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Qing Liu & 著

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• 数论几何
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• 曲线
• Birational Geometry
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出版社： OUP Oxford

ISBN：9780198502845

商品编码：1098538298

包装：精装

外文名称：Algebraic Geometry and...

出版时间：2002-05-09

页数：592

正文语种：英语

图书基本信息

Algebraic Geometry and Arithmetic Curves
作者： Qing Liu;
ISBN13： 9780198502845
类型： 精装(精装书)
语种： 英语（English）
出版日期： 2002-05-09
出版社： OUP Oxford
页数： 592
重量（克）： 1006
尺寸： 23.3934 x 15.5956 x 3.3274 cm

商品简介

This book is a general introduction to the theory of schemes, followed by applications to arithmetic surfaces and to the theory of reduction of algebraic curves. The first part introduces basic objects such as schemes, morphisms, base change, local properties (normality, regularity, Zariski's Main Theorem). This is followed by the more global aspect: coherent sheaves and a finiteness theorem for their cohomology groups. Then follows a chapter on sheaves of differentials, dualizing sheaves, and grothendieck's duality theory. The first part ends with the theorem of Riemann-Roch and its application to the study of smooth projective curves over a field. Singular curves are treated through a detailed study of the Picard group. The second part starts with blowing-ups and desingularization (embedded or not) of fibered surfaces over a Dedekind ring that leads on to intersection theory on arithmetic surfaces. Castelnuovo's criterion is proved and also the existence of the minimal regular model. This leads to the study of reduction of algebraic curves. The case of elliptic curves is studied in detail. The book concludes with the fundamental theorem of stable reduction of Deligne-Mumford. The book is essentially self-contained, including the necessary material on commutative algebra. The prerequisites are therefore few, and the book should suit a graduate student. It contains many examples and nearly 600 exercises.

数论中的几何视角：现代代数拓扑与解析方法的交汇 书名： 《数论中的几何视角：现代代数拓扑与解析方法的交汇》 作者： [此处可填入假定的作者姓名] 出版社： [此处可填入假定的出版社名称] 页数： 约 850 页 出版年份： 2024 年 --- 内容简介 本书是一部深入探讨现代数论核心领域的专著，其核心目标是将代数拓扑的强大工具与解析数论中的精妙技巧相结合，为读者构建一个理解数论深层结构的统一框架。全书摒弃了对初等代数几何中的具体曲线研究的侧重，转而聚焦于更宏观、更抽象的几何对象——代数簇的同调理论、覆盖空间理论在数论中的应用，以及 L 函数与几何拓扑不变量之间的深刻联系。 全书共分为六个主要部分，结构紧凑且逻辑严密，旨在为具备扎实代数、拓扑和复分析基础的研究生和研究人员提供前沿的理论指导。 --- 第一部分：基础重构与拓扑视野的引入 (Foundational Recasting and Introduction to the Topological Viewpoint) 本部分首先对经典数论中的基本对象进行了现代化的重新审视。我们从更具几何色彩的语言出发，重新阐述了域的扩张、伽罗瓦群的结构，并引入了代数簇的奇点理论的基础概念，但重点不在于经典代数几何中的具体解集，而在于如何用拓扑工具来分析这些解集所蕴含的代数信息。 核心内容包括： 1. 拓扑基础与范畴论的桥梁： 简要回顾了 CW 复合体、纤维丛的分类理论，并将其作为后续引入更高级拓扑结构（如 $l$-进上同调）的铺垫。 2. 域的拓扑化： 探讨了局部域和全局域的拓扑性质，特别是其绝对伽罗瓦群的局部紧致化表示（如 $mathbb{Z}_p$ 上的 p-adic 拓扑），这为后文的 $p$-进分析奠定了基础。 3. 谱的引入（非经典意义）： 我们将引入 Grothendieck 意义下的谱理论的某些元素，但不是为了研究具体代数簇的几何性质，而是将其作为研究环和模的拓扑结构的工具，强调其作为拓扑空间的内在属性。 --- 第二部分：代数拓扑在数论中的应用： $l$-进上同调与德拉姆理论的扩展 (Algebraic Topology in Number Theory: $l$-adic Cohomology and Extensions of de Rham Theory) 本部分是全书的理论核心，详细阐述了如何利用代数拓扑的工具来解决数论中的中心问题，特别是关于 zeta 函数和 L 函数的零点分布。 1. $l$-进上同调理论的精细结构： 本章将深入讲解 $mathbb{F}_q$ 上的代数簇的 $l$-进上同调群的构造，重点分析其群结构和 Frobenius 算子的不动点，这是 Weil 猜想几何证明的基础，但我们侧重于其拓扑不变量的意义。 2. 德拉姆上同调的解析化： 对复流形上的德拉姆上同调进行了扩展，引入了刚性上同调 (Rigid Cohomology) 的概念，探讨其在处理非光滑、具有奇点的对象时的优越性，特别是如何通过解析拓扑来提取代数信息。 3. Motivic Cohomology 的雏形： 初步探讨了 Motivic 理论的构想，将其视为连接 $K$-理论和上同调理论的几何统一语言，并展示其在构造更精细不变量中的潜力。 --- 第三部分：分析方法与自守形式的几何关联 (Analytic Methods and Geometric Connections to Automorphic Forms) 本部分将分析工具引入数论的几何框架，重点在于解析手段如何揭示代数结构的内在对称性。 1. 表示论与自守形式的调和分析： 详细分析了局部和全局 Hecke 代数的作用，强调了 Langlands 纲领中表示论的几何直观——即数论对象如何被视为某种特定对称群上的调和分析对象。 2. L 函数的函数方程与对称性： 不再局限于经典的欧拉乘积展开，而是从对称空间和轨道理论的角度来理解 L 函数的函数方程，将其视为某种全局拓扑对偶性的体现。 3. 狄利克雷级数的黎曼几何： 探讨了通过某些特殊函数空间（如高阶模空间）的几何结构来推导 L 函数性质的可能性，侧重于黎曼 Zeta 函数的谱性质（与希尔伯特-波利亚猜想相关的未解决问题）。 --- 第四部分：覆盖空间与伽罗瓦表示的拓扑分析 (Coverings, Galois Representations, and Topological Analysis) 本部分聚焦于数论中最基本的问题之一：伽罗瓦群的作用如何通过拓扑覆盖来体现。 1. 算术曲面的基本群与覆盖： 分析了数论中涉及的某些算术空间的基本群 (Fundamental Group) 的计算，特别是其作用于上层对象的覆盖映射的拓扑性质。 2. 局部场上的 $p$-进环面 (Tori)： 考察了局部域上的 $GL_n$ 的 $p$-进表示，以及这些表示如何通过椭圆曲线上的 $p$-进模空间的纤维化结构来理解。 3. 高维算术簇的拓扑不变量： 引入了 Chow 环和 Motives 的早期概念，用以区分具有相同 $L$-函数但不同代数结构的对象。 --- 第五部分：算术流形与非交换几何的边缘探索 (Arithmetic Manifolds and Explorations in Noncommutative Geometry) 本部分着眼于前沿研究，尝试将代数几何中的流形概念推广到更广阔的“算术流形”上，并引入非交换几何作为研究工具。 1. 黎曼-希尔伯特对应与非交换空间： 探讨了如何用非交换代数来描述局部伽罗瓦群的作用，将传统上依赖于交换代数的数论问题转化为非交换几何中的结构研究。 2. Adeles 和 Ides 的全局拓扑结构： 重新审视 Adele 环和 Idèle 环的拓扑性质，重点关注其作为无限维拓扑向量空间在调和分析中的作用，而非简单的乘积拓扑。 3. $p$-进双曲几何的初步应用： 简要介绍了 $p$-adic hyperbolization 在研究某些模空间上的测地流中的作用，这是一种纯粹的解析-几何方法来推导数论结论。 --- 第六部分：未来展望：拓扑与算术的统一 (Future Directions: Unification of Topology and Arithmetic) 本书的结论部分总结了当前研究的瓶颈，并展望了如何利用更深层次的拓扑或几何洞察来解决未解决的猜想。重点在于发展出一种可以同时处理实点和 $p$-进点的统一拓扑理论，以期突破当前分析和代数方法之间的壁垒。 本书为读者提供了一条清晰的路径，穿越现代数论的复杂地形，使读者能够从代数拓扑的广阔视角下，重新审视和掌握 L 函数、伽罗瓦表示以及算术对象的深层几何结构。它要求读者不仅熟悉经典的数论技巧，更要拥抱现代数学中跨学科研究的广阔前沿。

评分☆☆☆☆☆

这本书的阅读体验，很大程度上取决于学习者自身的准备程度。对于初次接触代数几何的读者，可能会觉得开篇稍显艰难，因为其默认的知识储备要求较高，对基础概念的预习是必不可少的环节。然而，一旦跨过了最初的门槛，后续的阅读体验就会像坐上了加速滑梯，知识的积累会带来巨大的正反馈。我个人认为，最能体现本书特色的地方在于其章节末尾留下的“思考题”部分。这些问题往往不是简单的计算题，而是引导性的探究，有些甚至指向了尚未完全解决的数学难题，极大地激发了读者的好奇心和探索欲。这些问题强迫读者去综合运用前面学到的多种工具，去构建自己的数学直觉。这本书没有把所有答案都喂到嘴边，而是提供了一张详细的地图和一套坚固的攀登工具，鼓励读者自己去征服未知的领域。它塑造的不是一个知识的接受者，而是一个主动的数学思考者。

评分☆☆☆☆☆

作为一名长期关注数学发展动态的爱好者，我特别赞赏这本书在内容选择上的“平衡感”。它既没有完全沉溺于纯粹的代数抽象，也没有过度侧重于初级的数论应用，而是在两者之间找到了一个黄金分割点。书中对“算术”这一核心元素的回归，是通过一系列精心挑选的例子来实现的。比如，对费马大定理的某些初等证明思路的梳理，以及对丢番图方程解的代数几何解释，都极其到位。这些例子不仅是很好的练习题，更是将抽象理论“接地气”的关键所在。阅读过程中，我感觉自己不再是单纯地在操作代数对象，而是在解决一个接一个富有挑战性的数学谜题。此外，书中参考文献的引用也极为考究，标注了很多经典却不易获取的原始文献，这对于希望追溯思想源头的读者来说，是无价之宝。总而言之，这本书成功地架起了理论与实践之间的高速公路。

评分☆☆☆☆☆

这本书的真正价值，我认为体现在其对前沿研究领域所展现出的深厚洞察力上。它不仅仅是对现有知识的梳理和总结，更像是一份通往现代数论和代数几何交界处的路线图。书中对椭圆曲线上的点群结构、模空间（如$M_{g,n}$）的性质进行了非常深入的探讨，这些内容通常只有在专门的研究生研讨班中才会详细讲解。令人称奇的是，作者能够将这些高度专业化的主题，用一种相对统一和连贯的视角呈现出来。特别是当涉及到某些高阶的代数工具，比如范畴论的语言或更抽象的概形理论时，作者并没有望而却头，而是选择了一种渐进式的引入方式，从具体的几何实例出发，逐步抽象到公理化的框架。这使得那些并非专业背景出身的读者，只要具备扎实的代数基础，也能逐渐跟上节奏，领略到这门学科的壮阔景象。这本书无疑是渴望深入此领域进行研究的学者不可或缺的工具书。

评分☆☆☆☆☆

我对这本书的数学语言的精确性印象最为深刻，它几乎达到了教科书所能追求的极致。作者在定义和命题的表述上毫不含糊，每一个符号的使用都经过了严格的审视，确保了其在整个论述体系中的唯一性和准确性。这种严谨性在处理域扩张、模空间构造等关键技术细节时尤为重要。我发现，很多其他同类书籍在处理这些“技术性泥泞”时往往草草带过，留给读者自行填补空白，但在这本书中，作者却给予了足够的篇幅来夯实基础。举例来说，关于模紧化（compactification）的讨论，作者不仅给出了必要的拓扑和代数工具，还穿插了大量的历史背景和动机分析，解释了为什么要进行这样的构造，解决了什么核心问题。这种“Why”和“How”的完美结合，让读者在掌握技术的同时，也理解了数学思想的演进，避免了死记硬背公式的枯燥感。可以说，这本书是那种可以被反复研读的典范，每次重读，总能在细节中发现新的精妙之处。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和装帧着实令人眼前一亮，那种厚重又不失典雅的质感，很符合一本严肃数学专著的气质。初次翻阅时，我最直观的感受是作者在内容组织上的匠心独运。它不像有些教材那样将知识点堆砌在一起，而是通过精妙的章节过渡，构建了一个清晰的知识地图。每一个概念的引入都像是水到渠成，让人在不知不觉中就接受了更为抽象的框架。特别是关于黎曼-洛赫定理的讨论部分，作者的处理方式非常细腻，将代数几何的深层洞察巧妙地与算术的直观需求结合起来，使得原本晦涩的证明过程变得富有逻辑美感。我特别欣赏的是，书中对引理和定理的证明采取了分层叙述的策略，对于初次接触该领域的读者，可以先把握核心思想，再深入细节，这极大地降低了学习曲线的陡峭程度。这种设计不仅体现了作者深厚的学术功底，更体现了他对读者学习过程的深切关怀。虽然篇幅不小，但阅读体验是极为流畅和愉悦的，每次合上书本，脑海中都会留下清晰的脉络结构。