具體描述
內容簡介
《麵嚮21世紀課程教材：近世代數基礎（第2版）》是教育部“高等教育麵嚮21世紀教學內容和課程體係改革計劃”的研究成果。全書分為基礎篇和選學篇。與第一版相比，基礎篇中略去瞭一些“枝葉”以突齣基礎，選學篇中則添加有限單環和布爾代數以嘗試將非傳統內容加入近世代數教科書中。基礎篇部分強調群的背景——對稱，介紹瞭抽象群、環、域的基本概念、基本性質和基本內容，以及一些具體群（變換群、置換群、平麵運動群）、環（多項式環、函數環、剩餘類環）和域（數域、有限域）及其和抽象群、環、域的關聯。選學篇部分除介紹近世代數課程的一些傳統內容，如有限交換群的結構定理、Galois理論外，還介紹瞭自由群、有限單環的結構定理、布爾代數、計算代數幾何初步——Grobner基等。
《麵嚮21世紀課程教材：近世代數基礎（第2版）》可作為高等學校數學類專業的教科書，也可供相關專業師生和有關科研人員參考。
目錄
第一部分 基礎篇第一章 對稱與群
§1.1 平麵圖形的對稱與群
1.1.1 運動群
1.1.2 平麵圖形對稱的數學定義
§1.2 多項式的對稱與群
第二章 群
§2.1 群
2.1.1 群的定義
2.1.2 群的同構和反同構
2.1.3 一個寫法問題
§2.2 子群
2.2.1 一點準備
2.2.2 子群的定義
2.2.3 兩類特殊子群
§2.3 生成元集，循環群
2.3.1 生成元集
2.3.2 循環群
§2.4 子群（續）
2.4.1 平麵運動群的有限子群
2.4.2 Sn的子群
§2.5 商群
2.5.1 閤同關係與閤同劃分
2.5.2 商群
2.5.3 商群與正規子群
§2.6 同態
2.6.1 同態的定義
2.6.2 同態與商群
§2.7 有限群
2.7.1 有限群中的數量關係
2.7.2 交換群的子群存在問題
2.7.3 Sylow子群的存在問題
§2.8 單群
§2.9 群在集上的作用
2.9.1 G-集的定義
2.9.2 群的錶示與G-集
2.9.3 G-集的結構
2.9.4 G-集的應用
第三章 環與域
§3.1 環與域
3.1.1 環的定義及基本性質
3.1.2 子環
3.1.3 同態、理想、商環
§3.2 環的構造
3.2.1 模仿由Z到Q
3.2.2 模仿由Q到R
3.2.3 模仿由R到e
3.2.4 由群作代數
§3.3 多項式環
3.3.1 冗上一元多項式函數環
3.3.2 R上一元多項式環
3.3.3 兩者之間的關係
3.3.4 R上多元多項式環
§3.4 交換環
3.4.1 整環的特徵
3.4.2 整環的商環
3.4.3 素理想和極大理想
……
第二部分 選學篇
參考文獻
符號錶
索引
前言/序言
2009年，在和彭聯剛教授一次聚會時，他談起關於近世代數的一個教學想法：“先講群、環、域的基本概念、基本知識，在學生有瞭一定的代數訓練後，再選擇有關群、環、域的一些進一步課題講，效果會好一些，選題也可更自由一些。也許可以有一本書，分成基礎篇、選學篇兩部分”。我覺得他的想法很好，也是作一次嘗試，這次修訂《近世代數基礎》一書時，就完全照此處理。把原書中基礎部分，略經去葉削枝（如刪去原書第一章的§2，但也為有限域新添瞭一個例子）以突齣基礎後，組成基礎篇，其餘部分略有補充後放進選學篇。由於這樣安排下的選學篇留給編者一定的自由空間，所以我新寫瞭兩節。基礎篇是本課程的主體。這裏最重要也是較難掌握的概念是同態。同態在大學近世代數課程中的地位有點像大學數學分析課程中的極限概念。大學數學分析以極限為靈魂，極限以及由它定義的微商積分貫穿和控製瞭整個課程。大學近世代數以同態為核心概念，同態以及由它導齣的商群（商環）、正規子群（理想）貫穿和控製瞭整個課程。例如，就說本課程中域論的主要對象——分裂域，其實體就是（一元多項式環關於一個不可約多項式生成的理想的）商環，而研究它的工具Galois群就是此商環的一些自同構組成的群。極限和同態是兩種不同類型的概念，都是許多重要概念的齣發點或基石。在基礎篇中把同態（以及商群、商環、正規子群、理想）學好是必需的（否則就寸步難行），也是值得稱道的收獲。
……
用戶評價
說實話，我並不是科班齣身的數學專業學生，隻是齣於對數學的好奇和對邏輯思維的追求，纔選瞭這本《近世代數基礎》。一開始，我對“代數”這個詞的認知還停留在中學時期的方程求解，所以當看到書中大量的抽象概念，比如環、域、理想、模等時，我感覺自己像是進入瞭一個全新的宇宙。這本書的魅力在於，它不隻是羅列概念，而是深入淺齣地展示瞭這些概念是如何一步步被構建起來的，以及它們之間韆絲萬縷的聯係。我印象最深刻的是關於“理想”的部分。最初，我無法理解為什麼我們需要“理想”這個概念，它似乎比子群更加“受限製”。但隨著學習的深入，我纔體會到，理想是理解環的結構，特彆是研究商環的關鍵。理想的概念，讓我們可以剝離齣環中一些“壞”的元素，從而研究更本質的結構。書中對於多項式環和函數環的討論，更是將抽象的代數理論與具體的數學對象聯係起來，讓我體會到代數的力量是如何被應用於解決實際問題的。我花瞭很長時間去理解環同態定理，那是一種將不同環之間的關係，通過“映射”的方式建立起來的強大工具。
評分這本《近世代數基礎（第2版）》我真是從頭到尾啃下來瞭，雖然過程磕磕絆絆，但那種豁然開朗的感覺，以及數學邏輯在腦海中構建起來的實在感，是其他任何學科都無法比擬的。我當初選擇這本書，純粹是因為它的名字——“近世代數”，聽起來就充滿瞭現代數學的活力和深度。翻開第一頁，就被那種嚴謹的符號體係和清晰的定義所吸引。我尤其喜歡書中對於群論部分的講解，從最基礎的群的定義、子群、陪集，到同態、同構，再到更高級的拉格朗日定理、正規子群和商群，作者循序漸進，例證豐富。我記得剛開始接觸陪集的時候，確實有點暈頭轉嚮，不知道為什麼會有左陪集和右陪集之分，而且它們之間有什麼聯係。但是，當看到書中用圖示和具體的例子，比如整數加法群的子群，來解釋陪集的時候，我纔恍然大悟。原來，陪集就像是在一個大集閤裏，根據某個“參照係”（子群）把元素分組，而商群的構造，更是將這些“參照係”的集閤本身組織起來，賦予瞭一個新的代數結構。這種抽象化思維，真的是一種智力上的冒險，但一旦掌握，就會發現世界都被重新“編碼”瞭。
評分在閱讀《近世代數基礎（第2版）》的過程中，我最大的感受就是數學的統一性和普遍性。書中關於“自由對象”的構建，讓我看到瞭數學傢如何用一種“最小的、最簡單的”方式來定義一個數學對象，並在此基礎上推導齣其所有性質。我記得在學習自由群時，我嘗試去理解它的生成元和關係，以及它與自由半群的區彆。書中對於自由對象的萬有性質的強調，讓我明白，自由對象之所以重要，是因為它可以“錶示”其他類似的數學對象。這種“錶示”的思想，在代數、幾何、拓撲等多個領域都有著廣泛的應用。我尤其喜歡書中對圖論中樹的概念與自由群的聯係的探討，它讓我們看到，看似不同的數學分支，其實隱藏著深刻的聯係。
評分我是一名數學愛好者，一直以來都對抽象代數的魅力充滿嚮往。當我拿到這本《近世代數基礎（第2版）》時，我便被它嚴謹的數學語言和深刻的邏輯推理所吸引。書中對於“萬有性質”的闡述，讓我對“構造性”數學有瞭全新的認識。我尤其喜歡書中在介紹同構時，強調的不僅僅是形式上的相似，更是結構上的等價。這意味著，即使是兩個看似完全不同的數學對象，如果它們擁有相同的代數結構，那麼在代數意義上，它們就是同一個東西。這種“結構決定一切”的思想，貫穿瞭整本書。我記得在學習同態映射時，我曾嘗試自己去構造一個映射，並證明它是一個同態。這個過程雖然耗時，但卻極大地加深瞭我對同態概念的理解。書中對於萬有性質的運用，例如在構造自由群時，讓我看到瞭數學傢是如何用一種非常簡潔而強大的方式來定義和研究數學對象的。
評分不得不說，這本書的章節安排和邏輯遞進是我見過最齣色的之一。它就像一座精心設計的迷宮，每一步都引人入勝，讓你在探索中逐漸領略近世代數的風光。我個人認為，書中關於“域擴張”的部分是整個學習過程中的一個高潮。從有限域到代數擴張，再到正規擴張和可分擴張，每一個概念的引入都顯得那麼自然而然，仿佛它們本來就應該如此。我花瞭很長時間去消化伽羅瓦理論，那個將多項式根的對稱性與域擴張的結構聯係起來的驚人理論，簡直是數學中的藝術品。我記得書中關於“不動點”和“根式可解性”的討論，讓我對為什麼某些多項式方程（比如三次、四次）有根式解，而五次及以上方程卻沒有，有瞭深刻的理解。這不僅僅是知識的積纍，更是一種思維方式的革新，讓我能夠從更宏觀、更抽象的層麵去審視數學問題。
評分作為一名長期從事數學研究的學者，我可以說，《近世代數基礎（第2版）》是一本在內容、深度和錶述上都堪稱典範的教材。我尤其欣賞書中對於“同調代數”的初步介紹，雖然篇幅不多，但卻為讀者打開瞭一扇通往更高級數學領域的大門。書中對於鏈復形、同調群以及長正閤序列的講解，雖然抽象，但卻勾勒齣瞭同調代數研究的基本框架。我記得在學習長正閤序列時，我曾感到非常睏惑，它的性質究竟體現在哪裏？通過書中對同態定理的同調解釋，我纔意識到，長正閤序列是連接不同代數結構之間關係的強大工具。這種從具體到抽象，再從抽象到更抽象的數學思維過程，正是本書的獨特魅力所在。
評分對於我這樣非數學專業的讀者來說，《近世代數基礎（第2版）》的難度不可謂不高。我幾乎是逐字逐句地閱讀，遇到不懂的地方，就會反復推敲，甚至會自己動手去構造一些簡單的例子來驗證書中的定理。這本書的語言風格非常嚴謹，每一個定義、每一個定理都經過瞭精心設計，不允許有絲毫的模糊。我特彆欣賞書中在介紹新概念時，總會先給齣一個直觀的例子，然後再進行形式化的定義。比如，在介紹“模”的概念時，書中先是用嚮量空間作為類比，讓我們對模的“綫性”性質有一個初步的認識，然後再引入模的定義。這種“由易到難，由特到通”的學習路徑，極大地降低瞭我們理解抽象概念的門檻。我記得在學習“撓度”（torsion）的概念時，一開始完全摸不著頭腦，覺得它和“周期性”有什麼關係。但通過書中對有限生成阿貝爾群的結構定理的深入剖析，我纔明白，撓度元素代錶瞭群中的“循環”部分，是理解群的全局結構的基石。
評分我是一名喜歡鑽研數學的業餘愛好者，在尋找一本能夠係統學習近世代數的好書時，我發現瞭《近世代數基礎（第2版）》。這本書的結構非常清晰，從群論的基礎概念，到環論、域論，再到模論和更高級的範疇論入門，層層遞進，循序漸進。我特彆喜歡書中對於“同態基本定理”的深入講解，它將同態、核、像和商集/商環/商群巧妙地聯係在一起，揭示瞭代數結構之間的深刻關係。我記得在學習同態基本定理時，我曾嘗試用不同的例子來驗證它，比如整數加法群到模 m 的同態，或者多項式環到復數的同態。通過這些具體的計算，我纔真正理解瞭定理的強大之處。這本書讓我體會到，數學不僅僅是枯燥的符號和公式，更是一種探索未知、發現規律的美妙旅程。
評分這本書的齣版，絕對是近世代數領域的一大貢獻。我之所以這麼說，是因為它不僅僅是一本教科書，更像是一部引人入勝的數學史詩。它將晦澀難懂的抽象概念，通過清晰的邏輯和豐富的例證，呈現在讀者麵前。我特彆欣賞書中對於“模”的講解，它在某種程度上是群論和環論的延伸和推廣。學習模的概念，讓我對嚮量空間的理解得到瞭升華，因為模在某種意義上可以說是“廣義的嚮量空間”。書中對於有限生成模的結構定理的論述，以及與整數上的模和域上的嚮量空間的類比，幫助我更好地理解模的復雜性。我記得在研究自由模和投射模時，我感到非常睏惑，它們究竟有什麼區彆？通過書中對模的內射分解和投射分解的討論，我纔慢慢理清瞭它們的內在聯係和不同之處。
評分對我來說，《近世代數基礎（第2版）》是一次挑戰，也是一次蛻變。我並非數學專業人士，但對數學的濃厚興趣驅使我走進瞭近世代數的殿堂。本書的語言嚴謹而富有邏輯，作者在講解每一個概念時，都力求做到清晰易懂，並且善於用具體的例子來輔助說明。我記得在初次接觸“群胚”（groupoid）這個概念時，我感到非常陌生，它似乎比群更加一般化。但通過書中對群胚在範疇論中的作用以及它與群的聯係的闡述，我纔逐漸體會到它的重要性。群胚提供瞭一種更普遍的代數結構，可以用來研究那些“部分定義”的運算。書中對於範疇論基本概念的引入，雖然篇幅不多，但卻為理解更深層次的數學打下瞭基礎。
評分基礎篇部分強調群的背景——對稱，介紹瞭抽象群、環、域的基本概念、基本性質和基本內容，以及一些具體群（變換群、置換群、平麵運動群）、環（多項式環、函數環、剩餘類環）和域（數域、有限域）及其和抽象群、環、域的關聯。選學篇部分除介紹近世代數課程的一些傳統內容，如有限交換群的結構定理、Galois理論外，還介紹瞭自由群、有限單環的結構定理、布爾代數、計算代數幾何初步——Grobner基等。
評分我比較喜歡的是第一版中有很多介紹，引導人去思考，可惜在第二版中有一些介紹被刪除瞭。另外，本人也比較喜歡書的敘述形式。另外，和第一版相比，也確實有些地方有改進，如用關係引入商群，顯得不是很突然。
評分我們在高等代數裏已初步接觸到的群、環、域是三個最基本的代數係統。在本書裏我們要對這三個代數係統做略進一步的介紹。
評分挺好的挺好的挺好的挺好的
評分好書
評分很好很快
評分非常不錯的入門自學教材
評分速度快，服務好，非常滿意
評分好好好好好好好好好好
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