數論算法（研究生） pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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薑建國 著

圖書標籤:

• 數論
• 算法
• 數學
• 計算機科學
• 研究生
• 密碼學
• 計算數論
• 算術
• 離散數學
• 高級數學

齣版社： 西安電子科技大學齣版社

ISBN：9787560633022

版次：1

商品編碼：11479471

開本：16開

齣版時間：2014-05-01

頁數：376

編輯推薦

本書從實用角度齣發，介紹數論的有關基礎理論、實用算法及其應用。
全書共9章，主要內容包括整數的可除性、數論函數、同餘及其運算、同餘方程、二次同餘方程與平方剩餘、原根與離散對數、連分數、素性測試和整數分解、有限域等。
本書選材精練，推理嚴謹，重點突齣，例題豐富，習題難易適度，對重點內容從不同角度進行論述，尤其對實用問題舉例較多，有利於培養讀者利用數論的理論和方法解決實際問題的能力。本書可作為計算機、通信、信息和網絡安全、數學等專業的研究生教材，也可作為相關領域科研人員的參考書。

內容簡介

數論是研究整數性質的一個數學分支，它曆史悠久，有著強大的生命力。數論問題敘述簡明，“很多數論問題可以從經驗中歸納齣來，並且僅用三言兩語就能嚮一個行外人解釋清楚，但要證明它卻遠非易事”，因而有人說：“用以發現天纔，在初等數學中再也沒有比數論更好的課程瞭”，所以在國內外各級各類的數學競賽中，數論問題總是占有相當大的比重。
隨著科學技術的發展，將經典理論與現代應用相結閤已成為發展的一種趨勢，故數論的應用領域也逐漸擴展開來，順應發展趨勢，推動數論應用，正是本書的編寫目的和齣發點。實際上，目前數論的有關理論和方法在計算機、通信等領域有著大量的應用，尤其在信息和網絡安全、數字信號處理等方麵應用更加廣泛，而本書也主要從應用角度齣發來研究數論問題，尤其是有關整數運算中實用的方法和具體算法。
本書共分9章，各章的主要內容概括如下：
第1章整數的可除性，主要介紹整除概念及與其相關的問題，如整除的定義及其性質，重點介紹瞭求最大公因數的有關算法。
第2章數論函數，給齣瞭幾種常用數論函數並討論瞭其性質，同時介紹瞭函數的積性和函數的Dirichlet乘積等概念及性質。
第3章同餘及其運算，介紹瞭整數按同餘的分類、同餘條件下冪函數的快速運算算法，給齣瞭不定方程的解法、矩陣的同餘運算和同餘在信息安全和隨機數生成方麵的應用實例。
第4章同餘方程，介紹瞭同餘方程的概念，討論瞭同餘方程的解數及解法，給齣瞭一次同餘方程組和素數模的同餘方程的求解方法及同餘方程在秘密共享和數據加密方麵的應用實例。
第5章二次同餘方程與平方剩餘，主要針對特殊的同餘方程（即二次同餘方程的求解）給齣瞭問題的分類、化簡和轉換方法，重點介紹瞭利用勒讓德符號和雅可比符號判斷方程的可解性和模數為素數時的求解方法。
第6章原根與離散對數，從整數的階與原根的定義齣發，給齣瞭階的性質、原根及其判斷方法與計算方法、 n次剩餘以及利用原根解特殊高次方程的方法，最後給齣瞭原根和離散對數在密鑰管理、信息加密和隨機數生成等方麵的應用。
第7章連分數，介紹瞭連分數的概念和有關性質，重點介紹瞭用連分數逼近實數和有理分數的方法。
第8章素性測試和整數分解，主要針對素數的精確判斷方法的復雜度問題，介紹瞭素數的概率測試，以及正整數的分解方法。
第9章有限域，主要討論與數論相關的群、環、域的概念和性質，重點介紹瞭同餘運算與群、環、域的關係，以及利用同餘運算實現有限域的構造等問題。
本書具有如下幾個特點：
(1) 緊密結閤研究生教學實際和教學大綱，在內容編排上力求深入淺齣，循序漸進；在講解理論和原理的同時，給齣瞭大量例題，並在講解例題時，重視對解題思路的分析，有利於提高讀者獨立分析問題和解決問題的能力。
(2) 針對工科研究生教學要求，書中除瞭數論的理論成果外，還結閤實際應用，搜集並整理瞭相關問題的實用算法，盡力做到與時俱進，重在實用。
(3) 注重教學思想方法的滲透和解題水平的提高。拾眾傢之所長，精選題目，使例題和習題均具有典型性和代錶性。
(4) 本書在撰寫時，參閱瞭國內外大量的相關資料，並凝結瞭作者十多年來從事研究生“數論算法”課程教學的體會，力求內容新穎，取捨得當。
本書是在西安電子科技大學校內教材“數論算法”的基礎上，經過多年的試用，並吸取瞭老師和學生大量的修改意見，不斷完善而成的。
西安電子科技大學齣版社對本書的齣版給予瞭熱情的關懷和支持，尤其是齣版社李惠萍老師對書稿嚴格把關，在內容的敘述方式上提齣瞭很多有益的建議，使作者深受教益，在此錶示感謝。
由於作者水平有限，書中不足之處在所難免，懇請讀者批評指正，使本書得以不斷改進和完善。

編著者
2013年10月

目錄

第 1 章 整數的可除性 1
1.1 整除的概念與帶餘除法 1
1.1.1 整除及其性質 1
1.1.2 素數 4
1.1.3 帶餘除法 5
1.2 整數的錶示 7
1.3 最大公因數與輾轉相除法 8
1.3.1 最大公因數 8
1.3.2 輾轉相除法 13
1.3.3 求（a，b）的算法 14
1.3.4 （a，b）與a、b的關係 17
1.3.5 其他性質 22
1.4 整除的進一步性質及最小公倍數 25
1.4.1 整除和最大公因數的其他性質 25
1.4.2 最小公倍數及其性質 26
1.5 算術基本定理 28
習題1 32
第 2 章 數論函數 38
2.1 數論函數 38
2.2 函數�Tx�A|、 |�@x�S 、 ［x］ 38
2.2.1 下整數函數�Tx�A| 38
2.2.2 上整數函數|�@x�S 39
2.2.3 四捨五入函數［x］ 39
2.3 函數potpn 40
2.4 Euler函數φ(n) 43
2.5 墨比烏斯函數μ(n) 50
2.5.1 墨比烏斯函數 50
2.5.2 墨比烏斯反演公式 53
2.6 素數個數函數π(n) 56
2.7 數論函數的狄利剋雷乘積 57
2.8 積性函數 60
2.8.1 積性函數的定義 61
2.8.2 積性函數的性質 62
習題2 65
第 3 章 同餘及其運算 71
3.1 同餘的概念及基本性質 71
3.2 剩餘類及完全剩餘係 77
3.2.1 剩餘類和完全剩餘係 77
3.2.2 剩餘類的性質 79
3.3 既約剩餘係 80
3.3.1 既約剩餘係 80
3.3.2 整數a模m的逆 84
3.4 歐拉定理和費馬小定理 87
3.4.1 歐拉定理 87
3.4.2 費馬小定理 89
3.5 模重復平方計算法 91
3.5.1 算法原理 91
3.5.2 模重復平方計算法 92
3.6 一次不定方程 95
3.6.1 二元一次（不定）方程 95
3.6.2 求特解的方法 99
3.6.3 s元一次不定方程 103
3.6.4 （s元）一次不定方程組 104
3.7 矩陣的同餘運算 107
3.7.1 矩陣及其綫性運算 107
3.7.2 矩陣乘法 109
3.7.3 可逆矩陣 111
3.8 同餘的應用 113
3.8.1 RSA公鑰密碼算法 113
3.8.2 背包公鑰密碼算法 114
3.8.3 希爾密碼算法 116
3.8.4 隨機數的Lehmer生成算法 118
3.8.5 隨機數的BBS生成算法 120
習題3 121
第 4 章 同餘方程 126
4.1 基本概念 126
4.2 一次同餘方程 134
4.3 中國剩餘定理 140
4.4 高次同餘方程的解數及解法 152
4.4.1 解數 152
4.4.2 特殊情形的解法 154
4.4.3 一般情形的解法 161
4.5 素數模的同餘方程 165
4.5.1 同餘方程的化簡 165
4.5.2 解數的判斷 168
4.6 同餘方程的應用 170
4.6.1 密鑰分存 170
4.6.2 數據庫加密方案 173
4.6.3 BBS流密碼算法 174
習題4 177
第 5 章 二次同餘方程與平方剩餘 182
5.1 一般二次同餘方程 182
5.1.1 二次同餘方程的化簡 182
5.1.2 平方剩餘 183
5.2 模為奇素數的平方剩餘與平方非剩餘 185
5.2.1 平方剩餘的判斷條件 185
5.2.2 平方剩餘的個數 187
5.3 勒讓德符號 188
5.4 雅可比符號 198
5.5 模p平方根 205
5.6 模數為閤數的情形 209
5.6.1 p為奇素數 210
5.6.2 p＝2 210
5.7 解同餘方程小結 215
習題5 215
第 6 章 原根與離散對數 221
6.1 整數的階及其性質 221
6.1.1 整數的階和原根 221
6.1.2 階的性質與計算方法 222
6.2 原根的存在性與計算方法 235
6.3 離散對數 244
6.4 離散對數的計算 247
6.4.1 Pohlid-Hellman算法 247
6.4.2 Shank算法 252
6.5 二項同餘方程與n次剩餘 254
6.6 原根與離散對數的應用 257
6.6.1 Diffie-Hellman密鑰交換算法 257
6.6.2 ElGamal加密算法 258
6.6.3 改進的隨機數生成算法 261
6.6.4 一種快速傅裏葉變換算法 263
6.6.5 同餘方程的求解 264
6.7 單嚮函數 266
習題6 267
第 7 章 連分數 271
7.1 連分數 271
7.1.1 連分數的概念 271
7.1.2 連分數性質與漸進連分數的計算 274
7.2 簡單連分數 279
7.2.1 實數的簡單連分數的生成 279
7.2.2 有理分數的連分數錶示 281
7.3 循環連分數 283
習題7 284
第 8 章 素性測試和整數分解 287
8.1 素性測試的精確方法 287
8.2 僞素數與Fermat測試算法 289
8.3 Euler僞素數與Solovay-Stassen測試算法 292
8.3.1 Euler僞素數 292
8.3.2 Solovay-Stassen測試算法 293
8.4 強僞素數與Miller-Rabin測試算法 293
8.4.1 強僞素數 295
8.4.2 Miller-Rabin測試算法 295
8.5 正整數的分解 297
8.5.1 Fermat方法 298
8.5.2 Fermat方法的拓展 299
8.5.3 Legendre方法 299
8.5.4 Pollard方法 300
8.5.5 Kraitchik方法 301
8.5.6 B基數法——Brillhart-Morrison法 303
8.5.7 連分數法 306
8.5.8 二次篩法 308
8.5.9 p-1法 310
習題8 312
第9章 有限域 314
9.1 集閤及其運算 314
9.1.1 集閤 314
9.1.2 映射 315
9.1.3 代數運算 317
9.1.4 同構映射 317
9.2 群 319
9.3 環 323
9.3.1 環 323
9.3.2 多項式環 325
9.4 域 329
9.4.1 域的概念 329
9.4.2 域的特徵和同構 332
9.4.3 有限域及其結構 335
9.4.4 有限域的構造 337
9.4.5 GF（2n）域上的計算 341
習題 9 343
附錄A 素數錶與最小正原根錶(1200以內) 345
附錄B k的連分數 346
附錄C F2上的既約多項式(n≤10) 348
附錄D F2上的本原多項式 350
索引 352
參考文獻 361

前言/序言

《數論算法（研究生）》圖書簡介 引言 在當今信息爆炸的時代，算法的重要性日益凸顯。從加密通信到大數據分析，再到人工智能的飛速發展，算法是驅動這些前沿技術的核心。而在眾多算法領域中，數論算法以其深厚的理論基礎和廣泛的應用前景，成為計算機科學、密碼學、編碼理論以及相關交叉學科研究的基石。本書《數論算法（研究生）》旨在為有誌於深入探索這一領域的讀者提供一份全麵而係統的指導，幫助他們掌握數論算法的精髓，並能靈活運用於實際問題。 本書並非一本淺嘗輒止的科普讀物，而是麵嚮具有一定數學基礎（特彆是綫性代數、離散數學、微積分等）的研究生及高年級本科生量身打造的專業教材。我們緻力於在理論嚴謹性的同時，注重算法的實際實現和應用，力求讓讀者不僅理解“為什麼”，更能掌握“怎麼做”。 核心內容概述 本書的結構圍繞數論中最核心、最具算法潛力的概念展開，並逐步深入到復雜且高效的算法設計與分析。我們將從最基礎的數論概念齣發，逐步構建起堅實的理論框架，並在此基礎上介紹和分析各類經典和現代的數論算法。 第一部分：基礎理論與預備知識 在深入算法之前，紮實的理論基礎是必不可少的。本部分將迴顧和梳理數論中的一些基本概念，為後續算法的學習打下堅實基礎。 整除性與同餘理論： 這是數論的基石。我們將詳細介紹整除的性質、素數與閤數、最大公約數和最小公倍數等概念，並重點講解同餘關係、同餘方程組（如中國剩餘定理）及其算法應用。這部分內容對於理解許多數論算法，如歐幾裏得算法、模冪運算等至關重要。 模算術與群論基礎： 模算術在計算機科學中無處不在，特彆是在密碼學和編碼理論中。我們將介紹模加法、模乘法、模逆元、模冪等運算，並引入有限域、循環群等抽象代數中的基本概念。這將為理解公鑰密碼係統、有限域上的離散對數問題等打下理論基礎。 數論函數與性質： 歐拉函數、莫比烏斯函數等數論函數在數論研究和算法設計中扮演著重要角色。我們將探討它們的定義、性質以及計算方法，並展示它們在求和、計數等問題中的應用。 第二部分：核心數論算法 本部分是本書的重中之重，我們將詳細介紹各種經典和現代的數論算法，並探討它們的原理、復雜度分析和實際應用。 歐幾裏得算法及其變種： 作為最古老且最有效的算法之一，歐幾裏得算法及其擴展（用於求解綫性同餘方程）將在本節得到深入剖析。我們將分析其時間復雜度，並探討其在最大公約數計算、模逆元求解等方麵的應用。 素性判定算法： 確定一個大整數是否為素數是數論中的一個重要問題，尤其在密碼學中。我們將介紹多種素性判定算法，包括： 確定性算法： 如試除法（對於小範圍整數）、AKS素性測試（理論上是多項式時間，但實踐中通常較慢）。 概率性算法： 如費馬小定理素性檢驗、米勒-拉賓素性檢驗。我們將詳細分析這些算法的原理、正確率和效率，以及它們在實際中的權衡。 整數分解算法： 將一個大整數分解為其素因子的過程稱為整數分解，這是許多公鑰密碼係統（如RSA）的安全性基礎。我們將講解以下關鍵算法： 試除法： 最直觀但效率最低的算法，適用於小因子。 平方根算法（Pollard's rho, Pollard's p-1）： 一些基於概率思想的改進算法，在特定情況下錶現良好。 二次篩法（Quadratic Sieve, QS）： 經典的亞指數級整數分解算法，具有重要的理論和曆史意義。 數域篩法（Number Field Sieve, NFS）： 目前已知的最快的通用整數分解算法，我們將對其復雜度和原理進行介紹。 離散對數問題（DLP）相關算法： 離散對數問題是另一類重要的密碼學難題。我們將介紹： Baby-step giant-step算法： 一種改進的搜索算法，在有限域上求解DLP。 Pollard's rho算法（針對DLP）： 概率性算法，用於求解DLP。 索引演算算法（Index Calculus Algorithm）： 對於特定結構的群（如有限域），效率較高的算法。 模冪運算與中國剩餘定理的應用： 模冪運算是許多加密算法（如RSA、ElGamal）的核心，我們將介紹高效的模冪算法（如平方乘算法）。同時，我們將再次強調中國剩餘定理在並行計算、閤同解決等方麵的算法應用。 第三部分：高級主題與應用 在本部分，我們將進一步拓展數論算法的應用範圍，並介紹一些更高級的主題。 橢圓麯綫上的離散對數問題（ECDLP）： 橢圓麯綫密碼學（ECC）因其密鑰長度短、運算效率高而成為當前研究的熱點。我們將介紹橢圓麯綫的數學基礎，以及在橢圓麯綫上求解離散對數問題的算法（如 Pollard's rho, Baby-step giant-step for ECC）。 代數數論在算法中的體現： 某些高級數論算法（如NFS）的背後涉及更深刻的代數數論概念。我們將簡要介紹代數數域、理想等概念，並說明它們如何為算法的構建提供理論支撐，但這部分內容不會深入到復雜的代數數論證明，而是側重於算法思想的啓發。 數論算法在密碼學中的應用： 我們將深入探討數論算法如何支撐現代密碼學，包括： 公鑰密碼係統： RSA、Diffie-Hellman密鑰交換、ElGamal加密等。 數字簽名： RSA簽名、DSA簽名等。 對稱加密： AES等算法中也使用瞭模運算和有限域的概念。 哈希函數： 部分哈希函數的構造也依賴於數論原理。 數論算法在編碼理論中的應用： 有限域上的多項式運算、循環碼、BCH碼、Reed-Solomon碼等都與數論緊密相關。我們將介紹這些算法的基本思想和數論基礎。 算法的實現與優化： 除瞭理論分析，本書還將討論數論算法的實際實現細節。我們將探討大數運算庫的選擇、算法的並行化、硬件加速的可能性，以及如何根據具體應用場景選擇和優化算法。 本書的特色與目標讀者 理論與實踐並重： 本書力求在數學證明的嚴謹性與算法的實際可操作性之間取得平衡，提供清晰的算法僞代碼和必要的實現建議。 循序漸進的結構： 從基礎概念到核心算法，再到高級應用，本書的章節安排遵循邏輯遞進的原則，便於讀者逐步掌握。 麵嚮研究生的深度： 本書的內容深度和廣度適閤研究生階段的學習，能夠為後續的深入研究打下堅實基礎。 跨學科的連接： 本書的內容廣泛涉及計算機科學、密碼學、信息安全、編碼理論等多個領域，旨在培養具備跨學科視野的專業人纔。 目標讀者 本書適閤以下讀者： 計算機科學、軟件工程、信息安全、密碼學、數學等專業的在讀研究生。 對數論算法感興趣的高年級本科生。 希望深入瞭解數論算法在現代科技中應用的研究人員和工程師。 結語 數論算法的世界既古老又年輕，它在抽象的數學領域孕育齣無數解決實際問題的強大工具。通過學習本書，我們期望讀者能夠建立起對數論算法的深刻理解，掌握分析和設計相關算法的能力，並能夠將其運用於科學研究和工程實踐中，為推動相關領域的發展貢獻力量。我們相信，本書將成為您在數論算法領域探索之旅中不可或缺的夥伴。

評分☆☆☆☆☆

這本書我大概讀瞭一半，感覺比我預期的要更深入一些。最初選擇這本書，是因為在本科階段接觸過一些基礎的數論概念，比如素數、同餘等等，覺得這門課應該會讓我對這些概念有一個更紮實的理解，為之後學習密碼學或者計算幾何這類需要數論背景的學科打下基礎。然而，這本書的內容很快就超越瞭我對“基礎”的定義。它從一些非常抽象的數學模型開始，逐步引申到一些我從未接觸過的算法。比如，書中對某些數論函數的性質的分析，以及如何利用這些性質來設計高效的算法，這部分讓我感到耳目一新，也承認瞭自己的知識儲備不足。 但是，我並不是覺得這本書的內容不好。恰恰相反，它所展示的數學的嚴謹性和算法設計的精妙之處，讓我對數論這門學科産生瞭更濃厚的興趣。我尤其喜歡書中在講解某個算法時，會先給齣它的理論基礎，然後逐步推導齣算法的步驟，最後還會分析算法的時間復雜度。這種層層遞進的講解方式，雖然需要花費更多的時間去理解，但一旦掌握瞭，就會有一種豁然開朗的感覺。我正在努力跟上作者的思路，即使有時候需要反復閱讀，查閱一些額外的資料，我也覺得這段學習過程是值得的。

評分☆☆☆☆☆

這本書簡直是為我量身定做的！我一直對理論性的計算機科學領域非常著迷，而數論算法恰恰是連接抽象數學和實際計算的一個絕佳橋梁。這本書在引入數論概念時，並沒有像一些入門書籍那樣止步於錶麵，而是直接深入到一些更高級的主題，比如代數數論和解析數論在算法設計中的應用。我之前在閱讀一些關於編碼理論的論文時，就經常遇到一些數論的術語和結論，但一直沒有機會係統地學習。這本書恰好填補瞭這個空白。 它對一些經典數論算法的講解，比如 Miller-Rabin 素性測試和 Pollard's rho 算法，不僅詳細地描述瞭算法的實現細節，還深入剖析瞭其背後的數學原理，讓我理解瞭為什麼這些算法能夠高效地解決問題。更重要的是，書中還涉及瞭一些前沿的研究方嚮，雖然有些內容我暫時還無法完全消化，但它極大地拓寬瞭我的視野，讓我看到瞭數論算法在現代密碼學、量子計算等領域的巨大潛力。這激勵我更加努力地學習，希望將來也能為這個領域貢獻自己的力量。

評分☆☆☆☆☆

這本書我大概看瞭三分之一，對我而言，它更像是一本“概念模型”的書，而不是一本“操作手冊”。我之前接觸的數論算法，更多的是停留在“知道有這麼個算法，能解決什麼問題”的層麵。而這本書則是在追溯這些算法的“根”。它從一些非常基礎的數學公理齣發，一步一步地構建起整個數論算法的理論框架。 我特彆欣賞它在講解某些算法時，會先鋪墊一大段數學背景知識，讓你理解這個算法産生的“土壤”。比如，關於二次剩餘的講解，作者花瞭相當多的篇幅來介紹群論和域論的基礎，這讓我對為什麼二次剩餘在很多算法中如此重要有瞭更清晰的認識。雖然有時候會覺得這些數學鋪墊有點過於“理論化”，與我直接想要瞭解的算法實現有些距離，但當我迴頭再去看那些算法時，就會發現，原來它們是建立在如此堅實的數學大廈之上。這種“由錶及裏”的學習方式，雖然慢，但印象會更深刻。

評分☆☆☆☆☆

我拿到這本書的時候，其實是抱著一種“學習一些高級算法，然後寫進我的畢業論文”的目的。我本以為它會是一本“一本通”式的教材，裏麵羅列瞭各種算法，然後給齣僞代碼，再講解一下應用場景。但事實並非如此。這本書的風格更像是一部學術專著，充滿瞭嚴謹的數學推導和深刻的理論分析。它很少直接給齣“你應該怎麼做”，而是引導你思考“為什麼是這樣”。 一開始，我確實有點不適應這種風格，覺得有點枯燥。但隨著閱讀的深入，我逐漸發現，正是這種嚴謹性，纔使得這本書的內容如此紮實可靠。它不會給你一些“速成”的技巧，而是讓你真正理解算法背後的邏輯。比如，書中對某些數論函數的奇偶性、周期性等性質的細緻分析，以及如何利用這些性質來構造新的算法，這部分讓我感受到瞭數學的魅力。盡管我現在還不能完全獨立地設計齣新的數論算法，但這本書無疑為我打下瞭堅實的理論基礎，讓我對算法的本質有瞭更深的理解。

評分☆☆☆☆☆

老實說，這本書對我來說有點“超綱”瞭。我當初選擇它，是想在數論算法領域有所突破，為我的研究項目找一些新的思路。我期待的是能夠看到一些直接可用的、經過優化的算法，並且瞭解它們在實際應用中的錶現。然而，這本書的內容更多的是探討一些數論算法的理論極限、計算復雜性，以及一些更抽象的數學模型。 比如，書中對某些非經典數論算法的介紹，以及對這些算法在某些特定數域上的性能分析，這些內容對我目前的直接研究項目可能並不完全適用。但是，它也確實讓我認識到瞭數論算法的廣闊天地。它展示瞭許多我之前從未聽說過的算法和數學工具，讓我意識到，原來數論算法不僅僅是素性測試和因式分解。這激發瞭我對數論這門學科更深層次的探索欲望，盡管我知道這條路會比較漫長，但我願意嘗試去理解這些更高級的內容。

評分☆☆☆☆☆

好

評分☆☆☆☆☆

收到書瞭 以後還來這裏看看

評分☆☆☆☆☆

不錯

評分☆☆☆☆☆

內容講述全麵，算法敘述還可，值得一讀

評分☆☆☆☆☆

內容講述全麵，算法敘述還可，值得一讀

評分☆☆☆☆☆

不錯

評分☆☆☆☆☆

內容講述全麵，算法敘述還可，值得一讀

評分☆☆☆☆☆

好

評分☆☆☆☆☆

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