極限論與微分學新探 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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定光桂 著

圖書標籤:

• 極限論
• 微分學
• 數學分析
• 微積分
• 高等數學
• 數學
• 理論研究
• 學術著作
• 數學基礎
• 解析學

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030395528

版次：1

商品編碼：11435811

包裝：平裝

叢書名： 現代數學基礎叢書

開本：16開

齣版時間：2014-02-01

頁數：272

正文語種：中文

內容簡介

　　這是一本探索性的書．筆者試圖將實數、極限和微分學這些數學分析的基礎理論用現代分析的觀點來處理．《極限論與微分學新探》既要將上述理論的基本內容全部覆蓋，又要將原內容賦予一係列的發展和創新．
　　這是一本“雅俗共賞”的書，《極限論與微分學新探》通俗，是因為閱讀《極限論與微分學新探》的預備知識僅僅需要初等數學知識（中學內容）；而《極限論與微分學新探》“雅”，則是因為其觀點新、技巧性強且創新內容多．這是一本培養創造性思維的書．《極限論與微分學新探》講述由淺而深，從形象到抽象；並特彆注意引導讀者去“舉一反三”，從各種“（正）例”“反例”以及“注”的學習中學會聯想，並發現且引導齣新的結果．《極限論與微分學新探》既可以作為數學分析的教材，亦可作為高年級大學生、研究生和需用此相應知識的科教人員的參考書．

目錄

第 1 章 實數的完備性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
1.1 有理數集 Q 的性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 四則運算性質 (代數結構) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 全序性質 (序結構) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
1.1.3 拓撲結構 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 實數的定義. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
1.3 實數的其他公理化引入 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 數列極限初論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 定義實數的各公理所對應的完備化定理間之等價性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6 任何抽象距離空間之完備性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33
1.7 極限點定理與有限覆蓋定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39
第 2 章 數列的極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1 數列極限的存在. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49
2.2 數列極限存在的某些傳遞性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56
2.3 Stolz(施篤茲) 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.4 11
,
0
0
與 11 型極限. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77
2.5 數列的上、下極限. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80
第 3 章 數項級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.1 級數的斂散性及該性質的傳遞性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.2 同號項級數的斂散性及其判彆法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.3 變號級數的收斂 (條件收斂) 與絕對收斂 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.4 絕對收斂級數與條件收斂級數的重排級數之特性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.5 級數的乘法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.6 纍次級數與二重級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149
3.7 無窮乘積. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156
￠ viii ￠ 目 錄
第 4 章 函數的連續性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.1 集的映射與函數 (泛函) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.2 函數的極限及其存在性判彆法 (含：函數的上、下極限) . . . . . . . . . . . . . . 175
4.3 函數極限的基本性質及其存在性的傳遞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .189
4.4 無窮小量 (或無窮大量) 之間的比較. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .199
4.5 函數在一點的連續性及相關性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
4.5.1 多項式函數的連續性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .208
4.5.2 三角函數和反三角函數的連續性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
4.5.3 對數函數和指數函數的連續性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
4.5.4 冪函數的連續性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
4.6 距離空間中的泛函 (函數) 之極限性質 (含：方嚮極限、
纍次極限與重極限) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
4.7 距離空間的初等拓撲性質 (含：上、下半連續泛函) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
4.8 緊集上連續泛函 (函數) 的整體性質. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .242
4.9 連通集上連續函數的性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
4.10 有限維賦範空間中的綫性泛函與凸泛函. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .265
第 5 章 一元函數的微分學. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .286
5.1 導數及其求法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
5.2 高階導數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .300
5.3 函數的單調性、局部極值性、凸凹性及作圖 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
5.4 微分中值公式與求不定型極限的 L0Hospital 法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
5.5 函數的微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
5.6 Taylor 定理 (公式) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
第 6 章 多元函數的微分學. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .384
6.1 偏導數 (含：方嚮導數) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .384
6.2 多元函數的微分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .401
6.3 空間 Rn 到 Rm 中映像 (算子) 的微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
6.4 隱函數 (隱映像) 定理及逆映像定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .434
6.5 Taylor 公式及條件極值理論. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .457
6.6 幾何上的幾點應用 (切綫、切麵及法嚮量) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477

前言/序言

好的，這是一份不涉及《極限論與微分學新探》內容的圖書簡介，旨在為讀者呈現一部結構嚴謹、內容豐富的數學著作。 --- 書名：拓撲動力學中的結構穩定性與非綫性演化 作者：張誌明 教授 齣版社：科學齣版社 齣版年份：2023年 --- 圖書簡介 引言：現代數學交叉領域的宏大敘事 在二十一世紀的數學前沿，拓撲學與動力係統的深度融閤已成為理解復雜係統行為的關鍵鑰匙。本書《拓撲動力學中的結構穩定性與非綫性演化》正是基於這一深刻洞察而創作的一部專著。它並非對經典分析學分支的簡單迴顧，而是緻力於探索在特定拓撲空間上定義的動態係統的長期行為、不變性、以及其在微小擾動下的魯棒性（即結構穩定性）。本書的敘事邏輯清晰，從基礎概念的嚴格構建齣發，逐步深入到前沿的研究課題，為從事相關領域研究的學者和高年級研究生提供瞭一部兼具理論深度與實踐指導價值的參考書。 第一部分：基礎框架與拓撲測度 本書的開篇部分（第一章至第三章）奠定瞭整個理論體係的基石。作者首先對所需的拓撲空間理論進行瞭精煉的復習，重點強調瞭完備性、緊緻性以及函數空間的拓撲性質，這些是後續定義動力係統和討論收斂性的必備工具。 第一章：動力係統的基本定義與相空間構造 本章詳細闡述瞭離散時間動力係統（映射）和連續時間動力係統（流）的數學定義。不同於側重於流形上的光滑性討論，本書更側重於更一般的度量空間和緊緻Hausdorff空間上的動力學。關鍵概念如軌道、平穩點、極限環（在離散係統中對應周期點）被引入並進行瞭嚴格的分析。尤其值得注意的是，本章對半雙麯動力係統的初始建模進行瞭深入探討，為後續分析復雜性打下基礎。 第二章：不變集與吸引子的拓撲性質 不變集是動力係統研究的核心。本章聚焦於拉帕諾夫函數（Lyapunov functions）在確定係統的穩定性方麵的應用。我們不僅討論瞭經典的吸引子（Attractors）的概念，還引入瞭奇異吸引子的拓撲錶徵。作者利用龐加萊截麵法（Poincaré sections）來簡化高維係統的分析，並通過拓撲共軛的概念來比較不同係統間的本質相似性。本章的亮點在於對擴張性（Expansivity）性質的討論，它揭示瞭係統中敏感依賴性的拓撲根源。 第三章：拓撲熵與信息論視角 為瞭量化係統的復雜性，引入拓撲熵是不可或缺的一步。本章將動力係統與信息論緊密結閤，定義瞭拓撲熵，並探討瞭它在區分完全可積係統和混沌係統中的作用。我們深入分析瞭馬爾可夫測度與拓撲熵之間的關係，特彆是在緊緻空間上定義測度類（Measure Classes）的必要性，為後續的概率性分析做瞭鋪墊。 第二部分：結構穩定性與共軛理論 本書的核心價值體現在對係統結構穩定性的深入挖掘上（第四章至第六章）。結構穩定性是衡量一個係統是否“典型”的關鍵指標。 第四章：結構穩定性的一般準則 本章詳細闡述瞭結構穩定性的嚴格定義，即在拓撲空間中存在一個鄰域，使得該鄰域內的所有係統都與原係統同胚（拓撲共軛）。作者引入瞭格羅曼-赫勒（Grobman-Hartman）定理的推廣版本，討論瞭在非流形空間上，局部綫性化近似的適用範圍和局限性。重點分析瞭涉及鞍點的穩定性分析，及其在微擾下的拓撲保持性。 第五章：同胚性與共軛問題的計算方法 共軛性是判斷兩個係統是否本質相同的最高標準。本章著重於在特定函數空間中尋找共軛映射。我們引入瞭多重尺度分析來處理非綫性和奇異性對共軛映射光滑性的影響。對於涉及邊界情況的係統，本章提齣瞭拓撲不變量的構造方法，這些不變量在共軛變換下保持不變，是證明“非共軛”的重要工具。具體案例分析涵蓋瞭具有高維穩定流形和中心流形的係統。 第六章：非雙麯係統中的亞臨界分岔 結構穩定性在遇到分岔點時會失效。本章專門研究瞭非雙麯係統在參數微擾下發生的亞臨界分岔現象。通過對係統的局部重整化群（Renormalization Group）分析，我們揭示瞭周期倍增序列和混沌行為的起源。本章的創新點在於將模空間理論應用於動力係統的分岔分析中，從而對分岔路徑的幾何結構有瞭更清晰的認識。 第三部分：非綫性演化與極限行為 最後一部分（第七章和第八章）將理論框架應用於更具挑戰性的非綫性演化問題，特彆是那些展現齣復雜統計特性的係統。 第七章：遍曆理論與隨機性建模 遍曆理論是連接確定性係統和統計力學的橋梁。本章深入探討瞭米爾諾韋-莫澤（Moser）關於遍曆性的結果，並將其應用於評估係統中長期平均行為的可靠性。我們介紹瞭大偏差理論在動力係統中的應用，用於量化極端事件發生的概率。特彆地，本章對非平穩遍曆過程（Non-stationary ergodic processes）的拓撲結構進行瞭討論，這對於處理環境噪聲乾擾下的係統至關重要。 第八章：復雜網絡中的自組織與湧現現象 在現代應用背景下，動力係統常常嵌入到復雜的網絡結構中。本章將拓撲動力學的工具應用於網絡科學。我們分析瞭耦閤振子係統（如Kuramoto模型）的全局行為，重點關注同步的拓撲條件。通過引入網絡的拓撲熵和圖拉普諾夫指數，本書闡述瞭網絡結構如何促進或抑製混沌行為的湧現，並討論瞭信息在網絡中的魯棒傳播機製。 總結與展望 《拓撲動力學中的結構穩定性與非綫性演化》是一部麵嚮專業讀者的深度探討，它匯集瞭經典理論的嚴謹性與現代研究的前沿性。本書旨在激發讀者對復雜係統內在幾何結構和動態穩定性的思考，為理解從物理到生物科學中普遍存在的非綫性現象提供強有力的數學工具。 適用讀者： 數學、物理學、工程學及復雜係統科學領域的研究人員、博士後及高年級研究生。 ---

評分☆☆☆☆☆

這本書的名字讓我聯想到瞭一場史詩般的數學探險，仿佛要踏上一條鮮有人跡的道路，去揭示那些隱藏在數字和函數背後的最深層奧秘。我一直對數學的抽象美和邏輯嚴謹性著迷，而“極限”和“微分”無疑是構建起整個微積分大廈的基石，也是理解更復雜數學概念的鑰匙。這本書的標題直接點齣瞭這兩個核心主題，並以“新探”二字暗示瞭其可能帶來的全新視角和突破性進展。我期待它能不僅僅是教科書式的梳理，而是能夠展現齣作者在這些經典領域中獨到的見解和深刻的洞察。 或許，這本書會帶領我重新審視那些看似理所當然的定義和定理。例如，在極限的部分，我希望能夠看到對“無限小”和“無限大”更直觀、更具啓發性的解釋，而不僅僅是ε-δ語言的嚴格形式化。是否會深入探討某些特殊的函數序列或級數的收斂性問題？或者，它會巧妙地運用一些幾何直觀來輔助理解極限過程，讓我能夠“看見”函數的行為是如何趨近於某個值的？而在微分的部分，我設想書中會呈現齣微分學在解決實際問題中的強大力量，比如如何用它來描述物體的運動狀態、探究函數的增長趨勢、甚至是在優化問題中找到最優解。我希望這本書能夠讓我擺脫死記硬背公式的束縛，真正理解微分的“意義”和“作用”。

評分☆☆☆☆☆

看到《極限論與微分學新探》這個書名，我不禁心頭一動，仿佛被一股強大的數學引力所吸引。這不僅僅是一本關於數學的著作，更像是一次深入宇宙數學法則的探索之旅。極限和微分，這兩個詞本身就帶著一種神秘和深刻，它們是理解變化、連續和無窮的基石，也是現代科學技術蓬勃發展的動力源泉。我希望這本書能為我打開一扇新的窗戶，讓我能夠以一種更加透徹、更加富有洞察力的方式去理解這兩個概念。 我設想，在極限的部分，作者可能不僅僅會滿足於ε-δ語言的定義，而是會深入探討極限背後的哲學意義，以及它如何在數學的各個分支中發揮著連接和過渡的作用。或許，書中會穿插一些引人入勝的曆史故事，講述那些偉大的數學傢是如何一步步建立起極限理論的，以及其中遇到的挑戰和創新的閃光點。而在微分學方麵，我期待能夠看到它在描述和預測自然現象方麵展現齣的強大威力，比如利用微分方程模擬氣候變化，或者通過優化理論來解決復雜的交通流量問題。我希望這本書能夠讓我感受到數學的生命力，以及它如何深刻地影響著我們對世界的認知。

評分☆☆☆☆☆

我拿到這本《極限論與微分學新探》時，腦海中湧現齣的是一種對知識邊界的渴求，好像即將打開一扇通往未知數學大陸的大門。我對“新探”這兩個字尤為好奇，它預示著這本書可能不僅僅是在重復已有的知識，而是試圖在經典的極限和微分理論基礎上，挖掘齣新的聯係、新的應用，甚至是新的理論萌芽。我迫切想知道，作者是如何定義和闡述“極限”這個概念的，是會采用嚴謹的公理化體係，還是會以一種更具探索性的方式，通過大量的例子和思想實驗來引導讀者逐步深入？ 至於“微分學”，我希望書中能夠超越傳統教材中對導數、偏導數、梯度等概念的機械介紹，而是能夠深入探究這些工具的本質，以及它們在現代科學研究中的前沿應用。比如，它是否會涉及微分幾何的某些內容，將微分的概念與麯綫、麯麵的形狀和性質聯係起來？或者，它會展示如何利用微分方程來建模和分析復雜的動態係統，讓那些抽象的數學公式變得鮮活起來？我期望這本書能像一位經驗豐富的嚮導，帶領我在紛繁復雜的數學海洋中，找到一條清晰的、富有啓發性的路徑，去理解並掌握極限與微分學的精髓，甚至觸碰到它們更深層的數學美感。

評分☆☆☆☆☆

《極限論與微分學新探》這個名字，一下子就勾起瞭我對數學深邃世界的好奇心，並激發瞭我想要更深入地探索的衝動。極限與微分，這兩個概念在我心中一直扮演著至關重要的角色，它們是理解微積分乃至整個高等數學體係的基石。我深信，一本冠以“新探”之名的著作，必有其獨到之處，能夠為讀者帶來全新的視角和更為深刻的理解。 我期待這本書能夠從一個更具啓發性的角度切入，或許會用一些生動形象的比喻，或者結閤引人入勝的實際案例，來幫助我更直觀地理解極限的抽象概念，擺脫掉對純粹符號的迷茫。對於微分學，我希望書中不僅會講解基本的求導法則和應用，更能深入探討微分在描述變化率、研究函數性質以及解決優化問題等方麵的核心作用。我希望它能讓我看到，這些看似復雜的數學工具，是如何被用來解釋和預測我們周圍世界中的各種現象，從而領略到數學的邏輯之美和實用價值，甚至激發我在數學學習中産生新的靈感和發現。

評分☆☆☆☆☆

當我在書店的架子上看到《極限論與微分學新探》時，內心 immediately 泛起瞭一絲特彆的漣漪。它的書名，在我看來，不僅僅是學科名稱的堆砌，更像是一種召喚，邀請讀者一同踏上一場智力的探險，去重新審視那些被譽為現代數學基石的“極限”與“微分”。我猜測，這本書的作者一定是在這兩個領域有著深厚的造詣，並且懷揣著一種想要分享更深層次理解的願望。 我非常期待書中能夠提供一些不同於我以往接觸到的學習材料的視角。也許，它會從一個全新的角度來闡釋極限的嚴謹定義，避免枯燥的符號遊戲，轉而使用更具說服力的直觀例子或曆史發展脈絡來解釋其重要性。在微分學的部分，我希望能夠看到作者是如何將微積分的思想巧妙地融入到各種實際問題的分析中的，比如物理學中的速度、加速度，經濟學中的邊際效應，或者工程學中的優化設計。我希望它能讓我不僅僅是“會算”，更能“理解”這些數學工具的強大之處，甚至能夠觸類旁通，在其他領域也能夠靈活運用。