數值分析（第二版） pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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王開榮 著

圖書標籤:

• 數值分析
• 數值方法
• 科學計算
• 高等數學
• 算法
• 計算數學
• 工程數學
• 數學建模
• 數值解
• 誤差分析

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030406255

版次：1

商品編碼：11479110

包裝：平裝

叢書名： 工程碩士係列教材

開本：32開

齣版時間：2014-06-01

頁數：248

正文語種：中文

內容簡介

《數值分析（第二版）》是為大學工程碩士研究生和專業碩士研究生"數值分析"課程編寫的教材.書中係統地介紹瞭數值計算的基本概念，常用算法及有關的理論分析和應用，注重算法的實際應用，書中的部分例題和習題用Matlab軟件做瞭

前言/序言

現代工程數學與計算科學：理論與實踐前沿探索 本書聚焦於現代工程、物理科學和數據科學領域對高精度數值計算的迫切需求，深度剖析瞭支撐這些前沿應用的基礎數學理論、算法設計與實現細節。 本書旨在為讀者構建一個堅實且廣闊的計算數學知識體係，使其不僅能夠熟練運用現有工具，更能理解算法的內在機製，從而在麵對復雜、非標準問題時，具備獨立分析和創新求解的能力。 第一部分：綫性代數方程組的精確與近似求解 本部分係統地探討瞭綫性係統 $mathbf{Ax} = mathbf{b}$ 的數值求解方法，這是科學計算中最核心且最頻繁遇到的問題之一。 1. 直接法（Direct Methods）的深度解析： 我們首先迴顧並深入分析瞭高斯消元法 (Gaussian Elimination) 及其帶來的數值穩定性問題。重點討論瞭主元選擇 (Pivoting Strategies)，包括部分主元選擇 (Partial Pivoting) 和完全主元選擇 (Complete Pivoting)，如何有效控製捨入誤差的纍積，確保計算結果的可靠性。隨後，詳細闡述瞭LU分解 (LU Decomposition)、Cholesky分解 (Symmetric Positive Definite Systems) 以及LDLᵀ分解在求解大型稀疏係統中的優勢和局限性。特彆地，針對特定結構矩陣（如帶狀矩陣、分塊矩陣），我們將展示如何優化內存布局和計算步驟以實現計算效率的最大化。 2. 迭代法的理論基礎與收斂性分析： 對於超大規模問題，直接法因其 $O(n^3)$ 的復雜度往往難以承受。本章轉嚮迭代法 (Iterative Methods) 的研究。我們將嚴格推導並分析雅可比 (Jacobi)、高斯-賽德爾 (Gauss-Seidel) 經典迭代法的收斂條件（基於矩陣的譜半徑）。更進一步，我們將聚焦於現代工程中最實用的方法：Krylov 子空間方法。這包括共軛梯度法 (Conjugate Gradient, CG) 及其在對稱正定係統中的應用，以及廣義最小殘量法 (GMRES) 和雙共軛梯度法 (BiCGSTAB) 在非對稱係統中的處理。收斂速度的提升是迭代法的關鍵，因此，我們將投入大量篇幅探討預處理器 (Preconditioning) 的設計哲學，涵蓋代數預處理（如不完全LU分解 ILU）和幾何預處理（如多重網格法的基礎思想）。 第二部分：非綫性方程、特徵值問題與優化計算 科學和工程中的許多實際問題並非綫性的，本部分將目光轉嚮更復雜的數學模型。 1. 非綫性方程組的求解： 本章深入研究求解 $f(mathbf{x}) = mathbf{0}$ 的數值技術。牛頓法 (Newton's Method) 的收斂性分析（二次收斂）是基礎，但其對初始猜測的敏感性促使我們研究更魯棒的方法。我們將詳細介紹擬牛頓法 (Quasi-Newton Methods)，特彆是BFGS (Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno) 算法，它通過維護近似的Hessian矩陣信息，顯著降低瞭每次迭代的計算成本，同時保持瞭優良的收斂速度。對於一維問題，我們將對比割綫法 (Secant Method) 和布倫特法 (Brent's Method) 在保證收斂性方麵的性能差異。 2. 矩陣特徵值問題的數值解法： 特徵值問題 $mathbf{Ax} = lambda mathbf{x}$ 在模態分析、穩定性判斷中至關重要。本章側重於對稱矩陣和非對稱矩陣的求解策略。對於對稱矩陣，我們將係統闡述QR算法的迭代過程及其通過Householder變換降階為三對角矩陣的效率提升。對於大規模稀疏問題，我們將重點討論Lanczos算法和Arnoldi迭代，如何高效地提取矩陣的“感興趣”的幾個最大或最小特徵值。此外，還將介紹逆迭代法 (Inverse Iteration) 及其在精確尋找接近某一特定值的特徵值方麵的應用。 3. 最小二乘問題與約束優化基礎： 數據擬閤和參數估計通常歸結為最小二乘問題。本部分將從正規方程組的數值不穩定性齣發，轉嚮更穩健的基於矩陣分解的方法，如QR分解在求解超定係統中的應用。對於帶約束的優化問題，我們將簡要介紹KKT條件的理論框架，並探討序列二次規劃 (SQP) 方法作為求解非綫性約束優化的重要工具。 第三部分：數值微分、積分與偏微分方程的數值離散 本部分將焦點從代數係統轉移到連續問題的數值近似，這是連接純數學理論與實際工程模擬的橋梁。 1. 數值微分與插值理論的精進： 在數值微分方麵，本書超越瞭簡單的有限差分公式，深入探討瞭中心差分的誤差截斷項分析，以及如何利用龍格微擾法 (Runge's Perturbation Method) 或Richardson外推法 (Richardson Extrapolation) 來提高低階差分的有效精度。在插值理論中，除瞭經典的拉格朗日多項式和牛頓差商，我們將詳細介紹樣條插值 (Spline Interpolation)，特彆是三次樣條 (Cubic Splines) 在保證一階和二階導數連續性方麵的卓越性能，及其在平滑數據和構建麯綫上的關鍵作用。 2. 常微分方程 (ODE) 的高效求解： 常微分方程的數值積分是動態係統仿真的核心。本書將詳細分析歐拉法的穩定性和局部截斷誤差。隨後，重點轉嚮高精度方法：龍格-庫塔法 (Runge-Kutta Methods)，包括經典的四階RK4以及誤差可控的自適應步長RKF45方法。對於剛性方程 (Stiff Differential Equations)，我們將解釋其數值積分的特殊睏難性，並係統介紹隱式歐拉法和嚮後微分公式 (BDFs) 的原理和應用場景，強調它們在保持長期穩定性和準確性上的優勢。 3. 有限差分法 (FDM) 在偏微分方程 (PDE) 中的應用框架： 本章為求解偏微分方程奠定瞭數值離散的基礎。我們將以熱傳導方程（拋物型）、薛定諤方程（雙麯型） 和泊鬆方程（橢圓型） 為例，詳細推導顯式和隱式有限差分格式。針對這些格式的穩定性分析（如CFL條件），我們將清晰對比前嚮時間/中心空間 (FTCS) 格式與Crank-Nicolson 格式在精度和穩定性上的權衡。這部分內容為讀者理解更復雜的有限元和有限體積方法提供瞭必要的計算思維準備。 總結： 本書結構嚴謹，內容深度與廣度並重。它不僅僅是一本算法匯編，更是一部關於“如何構建可靠數值模型”的實戰手冊。通過對理論基礎的深入挖掘、對算法收斂性和穩定性的嚴格檢驗，以及對現代大規模計算策略的引入，本書緻力於培養讀者將抽象數學轉化為高效、可信賴工程解決方案的能力。

評分☆☆☆☆☆

我一直覺得，好的數值分析教材應該像一位耐心又嚴厲的導師，既要指齣捷徑，更要強調陷阱。這本《優化理論與算法基礎》完美地體現瞭這一點。它在處理非綫性規劃問題時，對各種約束條件的引入和處理方式進行瞭極為細緻的討論，尤其是拉格朗日乘子法和KKT條件的部分，作者不僅清晰地闡述瞭理論必要性，還用大量的反例說明瞭如果不對約束條件做規範化處理，推導齣來的結果可能多麼具有誤導性。書中對牛頓法、擬牛頓法（BFGS、DFP）的收斂性分析，我讀瞭三遍纔徹底消化，那種局部二次收斂的優美特性，被作者用極其精妙的數學語言描繪齣來，令人嘆服。更難得的是，它並沒有迴避實際工程中常見的病態問題，專門闢章節討論瞭預處理技術在加速收斂中的關鍵作用，這對於將理論應用於實際工程問題的讀者來說，簡直是雪中送炭。這本書的習題設計也非常巧妙，很多需要自己設計測試用例來驗證算法穩定性的題目，極大地鍛煉瞭讀者的批判性思維。

評分☆☆☆☆☆

這本《矩陣計算及其應用》簡直是為我這種偏愛綫性代數和數值方法相結閤的讀者量身定做的。它不像很多教材那樣隻停留在理論推導的層麵，而是非常注重算法的實際應用和背後的數學原理的深入剖析。我特彆欣賞作者在講解特徵值分解和奇異值分解（SVD）時，不僅給齣瞭嚴謹的數學定義，還花瞭大量的篇幅來討論這些分解在數據降維（比如PCA）和圖像處理中的實際效果和計算效率。書中的代碼示例非常豐富，大多使用MATLAB/Octave編寫，這使得讀者可以立刻將學到的理論付諸實踐，親手感受不同算法（如QR迭代、雅可比法）的收斂速度和數值穩定性差異。我記得有一章專門講瞭迭代法求解大型稀疏綫性係統的Krylov子空間方法，作者的闡述邏輯清晰，從最基礎的GS到更復雜的GMRES，每一步的誤差分析都做到瞭詳略得當，讓人茅塞頓開。這本書的深度足以滿足研究生階段的學習需求，同時其清晰的結構又保證瞭本科高年級學生也能啃下來，確實是工具書級彆的經典之作。

評分☆☆☆☆☆

說實話，這本書《概率論與隨機過程導論》的敘述風格有點像一位哲學傢在和我們探討隨機性的本質。它沒有急於拋齣復雜的公式，而是用非常貼近生活的例子來引入隨機變量的概念。我個人對它處理隨機過程的章節印象極其深刻，特彆是布朗運動和馬爾可夫鏈的部分。作者沒有將布朗運動僅僅視為一個數學模型，而是將其與物理學中的熱運動、金融學中的股價波動聯係起來，使得抽象的概念變得具象化。在講解鞅論時，作者的筆法非常流暢，將條件期望的迭代過程描述得如同水流一般自然，這比我之前讀過的很多教材那種乾巴巴的定義堆砌要生動得多。雖然這本書的篇幅不算特彆大，但其知識密度極高，每一句話都值得反復咀嚼。讀完後，我感覺自己對“不確定性”的理解上升到瞭一個新的層次，不再是簡單地停留在計算概率的層麵，而是開始思考隨機性在係統演化中的內在機製。

評分☆☆☆☆☆

這本《傅裏葉分析與偏微分方程入門》給我帶來瞭一種久違的嚴謹與美感。作者在處理傅裏葉級數和積分時，對狄利剋雷條件和收斂性的討論極其細緻，讓人明白瞭為什麼有些函數可以使用傅裏葉展開，而有些則需要更廣義的定義域。當進入到熱傳導方程和波動方程的求解部分時，作者通過分離變量法構建的解決方案，每一步都像是精準的幾何構造，讓人感到數學之美。最讓我驚艷的是，作者沒有將傅裏葉變換視為一個孤立的工具，而是將其無縫嵌入到偏微分方程的求解流程中，清晰地展示瞭如何利用頻域分析來簡化時域或空間域的復雜問題，這在處理無限域問題時尤其有效。書中的圖示，尤其是針對不同邊界條件下解的波形展示，非常直觀，有效地彌補瞭純符號推導帶來的抽象感。總而言之，這是一本既有紮實基礎，又不失現代應用視野的優秀教材。

評分☆☆☆☆☆

這本書《高級微分方程：定性分析與穩定性理論》與其說是教科書，不如說是一本係統性的研究手冊。它完全避開瞭數值解法的窠臼，專注於微分方程解的性態研究。作者對相平麵分析的論述達到瞭登峰造極的境界，對極限環的存在性、穩定性判斷，以及龐加萊映射的引入，都處理得極為精妙。我尤其欣賞作者對李雅普諾夫穩定性理論的講解，從一緻有界到漸近穩定，每一步的邏輯遞進都如同建築的梁柱般堅固。書中穿插的許多經典例子，如範德波爾振蕩器和洛特卡-沃爾泰拉捕食者-獵物模型，不僅展示瞭理論的威力，更揭示瞭復雜動力學係統中蘊含的潛在秩序。這本書的難度顯然偏高，對讀者自身的數學功底要求很高，但對於那些渴望觸及現代動力學係統核心的進階學習者來說，它絕對是不可多得的寶藏。讀完後，看待任何綫性或非綫性係統，都會不由自主地去尋找其不動點和吸引子的結構。