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內容簡介

　　《數學機械化叢書 12：幾何定理機器證明的幾何不變量方法》係統介紹瞭幾何定理機器證明的幾何不變量方法. 主要包括：基於麵積與勾股差等幾何不變量的麵積法、基於體積與勾股差等幾何不變量的體積法以及基於嚮量計算的嚮量方法。

作者簡介

　　張景中，中國科學院院士。現任廣州大學計算機教育軟件研究所所長。主要從事機器證明、教育數學、距離幾何及動力係統等領域的研究。

目錄

第1章 幾何定理機器證明概述
1.1 模擬人的思維——人工智能的開始
1.2 Gelernter的幾何定理證明機
1.3 幾何定理機器證明的吳方法
1.4 幾何定理自動發現的吳方法
第1章 小結

第2章
2.1 傳統的證明方法和機器證明的比較
2.2 有嚮三角形的帶號麵積
2.2.1 定理
2.2.2 基本命題
2.3 Hilbert交點命題
2.3.1 命題的描述
2.3.2 幾何命題的謂詞形式
2.4 麵積法
2.4.1 從麵積中消去點
2.4.2 從比例中消去點
2.4.3 自由點和麵積坐標
2.4.4 幾何定理證明舉例
2.4.5 其他的消元技術
2.5 麵積法和仿射幾何
2.5.1 平麵仿射幾何
2.5.2 麵積法和仿射幾何
2.6 應用
2.6.1 公式推導
2.6.2 n3構型的存在性
2.6.3 Ceva與Menelus定理的推廣
第2章 小結

第3章 平麵幾何機器證明
3.1 勾股差
3.1.1 勾股差和垂直
3.1.2 勾股差和平行
3.1.3 勾股差和麵積
3.2 構造型幾何命題
3.2.1 綫性構造型幾何命題
3.2.2 最小構造集閤
3.2.3 謂詞形式
3.3 綫性可構型幾何命題的機器證明
3.3.1 算法
3.3.2 優化的消去技巧
3.4 比率構造
3.4.1 更多的比率構造
3.4.2 全角法的機械化
3.5 麵積坐標
3.5.1 麵積坐標係
3.5.2 麵積坐標和三角形的特殊點
3.6 三角函數和共圓點
3.6.1 共圓定理
3.6.2 共圓點的消去
3.7 可構型幾何命題的機器證明
3.7.1 從幾何量中消點
3.7.2 僞除法和三角形式
3.7.3 可構型幾何命題的機器證明
3.8 基於演繹數據庫的全角方法
3.8.1 建立幾何信息庫
3.8.2 基於幾何信息庫的機器證明
第3章 小結

第4章 演繹數據庫方法
4.1 結構化的演繹數據庫和推理策略
4.1.1 基於結構化數據的推理
4.1.2 有關的工作
4.2 幾何推理規則
4.2.1 幾何推理規則
4.2.2 非退化條件
4.2.3 準確的數值圖形的構造
4.3 結構化數據庫
4.3.1 數據庫的結構
4.3.2 證明的生成
4.4 搜索和控製的策略
4.4.1 基於數據的搜索
4.4.2 避免冗餘推理
4.5 構造輔助點和Skolem化
4.6 算法的實現與例題
4.6.1 算法的實現
4.6.2 應用
4.6.3 測試結果和例子
附錄
第4章 小結

第5章 立體幾何中的定理自動證明
5.1 帶號體積
5.1.1 共麵定理
5.1.2 體積和平行
5.1.3 體積與三維仿射幾何
5.2 構造型幾何命題
5.2.1 構造型幾何命題
5.2.2 構造型幾何圖形
5.3 綫性構造型幾何命題的機器證明
5.3.1 關於體積的消點法
5.3.2 由麵積比中消點
5.3.3 由長度比中消點
5.3.4 自由點和體積坐標
5.3.5 例子
5.4 空間中的勾股差
5.4.1 勾股差與垂直
5.4.2 勾股差與體積
5.5 體積法
5.5.1 算法
5.5.2 例子
5.6 體積坐標係
第5章 小結

第6章 非歐幾何定理的機器證明
6.1 Cayley-Klein九種平麵幾何
6.1.1 直綫上的三種度量
6.1.2 角度的三種度量
6.1.3 九種平麵幾何
6.2 Cayley-Klein幾何的轉化定理
6.3 雙麯幾何麵積法
6.4 雙麯幾何的消元法
6.4.1 基本幾何命題
6.4.2 從比率中消去點
6.4.3 從綫性的幾何量中消去點
6.4.4 從二次幾何量中消去點
6.4.5 消去自由點
6.4.6 消去共圓的點
6.5 算法的實現與例子
第6章 小結

第7章 嚮量和機器證明
7.1 三維度量空間幾何
7.1.1 內積和度量嚮量空間
7.1.2 度量嚮量空間的外積
7.2 立體度量幾何
7.2.1 內積和外積
7.2.2 構造型幾何語句
7.3 基於嚮量計算的機器證明
7.3.1 嚮量消點法
7.3.2 從內積和外積中消點
7.3.3 算法
7.4 度量平麵幾何中的機器證明
7.4.1 歐氏平麵幾何的嚮量方法
7.4.2 Minkowsky平麵幾何中的機器證明
7.5 使用復數的機器證明
第7章 小結
參考文獻
索引

精彩書摘

　　《數學機械化叢書 12：幾何定理機器證明的幾何不變量方法》：
　　第1章 幾何定理機器證明概述
　　1.1 模擬人的思維——人工智能的開始
　　現代意義上的計算機産生於20世紀40年代中期.最初的計算機基本上是用來從事數值計算的，例如計算炮彈的飛行軌跡.能有機會接觸計算機的人無不為其巨大而神奇的計算能力所摺服.很自然人們就開始對計算機提齣新的更高的要求：計算機能否藉助其巨大的計算能力産生隻有人纔能具有的某些智能行為呢？對這一問題的研究在20世紀50年代中期導緻瞭人工智能這一領域的誕生。
　　要讓計算機産生智能行為首先要問：什麼是智能行為呢？人們馬上想到數學定理證明.數學定理證明不僅被認為是高層次的智力活動，也被認為是人類一般問題求解能力最典型的代錶與最好的訓練方法.因此，美國學者Newell，Show與Simon便開始研究用計算機證明數學定理，開發瞭用於命題邏輯的定理證明器“邏輯理論機”（LT）.
　　Newell等采用的證明定理的基本方法是：模擬人證明定理的想法.這實際上是一種“搜索法最基本的搜索證明方法有兩種：前推法與後推法。
　　（1）前推法與大英博物館算法。
　　定理證明的前推法即由一個命題的假設A）開始，使用一組公理R由假設D0推齣新的結論，這些新的結論和Do在一起組成DU再用同樣方法從Dl推齣更新的結論，這些更新的結論和D，一起組成D2，周而復始，直到得齣所要證明的命題結論或得不齣更新的結論為止.這一過程可錶示如下：
　　一個有趣的問題是：如果不論是否已經獲得要證的結論總是繼續推理，是否在某一步必有Dk=Dk+1?果真如此，也就是說，我們已經不能由Dk推導齣新的結論.換句話講，我們達到瞭“推理不動點”：
　　這一不動點應該包含能由假設A）推導齣的所有可能的結論.由此我們不僅可以證明所給定理，實際上還能發現所有能夠用E從A）推導齣的定理.
　　若果能如此，何其妙哉！實際情況並非如此.主要問題是隨著推理步驟的增加，所得到的結論可能非常之多，以緻於用很快且容量很大的計算機也不足以在閤理的時間內解決問題.這就是所謂的“搜索空間爆炸”現象。
　　由此也不難理解前推法的一個彆名“大英博物館方法其意是講如果由英文26個字母和幾個標點符號齣發，使用前推法寫齣字母與標點符號的所有可能組閤，這裏會有所有的單詞、所有的句子，以緻可以自動生成大英博物館內的所有著作.顯而易見，此路是不通的。
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前言/序言

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