数值分析（第二版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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☆☆☆☆☆

王开荣 著

图书标签:

• 数值分析
• 数值方法
• 科学计算
• 高等数学
• 算法
• 计算数学
• 工程数学
• 数学建模
• 数值解
• 误差分析

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030406255

版次：1

商品编码：11479110

包装：平装

丛书名： 工程硕士系列教材

开本：32开

出版时间：2014-06-01

页数：248

正文语种：中文

内容简介

《数值分析（第二版）》是为大学工程硕士研究生和专业硕士研究生"数值分析"课程编写的教材.书中系统地介绍了数值计算的基本概念，常用算法及有关的理论分析和应用，注重算法的实际应用，书中的部分例题和习题用Matlab软件做了

前言/序言

现代工程数学与计算科学：理论与实践前沿探索 本书聚焦于现代工程、物理科学和数据科学领域对高精度数值计算的迫切需求，深度剖析了支撑这些前沿应用的基础数学理论、算法设计与实现细节。 本书旨在为读者构建一个坚实且广阔的计算数学知识体系，使其不仅能够熟练运用现有工具，更能理解算法的内在机制，从而在面对复杂、非标准问题时，具备独立分析和创新求解的能力。 第一部分：线性代数方程组的精确与近似求解 本部分系统地探讨了线性系统 $mathbf{Ax} = mathbf{b}$ 的数值求解方法，这是科学计算中最核心且最频繁遇到的问题之一。 1. 直接法（Direct Methods）的深度解析： 我们首先回顾并深入分析了高斯消元法 (Gaussian Elimination) 及其带来的数值稳定性问题。重点讨论了主元选择 (Pivoting Strategies)，包括部分主元选择 (Partial Pivoting) 和完全主元选择 (Complete Pivoting)，如何有效控制舍入误差的累积，确保计算结果的可靠性。随后，详细阐述了LU分解 (LU Decomposition)、Cholesky分解 (Symmetric Positive Definite Systems) 以及LDLᵀ分解在求解大型稀疏系统中的优势和局限性。特别地，针对特定结构矩阵（如带状矩阵、分块矩阵），我们将展示如何优化内存布局和计算步骤以实现计算效率的最大化。 2. 迭代法的理论基础与收敛性分析： 对于超大规模问题，直接法因其 $O(n^3)$ 的复杂度往往难以承受。本章转向迭代法 (Iterative Methods) 的研究。我们将严格推导并分析雅可比 (Jacobi)、高斯-赛德尔 (Gauss-Seidel) 经典迭代法的收敛条件（基于矩阵的谱半径）。更进一步，我们将聚焦于现代工程中最实用的方法：Krylov 子空间方法。这包括共轭梯度法 (Conjugate Gradient, CG) 及其在对称正定系统中的应用，以及广义最小残量法 (GMRES) 和双共轭梯度法 (BiCGSTAB) 在非对称系统中的处理。收敛速度的提升是迭代法的关键，因此，我们将投入大量篇幅探讨预处理器 (Preconditioning) 的设计哲学，涵盖代数预处理（如不完全LU分解 ILU）和几何预处理（如多重网格法的基础思想）。 第二部分：非线性方程、特征值问题与优化计算 科学和工程中的许多实际问题并非线性的，本部分将目光转向更复杂的数学模型。 1. 非线性方程组的求解： 本章深入研究求解 $f(mathbf{x}) = mathbf{0}$ 的数值技术。牛顿法 (Newton's Method) 的收敛性分析（二次收敛）是基础，但其对初始猜测的敏感性促使我们研究更鲁棒的方法。我们将详细介绍拟牛顿法 (Quasi-Newton Methods)，特别是BFGS (Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno) 算法，它通过维护近似的Hessian矩阵信息，显著降低了每次迭代的计算成本，同时保持了优良的收敛速度。对于一维问题，我们将对比割线法 (Secant Method) 和布伦特法 (Brent's Method) 在保证收敛性方面的性能差异。 2. 矩阵特征值问题的数值解法： 特征值问题 $mathbf{Ax} = lambda mathbf{x}$ 在模态分析、稳定性判断中至关重要。本章侧重于对称矩阵和非对称矩阵的求解策略。对于对称矩阵，我们将系统阐述QR算法的迭代过程及其通过Householder变换降阶为三对角矩阵的效率提升。对于大规模稀疏问题，我们将重点讨论Lanczos算法和Arnoldi迭代，如何高效地提取矩阵的“感兴趣”的几个最大或最小特征值。此外，还将介绍逆迭代法 (Inverse Iteration) 及其在精确寻找接近某一特定值的特征值方面的应用。 3. 最小二乘问题与约束优化基础： 数据拟合和参数估计通常归结为最小二乘问题。本部分将从正规方程组的数值不稳定性出发，转向更稳健的基于矩阵分解的方法，如QR分解在求解超定系统中的应用。对于带约束的优化问题，我们将简要介绍KKT条件的理论框架，并探讨序列二次规划 (SQP) 方法作为求解非线性约束优化的重要工具。 第三部分：数值微分、积分与偏微分方程的数值离散 本部分将焦点从代数系统转移到连续问题的数值近似，这是连接纯数学理论与实际工程模拟的桥梁。 1. 数值微分与插值理论的精进： 在数值微分方面，本书超越了简单的有限差分公式，深入探讨了中心差分的误差截断项分析，以及如何利用龙格微扰法 (Runge's Perturbation Method) 或Richardson外推法 (Richardson Extrapolation) 来提高低阶差分的有效精度。在插值理论中，除了经典的拉格朗日多项式和牛顿差商，我们将详细介绍样条插值 (Spline Interpolation)，特别是三次样条 (Cubic Splines) 在保证一阶和二阶导数连续性方面的卓越性能，及其在平滑数据和构建曲线上的关键作用。 2. 常微分方程 (ODE) 的高效求解： 常微分方程的数值积分是动态系统仿真的核心。本书将详细分析欧拉法的稳定性和局部截断误差。随后，重点转向高精度方法：龙格-库塔法 (Runge-Kutta Methods)，包括经典的四阶RK4以及误差可控的自适应步长RKF45方法。对于刚性方程 (Stiff Differential Equations)，我们将解释其数值积分的特殊困难性，并系统介绍隐式欧拉法和向后微分公式 (BDFs) 的原理和应用场景，强调它们在保持长期稳定性和准确性上的优势。 3. 有限差分法 (FDM) 在偏微分方程 (PDE) 中的应用框架： 本章为求解偏微分方程奠定了数值离散的基础。我们将以热传导方程（抛物型）、薛定谔方程（双曲型） 和泊松方程（椭圆型） 为例，详细推导显式和隐式有限差分格式。针对这些格式的稳定性分析（如CFL条件），我们将清晰对比前向时间/中心空间 (FTCS) 格式与Crank-Nicolson 格式在精度和稳定性上的权衡。这部分内容为读者理解更复杂的有限元和有限体积方法提供了必要的计算思维准备。 总结： 本书结构严谨，内容深度与广度并重。它不仅仅是一本算法汇编，更是一部关于“如何构建可靠数值模型”的实战手册。通过对理论基础的深入挖掘、对算法收敛性和稳定性的严格检验，以及对现代大规模计算策略的引入，本书致力于培养读者将抽象数学转化为高效、可信赖工程解决方案的能力。

评分☆☆☆☆☆

说实话，这本书《概率论与随机过程导论》的叙述风格有点像一位哲学家在和我们探讨随机性的本质。它没有急于抛出复杂的公式，而是用非常贴近生活的例子来引入随机变量的概念。我个人对它处理随机过程的章节印象极其深刻，特别是布朗运动和马尔可夫链的部分。作者没有将布朗运动仅仅视为一个数学模型，而是将其与物理学中的热运动、金融学中的股价波动联系起来，使得抽象的概念变得具象化。在讲解鞅论时，作者的笔法非常流畅，将条件期望的迭代过程描述得如同水流一般自然，这比我之前读过的很多教材那种干巴巴的定义堆砌要生动得多。虽然这本书的篇幅不算特别大，但其知识密度极高，每一句话都值得反复咀嚼。读完后，我感觉自己对“不确定性”的理解上升到了一个新的层次，不再是简单地停留在计算概率的层面，而是开始思考随机性在系统演化中的内在机制。

评分☆☆☆☆☆

这本《傅里叶分析与偏微分方程入门》给我带来了一种久违的严谨与美感。作者在处理傅里叶级数和积分时，对狄利克雷条件和收敛性的讨论极其细致，让人明白了为什么有些函数可以使用傅里叶展开，而有些则需要更广义的定义域。当进入到热传导方程和波动方程的求解部分时，作者通过分离变量法构建的解决方案，每一步都像是精准的几何构造，让人感到数学之美。最让我惊艳的是，作者没有将傅里叶变换视为一个孤立的工具，而是将其无缝嵌入到偏微分方程的求解流程中，清晰地展示了如何利用频域分析来简化时域或空间域的复杂问题，这在处理无限域问题时尤其有效。书中的图示，尤其是针对不同边界条件下解的波形展示，非常直观，有效地弥补了纯符号推导带来的抽象感。总而言之，这是一本既有扎实基础，又不失现代应用视野的优秀教材。

评分☆☆☆☆☆

我一直觉得，好的数值分析教材应该像一位耐心又严厉的导师，既要指出捷径，更要强调陷阱。这本《优化理论与算法基础》完美地体现了这一点。它在处理非线性规划问题时，对各种约束条件的引入和处理方式进行了极为细致的讨论，尤其是拉格朗日乘子法和KKT条件的部分，作者不仅清晰地阐述了理论必要性，还用大量的反例说明了如果不对约束条件做规范化处理，推导出来的结果可能多么具有误导性。书中对牛顿法、拟牛顿法（BFGS、DFP）的收敛性分析，我读了三遍才彻底消化，那种局部二次收敛的优美特性，被作者用极其精妙的数学语言描绘出来，令人叹服。更难得的是，它并没有回避实际工程中常见的病态问题，专门辟章节讨论了预处理技术在加速收敛中的关键作用，这对于将理论应用于实际工程问题的读者来说，简直是雪中送炭。这本书的习题设计也非常巧妙，很多需要自己设计测试用例来验证算法稳定性的题目，极大地锻炼了读者的批判性思维。

评分☆☆☆☆☆

这本《矩阵计算及其应用》简直是为我这种偏爱线性代数和数值方法相结合的读者量身定做的。它不像很多教材那样只停留在理论推导的层面，而是非常注重算法的实际应用和背后的数学原理的深入剖析。我特别欣赏作者在讲解特征值分解和奇异值分解（SVD）时，不仅给出了严谨的数学定义，还花了大量的篇幅来讨论这些分解在数据降维（比如PCA）和图像处理中的实际效果和计算效率。书中的代码示例非常丰富，大多使用MATLAB/Octave编写，这使得读者可以立刻将学到的理论付诸实践，亲手感受不同算法（如QR迭代、雅可比法）的收敛速度和数值稳定性差异。我记得有一章专门讲了迭代法求解大型稀疏线性系统的Krylov子空间方法，作者的阐述逻辑清晰，从最基础的GS到更复杂的GMRES，每一步的误差分析都做到了详略得当，让人茅塞顿开。这本书的深度足以满足研究生阶段的学习需求，同时其清晰的结构又保证了本科高年级学生也能啃下来，确实是工具书级别的经典之作。

评分☆☆☆☆☆

这本书《高级微分方程：定性分析与稳定性理论》与其说是教科书，不如说是一本系统性的研究手册。它完全避开了数值解法的窠臼，专注于微分方程解的性态研究。作者对相平面分析的论述达到了登峰造极的境界，对极限环的存在性、稳定性判断，以及庞加莱映射的引入，都处理得极为精妙。我尤其欣赏作者对李雅普诺夫稳定性理论的讲解，从一致有界到渐近稳定，每一步的逻辑递进都如同建筑的梁柱般坚固。书中穿插的许多经典例子，如范德波尔振荡器和洛特卡-沃尔泰拉捕食者-猎物模型，不仅展示了理论的威力，更揭示了复杂动力学系统中蕴含的潜在秩序。这本书的难度显然偏高，对读者自身的数学功底要求很高，但对于那些渴望触及现代动力学系统核心的进阶学习者来说，它绝对是不可多得的宝藏。读完后，看待任何线性或非线性系统，都会不由自主地去寻找其不动点和吸引子的结构。