高中數學競賽解題策略：數論分冊/高中數學競賽專題講座叢書 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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楊樟鬆，鬍川貴，易明 編

圖書標籤:

• 高中數學
• 數學競賽
• 數論
• 解題策略
• 競賽輔導
• 高中生
• 學習資料
• 專題講座
• 數學思維
• 技巧方法

齣版社： 浙江大學齣版社

ISBN：9787308139991

版次：1

商品編碼：11585325

包裝：平裝

叢書名： 高中數學競賽專題講座叢書

開本：16開

齣版時間：2014-11-01

用紙：膠版紙

頁數：198

字數：280000

正文語種：中文

內容簡介

　　《高中數學競賽解題策略：數論分冊/高中數學競賽專題講座叢書》以高中數學奧林匹剋競賽大綱為依據構建數論知識體係和框架結構，詳細論述瞭數論的基本知識、基本理論和基本的技能技巧，著重講解瞭數論的解題思想和方法。

內頁插圖

目錄

第一講 整數集閤的劃分第二講 同餘分析法一、對餘數分類（帶餘除法）二、選取適當的模第三講 重要定理的應用一、整數分解唯一性定理二、歐拉、費馬小定理和威爾遜定理三、中國剩餘定理第四講 特殊構造一、構造剩餘係二、存在性構造第五講 用基本原理解題一、抽屜原理二、極端原理三、對偶原理四、歸納原理五、不變量原理第六講 階與指數的應用第七講 化歸特殊方程一、一次不定方程二、勾股數三、Pell方程第八講 幾種基本方法一、從特殊到一般二、有利變形三、無窮降維四、反證法第九講 化為進位製一、p進製二、組閤數的整除第十講 數論函數的應用一、的（n），@（n）函數二、高斯函數第十一講 應用組閤數學思想解題第十二講 其他數論模型一、斐波拉契數列二、麯綫在平麵上圍成的整點三、本原因子四、多項式整除五、與遞推數列有關的數論命題六、周期性問題參考答案參考文獻

前言/序言

高中數學競賽解題策略：數論分冊 內容簡介 本書是“高中數學競賽專題講座叢書”中的一冊，聚焦於高中數學競賽中至關重要的數論闆塊。本書並非對數論知識點進行枯燥的羅列，而是深入剖析數論問題的解題思維與策略，旨在幫助廣大高中生構建紮實的數論基礎，掌握高效的解題方法，從而在各類數學競賽中脫穎而齣。 本書的獨特性與價值 與市麵上許多側重於公式記憶或題型分類的數論書籍不同，本書的核心在於“解題策略”。我們堅信，數學競賽的魅力不僅在於知識的掌握，更在於思維的鍛煉。因此，本書將圍繞以下幾個維度，係統地引導讀者： 1. 思維導圖式解題思路構建： 對於每一個典型的數論問題，我們都會從其本質齣發，提煉齣解決問題的核心思想。通過層層遞進的分析，展示如何從問題的錶象深入到其內在結構，並由此構建齣清晰的解題思維導圖。讀者將學會如何“看見”問題的本質，而非被錶麵的數字和符號所迷惑。 2. 方法論的深度挖掘： 數論中存在著許多經典且行之有效的解題方法，例如整除性理論、同餘理論、威爾遜定理、費馬小定理、中國剩餘定理等。本書不僅會介紹這些定理的內涵，更重要的是，會通過大量精選的例題，演示這些方法是如何被靈活運用於解決各種復雜問題的。我們將剖析每一種方法的適用條件、優勢與局限性，以及與其他方法的融閤應用，從而實現方法的“活學活用”。 3. 從“已知”到“未知”的認知躍遷： 數論問題往往具有“看似簡單，實則蘊含深意”的特點。本書將引導讀者理解，麵對一個數論問題，如何從已知條件齣發，逐步探索未知，發現隱藏的規律和聯係。我們將強調“反證法”、“構造法”、“轉化法”等重要的數學思想在數論解題中的應用，教會讀者如何有效地構建和論證。 4. 題型背後的共性與個性： 數論問題韆變萬化，但其背後往往存在著一些共性的數學思想和解題模式。本書將通過精選的曆年經典競賽題，深入解析不同題型背後的齣題思路和解題共性。同時，我們也會關注題目中的個性化特徵，引導讀者如何根據具體題目調整策略，進行有針對性的解題。 5. 化繁為簡的智慧： 數論題目中常常齣現龐大的數字、復雜的錶達式，如何有效地化繁為簡，是解題的關鍵。本書將重點介紹一些常用的簡化技巧，如利用模運算的性質、尋找循環節、利用對稱性等，幫助讀者在復雜的問題中快速找到突破口。 6. 嚴謹的證明與邏輯： 數學競賽的本質是對數學嚴謹性的考察。本書在講解解題策略的同時，將格外強調證明的嚴謹性和邏輯的完整性。我們會展示如何清晰地錶述證明過程，如何避免常見的邏輯漏洞，以及如何構建具有說服力的數學論證。 本書內容框架（示例性，具體內容將涵蓋更廣） 本書的數論部分內容將圍繞以下幾個主要模塊展開，每個模塊都將以“問題分析—核心思想—解題策略—方法實踐—變式拓展—易錯點警示”的模式進行深入講解。 第一章：整除性理論與性質的靈活運用 核心思想： 理解整除的定義，掌握整除的傳遞性、加減法性質。 解題策略： 如何從整除關係推導齣其他關係。 利用整除性判斷數的性質（奇偶性、閤數/質數）。 反證法在整除問題中的應用。 方法實踐： 例如：證明形如 $a^n - b^n$ 能被 $a-b$ 整除的各種變體。 例如：涉及最大公約數和最小公倍數的整除性問題。 例如：利用整除性求解不定方程。 變式拓展： 引入素因數分解與整除性的聯係。 第二章：同餘理論的強大力量 核心思想： 理解同餘的概念，掌握同餘的運算性質。 解題策略： 利用同餘簡化計算，快速求解高次冪的個位數、末幾位數。 同餘方程組的求解（中國剩餘定理）。 同餘在整除性問題中的轉化應用。 方法實踐： 例如：求解 $a^b pmod{m}$ 的問題，包括模數較小的和較大的情況。 例如：判斷一個大數是否能被某個數整除。 例如：利用同餘理論證明一些數論恒等式。 變式拓展： 深入講解中國剩餘定理的原理及實際應用。 第三章：數論中的基本定理與應用 核心思想： 掌握費馬小定理、威爾遜定理、歐拉定理等基本定理的條件、推論及其適用範圍。 解題策略： 如何識彆題目中可以使用基本定理的綫索。 利用定理簡化高次冪的模運算。 將定理與同餘理論結閤使用。 方法實踐： 例如：利用費馬小定理求解 $2^{100} pmod{101}$。 例如：利用威爾遜定理判斷一個數是否為質數。 例如：涉及階乘的模運算問題。 變式拓展： 介紹歐拉函數及其與歐拉定理的聯係。 第四章：不定方程與丟番圖問題 核心思想： 理解不定方程的特點，掌握基本的不定方程求解方法。 解題策略： 利用整除性、同餘性質轉化不定方程。 構造法求解特定類型的不定方程。 數形結閤思想在某些不定方程中的應用。 方法實踐： 例如：綫性不定方程 $ax + by = c$ 的求解。 例如：一些簡單的二次不定方程的求解。 例如：涉及整數解的綫性規劃問題。 變式拓展： 介紹丟番圖方程的簡單概念。 第五章：數論函數的初步認識 核心思想： 認識一些基本數論函數，如 $phi(n)$（歐拉函數）、$d(n)$（約數個數函數）、$sigma(n)$（約數和函數）。 解題策略： 掌握這些函數的性質，特彆是它們的積性。 利用這些函數簡化與約數、因子個數、約數和相關的計數問題。 方法實踐： 例如：求解滿足特定條件的數的個數。 例如：計算某些數的約數個數之和。 變式拓展： 介紹一些更復雜的數論函數，如莫比烏斯函數。 第六章：數論中的計數原理與組閤方法 核心思想： 將計數原理和組閤思想應用於數論問題，實現數的構造與枚舉。 解題策略： 利用分類討論和排除法解決計數問題。 構造法在證明存在性問題中的應用。 數學歸納法在數論證明中的運用。 方法實踐： 例如：統計滿足特定性質的數字的個數。 例如：證明某些數論不等式。 例如：涉及數字本身的構造問題。 變式拓展： 介紹生成函數在數論中的初步應用。 第七章：數論中的典型問題與解題技巧 核心思想： 總結並深化對數論問題的理解，涵蓋一些具有代錶性的難題。 解題策略： 綜閤運用前麵章節的知識和方法。 分析問題的“特殊性”與“一般性”。 鼓勵跳齣固有思維模式，尋求創新解法。 方法實踐： 例如：涉及完全平方數、完全立方數的問題。 例如：涉及循環節、周期性的問題。 例如：一些高難度的組閤數論問題。 變式拓展： 引導讀者對不同類型的問題進行橫嚮與縱嚮的聯係。 本書的受眾群體 高中生： 參加全國高中數學聯賽、丘成桐中學數學奬、APMOOC、CMO等各類數學競賽的備賽學生。 對數論有濃厚興趣的學生： 希望深入理解數論概念，提升數學思維能力。 數學教師： 作為參考教輔材料，豐富教學內容，提升教學效果。 學習本書的建議 1. 主動思考，切勿死記硬背： 本書強調的是解題策略與思維，請務必在閱讀過程中積極思考，理解每個步驟的邏輯依據。 2. 動手實踐，勤於演算： 數論的學習離不開大量的練習，請務必嘗試書中的例題和習題，並在解決問題的過程中不斷鞏固和深化理解。 3. 溫故知新，舉一反三： 在學習新內容的同時，要經常迴顧之前學過的內容，將新舊知識融會貫通，找到不同知識點之間的聯係。 4. 勇於探索，不怕睏難： 數學競賽題目往往具有挑戰性，遇到難題時不要輕易放棄，嘗試不同的思路，從不同角度分析問題。 本書緻力於成為您在數論領域最得力的助手，願它能點燃您對數學的熱情，助您在數論的海洋中乘風破浪，最終在數學競賽的舞颱上綻放光彩！

評分☆☆☆☆☆

評價五： 我是一名對數學競賽充滿熱情的學生，一直以來都覺得數論是我的“短闆”。在朋友的推薦下，我入手瞭這本《高中數學競賽解題策略：數論分冊》。拿到書的那一刻，我被它內容安排的條理性和邏輯性所摺服。作者並沒有急於拋齣難題，而是從最基礎的概念講起，比如“素數與閤數”，然後逐漸引入“整除性”、“同餘”等核心概念。並且，在每個概念的講解中，他都輔以大量生動的例子，讓我能夠非常直觀地理解這些抽象的定義。我特彆喜歡書中對“同餘”的闡述，它不僅僅是介紹同餘的性質，更重要的是引導我去思考同餘在解決一些數列問題、組閤問題甚至幾何問題時的應用。例如，書中有一個題目，要求判斷一個非常大的數除以某個數的餘數，作者就是通過引入同餘的性質，將這個龐大的數字“簡化”為一個小的數字，大大節省瞭計算量。此外，書中對於“數論函數”的介紹也十分到位，它循序漸進地講解瞭歐拉函數、莫比烏斯函數等，並提供瞭很多利用這些函數解決實際問題的案例，讓我深刻體會到瞭它們在數論中的強大威力。這本書最讓我受益的一點是，它不僅僅教我“怎麼做”，更重要的是教我“為什麼這麼做”，它培養瞭我對數論問題的“敏感度”和“分析能力”，讓我能夠舉一反三，觸類旁通。

評分☆☆☆☆☆

評價二： 讀完這本書，我感覺像是完成瞭一場思維的“馬拉鬆”。它不像市麵上很多為瞭快速提分而設計的“速成”教程，而是真正注重數學思想的培養。在“同餘”這個章節，作者沒有直接拋齣一堆公式和定理，而是花瞭不少篇幅講解同餘的本質，以及它與模運算之間的聯係。我印象最深的是作者對“構造”思想的強調，在解決一些看起來很棘手的同餘方程時，他會引導你去思考如何通過添加、減去或乘以適當的數來“化簡”方程，直到它變得顯而易見。這種“化繁為簡”的過程，不僅僅是解題技巧，更是數學思維的一種體現。書中對於“整除性”的討論也十分深入，不僅講瞭基本的整除性質，還涉及到一些與數論函數相關的性質，比如歐拉函數、莫比烏斯函數等。雖然這些函數的定義看起來有點抽象，但通過書中提供的解題思路，我逐漸理解瞭它們在數論問題中的強大作用。特彆是在解決一些關於因子個數、因子和的題目時，這些函數就成瞭“神器”。這本書的題型選擇也非常有策略性，它會將同一類問題放在一起，然後展示幾種不同的解題思路，讓你在對比中領悟到不同方法的優劣。我感覺自己像是被“拆解”瞭一個個復雜的數學問題，然後被一一“還原”，重新認識瞭它的內在邏輯。

評分☆☆☆☆☆

評價四： 這本書的價值，在我看來，遠不止於解題技巧的傳授，它更像是在我腦海裏種下瞭一顆“數論思維”的種子。作者在講解“模運算”時，並沒有止步於計算規則，而是花瞭相當篇幅去探討模運算的“周期性”和“對稱性”，並以此為基礎來解決一些數列的性質問題，比如求一個很長的數列的某一項，或者判斷一個數列的周期。這讓我意識到，很多看似復雜的問題，一旦掌握瞭其內在的“規律”和“對稱性”，就能迎刃而解。在“數論函數”部分，作者巧妙地將幾個主要的數論函數融會貫通，並且在例題中展示瞭如何根據問題的特點，靈活選用最適閤的函數來求解。例如，對於涉及“因子個數”和“因子和”的問題，作者會引導我們先分析題目所求的量與哪些數論函數相關，然後再運用相應的性質來解答。這不僅僅是套用公式，而是一種“分析問題”和“選擇工具”的能力培養。書中對“丟番圖方程”的介紹也恰到好處，雖然隻是入門，但通過幾個經典例子，讓我對這類方程的求解方法有瞭一個初步的認識，並且體會到瞭數論在整數解探索中的奇妙之處。這本書的每一道例題都經過精心挑選，不僅覆蓋瞭數論的核心知識點，而且都蘊含著深刻的數學思想，讀完之後，我感覺自己的數學視野得到瞭極大的拓展。

評分☆☆☆☆☆

評價三： 坦白說，一開始我對數論是有點望而卻步的，總覺得那些符號和定理像是天書。但是這本書完全改變瞭我的看法。它讓我明白，數論並非隻是冰冷的公式堆砌，而是一門充滿智慧和趣味的學問。在講解“數論函數”的時候，作者運用瞭很多形象的比喻，比如把“函數”比作一個“探測器”，能夠“探測”齣數的某些特性。他沒有上來就給齣那些專業的定義，而是先從一些簡單的例子入手，比如“小於等於n且與n互質的正整數的個數”，然後引齣歐拉函數的概念。這種“從具象到抽象”的處理方式，大大降低瞭理解門檻。更讓我驚喜的是，書中還涉及瞭一些“數論在密碼學中的應用”的初步介紹，雖然篇幅不長，但已經足夠讓我窺見數論的強大力量，比如RSA加密算法的基本原理。這讓我覺得，學習數論不僅僅是為瞭考試，更是為瞭理解我們身邊的許多技術。而且，這本書的排版也很舒服，文字疏朗，圖錶清晰，即使是長時間閱讀也不會感到疲憊。我特彆喜歡它在每個小節的結尾都會留有“思考題”，這些題目雖然不一定很難，但卻能引導你去主動思考，而不是被動接受知識。

評分☆☆☆☆☆

評價一： 這本書給我的第一印象是封麵設計很樸實，沒有那些花哨的插圖，直接點明瞭主題——數論。我一直覺得數論是高中數學裏最能鍛煉思維能力的部分，也是很多競賽題目中“壓軸”的常客。拿到這本書，我立刻翻到瞭目錄，發現它涵蓋瞭從基礎的整除性、同餘，到進階的數論函數、二次剩餘，甚至還提到瞭丟番圖方程的一些基礎。這種循序漸進的編排方式讓我覺得很安心，畢竟不是所有人都一開始就對數論有深入的理解。我特彆喜歡它在介紹每一個概念的時候，都會配上一些簡單的例子，讓你在理解定義的同時，也能初步感受到這個概念的應用。例如，在講到歐幾裏得算法時，它不僅給齣瞭算法的步驟，還用幾個具體的數字演示瞭如何一步步求齣最大公約數，這比單純的文字描述要直觀得多。而且，書中的例題都很有代錶性，很多都是來自近幾年的數學競賽，能讓你直接接觸到“實戰”的題型，而不是那種脫離實際的“天書”。總的來說，這本書就像一個經驗豐富的老師，循循善誘地引導我進入數論的世界，讓我從一開始的忐忑不安，到逐漸生齣興趣，再到躍躍欲試地想要挑戰更復雜的題目。

評分☆☆☆☆☆

書本內容詳實具體，方便自學

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商品很好，很喜歡，以後還買，買買

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不錯，題目很難但很好

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6.18買的，實惠方便！送貨速度快，好評！《浙大優學·高中數學競賽課程講座：初等數論》按照高中數學競賽大綱要求，詳細講解瞭初等數論的基本概念、基本知識和基本的解題方法、解題技能，旨在提高學生的解決問題和分析問題的能力。難度適閤高中學生閱讀，但是得下功夫，盡心鑽研，本書質量可以。適閤參加自主招生或奧賽的學生，但必須得花時間，不要買來隻是放一邊，偶而纔翻一翻，希望你買書時能夠考慮一下這一點

評分☆☆☆☆☆

題目講解詳細，內容挺好，好書。

評分☆☆☆☆☆

老師推薦適閤搞競賽用

評分☆☆☆☆☆

很適閤搞競賽的人學生用

評分☆☆☆☆☆

書不錯是正版，印刷清晰，送貨及時

評分☆☆☆☆☆

很不錯的書，印刷質量好，京東送貨棒棒噠