單復變函數（第2捲） [Functions of One Complex Variable 2] pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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康韋（John B.Conway） 著

圖書標籤:

• 復變函數
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• 數學分析
• 高等數學
• 復分析
• 函數論
• 數學
• 理工科
• 教材
• 學術

齣版社： 世界圖書齣版公司

ISBN：9787510037542

版次：1

商品編碼：10914302

包裝：平裝

外文名稱：Functions of One Complex Variable 2

開本：24開

齣版時間：2011-07-01

頁數：394

正文語種：英文

內容簡介

This is the sequel to my book Functions of One Complex Variable I, and probably a good opportunity to express my appreciation to the mathemat-ical community for its reception of that work. In retrospect, writing that book was a crazy venture.As a graduate student I had had one of the worst learning experiences of my career when I took complex analysis; a truly bad teacher. As a non-tenured assistant professor, the department allowed me to teach the graduate course in complex analysis. They thought I knew the material; I wanted to learn it. I adopted a standard text and shortly after beginning to prepare my lectures I became dissatisfied. All the books in print had virtues; but I was educated as a modern analyst, not a classical one, and they failed to satisfy me.

內頁插圖

目錄

Preface
13 Return to Basics
1 Regions and Curves
2 Derivatives and Other Recollections
3 Harmonic Conjugates and Primitives
4 Analytic Arcs and the Reflection Principle
5 Boundary Values for Bounded Analytic Functions

14 Conformal Equivalence for Simply Connected Regions
1 Elementary Properties and Examples
2 Crosscuts
3 Prime Ends
4 Impressions of a Prime End
5 Boundary Values of Riemann Maps
6 The Area Theorem
7 Disk Mappings: The Class

15 Conformal Equivalence for Finitely Connected Regions
I Analysis on a Finitely Connected Region
2 Conformal Equivalence with an Analytic Jordan Region
3 Boundary Values for a Conformal Equivalence Between Finitely Connected Jordan Regions
4 Convergence of Univalent Functions
5 Conformal Equivalence with a Circularly Slit Annulus
6 Conformal Equivalence with a Circularly Slit Disk
7 Conformal Equivalence with a Circular Region

16 Analytic Covering Maps
1 Results for Abstract Covering Spaces
2 Analytic Covering Spaces
3 The Modular Function
4 Applications of the Modular Function
5 The Existence of the Universal Analytic Covering Map

17 De Branges's Proof of the Bieberbach Conjecture
1 Subordination
2 Loewner Chains
3 Loewner's Differential Equation
4 The Milin Conjecture
5 Some Special Functions
6 The Proof of de Branges's Theorem

18 Some Fundamental Concepts from Analysis
1 Bergman Spaces of Analytic and Harmonic Functions
2 Partitions of Unity
3 Convolution in Euclidean Space
4 Distributions
5 The Cauchy Transform
6 An Application: Rational Approximation
7 Fourier Series and Cesaro Sums

19 Harmonic Functions Redux
1 Harmonic Functions on the Disk
2 Fatou's Theorem
3 Semicontinuous Functions
4 Subharmonic Functions
5 The Logarithmic Potential
6 An Application: Approximation by Harmonic Functions
7 The Dirichlet Problem
8 Harmonic Majorants
9 The Green Function
10 Regular Points for the Dirichlet Problem
11 The Dirichlet Principle and Sobolev Spaces

20 Hardy Spaces on the Disk
1 Definitions and Elementary Properties
2 The Nevanlinna Class
3 Factorization of Functions in the Nevanlinna Class
4 The Disk Algebra
5 The Invariant Subspaces of Hp
6 Szego's Theorem

21 Potential Theory in the Plane
1 Harmonic Measure
2 The Sweep of a Measure
3 The Robin Constant
4 The Green Potential
5 Polar Sets
6 More on Regular Points
7 Logarithmic Capacity: Part 1
8 Some Applications and Examples of Logarithmic Capacity
9 Removable Singularities for Functions in the Bergman Space
10 Logarithmic Capacity: Part 2
11 The Transfinite Diameter and Logarithmic Capacity
12 The Refinement of a Subharmonic Function
13 The Fine Topology
14 Wiener's criterion for Regular Points
Contents
References
List of Symbols
Index

前言/序言

深入解析：《復分析導論：超越標準教材的視野》 本書聚焦於現代復分析理論的核心概念、深層結構及其在多個數學和物理領域中的應用。我們旨在提供一個既嚴謹又富有洞察力的敘述，引導讀者從經典積分和冪級數的基礎齣發，逐步攀登至更高級的主題，如黎曼麯麵、函數域的分析，以及與代數幾何和物理弦理論的交叉點。 --- 第一部分：基礎的重新審視與幾何直覺的培養 本捲的開篇並非簡單地復述復變函數的基礎定義，而是著重於幾何化復變函數的意義。我們首先迴顧瞭復數的代數結構，但迅速將其置於 $mathbb{C}$ 上的微分幾何視角下——即作為二維流形上的黎曼度量。 1.1 全純函數的內在對稱性： 我們深入探討瞭柯西-黎曼方程（Cauchy-Riemann equations）的幾何起源，將其視為在 $mathbb{C}$ 上定義的全純函數必須滿足的等距條件。隨後，我們詳細分析瞭全純函數的局部性質：泰勒展開的唯一性，以及局部反函數定理在復空間中的特殊體現。我們用拓撲的語言解釋瞭為什麼在 $mathbb{C}$ 上，解析性（Analyticity）等價於光滑性（Smoothness）。 1.2 柯西積分理論的深化： 柯西積分公式不僅是一個計算工具，更是一個強大的拓撲工具。我們花瞭大量篇幅來闡釋同倫不變性（Homotopy Invariance）的真正意義，以及為什麼 Cauchy 定理依賴於區域的單連通性。在此基礎上，我們引入瞭函數的零點的結構：為什麼零點必然是孤立的，以及如何通過除以 $(z-z_0)^m$ 的方式來“消除”奇點，從而引齣洛朗級數。 1.3 奇點與留數定理的拓撲根源： 我們超越瞭標準的留數計算，探究瞭留數定理背後的拓撲學基礎——即對流形邊界上的積分的依賴關係。針對本性奇點（Essential Singularities），我們詳細分析瞭其在單位圓盤上的行為，並引入瞭皮卡爾大定理（Picard's Great Theorem）的初級版本，展示瞭本性奇點附近函數值覆蓋的廣闊性。 --- 第二部分：全局構造與黎曼麵的構建 本部分是本書的精髓之一，它將局部分析提升到全局結構的層麵，引入瞭復分析中最為優美的概念之一：黎曼麵。 2.1 覆蓋空間與分支點的處理： 我們首先從函數方程（如 $w^2 = z$ 或 $w = log z$）的定義域的限製齣發，展示瞭多值函數的內在矛盾。為瞭實現全局的解析性，我們引入瞭分支點（Branch Points）和分支綫（Branch Cuts）的概念。 2.2 黎曼麵的構造原理： 本書采用一種自底嚮上的方法構造黎曼麵。我們不直接給齣定義，而是通過解析延拓（Analytic Continuation）的過程，展示解析函數如何自然地“鋪展”到一個新的、更廣闊的定義域上。對於代數函數 $P(z, w) = 0$，我們詳細演示瞭如何通過射影空間的嵌入，構造齣緊緻的、拓撲上可理解的黎曼麵 $X$。 2.3 拓撲與解析的交匯： 一旦黎曼麵 $X$ 被構造齣來，我們便將其視為一個一維復流形。我們引入瞭微分形式的概念（但避免過於深入的微分幾何術語），重點關注 $Omega^1(X)$ 空間——即全純微分形式的空間。我們計算瞭虧格（Genus $g$）與黎曼-羅赫定理（Riemann-Roch Theorem）的初步聯係，強調虧格是衡量黎曼麵拓撲復雜度的核心不變量。 --- 第三部分：狄利剋雷問題與勢論的視角 本部分將復分析工具與實分析中的勢論（Potential Theory）相結閤，展示瞭復分析在邊界值問題中的強大威力。 3.1 調和函數的角色： 我們詳細闡述瞭全純函數的實部和虛部——即調和函數（Harmonic Functions）的性質。我們證明瞭極值原理（Maximum Principle）在調和函數中的普適性，並探討瞭它在物理學（如靜電勢、穩態熱傳導）中的直接解釋。 3.2 狄利剋雷問題的解析解法： 我們專注於在特定區域（如單位圓盤或上半平麵）上求解狄利剋雷問題（給定邊界值，求內部調和函數）。我們引入瞭格林函數（Green's Function），並展示瞭如何利用共形映射將復雜邊界區域的解轉化為簡單區域上的積分錶示。 3.3 韋爾斯特拉斯分解與赫爾穆斯定理： 本節深入探討瞭調和函數的全局結構。我們使用位勢論的工具來證明韋爾斯特拉斯分解定理，即任意函數可以分解為一個解析函數的無窮級數和超函數（如 $log |f|$）。隨後，我們引齣瞭赫爾穆斯定理（Hurwitz's Theorem）的更強形式，涉及零點在緊區域上的收斂性。 --- 第四部分：共形映射與幾何變換的深度剖析 本部分關注復分析在幾何變換中的應用，特彆是莫比烏斯變換及其在復雜結構下的推廣。 4.1 莫比烏斯變換群 $ ext{PSL}(2, mathbb{C})$： 我們不僅將莫比烏斯變換視為解析函數，更將其視為射影群的作用。我們詳細分析瞭其不動點、雙麯、拋物綫和橢圓分類，並展示瞭它們如何保持廣義圓（直綫或圓）的性質不變。 4.2 柯恩伯格定理與單連通域的映射： 黎曼映射定理（Riemann Mapping Theorem）的證明是本捲的高潮之一。我們詳細闡述瞭利用巴拿赫不動點定理（在適當函數空間上）來構造單射共形映射的過程。我們分析瞭映射在邊界上的行為，特彆是當邊界具有尖點或分段光滑時，映射的性質如何被保留。 4.3 覆蓋映射與黎曼麵之間的聯係： 最後，我們將共形映射推廣到黎曼麵之間的映射——全純覆蓋映射。我們展示瞭如何利用這種映射來理解不同虧格的黎曼麵之間的關係，並為後續進入更高級的代數幾何或自動函數理論奠定瞭堅實的基礎。 --- 本書的特點在於其對概念的係統性構建和對幾何直覺的強調，力求使讀者不僅能“計算”復分析問題，更能“理解”這些工具背後的深刻數學結構。

評分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀設計非常考究，細節之處盡顯匠心。我至今還記得第一次在書店看到它時的情景，那簡潔而又不失力量感的封麵，就仿佛在訴說著數學的嚴謹與深刻。雖然我目前主要還在鑽研其他領域的書籍，但這本書就像一位安靜的智者，靜靜地躺在我的書架上，時不時地吸引我的目光。我常常會去翻閱其中的一些章節，哪怕隻是看幾個公式，也能從中感受到一種獨特的數學魅力。據說，作者在書中對於一些概念的引入和解釋，都經過瞭反復的斟酌，力求做到既嚴謹又不失生動。我深信，一本好的數學教材，不僅要傳授知識，更要激發讀者的學習熱情和探索欲望，而這本書似乎就具備瞭這樣的特質。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計就給人一種沉靜而深邃的感覺，與“單復變函數”這個略帶艱澀的題目倒是相得益彰。拿到手裏，紙張的質感相當不錯，書頁泛著柔和的米白色，即使長時間閱讀也不會覺得刺眼。我一直對數學的抽象美有著濃厚的興趣，而復變函數更是將這種美感推嚮瞭一個新的高度。雖然我還沒有正式開始深入研讀，但僅僅是瀏覽目錄和前言，就足以讓我感受到作者在這本書中傾注的心血。那些符號、那些定理，雖然我需要花費一些時間去理解，但它們的背後隱藏著精妙的邏輯和深刻的洞察，這正是吸引我的地方。我期待著在這本書的引導下，能夠一步步揭開單復變函數的神秘麵紗，感受數學思想的嚴謹與優雅。它就像是一扇通往新世界的門，我迫不及待地想推開它，去探索其中的奧秘。

評分☆☆☆☆☆

這套書，尤其是第二捲，在我看來，簡直是為那些渴望深入理解復變函數世界的讀者量身定做的。我還在猶豫是否要購買，但僅從網上流傳的一些試讀章節和讀者反饋來看，它所呈現齣的學術深度和廣度就足以讓人心動。我尤其關注書中對一些經典證明的重新闡述，據說作者以一種非常清晰且富有啓發性的方式，將那些看似復雜的推導過程變得易於理解。這對於很多初學者或者希望鞏固基礎的讀者來說，無疑是一筆寶貴的財富。我瞭解到，這本書不僅僅是知識的堆砌，更是在培養讀者的數學思維方式。它鼓勵讀者去思考“為什麼”，而不是僅僅記住“是什麼”。這種教學理念，正是我在學習過程中所極力追求的。

評分☆☆☆☆☆

我對這本書的期待，更多地源於它所代錶的學術高度。我瞭解到，這是一本在復變函數領域享有盛譽的著作，被許多優秀的數學傢和學生所推崇。雖然我目前的基礎還比較薄弱，對於復變函數的理解還停留在比較初步的階段，但我堅信，通過研讀這樣一本高質量的書籍，能夠極大地提升我的數學素養和分析能力。我尤其看重書中對於那些抽象概念的解釋，以及證明的邏輯鏈條。我希望通過這本書，能夠真正理解復變函數所蘊含的深刻思想，並將其應用到未來的學習和研究中。它不僅僅是一本教科書，更像是一本能夠指引我探索數學更深層世界的地圖。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，我還沒有來得及深入翻閱這本書，但光是它的名字和在學術界的口碑，就足以讓我對其充滿敬意。在我的學習生涯中，數學一直是讓我著迷又頗具挑戰性的學科，而復變函數更是其中的佼佼者。我聽聞這本書的論述風格嚴謹而又不失清晰，對於那些晦澀的定義和定理，作者似乎總能找到一種巧妙的方式來闡釋，讓讀者豁然開朗。我非常欣賞這種能夠化繁為簡的教學能力。我期待著有一天，當我有足夠的時間和精力時，能夠靜下心來，好好地與這本書進行一次深刻的對話，去感受數學的邏輯之美，去領略復變函數所展現齣的獨特數學世界。

評分☆☆☆☆☆

最起碼整個書本邏輯上很明顯

評分☆☆☆☆☆

最起碼整個書本邏輯上很明顯

評分☆☆☆☆☆

不錯，內容好，質量也好。

評分☆☆☆☆☆

書是好書，不過書角都給摔壞瞭。。

評分☆☆☆☆☆

非常非常好

評分☆☆☆☆☆

既然這書我買瞭上冊，下冊不買的話，我怎麼讀的通啊。開玩笑的，基本當當參考資料瞭

評分☆☆☆☆☆

經典書籍，值得推薦！

評分☆☆☆☆☆

非常非常好

評分☆☆☆☆☆

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