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Qing Liu & 著

圖書標籤:

• 代數幾何
• 算術麯綫
• 代數簇
• 射影幾何
• 數論幾何
• 代數數論
• 麯綫
• Birational Geometry
• Scheme Theory
• 環論

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齣版社： OUP Oxford

ISBN：9780198502845

商品編碼：1098538298

包裝：精裝

外文名稱：Algebraic Geometry and...

齣版時間：2002-05-09

頁數：592

正文語種：英語

圖書基本信息

Algebraic Geometry and Arithmetic Curves
作者： Qing Liu;
ISBN13： 9780198502845
類型： 精裝(精裝書)
語種： 英語（English）
齣版日期： 2002-05-09
齣版社： OUP Oxford
頁數： 592
重量（剋）： 1006
尺寸： 23.3934 x 15.5956 x 3.3274 cm

商品簡介

This book is a general introduction to the theory of schemes, followed by applications to arithmetic surfaces and to the theory of reduction of algebraic curves. The first part introduces basic objects such as schemes, morphisms, base change, local properties (normality, regularity, Zariski's Main Theorem). This is followed by the more global aspect: coherent sheaves and a finiteness theorem for their cohomology groups. Then follows a chapter on sheaves of differentials, dualizing sheaves, and grothendieck's duality theory. The first part ends with the theorem of Riemann-Roch and its application to the study of smooth projective curves over a field. Singular curves are treated through a detailed study of the Picard group. The second part starts with blowing-ups and desingularization (embedded or not) of fibered surfaces over a Dedekind ring that leads on to intersection theory on arithmetic surfaces. Castelnuovo's criterion is proved and also the existence of the minimal regular model. This leads to the study of reduction of algebraic curves. The case of elliptic curves is studied in detail. The book concludes with the fundamental theorem of stable reduction of Deligne-Mumford. The book is essentially self-contained, including the necessary material on commutative algebra. The prerequisites are therefore few, and the book should suit a graduate student. It contains many examples and nearly 600 exercises.

數論中的幾何視角：現代代數拓撲與解析方法的交匯 書名： 《數論中的幾何視角：現代代數拓撲與解析方法的交匯》 作者： [此處可填入假定的作者姓名] 齣版社： [此處可填入假定的齣版社名稱] 頁數： 約 850 頁 齣版年份： 2024 年 --- 內容簡介 本書是一部深入探討現代數論核心領域的專著，其核心目標是將代數拓撲的強大工具與解析數論中的精妙技巧相結閤，為讀者構建一個理解數論深層結構的統一框架。全書摒棄瞭對初等代數幾何中的具體麯綫研究的側重，轉而聚焦於更宏觀、更抽象的幾何對象——代數簇的同調理論、覆蓋空間理論在數論中的應用，以及 L 函數與幾何拓撲不變量之間的深刻聯係。 全書共分為六個主要部分，結構緊湊且邏輯嚴密，旨在為具備紮實代數、拓撲和復分析基礎的研究生和研究人員提供前沿的理論指導。 --- 第一部分：基礎重構與拓撲視野的引入 (Foundational Recasting and Introduction to the Topological Viewpoint) 本部分首先對經典數論中的基本對象進行瞭現代化的重新審視。我們從更具幾何色彩的語言齣發，重新闡述瞭域的擴張、伽羅瓦群的結構，並引入瞭代數簇的奇點理論的基礎概念，但重點不在於經典代數幾何中的具體解集，而在於如何用拓撲工具來分析這些解集所蘊含的代數信息。 核心內容包括： 1. 拓撲基礎與範疇論的橋梁： 簡要迴顧瞭 CW 復閤體、縴維叢的分類理論，並將其作為後續引入更高級拓撲結構（如 $l$-進上同調）的鋪墊。 2. 域的拓撲化： 探討瞭局部域和全局域的拓撲性質，特彆是其絕對伽羅瓦群的局部緊緻化錶示（如 $mathbb{Z}_p$ 上的 p-adic 拓撲），這為後文的 $p$-進分析奠定瞭基礎。 3. 譜的引入（非經典意義）： 我們將引入 Grothendieck 意義下的譜理論的某些元素，但不是為瞭研究具體代數簇的幾何性質，而是將其作為研究環和模的拓撲結構的工具，強調其作為拓撲空間的內在屬性。 --- 第二部分：代數拓撲在數論中的應用： $l$-進上同調與德拉姆理論的擴展 (Algebraic Topology in Number Theory: $l$-adic Cohomology and Extensions of de Rham Theory) 本部分是全書的理論核心，詳細闡述瞭如何利用代數拓撲的工具來解決數論中的中心問題，特彆是關於 zeta 函數和 L 函數的零點分布。 1. $l$-進上同調理論的精細結構： 本章將深入講解 $mathbb{F}_q$ 上的代數簇的 $l$-進上同調群的構造，重點分析其群結構和 Frobenius 算子的不動點，這是 Weil 猜想幾何證明的基礎，但我們側重於其拓撲不變量的意義。 2. 德拉姆上同調的解析化： 對復流形上的德拉姆上同調進行瞭擴展，引入瞭剛性上同調 (Rigid Cohomology) 的概念，探討其在處理非光滑、具有奇點的對象時的優越性，特彆是如何通過解析拓撲來提取代數信息。 3. Motivic Cohomology 的雛形： 初步探討瞭 Motivic 理論的構想，將其視為連接 $K$-理論和上同調理論的幾何統一語言，並展示其在構造更精細不變量中的潛力。 --- 第三部分：分析方法與自守形式的幾何關聯 (Analytic Methods and Geometric Connections to Automorphic Forms) 本部分將分析工具引入數論的幾何框架，重點在於解析手段如何揭示代數結構的內在對稱性。 1. 錶示論與自守形式的調和分析： 詳細分析瞭局部和全局 Hecke 代數的作用，強調瞭 Langlands 綱領中錶示論的幾何直觀——即數論對象如何被視為某種特定對稱群上的調和分析對象。 2. L 函數的函數方程與對稱性： 不再局限於經典的歐拉乘積展開，而是從對稱空間和軌道理論的角度來理解 L 函數的函數方程，將其視為某種全局拓撲對偶性的體現。 3. 狄利剋雷級數的黎曼幾何： 探討瞭通過某些特殊函數空間（如高階模空間）的幾何結構來推導 L 函數性質的可能性，側重於黎曼 Zeta 函數的譜性質（與希爾伯特-波利亞猜想相關的未解決問題）。 --- 第四部分：覆蓋空間與伽羅瓦錶示的拓撲分析 (Coverings, Galois Representations, and Topological Analysis) 本部分聚焦於數論中最基本的問題之一：伽羅瓦群的作用如何通過拓撲覆蓋來體現。 1. 算術麯麵的基本群與覆蓋： 分析瞭數論中涉及的某些算術空間的基本群 (Fundamental Group) 的計算，特彆是其作用於上層對象的覆蓋映射的拓撲性質。 2. 局部場上的 $p$-進環麵 (Tori)： 考察瞭局部域上的 $GL_n$ 的 $p$-進錶示，以及這些錶示如何通過橢圓麯綫上的 $p$-進模空間的縴維化結構來理解。 3. 高維算術簇的拓撲不變量： 引入瞭 Chow 環和 Motives 的早期概念，用以區分具有相同 $L$-函數但不同代數結構的對象。 --- 第五部分：算術流形與非交換幾何的邊緣探索 (Arithmetic Manifolds and Explorations in Noncommutative Geometry) 本部分著眼於前沿研究，嘗試將代數幾何中的流形概念推廣到更廣闊的“算術流形”上，並引入非交換幾何作為研究工具。 1. 黎曼-希爾伯特對應與非交換空間： 探討瞭如何用非交換代數來描述局部伽羅瓦群的作用，將傳統上依賴於交換代數的數論問題轉化為非交換幾何中的結構研究。 2. Adeles 和 Ides 的全局拓撲結構： 重新審視 Adele 環和 Idèle 環的拓撲性質，重點關注其作為無限維拓撲嚮量空間在調和分析中的作用，而非簡單的乘積拓撲。 3. $p$-進雙麯幾何的初步應用： 簡要介紹瞭 $p$-adic hyperbolization 在研究某些模空間上的測地流中的作用，這是一種純粹的解析-幾何方法來推導數論結論。 --- 第六部分：未來展望：拓撲與算術的統一 (Future Directions: Unification of Topology and Arithmetic) 本書的結論部分總結瞭當前研究的瓶頸，並展望瞭如何利用更深層次的拓撲或幾何洞察來解決未解決的猜想。重點在於發展齣一種可以同時處理實點和 $p$-進點的統一拓撲理論，以期突破當前分析和代數方法之間的壁壘。 本書為讀者提供瞭一條清晰的路徑，穿越現代數論的復雜地形，使讀者能夠從代數拓撲的廣闊視角下，重新審視和掌握 L 函數、伽羅瓦錶示以及算術對象的深層幾何結構。它要求讀者不僅熟悉經典的數論技巧，更要擁抱現代數學中跨學科研究的廣闊前沿。

評分☆☆☆☆☆

我對這本書的數學語言的精確性印象最為深刻，它幾乎達到瞭教科書所能追求的極緻。作者在定義和命題的錶述上毫不含糊，每一個符號的使用都經過瞭嚴格的審視，確保瞭其在整個論述體係中的唯一性和準確性。這種嚴謹性在處理域擴張、模空間構造等關鍵技術細節時尤為重要。我發現，很多其他同類書籍在處理這些“技術性泥濘”時往往草草帶過，留給讀者自行填補空白，但在這本書中，作者卻給予瞭足夠的篇幅來夯實基礎。舉例來說，關於模緊化（compactification）的討論，作者不僅給齣瞭必要的拓撲和代數工具，還穿插瞭大量的曆史背景和動機分析，解釋瞭為什麼要進行這樣的構造，解決瞭什麼核心問題。這種“Why”和“How”的完美結閤，讓讀者在掌握技術的同時，也理解瞭數學思想的演進，避免瞭死記硬背公式的枯燥感。可以說，這本書是那種可以被反復研讀的典範，每次重讀，總能在細節中發現新的精妙之處。

評分☆☆☆☆☆

這本書的真正價值，我認為體現在其對前沿研究領域所展現齣的深厚洞察力上。它不僅僅是對現有知識的梳理和總結，更像是一份通往現代數論和代數幾何交界處的路綫圖。書中對橢圓麯綫上的點群結構、模空間（如$M_{g,n}$）的性質進行瞭非常深入的探討，這些內容通常隻有在專門的研究生研討班中纔會詳細講解。令人稱奇的是，作者能夠將這些高度專業化的主題，用一種相對統一和連貫的視角呈現齣來。特彆是當涉及到某些高階的代數工具，比如範疇論的語言或更抽象的概形理論時，作者並沒有望而卻頭，而是選擇瞭一種漸進式的引入方式，從具體的幾何實例齣發，逐步抽象到公理化的框架。這使得那些並非專業背景齣身的讀者，隻要具備紮實的代數基礎，也能逐漸跟上節奏，領略到這門學科的壯闊景象。這本書無疑是渴望深入此領域進行研究的學者不可或缺的工具書。

評分☆☆☆☆☆

這本書的閱讀體驗，很大程度上取決於學習者自身的準備程度。對於初次接觸代數幾何的讀者，可能會覺得開篇稍顯艱難，因為其默認的知識儲備要求較高，對基礎概念的預習是必不可少的環節。然而，一旦跨過瞭最初的門檻，後續的閱讀體驗就會像坐上瞭加速滑梯，知識的積纍會帶來巨大的正反饋。我個人認為，最能體現本書特色的地方在於其章節末尾留下的“思考題”部分。這些問題往往不是簡單的計算題，而是引導性的探究，有些甚至指嚮瞭尚未完全解決的數學難題，極大地激發瞭讀者的好奇心和探索欲。這些問題強迫讀者去綜閤運用前麵學到的多種工具，去構建自己的數學直覺。這本書沒有把所有答案都喂到嘴邊，而是提供瞭一張詳細的地圖和一套堅固的攀登工具，鼓勵讀者自己去徵服未知的領域。它塑造的不是一個知識的接受者，而是一個主動的數學思考者。

評分☆☆☆☆☆

作為一名長期關注數學發展動態的愛好者，我特彆贊賞這本書在內容選擇上的“平衡感”。它既沒有完全沉溺於純粹的代數抽象，也沒有過度側重於初級的數論應用，而是在兩者之間找到瞭一個黃金分割點。書中對“算術”這一核心元素的迴歸，是通過一係列精心挑選的例子來實現的。比如，對費馬大定理的某些初等證明思路的梳理，以及對丟番圖方程解的代數幾何解釋，都極其到位。這些例子不僅是很好的練習題，更是將抽象理論“接地氣”的關鍵所在。閱讀過程中，我感覺自己不再是單純地在操作代數對象，而是在解決一個接一個富有挑戰性的數學謎題。此外，書中參考文獻的引用也極為考究，標注瞭很多經典卻不易獲取的原始文獻，這對於希望追溯思想源頭的讀者來說，是無價之寶。總而言之，這本書成功地架起瞭理論與實踐之間的高速公路。

評分☆☆☆☆☆

這本書的排版和裝幀著實令人眼前一亮，那種厚重又不失典雅的質感，很符閤一本嚴肅數學專著的氣質。初次翻閱時，我最直觀的感受是作者在內容組織上的匠心獨運。它不像有些教材那樣將知識點堆砌在一起，而是通過精妙的章節過渡，構建瞭一個清晰的知識地圖。每一個概念的引入都像是水到渠成，讓人在不知不覺中就接受瞭更為抽象的框架。特彆是關於黎曼-洛赫定理的討論部分，作者的處理方式非常細膩，將代數幾何的深層洞察巧妙地與算術的直觀需求結閤起來，使得原本晦澀的證明過程變得富有邏輯美感。我特彆欣賞的是，書中對引理和定理的證明采取瞭分層敘述的策略，對於初次接觸該領域的讀者，可以先把握核心思想，再深入細節，這極大地降低瞭學習麯綫的陡峭程度。這種設計不僅體現瞭作者深厚的學術功底，更體現瞭他對讀者學習過程的深切關懷。雖然篇幅不小，但閱讀體驗是極為流暢和愉悅的，每次閤上書本，腦海中都會留下清晰的脈絡結構。