等式

第八讲 守恒律与noether定理
§8.1 单参数微分同胚与noether定理
§8.2 能动张量与noether定理
§8.3 内极小
§8.4 应用

第九讲 直接方法
§9.1 dirichlet原理与极小化方法
§9.2 弱收敛与弱收敛
§9.3 弱列紧性
§9.4 自反空间与eberlein-schmulyan定理

第十讲 sobolev空间
§10.1 广义导数
§10.2 空间wm，p（ω）
§10.3 泛函表示
§10.4 光滑化算子
§10.5 sobolev空间的重要性质与嵌入定理
§10.6 euler-lagrange方程

第十一讲 弱下半连续性
§11.1 凸集与凸函数
§11.2 凸性与弱下半连续性
§11.3 一个存在性定理
§11.4 拟凸性

第十二讲 线性微分方程的边值问题与特征值问题
§12.1 线性边值问题与正交投影
§12.2 特征值问题
§12.3 特征展开
§12.4 特征值的极小极大刻画

第十三讲 存在性与正则性
§13.1 正则性（n=1）
§13.2 正则性续（n]1）
§13.3 几个变分问题的求解
§13.4 变分学的局限

第十四讲 对偶作用原理与ekeland变分原理
§14.1 凸函数的共轭函数
§14.2 对偶作用原理
§14.3 ekeland变分原理
§14.4 fr'echet导数与palais-smale条件
§14.5 nehari技巧
第十五讲 山路定理及其推广与应用
§15.1 山路（mountainpass）定理
§15.2 应用

第十六讲 周期解、异宿轨与同宿轨
§16.1 问题
§16.2 周期解
§16.3 异宿轨
§16.4 同宿轨

第十七讲 测地线与极小曲面
§17.1 测地线
§17.2 极小曲面

第十八讲 变分问题的数值方法
§18.1 ritz方法
§18.2 有限元
§18.3 cea定理
§18.4 最优化方法——共轭梯度法

第十九讲 最优控制问题
§19.1 问题的提法
§19.2 pontryagin极大值原理
§19.3 bang-bang原理

第二十讲 有界变差函数与图像恢复
§20.1 一元有界变差函数的回顾
§20.2 多元有界变差函数
§20.3 松弛函数
§20.4 图像恢复与rudin-osher-fatemi模型
参考文献
索引

好的，这是一份关于一本名为《图论与网络分析基础》的图书的详细简介，该书内容与《变分学讲义》无关： --- 图论与网络分析基础 作者： [此处留空，可自行填写] 出版社： [此处留空，可自行填写] 页数： 约 650 页 装帧： 精装/平装（根据实际情况选择） 定价： [此处留空，可自行填写] 内容简介 《图论与网络分析基础》是一部全面、深入且兼具理论深度与实践应用价值的著作，旨在为读者构建一个坚实的图论基础，并引导他们掌握现代网络科学的核心分析工具。本书的编写立足于当代信息科学、复杂系统、运筹学及数据科学对网络结构建模的迫切需求，内容组织遵循从基础概念到高级模型，再到实际案例分析的逻辑递进路线。全书不仅是对经典图论体系的梳理与重构，更是对如何利用数学工具理解现实世界复杂连接现象的系统性指导。 第一部分：图论的数学基础与形式化描述 本书开篇即致力于奠定扎实的数学基础。详细阐述了图（Graph）的严格定义，包括有向图、无向图、加权图以及多重图的数学表达。重点讲解了邻接矩阵、关联矩阵等不同表示方式的优劣及其在计算中的应用。 在基础结构方面，本书深入探讨了图的子结构，如路径、圈、割集、连通分量等。特别辟出一章专门讨论树（Tree）的特性，包括生成树、最小生成树（MST）的经典算法——普里姆算法（Prim's Algorithm）和克鲁斯卡尔算法（Kruskal's Algorithm）的详细步骤、复杂度分析及其在网络设计中的应用。 第二部分：经典路径与流问题求解 本部分聚焦于图论中最核心的应用领域之一：寻路与资源分配问题。 最短路径算法： 迪杰斯特拉算法（Dijkstra's Algorithm）被详细剖析，并延伸至处理负权边的贝尔曼-福特算法（Bellman-Ford Algorithm）以及适用于所有节点对的最短路径的弗洛伊德-沃夏尔算法（Floyd-Warshall Algorithm）。算法的正确性证明和时间复杂度分析贯穿始终。 网络流理论： 引入了最大流-最小割定理这一网络分析的基石。本书系统讲解了福特-富尔克森方法（Ford-Fulkerson Method）的原理，以及更高效的 Edmonds-Karp 算法和 Dinic 算法。此外，最小费用最大流问题作为优化决策的代表，也得到了充分的讨论。 第三部分：图的结构特性与连通性分析 本部分深入探讨了图的内在结构属性，这些属性是衡量网络稳定性和效率的关键指标。 连通性与鲁棒性： 详述了 $k$ 连通性、边连通度与点连通度的概念，并介绍了 Menger 定理如何将这些拓扑概念与路径数量联系起来。同时，对网络的鲁棒性指标，如故障恢复能力和关键节点的识别（割点与桥），进行了量化分析。 图的匹配理论： 重点讲解了二分图中的完美匹配、最大匹配问题。艾伦兹定理（Hall's Marriage Theorem）的证明及其在调度、分配问题中的实际应用是本节的亮点。对于一般图的匹配问题，则介绍奇迹算法（Tutte's Theorem）的思路。 第四部分：复杂网络科学导论 面对现实世界中规模庞大、结构非欧几里得的复杂网络（如互联网、社交网络、生物调控网络），本书引入了网络科学的视角。 经典复杂网络模型： 详细介绍了随机图模型（Erdős–Rényi 模型）的特性，并着重分析了现实网络中更常见的无标度（Scale-Free）特性。BA（Barabási-Albert）模型作为生成无标度网络的里程碑模型，其“优先连接”机制被深入剖析。此外，小世界网络（Small-World Network）的概念及其特征（高聚类系数与短平均路径长度）也被作为重要内容介绍。 重要中心性度量： 区别并详细阐述了多种衡量节点重要性的指标：度中心性（Degree Centrality）、介数中心性（Betweenness Centrality）、接近中心性（Closeness Centrality）和特征向量中心性（Eigenvector Centrality）。这些指标在信息传播、影响力评估中的应用被丰富的案例所支撑。 网络演化与动态： 讨论了网络随时间变化的模式，包括链接预测的基本方法（如 Jaccard 系数、资源分配模型）和社区结构发现（Community Detection）的基本思想，如模块度（Modularity）的定义与优化。 第五部分：高级主题与前沿探索 最后一部分将读者的视野拓宽至图论和网络分析的前沿研究领域。 平面图与嵌入： 对平面图的定义、欧拉公式及其在地理信息系统中的应用进行了介绍。讨论了图的着色问题（Graph Coloring），特别是四色定理的背景与意义。 图上的优化与启发式算法： 针对 NP 难问题，如旅行商问题（TSP），除了回顾精确算法外，还引入了近似算法和启发式方法，例如遗传算法和模拟退火在图结构优化问题中的应用框架。 谱图理论简介： 引入了拉普拉斯矩阵（Laplacian Matrix）及其特征值的概念，阐述了谱聚类（Spectral Clustering）的基本原理，揭示了矩阵代数在揭示网络全局结构方面的强大能力。 本书特色 1. 理论与实践的紧密结合： 每章均配有丰富的、源自真实世界场景的案例研究，帮助读者理解抽象概念的实际意义。 2. 算法的精确描述： 所有核心算法均提供清晰的伪代码或步骤分解，并附有严格的复杂度分析，便于读者自行编程实现。 3. 面向广泛读者群： 尽管内容深入，但本书假设读者具备一定的线性代数和微积分基础，并能熟练运用离散数学的基本工具，是研究生、高年级本科生、研究人员及工程师的理想参考书。 4. 习题与延伸思考： 书末包含大量难度分级的练习题，鼓励读者巩固知识并进行独立探索。 《图论与网络分析基础》不仅是一本教材，更是一本深入探索连接世界本质的工具书，它将为所有致力于理解和设计复杂系统的读者提供无可替代的理论武装和方法论指导。

评分☆☆☆☆☆

我对那些能够解释世界基本运行机制的数学理论总是充满兴趣。《变分学讲义》这本书，在我看来，就属于这一类。变分学，这个名字本身就带着一种探索“最佳”和“最少”的意味，它仿佛是数学世界中的一种“优化算法”，用以揭示事物最本质、最有效率的存在方式。 我特别好奇书中会如何介绍“泛函”这个概念。我知道泛函是比函数更高级的存在，它将函数作为输入，输出一个数值。而变分学的任务，就是去寻找那个能让这个数值达到极值的函数。这其中涉及到的数学工具和思想，一定会非常精妙。我希望《变分学讲义》能够用清晰的语言，配合恰当的例子，将这些抽象的概念具象化，让我能够更好地理解。 我设想，书中可能会从一些直观的问题入手，比如在给定周长的情况下，哪种形状的图形面积最大？然后逐步引导读者进入更复杂的变分问题，并介绍解决这些问题的方法，比如变分法的基本引理、欧拉-拉格朗日方程等等。这本书对我来说，不只是学习一门数学分支，更是一种学习如何用数学的语言去理解和描述“最优”的过程。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对数学的严谨性和普适性充满敬畏的读者，我对《变分学讲义》这本书充满了好奇。在我看来，变分学不仅仅是一门数学学科，更像是一种思考问题的方式，一种探究“最优”状态的哲学。它提供了一种强大的框架，去理解和描述自然界中的普遍规律，以及工程、经济等领域中的优化问题。 我期待这本书能够清晰地阐述变分学的核心思想，即如何从无穷多的可能选项中，找到那个能够使某个特定量（泛函）达到最小或最大的函数或曲线。这涉及到对“变化”的理解，以及如何通过数学工具来“衡量”和“选择”这些变化。我希望书中能够展示一些经典的变分问题，比如最速降线问题、测地线问题等，并通过详细的推导过程，让读者领略变分法的魅力。 我相信，《变分学讲义》会是一本既有理论深度，又有实际应用价值的书籍，能够帮助我更好地理解那些深刻的数学原理，并启发我在其他领域进行创新性思考。

评分☆☆☆☆☆

最近，我迷上了那些能够触及事物本质的数学理论。听说《变分学讲义》这本书，虽然我还没来得及翻阅，但光是听名字就觉得充满了吸引力。变分学，在我脑海中勾勒出一幅图像：它不是简单地处理固定值，而是去寻找“最佳”的函数或曲线，去探究那些能够使某种“作用”达到极值的可能性。这听起来就好像是在追寻大自然的奥秘，那些看似偶然的现象背后，可能隐藏着一条最经济、最稳定的路径。 我尤其期待书中能够深入探讨那些“泛函”的概念。我知道泛函是作用于函数上的函数，这个概念本身就带着一种高层次的抽象。如何理解和操作泛函，又是如何从中找到极值，这其中的数学技巧一定非常精妙。我希望《变分学讲义》能够循序渐进地引导读者，从基本的泛函入手，逐步掌握求解极值的各种方法，比如欧拉-拉格朗日方程。想象一下，通过这些工具，我们能够解答诸如“在给定两点之间，哪条曲线能使得旅行时间最短？”这样的问题。

评分☆☆☆☆☆

我是一名数学爱好者，一直对那些能够深刻揭示事物本质的理论特别着迷。最近听说《变分学讲义》这本书，虽然我还没来得及细读，但光看书名就让我充满了期待。变分学，这个词本身就带着一种严谨而又充满创造力的魅力，它似乎能够引导我们从更宏观、更本质的角度去理解世界。想象一下，在物理学中，它能帮助我们理解最小作用量原理，从而推导出各种物理定律，就像自然界本身就是一本遵循变分原理的书籍；在工程学中，它或许能帮助我们优化设计，找到最经济、最有效率的解决方案，让我们的创造物达到最佳性能。 我尤其对书中可能涉及到的那些“极值”问题感到好奇。比如，在给定的约束条件下，如何找到能够使某个函数达到最大值或最小值的曲线或曲面？这听起来就像在解决一个复杂的谜题，需要巧妙的数学工具和深刻的洞察力。我猜想，《变分学讲义》应该会带领读者一步步走进这个神奇的领域，从基础的概念入手，逐步深入到那些更抽象、更精妙的理论。我期待它能够用清晰的语言和丰富的例子，帮助我理解那些看似深奥的数学概念，并启发我将这些知识应用到其他领域。

评分☆☆☆☆☆

作为一名初涉数学研究的学生，我一直在寻找能够打下坚实基础的教材。《变分学讲义》这个名字，在我看来，就预示着它是一本能够系统性地介绍变分学这一重要数学分支的读物。我了解到，变分学在现代数学和物理学的许多前沿领域都有着广泛的应用，比如量子场论、广义相对论、最优控制等等。这意味着，掌握了变分学的知识，就等于打开了通往更广阔的数学世界的大门。 我特别希望书中能够包含一些历史背景的介绍，让读者了解变分学是如何一步步发展起来的，那些伟大的数学家是如何在探索中贡献智慧的。同时，我也期待书中能够提供一些典型的应用案例，通过具体的例子来展示变分学解决实际问题的能力。比如，如何用变分法来描述自然界中最稳定的状态，或者如何设计出最优化的系统。我相信，一本好的教材不仅要传授知识，更要激发读者的学习兴趣和探索欲望，《变分学讲义》在我心中已经具备了这样的潜力。

评分☆☆☆☆☆

上学的时候没学好 所以现在需要回来恶补 不然咋办

评分☆☆☆☆☆

除了书角有点破了，其他没啥问题

评分☆☆☆☆☆

书很不错，下次还会来买的。

评分☆☆☆☆☆

变分法对处理一些泛函问题很有效。

评分☆☆☆☆☆

上学的时候没学好 所以现在需要回来恶补 不然咋办

评分☆☆☆☆☆

东东挺不错买下来比较划算哈！下次有机会再买啊！啦啦啦啦啦

评分☆☆☆☆☆

有点深度，可以作为进一步的教材。

评分☆☆☆☆☆

好书好书，非常喜欢，值得好好琢磨

评分☆☆☆☆☆

书封面脏了，强迫症好痛苦。。。。。。。书还是不错的