數學經典教材（影印版）：理想、簇與算法（第3版） pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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[美] D.考剋斯（David Cox） 著

圖書標籤:

• 數學
• 代數幾何
• 理想理論
• 簇
• 算法
• 經典教材
• 影印版
• 高等教育
• 數學教材
• 學術著作

齣版社： 世界圖書齣版公司

ISBN：9787510058400

版次：3

商品編碼：11316304

包裝：平裝

開本：24開

齣版時間：2013-03-01

用紙：膠版紙

頁數：551

正文語種：英文

內容簡介

　　The book assumes that the students will have access to a computer algebra system.Appendix C describes the features of AXIOM， Maple， Mathematica， and REDUCE that are most relevant to the text. We do not assume any prior experience with a com-puter. However， many of the algorithms in the book are described in pseudocode， which may be unfamiliar to students with no background in programming. Appendix B con-tains a careful descripLion of the pseudocode that we use in the text.

內頁插圖

目錄

Preface to the First Edition
Preface to the Second Edition
Preface to the Third Edition
1 Geometry, Algebra, and Algoritlnns
1. Polynomials and Affine Space
2. Affine Varieties
3. Parametrizations of Affine Varieties
4. Ideals
5. Polynomials of One Variable
2. Groebner Bases

2. Orderings on the Monomials in k[xl xn]
1. Introduction
3. A Division Algorithm in k[xl Xn]
4. Monomial Ideals and Dickson's Lemma
5. The Hilbert Basis Theorem and Groebner Bases
6. Properties of Groebner Bases
7. Buchberger's Algorithm
8. First Applications of Groebner Bases
9. (Optional) Improvements on Buchberger's Algorithm
3. Elimination Theory
1. The Elimination and Extension Theorems
2. The Geometry of Elimination
3. Implicitization
4. Singular Points and Envelopes
5. Unique Factorization and Resultants
6. Resultants and the Extension Theorem
……
3. Elimination Theory
4. The Algebra-Geometry Dictionary
5. Polynomial and Rational Functions on a Variety
6. Robotics and Automatic Geometric Theorem Proving
7. Invariant Theory of Finite Groups
8. Projective Algebraic Geometry
9. The Dimension of a Variety
Appendix A.Some Concepts From Algebra
Appendix B.Pseudocode
Appendix C.Computer Algebra Systems
Appendix D.Independent Projects
References
Index

前言/序言

《理想、簇與算法》：一窺代數幾何的深度之美 代數幾何，作為一門融閤瞭代數、幾何與拓撲學的精深學科，長期以來以其抽象的語言和深邃的思想吸引著數學傢們。它不僅為我們理解幾何對象的本質提供瞭強大的工具，更在理論物理、密碼學、計算機科學等領域展現齣其不可估量的應用價值。《理想、簇與算法》（第三版）正是這樣一部力作，它以清晰的脈絡和嚴謹的論證，帶領讀者深入探索代數幾何的核心概念，領略其數學的嚴謹與美的統一。 本書的魅力首先體現在其對“理想”這一核心概念的深入闡釋。在代數幾何中，“理想”並非日常生活中“不完美”的含義，而是指多項式環中的一個特殊子集，它承載著幾何對象的結構信息。本書將從最基礎的理想理論齣發，逐步引導讀者理解理想與代數簇之間的深刻聯係。讀者將學習到如何通過多項式方程組的解集來刻畫代數簇，以及如何利用理想的性質來研究這些幾何對象。從希爾伯特基定理到諾特定理，本書將逐一揭示這些奠基性理論的深刻內涵，並展示它們在理解和分類代數簇方麵的關鍵作用。 “簇”（或稱代數簇）是代數幾何研究的另一核心對象，它們是代數方程組的公共解集所形成的幾何空間。本書將係統地介紹不同類型的代數簇，從最簡單的直綫、圓錐麯綫，到更復雜的麯麵和高維簇。讀者將有機會接觸到射影簇、仿射簇等基本概念，並理解它們之間的關係。本書不僅會討論簇的定義和性質，還會深入探討簇的幾何結構，例如維度、奇點、連通性等。通過對具體例子和定理的解析，讀者將逐漸建立起對代數簇的直觀認識，並學會如何運用代數工具來分析它們的幾何特性。 “算法”在本書中的齣現，預示著代數幾何不再僅僅是理論的殿堂，更是一門可以付諸實踐的學科。隨著計算機科學的發展，許多經典的代數幾何問題都可以通過算法來解決。本書將介紹一些在代數幾何領域具有重要地位的算法，例如格勒布納基（Gröbner Basis）算法。讀者將瞭解到格勒布納基基如何能夠係統地求解多項式方程組，從而為代數簇的計算和分析提供強大的工具。通過對算法的講解，本書將展示代數幾何在實際應用中的潛力，以及如何將抽象的數學理論轉化為可執行的計算過程。 第一部分：理想的基石——構建代數幾何的語言 本書的開篇，將帶領讀者穿越代數結構的大門，聚焦於“理想”這一在代數幾何中扮演著核心角色的概念。理想並非抽象的哲學思辨，而是多項式環中一種結構化的子集，它蘊含著描述幾何對象的深刻信息。 環論基礎的迴顧與延伸：在正式進入理想的世界之前，本書將巧妙地迴顧與代數幾何密切相關的環論基礎。讀者將重溫交換環、理想、商環等基本概念，並在此基礎上，深入理解多項式環 $k[x_1, dots, x_n]$ 的特殊性，其中 $k$ 是一個域。我們將強調多項式環作為構造代數幾何對象的“磚石”，以及它在代數幾何中的基礎地位。 理想的定義與基本性質：本書將嚴謹地定義理想，並詳細闡述其基本性質，例如理想的生成元、理想的包含關係、理想的和與積等。讀者將學會如何識彆一個子集是否為某個環的理想，並理解理想的生成元係統所代錶的幾何意義。 希爾伯特基定理（Hilbert Basis Theorem）：這是理解理想理論的第一個裏程碑。本書將對希爾伯特基定理進行詳盡的闡述和證明，揭示任何交換諾特環（例如多項式環 $k[x_1, dots, x_n]$）的每個理想都是有限生成的。我們將深入探討這個定理的意義，它保證瞭我們總能用有限個多項式來“定義”一個代數幾何對象，為後續的計算和分析奠定瞭基礎。 理想與方程組的聯係：本書將清晰地展示理想與代數方程組之間的緊密聯係。我們將引入“零點集”（Variety）的概念，即一組多項式在域 $k$ 中的公共零點構成的集閤。我們將證明，一個理想 $I subseteq k[x_1, dots, x_n]$ 的零點集 $V(I)$ 決定瞭這個理想的某些性質，反之亦然。這種雙嚮的聯係是代數幾何“由代數到幾何，由幾何到代數”的核心思想的體現。 理想的運算與幾何解讀：我們將探討理想的各種運算，例如根理想（Radical Ideal）和零點集之間的關係。讀者將理解根理想 $sqrt{I}$ 的概念，並學習到 $V(I) = V(sqrt{I})$ 這一重要的幾何性質。此外，我們還將介紹理想的交集、積與和在幾何上的對應關係，例如 $V(I cap J) = V(I) cup V(J)$ 和 $V(I + J) = V(I) cap V(J)$。 第二部分：簇的構建——幾何對象的優雅形態 在掌握瞭理想的理論基石後，本書將自然地將讀者引入“簇”的世界。簇是代數幾何研究的核心對象，它們是代數方程組的解集在幾何空間中的具體體現。 代數簇的定義與分類：本書將正式定義代數簇，並根據其嵌入的空間不同，區分仿射簇（Affine Variety）和射影簇（Projective Variety）。我們將詳細闡述仿射空間 $mathbb{A}^n$ 和射影空間 $mathbb{P}^n$ 的結構，以及由齊次多項式方程定義的射影簇的獨特性質。 基點消除（Radical Ideal）與零點集：我們將重申理想的根與零點集的關係，並深入探討如何通過根理想來精確地描述一個代數簇。本書將引入“多重性”（Multiplicity）的概念，並說明根理想隻能確定簇的“幾何形態”，而原始理想則包含瞭更豐富的代數信息。 簇的幾何性質：本書將引導讀者探索代數簇的各種幾何性質。我們將討論簇的維度（Dimension）如何由其坐標環的代數性質所決定。此外，我們還將介紹簇的奇點（Singularities）的概念，並討論如何通過判彆式等代數方法來檢測奇點。連通性（Connectivity）和不可約性（Irreducibility）也是簇的重要幾何屬性，我們將探討它們與理想的素分解（Prime Decomposition）之間的聯係。 坐標環與函數的視角：本書將引入“坐標環”（Coordinate Ring）的概念，即一個代數簇上的多項式函數的集閤。我們將在理想與簇之間建立起更加深刻的聯係，即一個簇與其坐標環之間存在著一種對偶關係。通過研究坐標環的代數性質（例如整性、因子分解等），我們可以推斷齣簇的幾何性質。 具體案例的分析：為瞭加深理解，本書將穿插對經典代數簇的分析，例如點、直綫、平麵、圓錐麯綫、二次麯麵等。通過對這些具體對象的代數描述和幾何分析，讀者將能夠更直觀地感受到代數幾何的威力。 第三部分：算法的賦能——從理論到計算的橋梁 代數幾何的精妙之處不僅在於其理論的深度，更在於其計算的有效性。本書的第三部分將重點介紹實現代數幾何計算的關鍵算法。 格勒布納基（Gröbner Basis）的引入：格勒布納基是解決多項式方程組問題的一項革命性工具。本書將詳細介紹格勒布納基的概念、構造算法（例如Buchberger算法）及其基本性質。讀者將瞭解到，一個理想的格勒布納基基能夠係統地簡化多項式方程組，從而使得求解零點集、判斷零點集是否為空、求解多項式方程組的公共解等問題變得可行。 格勒布納基在代數幾何中的應用：我們將深入探討格勒布納基基在代數幾何中的廣泛應用。例如，如何使用格勒布納基來判斷一個點是否位於某個代數簇上，如何計算代數簇的維度，如何實現代數簇的投影，以及如何處理代數簇的交集等問題。 其他重要算法的概覽：除瞭格勒布納基，本書還將簡要介紹其他在代數幾何領域有重要應用的算法，例如多項式因式分解算法、多項式餘數定理及其推廣等。這些算法共同構成瞭代數幾何計算的工具箱。 計算代數幾何的視角：本書將強調計算代數幾何的重要性，並展示代數幾何理論如何轉化為可實現的計算機程序。讀者將理解，通過算法的運用，代數幾何不再僅僅是理論傢的玩具，而是解決實際問題的強大工具。 學習的收獲與展望 《理想、簇與算法》（第三版）並非一本淺嘗輒止的入門讀物，而是一部深入探索代數幾何核心的著作。通過對本書的學習，讀者將： 建立紮實的代數幾何理論基礎：從理想的定義到簇的性質，本書將為你構建堅實的理論體係。 掌握分析代數幾何問題的工具：理解理想與簇之間的對應關係，學會利用代數方法來研究幾何對象。 領略代數幾何在計算領域的應用：接觸並理解格勒布納基等關鍵算法，認識到理論與實踐的結閤。 為進一步深入研究打下基礎：本書所涵蓋的內容是代數幾何更高級主題（如概形論、模論、代數麯麵等）的基石，為讀者打開瞭通往更廣闊數學世界的大門。 《理想、簇與算法》（第三版）是一次令人興奮的數學之旅，它將帶領你深入探索代數幾何的深邃之處，感受數學的嚴謹、邏輯的優雅以及計算的強大。無論你是數學專業的學生，還是對數學的抽象之美充滿好奇的研究者，本書都將是你不可或缺的良師益友。

評分☆☆☆☆☆

這本書的“理想”部分，給我一種在仰望星空的感覺。它似乎在探討數學的終極目標，或者是一些數學傢們畢生追求的數學“真理”。我被書中那種對數學本質的深刻洞察所吸引。我常常會在閱讀這些章節時，思考數學的意義，以及它在人類認知體係中的地位。這種宏觀的視角，讓我覺得學習數學不僅僅是為瞭解決具體的問題，更是為瞭去理解宇宙的規律，以及人類思維的極限。我喜歡這本書所傳達的那種哲學思考，它讓我覺得數學不再是冰冷的數字和符號，而是充滿瞭人文精神的學科。

評分☆☆☆☆☆

這部《理想、簇與算法》的影印版，實在是一本能讓人坐下來的書。我當初是被“理想”這個詞吸引，想著能不能找到一些關於數學思想起源或者未來發展方嚮的深刻探討。拿到書後，首先是那種熟悉的、略帶復古的紙張觸感，讓人迴憶起很多年前在圖書館翻閱舊書的感覺。書的排版確實是影印版的風格，有些地方可能需要湊近看，但正是這種“原汁原味”帶給我一種獨特的學習體驗。雖然我還在探索其中究竟蘊含瞭多少“理想”，但可以肯定的是，它提供的並非是淺嘗輒止的概念，而是需要沉下心來，一步一步去理解的數學邏輯。書中某些部分的證明過程，雖然看起來頗為復雜，但仔細推敲，會發現其中精妙的推理和嚴謹的論證，這正是數學的魅力所在。我期待著通過深入閱讀，能夠更好地理解作者構建的這個“理想”世界，並且從中獲得啓發，甚至能夠將書中的思想應用到自己的研究或學習中去。這絕對是一本值得反復品味的書籍。

評分☆☆☆☆☆

我被這本書的“理想”部分深深吸引，它不僅僅是關於數學公式的羅列，更像是數學傢們在探索未知世界時所抱持的那種純粹的追求。書中的一些章節，仿佛是在講述數學傢們是如何一步步構建起那些看似遙不可及的“理想”結構的。這種對數學思想起源和發展的探討，讓我對數學有瞭更深層次的理解。我經常會思考，作者在提齣這些“理想”時，究竟經曆瞭怎樣的思考過程，又剋服瞭哪些睏難。這種精神層麵的啓迪，對於我這個正在學習數學的學生來說，是比任何具體的知識點都更加寶貴的。這本書讓我明白，數學的學習不僅僅是掌握技巧，更是去理解和傳承那種勇於探索、追求真理的精神。

評分☆☆☆☆☆

這本《理想、簇與算法》的影印版，其紙張的觸感和墨跡的深淺，都帶著一種歲月的沉澱感。我喜歡這種感覺，它讓我覺得我正在與過去那些偉大的數學傢對話。雖然是影印版，但書中的數學推導和邏輯鏈條卻異常清晰。我特彆關注瞭書中關於“算法”的部分，它並沒有直接給齣代碼，而是著重於算法的設計思想、復雜度和正確性證明。這種純粹的數學視角，讓我受益匪淺。我之前接觸過的很多算法書籍，往往側重於實現和應用，而這本書則更多地探討瞭算法背後的數學原理。這對於我理解算法的本質、優化算法的性能以及設計新的算法非常有幫助。我常常會在閱讀過程中停下來，反復咀嚼其中的某個定理或者推導，試圖將其內化為自己的知識。

評分☆☆☆☆☆

我必須承認，剛開始翻閱《理想、簇與算法》的時候，確實有些被它的“算法”部分鎮住瞭。我本來以為會是一些比較直觀的、容易上手的計算技巧，但書裏呈現的算法，尤其是那些涉及到抽象代數和組閤學的，對我來說簡直是打開瞭一個全新的領域。它的嚴謹性，那種對每一步操作的邏輯推導，讓我不得不放慢速度，甚至需要藉助一些其他的輔助材料來理解。但這正是我喜歡它的地方，它沒有降低門檻，而是邀請我去挑戰更高的數學視野。書中的圖錶和符號，雖然一開始可能有些晦澀，但一旦理解瞭它們的含義，就會發現它們是如此的簡潔和有力，能夠非常高效地錶達復雜的數學結構。我尤其對其中關於“簇”的部分感到好奇，它似乎在描述一種數據組織或者模式識彆的方式，這在當前的計算科學領域非常熱門。我希望通過對這些算法的深入學習，能夠提升我在實際問題中的分析和解決能力，不僅僅是停留在理論層麵。

評分☆☆☆☆☆

這本書的“簇”這個概念，給我的感覺非常有趣。在閱讀過程中，我嘗試去理解它到底是如何在數學上定義的，以及它能被應用到哪些場景。一開始，我以為它可能隻是一個簡單的分類問題，但隨著深入，我發現“簇”的定義遠比我想象的要豐富和深刻，它涉及到如何衡量對象之間的相似性，以及如何根據這些相似性將它們組織成有意義的群體。書中提供的例子，雖然抽象，但卻能引導我去思考現實世界中各種數據的聚類問題，比如客戶細分、圖像識彆等等。我感覺這本書提供瞭一種非常強大的數學工具，去理解和處理那些看起來雜亂無章但背後卻存在著某種結構的數據。我正在嘗試將書中的一些理論概念與我正在進行的一些小項目聯係起來，看看是否能找到新的突破口。這種理論與實踐結閤的潛力，讓我對這本書充滿瞭期待。

評分☆☆☆☆☆

這本書的“簇”的概念，給我的啓發很大。我之前對“簇”的理解可能比較狹隘，這本書讓我看到瞭它在更廣泛的數學領域中的應用。我尤其喜歡書中關於“簇”的幾種不同定義及其之間的聯係，這讓我對“簇”的理解更加全麵和深刻。我嘗試著去理解書中的一些例子，並且思考如何將這些概念應用到我的工作中。例如，書中提到的一些關於“簇”的性質，似乎可以幫助我更好地理解和分析一些復雜的數據集。雖然書中的數學語言比較嚴謹，需要花費一些時間和精力去消化，但每一次理解的進步，都讓我感到非常欣喜。我相信，通過對“簇”這一概念的深入研究，我能夠獲得新的視角和解決問題的方法。

評分☆☆☆☆☆

這本書的算法部分，絕對是乾貨滿滿。它沒有那些花哨的修飾，而是直擊算法的核心。我喜歡書中那種嚴謹的數學語言，它讓我能夠精確地理解算法的每一步操作，以及其背後隱藏的數學原理。我常常會在閱讀時，一邊思考，一邊在紙上畫齣算法的流程圖，或者嘗試用簡單的例子去驗證算法的正確性。這種主動的學習方式，讓我對算法的掌握更加紮實。我感覺，這本書不僅僅是在教我如何使用算法，更是在教我如何“思考”算法。我期待著能夠將書中所學的算法知識，應用到我的實際項目中，並且能夠從中獲得一些新的見解。

評分☆☆☆☆☆

我一直在尋找一本能夠真正讓我“深入”學習算法的書，而《理想、簇與算法》的影印版恰好滿足瞭我的需求。它沒有過多的理論包裝，而是直接將最核心的算法思想呈現齣來。我喜歡書中那種一步一步的邏輯推導，讓我能夠清晰地看到算法的每一步是如何産生的，以及為什麼這樣設計是有效的。尤其是書中對某些復雜算法的分解和分析，讓我能夠更容易地理解其精髓。我常常會在閱讀時，自己動手去推導一些公式，或者嘗試用書中的算法去解決一些我遇到的實際問題。這種親身實踐的學習方式，讓我對算法的理解更加牢固。這本書對我來說，更像是一個算法的“寶庫”，裏麵充滿瞭值得挖掘的知識。

評分☆☆☆☆☆

我被《理想、簇與算法》書中關於“簇”的論述所震撼，它讓我看到瞭數學在描述和組織復雜世界方麵的強大能力。我尤其被書中關於“簇”的代數結構和拓撲性質的討論所吸引。我感覺，通過理解“簇”，我能夠以一種全新的方式去審視和分析那些看似雜亂無章的數據。書中的一些證明，雖然挑戰我的數學基礎，但每當我成功理解一個證明的細節時，都會有一種巨大的成就感。我希望通過對“簇”的深入學習，能夠提升我的抽象思維能力，並且在未來的研究中，能夠利用這些工具去解決更復雜的問題。

評分☆☆☆☆☆

很好的書，內容詳細，包裝也不錯。快遞也很給力。

評分☆☆☆☆☆

好書必看，就是貴點……

評分☆☆☆☆☆

超級經典，超級經典，超級經典！

評分☆☆☆☆☆

很好

評分☆☆☆☆☆

適閤高年級本科生和低年級研究生，從算法的角度闡述代數幾何的基本概念和計算問題。非常經典！

評分☆☆☆☆☆

經典教材瞭，不錯不錯。

評分☆☆☆☆☆

很好

評分☆☆☆☆☆

質量還湊閤啦

評分☆☆☆☆☆

非常非常好