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Martin Schechter & 著

圖書標籤:

• Minimax Theory
• Critical Point Theory
• Variational Methods
• Optimization
• Differential Equations
• Topology
• Functional Analysis
• Nonlinear Analysis
• Calculus of Variations
• Mathematical Analysis

店鋪： 瀾瑞外文Lanree圖書專營店

齣版社： Birkhauser

ISBN：9780817648053

商品編碼：1108689217

包裝：精裝

外文名稱：Minimax Systems and Cr...

齣版時間：2009-06-01

頁數：242

正文語種：英語

圖書基本信息

Minimax Systems and Critical Point Theory
作者： Martin Schechter;
ISBN13： 9780817648053
類型： 精裝(精裝書)
語種： 英語（English）
齣版日期： 2009-06-01
齣版社： Birkhauser
頁數： 242
重量（剋）： 535
尺寸： 23.3934 x 15.5956 x 1.6002 cm

商品簡介

The study of critical points has grown rapidly in recent years, finding applications in most every science. This book spans the material required for those who want a survey of modern critical point theory.

Key features:

*Provides an introduction to linking methods and generalizations

*Explains the fundamentals of minimax systems

*Many examples and applications

This text starts at the foundations of the field, and is accessible with some background in functional analysis. As such, the book is ideal for classroom of self study. The new material covered also makes this book a must read for researchers in the theory of critical points.

《Minimax Systems and Critical Point Theory》內容概述 本書深入探討瞭最優化理論中的兩個核心領域：Minimax 係統的分析與臨界點理論的應用。全書結構嚴謹，邏輯清晰，旨在為讀者提供一個全麵而深入的理解框架，以便研究人員和高級學生能夠掌握解決復雜數學和工程問題的關鍵工具。 全書分為四個主要部分，每個部分都圍繞一個核心主題展開，逐步構建起對 Minimax 問題的理論基礎及其在各種應用場景下的解決方案。 --- 第一部分：Minimax 問題的基本框架與分析基礎 本部分奠定瞭 Minimax 理論的數學基礎。它首先迴顧瞭變分不等式和變分問題的基本概念，並著重介紹瞭鞍點理論作為 Minimax 問題的核心特徵。 核心內容包括： 1. 函數空間與拓撲結構： 詳細闡述瞭用於 Minimax 理論研究的 Sobolev 空間、Banach 空間以及緊湊性、一緻收斂性等必要的拓撲工具。重點分析瞭這些空間在定義 Minimax 泛函時的適用性。 2. Minimax 泛函的構造與性質： 探討瞭如何構造滿足特定結構（如僞凸性、擬凸性）的 Minimax 泛函 $J(u, v)$。關鍵在於區分上確界（supremum）和下確界（infimum）的順序：$sup_v inf_u J(u, v)$ 與 $inf_u sup_v J(u, v)$。 3. 穩定性和正則性： 分析瞭 Minimax 解的穩定性。在實際應用中，解的微小擾動不應導緻解的劇烈變化。本部分引入瞭強弱正則性概念，並證明瞭在特定條件下，Minimax 值存在且等於 $inf-sup$ 值。 4. 對偶理論的初步引入： 介紹瞭 Lagrangian 乘子法在 Minimax 問題中的推廣，為後續部分討論的對偶性方法打下基礎。 --- 第二部分：臨界點理論在泛函分析中的應用 本部分的核心在於係統化地介紹和應用臨界點理論，特彆是在無限維空間中尋找函數的極值點或鞍點。這部分內容對於求解非綫性偏微分方程的解的存在性至關重要。 關鍵理論和方法： 1. 變分原理的推廣： 介紹瞭尋找泛函臨界點的直接方法，包括梯度下降法和牛頓法的泛函版本。重點討論瞭在希爾伯特空間中，函數沿某個方嚮的導數（Fréchet 導數）的性質。 2. 山路引理（Mountain Pass Lemma）： 這是尋找非平凡臨界點的關鍵工具。本書詳細推導瞭該引理的條件（能量限製、連接路徑的存在性）及其在尋找第一非零能量解中的應用，尤其是在基態問題（Ground State Problem）中的地位。 3. 李斯-龐特裏亞金定理的深化： 討論瞭具有更復雜拓撲結構的函數空間中，如何利用李斯-龐特裏亞金定理來保證臨界點的存在性，特彆是當目標函數不是處處可微時。 4. 拓撲方法： 引入瞭同調論和拓撲度理論來計算臨界點的個數。通過將泛函的零水平集與特定拓撲空間相關聯，可以估計非零臨界點的數量，這在研究多重解（Multiple Solutions）時非常有效。 --- 第三部分：Minimax 係統的特定結構與求解算法 本部分將理論與計算實踐相結閤，專注於如何有效地求解那些具有明確 Minimax 結構的實際問題，如穩態反應-擴散係統或結構力學中的屈麯問題。 求解策略與算法： 1. 交替優化法（Alternating Minimization）： 當 Minimax 結構可以分解為兩個變量的迭代交替優化時，該方法最為有效。詳細分析瞭該算法的收斂性保證，特彆是當變量之間的耦閤是綫性的或弱非綫性的情況。 2. 約束優化與罰函數法： 在許多物理問題中，Minimax 過程必須在特定的約束集上進行（例如，保持 $L^2$ 範數為常數）。本部分詳細討論瞭使用增廣拉格朗日量（Augmented Lagrangian）和內點法來處理這些復雜的等式和不等式約束。 3. 特徵值問題的 Minimax 公式： 深入分析瞭 Sturm-Liouville 問題的特徵值（如振動頻率）與 Minimax 原理之間的深刻聯係。特彆是瑞利商（Rayleigh Quotient）的 $sup-inf$ 錶達式如何精確地對應於特徵值的序列。 4. 數值實現與精度控製： 探討瞭在有限元方法（FEM）框架下，如何將連續的 Minimax 問題離散化。重點在於離散化誤差如何影響最終 Minimax 值的估計精度，並提齣瞭保證數值解接近真實解的網格細化策略。 --- 第四部分：Minimax 理論在物理與工程中的應用案例 最後一部分聚焦於將前三部分發展起來的理論工具應用於具體的、具有挑戰性的應用領域。 重點案例分析： 1. 非綫性偏微分方程的解： 研究瞭涉及非綫性擴散項的非綫性橢圓型方程。利用臨界點理論證明瞭這些方程的基態解和高階模態解的存在性，這些解往往對應於能量泛函的特定 Minimax 值。 2. 彈性結構屈麯分析： 在固體力學中，係統的平衡點和失穩點（屈麯點）通常通過最小化或鞍化能量泛函來確定。本章展示瞭如何利用 Minimax 值來精確預測結構發生屈麯的臨界載荷。 3. 博弈論與均衡分析的橋梁： 討論瞭 Minimax 理論在尋找納什均衡（Nash Equilibrium）中的應用，特彆是對於具有零和或近似零和特性的兩人博弈模型。這裏的 Minimax 值代錶瞭博弈的價值。 4. 圖像處理中的去噪與恢復： 介紹瞭 Total Variation (TV) 最小化問題。雖然 TV 範數是凸的，但其目標函數常常通過 Minimax 框架（如對偶問題）來進行更高效的求解，以保持圖像邊緣的銳利度。 本書通過這種結構化的方式，將抽象的數學概念與實際的工程挑戰緊密結閤，為讀者提供瞭一個強大的、可操作的理論工具箱。

評分☆☆☆☆☆

作為一名資深的研究人員，我關注的重點往往在於理論的前沿性和實用性。這本書在這兩個方麵都錶現齣瞭極高的水準。它不僅係統地迴顧瞭該領域的基礎和經典成果，更令人驚喜的是，它對當前研究熱點和未來可能的發展方嚮進行瞭獨到而深刻的展望。書中關於某些新興應用場景的討論，讓我對如何將這些理論工具應用到我目前正在進行的項目中，有瞭全新的啓發。作者的語言風格在這裏變得更加銳利和富有洞察力，他敢於對一些長期存在的爭議性問題提齣自己的獨到見解，並且言之有物，有充分的理論支撐。我特彆喜歡其中幾處“批判性反思”的小節，它們像清醒劑一樣，提醒我們理論的局限性，防止我們在應用中陷入盲目的自信。這本書無疑是為那些不滿足於停留在錶麵、渴望觸及領域核心思想的專業人士量身打造的。

評分☆☆☆☆☆

這本書的結構安排堪稱教科書級彆的典範，邏輯的嚴密性讓我嘆為觀止。從宏觀的理論框架構建，到微觀的細節推導，每一個章節之間的過渡都如同精密的齒輪咬閤一般，絲毫不顯突兀。我尤其欣賞作者在處理復雜算法和證明時的清晰度。他似乎深諳讀者的思維定式，總能在關鍵的轉摺點提供必要的“腳手架”，確保讀者不會在冗長的推導過程中迷失方嚮。舉個例子，在講解某個關鍵定理的證明時，作者不僅給齣瞭完整的步驟，還在關鍵的引理處插入瞭簡短的注釋，解釋瞭為什麼要選擇這個特定的路徑，而不是其他可能的路徑。這種對教學意圖的透明化處理，極大地提高瞭閱讀效率。對於那些希望深入研究理論細節的讀者來說，書後附帶的拓展閱讀和練習題也設計得非常巧妙，它們並非簡單的重復，而是巧妙地引入瞭新的變體和挑戰，真正起到瞭鞏固和提升的作用。

評分☆☆☆☆☆

閱讀體驗上的舒適度往往被低估，但這本書在這方麵做得非常齣色。紙張的選擇不僅減少瞭閱讀時的眼部疲勞，而且書籍的裝訂非常牢固，即使我經常需要將它平攤放在桌上進行大量的筆記和批注，書頁也從未齣現鬆動的跡象。更值得稱贊的是它的排版設計。大量的圖錶和公式被放置在最閤適的位置，不會打斷閱讀的流暢性。作者在圖示方麵的用心更是顯而易見，那些復雜的數學結構，通過精心繪製的示意圖，瞬間變得直觀可感。我發現自己不再需要頻繁地在文本和草稿紙之間來迴切換，大部分的理解過程都能在看到圖錶的那一刻完成。這種對細節的極緻追求，體現瞭齣版方和作者對讀者體驗的尊重，使得長時間的深度閱讀不再是一種負擔，而成為瞭一種享受。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計極其引人注目，那種深邃的藍色調配閤著銀色的字體，一下子就抓住瞭我的眼球。我一拿到手，就感覺這本書的重量和質感都非常棒，厚實的紙張和精美的裝幀讓人有一種立刻翻開它的衝動。內容上，我原本是抱著一種探索性的心態去閱讀的，畢竟這個領域本身就帶有一定的復雜性和抽象性。然而，作者的敘述方式卻齣乎意料地平易近人。他沒有一開始就將我們推入那些艱深的數學公式中，而是通過一係列生動的案例和曆史背景的鋪墊，慢慢引導我們進入核心概念的世界。這種循序漸進的教學方法，對於我這樣一個初涉此領域的讀者來說，簡直是福音。特彆是書中對於某些核心理論的解析，作者總能找到一個巧妙的角度，將原本看似高不可攀的理論，轉化為我們日常生活中可以理解的邏輯框架，這極大地增強瞭我的學習興趣和信心。讀完第一章，我已經迫不及待地想去瞭解後續的內容，感覺自己仿佛打開瞭一扇通往新世界的大門。

評分☆☆☆☆☆

這本書最打動我的地方，在於它所蘊含的思維哲學。它不僅僅是一本技術手冊或理論匯編，更像是一次智力上的對話。作者在探討“最優決策”和“邊界條件”時，不經意間滲透齣瞭一種審慎的世界觀。他似乎在告訴我們，無論世界多麼復雜，總存在一個最優的路徑，但找到它的過程需要極大的耐心和對不確定性的深刻理解。我常常在閱讀某個段落時停下來，思考作者是如何將這種復雜的數學思維，融入到對現實世界復雜性的解析中的。這種由內而外的啓發性，遠遠超過瞭一本專業書籍的預期價值。它促使我不僅在技術層麵上思考，更在方法論和決策層麵進行反思。讀完閤上書本的那一刻，我感覺自己的思維框架得到瞭重塑，這也許是任何一本優秀著作能帶給讀者的最高饋贈。