SOBOLEV空間與變分原理 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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張維弢 著

圖書標籤:

• 數學分析
• 泛函分析
• Sobolev空間
• 變分法
• 偏微分方程
• 函數空間
• 最優控製
• 非綫性分析
• 數值分析
• 應用數學

齣版社： 中國科學技術大學齣版社

ISBN：9787312030048

版次：1

商品編碼：11187651

包裝：平裝

齣版時間：2013-01-01

用紙：膠版紙

正文語種：中文

內容簡介

　　《SOBOLEV空間與變分原理》可作為高等院校數學係相關專業高年級學生和研究生的教材或學習參考書，也可供從事偏微、幾何和相對論等學科的研究人員參考。

作者簡介

　　張維弢，遼寜黑山人，1941年生，1965年畢業於中國科學技術大學應用數學係，1992年任中國科學院係統科學研究所研究員，中國科學院研究生院兼職教授。主要研究漸近分析、本徵值估計、控製鎮定性和變分方法的應用等，曾解決瞭J. L. Lions著作中的一個公開的問題，發錶論文三十餘篇。1986年在巴黎第六大學工作，1992年在意大利ICTP工作三個月。1999年獲中國科學院華為奬教金，2008年獲中國科學院研究生院“傑齣貢獻教師”稱號。

目錄

總序（ⅰ）
序（ⅲ）
第1章 Sobolev空間
1.1 Sobolev空間的引入
1.2 稠密定理
1.3 延拓定理
1.4 跡的啓示與Hadamard例
1.5 常用等式與不等式
1.6 跡定理
1.7 嵌入定理及其新進展
1.8 緊性定理

第2章 本徵值問題與Cheng-Li-Yau估計技巧
2.1 本徵值問題的一般性質
2.2 Pólya猜想與本徵值問題簡史
2.3 Hormander引理及其改進
2.4 Li-Yau對於λ1估計的小改進
2.5 CLY技巧在間斷係數的本徵值問題中的應用
2.6 柔性結構控製産生的新型本徵值問題
2.7 有關Fourier分析的注記
2.8 有關CLY估計技巧的注記與取材

第3章 變分形式與可解性
3.1 L-M引理與2m階橢圓算子在Hm（Ω）中的可解性
3.2 二階橢圓算子在H2（Ω）中的可解性
3.3 變分不等方程與可解性
3.4 單調算子理論
3.5 臨界點、形變引理、山路定理和臨界值的分類

第4章 變分形式中的漸近分析
4.1 “硬”問題在變分形式中的漸近展開
4.2 橢圓邊界層問題的一般收斂定理
4.3 Tartar的邊界層形態分析與Lions的公開問題
4.4 φ的改進與四階方程的邊界層形態分析
4.5 漸近分析的Poincaré定義與Lions定義
4.6 邊界層形態的另一描述
4.7 突變點、漸變與突變

第5章 HUM、Haraux引理與鎮定性
5.1 能量攝動方法簡介
5.2 乘子引理與可控性
5.3 Haraux引理
5.4 波方程的鎮定性
5.5 波方程第三邊值問題的精確可控性及其近似
5.6 乘子方法在橢圓方程中的應用

第6章 幾何與相對論中的變分問題
6.1 麯率變分實例
6.2 Riemann幾何初步與Rik-12gikR=0（n=2）
6.3 測地綫與質點運動的變分錶述
6.4 數量麯率的變分δ∫ωRG12dU
6.5 場方程的建立、Einstein的物理直覺和Hilbert的變分論證
6.6 經典檢驗、奇點睏惑和他山之石
6.7 本章小結
參考文獻

前言/序言

數學分析與泛函幾何的深度探索：現代分析中的拓撲與度量 本書導覽： 本著作旨在為高等數學、泛函分析、拓撲學以及幾何學領域的學生、研究人員和專業人士提供一本深入、嚴謹且富有啓發性的教材與參考書。我們專注於現代數學分析的基石——拓撲空間、度量空間的構建與性質，並將其延伸至函數空間的結構分析，特彆是與變分法、偏微分方程理論緊密相關的核心概念。本書的敘事邏輯清晰，從最基礎的集閤論概念齣發，逐步構建起抽象空間的嚴密框架，並通過大量精心挑選的例題和習題，引導讀者掌握這些高級工具的運用。 第一部分：基礎拓撲的構建與完備性 本書的開篇，我們將全麵梳理點集拓撲的精髓。這部分內容不僅僅是對拓撲空間定義的簡單復述，而是著重於拓撲結構如何塑造空間的內在性質。 1. 集閤論基礎與構造性思維： 我們首先迴顧必要的集閤論基礎，重點討論選擇公理在構建非構造性證明中的作用，以及良序定理在某些證明中的應用。隨後，引入拓撲空間的嚴格定義：開集、閉集、鄰域、基與緊緻性。我們強調，拓撲的本質在於“接近性”的概念，而非依賴於任何預先設定的距離函數。 2. 連續性與拓撲保持映射： 深入分析連續函數的拓撲定義，並將其與傳統的$epsilon-delta$定義進行對比，闡明拓撲視角下連續性的普適性。重點討論商拓撲（Quotient Topology）的構造，這是理解流形和幾何構造的關鍵工具。我們將詳細分析如何通過商映射保持或改變空間的拓撲性質，例如如何由直綫構造齣圓周拓撲。 3. 分離公理與特殊拓撲空間： 本書用相當篇幅討論分離公理（如Hausdorff性、正則性、正規性），這些公理是保障空間中點之間“可區分性”的前提。隨後，我們將詳細考察度量空間（Metric Spaces），它為拓撲結構賦予瞭量化的可能性。我們將探究：一個拓撲空間何時是可度量的？這引齣瞭一緻連續性與緊緻性之間的深刻聯係。 4. 完備性：分析的核心驅動力： 完備性是區分“好”空間與“壞”空間的關鍵性質。我們詳細分析Cauchy序列的概念，並引入拓撲完備性和度量完備性。Baire綱定理將在這一部分作為核心工具齣現，它揭示瞭完備度量空間（如函數空間）的拓撲性質，對於泛函分析中的存在性與唯一性證明至關重要。我們還將討論完備化的過程（如構造實數集 $mathbb{R}$ 的過程的推廣），以及完備正規空間的性質。 第二部分：函數空間與拓撲結構分析 在掌握瞭基礎拓撲後，我們將視角轉嚮無限維空間——函數空間。這部分內容直接銜接現代偏微分方程的求解理論和優化問題。 1. 範數空間的引入與拓撲依賴： 我們從有限維歐幾裏得空間齣發，引入範數（Norm）的概念，並展示範數如何誘導齣一種特定的拓撲結構。重點分析巴拿赫空間（Banach Spaces）的定義，即完備的賦範嚮量空間。我們將考察$L^p$空間，解析其在不同$p$值下的性質差異，特彆是Minkowski不等式的應用。 2. 拓撲的弱化與等價性： 本節深入探討在無限維空間中，強拓撲（如$L^p$的拓撲）與弱拓撲（Weak Topologies）之間的關係。我們將詳細解析弱收斂的定義，並探討其在泛函分析中的優勢：弱收斂往往更容易保持（例如，有界序列存在弱極限），這使得它成為處理積分方程和泛函優化的強大工具。Hahn-Banach定理將在此背景下被引入，揭示瞭綫性泛函的擴張性。 3. 緊緻性在函數空間中的體現： 在有限維空間中，有界閉集即緊集（Heine-Borel定理）。但在無限維空間中，這一性質不再成立。我們深入研究緊算子（Compact Operators）的概念，以及Ascoli-Arzelà 定理。該定理是證明解的存在性（特彆是利用Schäuder不動點定理）的關鍵橋梁，它為我們提供瞭在函數空間中識彆緊集的有效拓撲準則。 第三部分：測度論與幾何測度 本部分將拓撲結構與量化（測度）相結閤，為深入理解變分法中的能量泛函奠定基礎。 1. 從拓撲到測度： 我們將從可測空間的概念齣發，定義外測度，並詳細闡述Carathéodory外測度擴張定理，從而嚴格構造齣Lebesgue測度。我們強調測度理論的必要性：它解決瞭傳統黎曼積分在處理高度不連續函數時的局限性。 2. 積分理論的推廣： 深入講解Lebesgue積分的構造過程，特彆是單調收斂定理和Fatou引理，以及最為重要的Lebesgue控製收斂定理。這些收斂定理是分析中交換極限與積分順序的關鍵。 3. 泛函與對偶空間： 我們考察Sobolev空間（在此不詳述其構造細節，而是側重其作為函數空間的拓撲地位），並討論Riesz錶示定理在希爾伯特空間中的應用。我們將探討函數空間如何形成其自身的對偶空間，以及這些對偶空間（如$L^q$空間之於$L^p$空間）在變分問題中的物理意義和數學結構。 結語：分析的統一性 本書結構緊密，通過從點集拓撲到度量、再到泛函空間的遞進，構建瞭一個嚴密的現代分析框架。它清晰地展示瞭拓撲結構如何定義收斂性，而度量和範數如何提供定量分析的能力。讀者在掌握這些基礎後，將具備必要的數學工具，以便無縫銜接至更專業的領域，如微分幾何中的流形理論、算子理論，以及對物理係統和優化問題的嚴格數學建模。本書注重概念的精確性與邏輯的完整性，力求使讀者不僅“知道”這些定理，更能“理解”它們誕生的幾何與分析背景。

評分☆☆☆☆☆

這本書的書名就透著一股學術的嚴謹和深度，讓人一看就知道不是那種輕鬆的讀物。我雖然還沒有真正翻開它的扉頁，但光是“SOBOLEV空間”和“變分原理”這兩個詞組，就已經在我腦海中勾勒齣瞭一幅充滿抽象數學符號和深刻理論的大圖景。我想象著，它裏麵一定充滿瞭對函數空間性質的細緻探討，對偏微分方程解的存在性、唯一性和光滑性進行分析的嚴密論證。SOBOLEV空間本身就是研究偏微分方程的基石，它的定義、嵌入定理、跡定理等等，必然是本書的重頭戲。而變分原理，則是從能量最小化或者某種泛函極值的角度去尋找方程的解，這種思想在物理學、力學等眾多領域都有著廣泛的應用。我猜想，本書會將這兩者融會貫通，展示如何運用變分方法來解決更復雜、更具挑戰性的問題。這本書的學習麯綫想必是相當陡峭的，需要紮實的泛函分析基礎和一定的分析學功底。我期待它能帶領我深入理解那些抽象概念背後的幾何直觀，不僅僅是公式的推導，更能體會其內在的數學美。

評分☆☆☆☆☆

這本《SOBOLEV空間與變分原理》給我一種“高山仰止”的感覺。它並非那種能夠輕鬆愉快地捧在手中，邊喝咖啡邊隨意翻閱的書籍。我能預想到，它裏麵充斥著各種我需要反復咀嚼、細細品味的數學符號和定理。SOBOLEV空間，這個名字本身就意味著對函數的要求遠超一般的連續性或可微性，它涉及到函數的“廣義”導數，這在處理那些不那麼“規矩”的函數時顯得尤為重要。而變分原理，在我看來，是一種非常“哲學”的數學思想，它試圖從一個全局最優的視角來刻畫問題的本質，就像在尋找能量最低點一樣，這是一種非常強大的解決問題的範式。我好奇書中會如何將這兩種強大的工具結閤起來，去解決那些現實世界中的數學難題。這本書的學習過程，大概率會伴隨著無數次的“卡殼”和“頓悟”，需要我投入大量的時間和精力去消化吸收。我期待它能為我打開一扇通往更深層次數學世界的大門，讓我能更自信地去探索那些未知的領域。

評分☆☆☆☆☆

當目光掠過《SOBOLEV空間與變分原理》的書名，一種厚重而嚴謹的學術氛圍便撲麵而來。我能夠想象，這並非一本輕鬆的讀物，而是需要深厚的數學功底纔能駕馭的著作。SOBOLEV空間，這個概念本身就充滿瞭數學的魅力，它意味著對函數性質的更深層次的理解，涉及瞭函數的“廣義”導數，這對於處理現實世界中許多不那麼光滑的數學模型至關重要。而變分原理，則是一種強大的分析工具，它常常與物理學中的能量守恒、最小作用量等基本原理息息相關，通過尋找某個泛函的極值來刻畫問題的解。我迫切地想知道，這本書是如何將SOBOLEV空間這一精密的工具與變分原理這一深刻的思想相結閤，來解決那些棘手的數學問題。毫無疑問，閱讀這本書將是一次極具挑戰但又充滿迴報的學術探險，它要求學習者具備相當的耐心和毅力，去理解那些精妙的證明和抽象的概念。

評分☆☆☆☆☆

當我看到《SOBOLEV空間與變分原理》這個書名時，我的腦海中立刻閃現齣那些嚴謹的數學論證和抽象的幾何圖形。這不是一本我能輕鬆拿起，隨便翻翻的書，它散發著一種“硬核”學術的氣息。我想象著，書頁之間一定充滿瞭對函數空間的精妙定義，以及在這些空間中，函數導數的“泛化”概念是如何被建立起來的。SOBOLEV空間，在我看來，就是處理那些邊界處不那麼光滑，或者導數本身也存在奇異性的函數時的利器。而變分原理，則是一種從“能量”或者“代價”的角度去理解和求解問題的獨特視角，它將微積分中的求導思想升華到瞭一個更高的維度。我非常好奇，作者是如何將這兩個看似獨立的數學領域巧妙地結閤在一起，去解決那些在物理、工程等領域中齣現的復雜問題。這本書的學習過程，一定充滿瞭挑戰，需要我投入極大的耐心和毅力去理解那些精妙的證明和深刻的理論。

評分☆☆☆☆☆

《SOBOLEV空間與變分原理》——光是書名就給人一種莊重而深邃的感覺。它暗示著一場深入數學腹地的探索之旅，其中充滿瞭嚴謹的邏輯和抽象的思考。我腦海中浮現的，是關於函數集閤的精妙構造，以及在這個構造中，如何定義和理解那些“更廣泛”意義上的導數。SOBOLEV空間，在我看來，就像是為研究那些不那麼“乖巧”的函數而量身打造的精密工具，它允許我們討論在更一般的意義下函數的行為。而變分原理，則像是從整體性質齣發，尋找最優解的強大哲學，它將問題的本質提煉成一個泛函的最優值。我期待這本書能夠揭示SOBOLEV空間如何賦能變分原理，從而解決那些在經典數學框架下難以逾越的難題。這無疑是一本需要投入大量心血去鑽研的書籍，它的閱讀過程將是一場智力的馬拉鬆，而非輕鬆的散步，我為此做好瞭準備。

評分☆☆☆☆☆

書的質量不錯，內容比較深，先學亞當斯的吧

評分☆☆☆☆☆

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評分☆☆☆☆☆

還好還好還好還好還好還好還好還好還好還好還好還好還好還好還好還好

評分☆☆☆☆☆

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還好還好還好還好還好還好還好還好還好還好還好還好還好還好還好還好

評分☆☆☆☆☆

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評分☆☆☆☆☆

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