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《中等数学》编辑部 编

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• 解题技巧
• 进阶学习
• 挑战自我

出版社： 浙江大学出版社

ISBN：9787308118149

版次：1

商品编码：11313756

包装：平装

丛书名： 高中数学竞赛课程讲座

开本：16开

出版时间：2013-07-01

用纸：胶版纸

页数：158

正文语种：中文

内容简介

　　《高中数学竞赛课程讲座：组合数学》收集了近十年发表在中等数学上有关组合数学多篇文章。这些文章涉及组合数学的各个方面，包括分类计数、容斥原理、组合几何、组合恒等式等内容，讲解组合数学的基本概念、基本知识和基本的解题方法、技能，旨在培养学生分析问题和解决问题的能力。

目录

一、组合数及性质应用
（一）排列组合问题的基本解法
（二）组合求和
（三）组合数的算法和技巧
（四）用数学归纳法解组合问题
（五）介绍一个组合问题

二、组合计数
（一）数学竞赛中的计数问题
（二）数学归纳法解一类计数问题
（三）配对原理（映射法计数）
（四）一类染色问题的计数公式
（五）等分圆周内接三角形计数问题
（六）分组法

三、组合极值
（一）极值填数问题再探
（二）组合极值问题的常用解法

四、与棋盘有关的组合问题
（一）从“五子棋”到“马步跳”
（二）棋盘上的数学问题
（三）近年国内外与数表棋盘有关的竞赛题

五、组合构造
（一）两种基本的构造方法
（二）构造法在数学竞赛中的应用
（三）研究特例发现构造

六、染色与覆盖
（一）趣谈覆盖
（二）点的任意染色问题

七、图论问题
（一）与完全图有关的竞赛问题
（二）二部图在组合问题中的应用

八、组合杂谈
（一）有序化假设，寻找解题突破口
（二）利用转化思想解竞赛题
（三）解题小品——架桥结网
（四）解题小品——移形换位
（五）解题小品——归本溯源
（六）一个有趣的组合问题——五行轮填数

前言/序言

高中数学竞赛课程讲座：组合数学 内容概述 本书是一部系统性、进阶性的高中数学竞赛辅导读物，专注于组合数学这一充满趣味与挑战的数学分支。本书旨在为有志于冲击各类数学竞赛（如中国数学奥林匹克、美国数学竞赛等）的同学们提供坚实的基础知识、深入的解题技巧以及丰富的练习素材。全书内容紧密围绕组合数学的核心概念展开，从基础的计数原理出发，逐步深入到生成函数、图论基础、置乱排列、容斥原理等更高级的专题，并结合了大量经典的竞赛试题进行剖析，引导读者掌握解决复杂组合问题的策略与方法。 本书结构与内容详解 本书的章节设计循序渐进，逻辑严密，力求让不同水平的读者都能从中获益。 第一章：计数原理初步——排列与组合的基石 本章是组合数学的入门，详细介绍了排列与组合的基本概念、计算公式以及它们之间的联系与区别。 基本计数原理： 深入讲解加法原理和乘法原理，并通过大量实例展示它们在实际问题中的应用，如不同路线的规划、元素的选取与排列等。 排列： 区分有放回和无放回的排列，以及全排列、部分排列的概念。重点讲解涉及重复元素的排列问题，例如“aabbc”类型的排列数计算。 组合： 同样区分有放回和无放回的组合，以及组合数公式 $C(n, k) = frac{n!}{k!(n-k)!}$ 的推导与应用。详细讨论组合在分组、选派等问题中的运用。 排列与组合的混合应用： 学习如何根据问题特点，灵活运用排列和组合来解决更复杂的计数问题。例如，在特定条件下进行元素的选择与排列。 经典例题剖析： 选取一些初等但具有代表性的排列组合问题，进行详细的解题步骤分析，强调思维过程的严谨性。 第二章：进阶计数技巧——隔板法、捆绑法与分类讨论 在掌握了基本原理后，本章将介绍一些更具技巧性的计数方法，能够解决一些看似棘手的问题。 隔板法： 深入讲解隔板法在非负整数解、正整数解等方程整数解计数问题中的应用。例如，求解 $x_1 + x_2 + dots + x_k = n$ 的非负整数解的个数。 捆绑法： 介绍捆绑法在解决“相邻”、“不相邻”等排列问题中的应用。例如，在排列中要求某些元素必须相邻或必须不相邻的情况。 分类讨论思想： 强调在计数问题中，恰当的分类和讨论是避免重复或遗漏的关键。本章将通过多个实例展示如何根据问题的不同特征进行分类，然后对每一类分别计数，最后求和。 插空法： 讲解插空法在解决“不相邻”问题中的便捷性，例如，将若干个元素排成一列，要求其中某几个元素互不相邻。 例题精讲： 选取包含隔板法、捆绑法、分类讨论等技巧的经典竞赛题目，演示如何识别问题类型并运用相应的技巧。 第三章：容斥原理——“排除法”的艺术 容斥原理是组合数学中一种强大的工具，用于计算若干集合的并集大小，尤其是当直接计算难度较大时，通过排除重叠部分来获得最终结果。 容斥原理的基本形式： 介绍容斥原理在两个集合、三个集合情况下的公式推导与理解。 容斥原理的推广： 进一步讲解容斥原理在 $n$ 个集合情况下的普遍形式。 容斥原理在数论问题中的应用： 演示容斥原理如何应用于求解特定性质的整数个数，例如，求解在一定范围内的整数中，不被若干个互质数整除的数的个数。 容斥原理在图论与组合问题中的应用： 探讨容斥原理在其他组合学分支中的应用，例如，计算满足特定条件的子集数量。 经典容斥问题解析： 选取最具代表性的容斥原理应用题，详细讲解解题思路和步骤，帮助读者熟练掌握此方法。 第四章：生成函数——“编码”组合问题的利器 生成函数是组合数学中一种高级且灵活的工具，它将计数问题转化为多项式的运算，从而简化问题的分析。 多项式与级数： 回顾多项式和级数的基本概念，为生成函数的引入做铺垫。 普通生成函数： 介绍普通生成函数的构造方法，以及如何利用多项式乘法和幂级数运算来解决计数问题。例如，利用生成函数求解不定方程的整数解。 指数生成函数： 讲解指数生成函数的特点及其在处理排列问题中的优势，尤其是在涉及重复元素或特定顺序的计数问题上。 生成函数在递推关系求解中的应用： 展示如何利用生成函数将线性递推关系转化为代数方程，从而求解递推数列的通项公式。 实例与技巧： 通过多个不同类型的生成函数应用案例，讲解如何构造合适的生成函数，以及如何从生成函数中提取所需信息。 第五章：图论基础与计数——连接与结构的探索 图论作为组合数学的重要分支，研究对象是图，涉及顶点、边及其之间的关系，在很多组合问题中都扮演着核心角色。 图的基本概念： 介绍图的定义、类型（有向图、无向图）、顶点、边、度数、连通性等基本概念。 图的计数问题： 讨论一些基本的图计数问题，例如，不同图的个数，有标号图和无标号图的区别。 通路、回路与树： 讲解图中的通路、回路（圈）的概念，以及树的定义、性质和计数。 二分图与匹配： 介绍二分图的概念，以及匹配（特别是最大匹配）在某些组合问题中的应用。 图论思想在组合问题中的应用： 举例说明如何将一些抽象的组合问题转化为图的结构，然后利用图论的性质来求解。 第六章：置乱排列与递推关系——“错位”的奥秘 置乱排列（derangements）是组合数学中一个经典且有趣的问题，它研究的是将一组元素重新排列，使得没有任何元素出现在其原来的位置上的排列方式。 置乱排列的定义与计数： 引入置乱排列的概念，并推导其计数公式（$!n$ 或 $D_n$）。 置乱排列的递推关系： 建立置乱排列的递推关系，并展示如何利用递推关系进行计算。 置乱排列的应用： 探讨置乱排列在实际问题中的应用，例如，帽子分配问题。 与容斥原理的联系： 展示如何利用容斥原理来推导置乱排列的公式。 相关问题探讨： 讨论与置乱排列相关的变体问题，例如，至少一个元素在原位的排列数。 第七章：组合恒等式与数学归纳法 数学归纳法和组合恒等式是组合数学中常用的证明工具，能够帮助我们系统地证明数学命题。 数学归纳法的原理与应用： 详细讲解数学归纳法的证明步骤，并应用于证明组合数公式、递推关系等。 组合恒等式： 介绍一些重要的组合恒等式，例如，二项式定理、吸收恒等式、对称恒等式等。 组合证明技巧： 强调通过构造性计数（考虑同一事物，从不同角度计数）来证明组合恒等式。 利用恒等式简化计算： 展示如何利用已知的组合恒等式来简化复杂的组合计数表达式。 竞赛试题中的证明： 选取一些需要利用数学归纳法或组合恒等式进行证明的竞赛题目，进行详细的解题与证明过程分析。 第八章：抽屉原理与鸽巢原理 抽屉原理（或称鸽巢原理）是组合数学中最简单但又最强大的证明工具之一，用于证明某些集合中必然存在具有特定性质的元素。 抽屉原理的基本形式： 介绍抽屉原理的两个基本形式，以及它们的直观理解。 广义抽屉原理： 讲解广义抽屉原理，以及它在处理更复杂问题中的应用。 抽屉原理的应用： 通过大量实例展示抽屉原理在数论、几何、图论等领域的广泛应用。例如，证明在一定数量的整数中，必然存在两个数的差（或和）是某个特定整数的倍数。 抽屉原理的变体与技巧： 探讨抽屉原理的一些变体和巧妙运用方法。 例题剖析： 选取包含抽屉原理的典型竞赛题目，进行深入的解题分析。 第九章：高级计数主题与技巧（选讲） 本章将介绍一些更高级的组合数学主题，为有余力的读者提供进一步探索的空间。 斯特林数（Stirling Numbers）： 介绍第一类和第二类斯特林数的定义、性质及其在划分问题中的应用。 整数拆分（Integer Partitions）： 探讨整数拆分的定义、生成函数以及相关的计数问题。 Burnside引理与Polya计数定理（概念介绍）： 简要介绍Burnside引理和Polya计数定理的核心思想，以及它们在具有对称性的计数问题中的作用。 组合设计（Designs）初步： 简要介绍组合设计的基本概念，如平衡不完全区组设计（BIBD）。 附录： 常用组合数学公式汇总 数学术语中英文对照表 参考文献 本书特色 内容全面且深入： 涵盖了高中数学竞赛中最核心、最常用的组合数学知识点，从基础到进阶，由浅入深。 例题丰富且典型： 精选了大量来自国内外知名数学竞赛的真题和改编题，涵盖了各种题型和解题技巧。 讲解清晰且透彻： 对每一个概念、定理都进行了详细的推导和阐释，并辅以直观的解释和类比，帮助读者建立深刻的理解。 技巧性与系统性并重： 不仅传授解题技巧，更注重培养读者严谨的数学思维和解决问题的系统性方法。 循序渐进的难度设计： 章节之间逻辑紧密，难度逐步提升，适合不同基础的竞赛选手。 启发性与探索性： 鼓励读者独立思考，通过对例题的深入研究，掌握解题的“道”，而不仅仅是“术”。 适用读者 高中数学竞赛选手： 准备参加全国高中学生数学联赛、中国数学奥林匹克、美国数学竞赛（AMC）、国际数学奥林匹克（IMO）等各类数学竞赛的学生。 对组合数学感兴趣的学生： 希望系统学习和深入理解组合数学知识的初高中生。 数学爱好者： 喜欢挑战思维、探索数学奥秘的各类读者。 数学教师与教练： 作为教学参考、竞赛辅导的优质资源。 本书将带领读者进入一个充满逻辑、结构与创意的数学世界，通过对组合数学的深入学习，不仅能提升竞赛成绩，更能培养严谨的逻辑思维、强大的分析能力和解决问题的创新精神。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本《高中数学竞赛课程讲座：组合数学》时，我并没有抱太大的期望，毕竟组合数学这个领域，即使是专业的数学书籍，很多时候也显得晦涩难懂。然而，这本书却完全颠覆了我的认知。作者的叙述方式非常独特，他并没有采用那种一本正经的“教条式”讲解，而是更像一位经验丰富的教练，带着你一起“打怪升级”。书中的题目难度循序渐进，从基础的概念引入，到经典的组合恒等式，再到一些进阶的难题，都处理得恰到好处。我印象特别深刻的是关于“生成函数”的那一部分，作者用一种非常直观的方式解释了它的原理和应用，让我这个之前对此一窍不通的读者，也能够逐步领会其精髓。而且，书中有很多题目是作者自己原创的，或者是在经典题目上进行了巧妙的变体，这使得内容既有深度又不失新意。读这本书，感觉就像是在参加一场高质量的数学训练营，每一章都像是一次体能和技巧的考验，而每一次的成功“通关”，都让我对自己的能力更有信心。它不仅仅是知识的传授，更是一种学习方法的启迪。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我带来的最大感受，是那种“原来如此”的豁然开朗。在我翻阅《高中数学竞赛课程讲座：组合数学》之前，我对许多组合数学中的概念，比如“斯特林数”、“贝尔数”等，都感到十分陌生和难以理解。然而，作者以一种非常系统和渐进的方式，层层剥茧地将这些概念展现在读者面前。他非常善于通过“可视化”的手段来辅助理解，比如用图形、表格等方式来展示组合结构的构成和变化，这极大地降低了理解的门槛。我特别欣赏书中关于“递推关系”的讲解，作者不仅给出了多种求解递推关系的方法，更重要的是，他强调了如何通过分析问题的结构来构建递推关系，这是一种更深层次的数学思维训练。而且，书中的习题难度设置也非常合理，从基础巩固到能力提升，再到思维拓展，各个层次的题目都覆盖到了。读完这本书，我感觉自己在组合数学的知识体系上，已经建立起了一个扎实而完整的框架，这为我日后的深入学习和参加竞赛打下了坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

这本《高中数学竞赛课程讲座：组合数学》真是太令人惊喜了！当我第一次翻开它时，就被那种严谨而又不失趣味的讲解风格深深吸引。作者显然对组合数学有着深厚的造诣，并且擅长将抽象的概念化繁为简。书中不仅仅罗列了各种定理和公式，更重要的是，它通过大量精心设计的例题，引导读者一步步理解解题思路和技巧。我尤其喜欢书中对“隔板法”和“容斥原理”的讲解，它们被剖析得淋漓尽致，让我对这些曾经感到头疼的知识点豁然开朗。不仅仅是题目的技巧，更让我受益匪浅的是书中对数学思维的培养。作者在讲解过程中，会穿插一些数学史的趣闻，或者对某个问题的不同解法进行比较分析，这让学习过程不再枯燥，而是充满了探索的乐趣。读完几章，我感觉自己对组合数学的理解上升了一个台阶，解决一些复杂的组合问题也变得更加得心应手了。对于任何想要在数学竞赛中取得突破，尤其是对组合数学领域有志于深入研究的高中生来说，这本书绝对是不可多得的宝藏。它不仅提供了扎实的理论基础，更点燃了我对数学的热情，让我更加渴望去挑战那些更具难度的数学难题。

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，好的数学书不仅仅是知识的载体，更是一种思维的启迪。而这本《高中数学竞赛课程讲座：组合数学》，无疑是其中的佼佼者。作者的语言风格非常接地气，他能够用最简单易懂的语言，解释最复杂的数学概念。我喜欢书中那种“对话式”的讲解，感觉就像作者坐在我身边，耐心地解答我的每一个疑问。例如，在讲解“鸽巢原理”时，作者通过一系列生活化的例子，比如分发糖果、安排座位等，让读者轻松理解这个看似朴素却蕴含深刻哲理的原理。书中对“二项式定理”的拓展和应用，也让我耳目一新，它不仅仅是简单的展开，更是与其他组合计数方法巧妙结合的典范。此外，书中还穿插了一些关于数学竞赛的实战经验和备考建议，这对于正在备战竞赛的同学来说，无疑是巨大的福音。总而言之，这本书不仅仅是一本组合数学教材，更是一本能够激发学习兴趣、培养数学思维的优秀读物。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我之前对组合数学一直有些畏惧，总觉得它充满了各种奇特的公式和复杂的计数技巧，难以把握。但《高中数学竞赛课程讲座：组合数学》这本书，彻底改变了我的看法。它就像一束光，照亮了我之前混沌不清的思维。作者的讲解非常清晰，每一个概念的提出都有充分的铺垫和解释，不会让你觉得突兀。我特别赞赏书中对于“图论”在组合数学中的应用的阐述，这部分内容我之前接触得比较少，但这本书通过生动的图示和详尽的分析，让我看到了图论的魅力，也学会了如何运用图论的工具去解决组合问题。而且，书中的练习题设计得非常巧妙，很多题目都充满了“智慧”，需要你跳出思维定势，从不同的角度去思考。解答过程中，作者并没有直接给出答案，而是引导你去分析问题的本质，寻找更优的解法。这种“授人以鱼不如授人以渔”的教学方式，让我真正学会了如何独立思考和解决问题。这本书不仅提升了我的数学知识水平，更重要的是，它让我爱上了组合数学。

评分☆☆☆☆☆

好

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烜霸，加油干，必胜(●—●)

评分☆☆☆☆☆

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一般

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一般

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6.18买的，实惠方便！送货速度快，好评！《高中数学竞赛课程讲座：几何问题》按照高中数学竞赛大纲要求，详细讲解了初等几何（解析几何、立体几何和平面几何）的基本概念、基本知识和基本的解题方法、解题技能，旨在提高学生的解决问题和分析问题的能力。