数学机械化丛书 12：几何定理机器证明的几何不变量方法 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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张景中，高小山，周咸青 著

图书标签:

• 数学机械化
• 定理证明
• 几何学
• 几何不变量
• 形式化验证
• 计算机辅助证明
• 数学软件
• 丛书
• 学术著作
• 自动化推理

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030440662

版次：1

商品编码：11701608

包装：平装

丛书名： 数学机械化丛书12

开本：32开

出版时间：2015-05-01

用纸：胶版纸

页数：336

正文语种：中文

内容简介

　　《数学机械化丛书 12：几何定理机器证明的几何不变量方法》系统介绍了几何定理机器证明的几何不变量方法. 主要包括：基于面积与勾股差等几何不变量的面积法、基于体积与勾股差等几何不变量的体积法以及基于向量计算的向量方法。

作者简介

　　张景中，中国科学院院士。现任广州大学计算机教育软件研究所所长。主要从事机器证明、教育数学、距离几何及动力系统等领域的研究。

目录

第1章 几何定理机器证明概述
1.1 模拟人的思维——人工智能的开始
1.2 Gelernter的几何定理证明机
1.3 几何定理机器证明的吴方法
1.4 几何定理自动发现的吴方法
第1章 小结

第2章
2.1 传统的证明方法和机器证明的比较
2.2 有向三角形的带号面积
2.2.1 定理
2.2.2 基本命题
2.3 Hilbert交点命题
2.3.1 命题的描述
2.3.2 几何命题的谓词形式
2.4 面积法
2.4.1 从面积中消去点
2.4.2 从比例中消去点
2.4.3 自由点和面积坐标
2.4.4 几何定理证明举例
2.4.5 其他的消元技术
2.5 面积法和仿射几何
2.5.1 平面仿射几何
2.5.2 面积法和仿射几何
2.6 应用
2.6.1 公式推导
2.6.2 n3构型的存在性
2.6.3 Ceva与Menelus定理的推广
第2章 小结

第3章 平面几何机器证明
3.1 勾股差
3.1.1 勾股差和垂直
3.1.2 勾股差和平行
3.1.3 勾股差和面积
3.2 构造型几何命题
3.2.1 线性构造型几何命题
3.2.2 最小构造集合
3.2.3 谓词形式
3.3 线性可构型几何命题的机器证明
3.3.1 算法
3.3.2 优化的消去技巧
3.4 比率构造
3.4.1 更多的比率构造
3.4.2 全角法的机械化
3.5 面积坐标
3.5.1 面积坐标系
3.5.2 面积坐标和三角形的特殊点
3.6 三角函数和共圆点
3.6.1 共圆定理
3.6.2 共圆点的消去
3.7 可构型几何命题的机器证明
3.7.1 从几何量中消点
3.7.2 伪除法和三角形式
3.7.3 可构型几何命题的机器证明
3.8 基于演绎数据库的全角方法
3.8.1 建立几何信息库
3.8.2 基于几何信息库的机器证明
第3章 小结

第4章 演绎数据库方法
4.1 结构化的演绎数据库和推理策略
4.1.1 基于结构化数据的推理
4.1.2 有关的工作
4.2 几何推理规则
4.2.1 几何推理规则
4.2.2 非退化条件
4.2.3 准确的数值图形的构造
4.3 结构化数据库
4.3.1 数据库的结构
4.3.2 证明的生成
4.4 搜索和控制的策略
4.4.1 基于数据的搜索
4.4.2 避免冗余推理
4.5 构造辅助点和Skolem化
4.6 算法的实现与例题
4.6.1 算法的实现
4.6.2 应用
4.6.3 测试结果和例子
附录
第4章 小结

第5章 立体几何中的定理自动证明
5.1 带号体积
5.1.1 共面定理
5.1.2 体积和平行
5.1.3 体积与三维仿射几何
5.2 构造型几何命题
5.2.1 构造型几何命题
5.2.2 构造型几何图形
5.3 线性构造型几何命题的机器证明
5.3.1 关于体积的消点法
5.3.2 由面积比中消点
5.3.3 由长度比中消点
5.3.4 自由点和体积坐标
5.3.5 例子
5.4 空间中的勾股差
5.4.1 勾股差与垂直
5.4.2 勾股差与体积
5.5 体积法
5.5.1 算法
5.5.2 例子
5.6 体积坐标系
第5章 小结

第6章 非欧几何定理的机器证明
6.1 Cayley-Klein九种平面几何
6.1.1 直线上的三种度量
6.1.2 角度的三种度量
6.1.3 九种平面几何
6.2 Cayley-Klein几何的转化定理
6.3 双曲几何面积法
6.4 双曲几何的消元法
6.4.1 基本几何命题
6.4.2 从比率中消去点
6.4.3 从线性的几何量中消去点
6.4.4 从二次几何量中消去点
6.4.5 消去自由点
6.4.6 消去共圆的点
6.5 算法的实现与例子
第6章 小结

第7章 向量和机器证明
7.1 三维度量空间几何
7.1.1 内积和度量向量空间
7.1.2 度量向量空间的外积
7.2 立体度量几何
7.2.1 内积和外积
7.2.2 构造型几何语句
7.3 基于向量计算的机器证明
7.3.1 向量消点法
7.3.2 从内积和外积中消点
7.3.3 算法
7.4 度量平面几何中的机器证明
7.4.1 欧氏平面几何的向量方法
7.4.2 Minkowsky平面几何中的机器证明
7.5 使用复数的机器证明
第7章 小结
参考文献
索引

精彩书摘

　　《数学机械化丛书 12：几何定理机器证明的几何不变量方法》：
　　第1章 几何定理机器证明概述
　　1.1 模拟人的思维——人工智能的开始
　　现代意义上的计算机产生于20世纪40年代中期.最初的计算机基本上是用来从事数值计算的，例如计算炮弹的飞行轨迹.能有机会接触计算机的人无不为其巨大而神奇的计算能力所折服.很自然人们就开始对计算机提出新的更高的要求：计算机能否借助其巨大的计算能力产生只有人才能具有的某些智能行为呢？对这一问题的研究在20世纪50年代中期导致了人工智能这一领域的诞生。
　　要让计算机产生智能行为首先要问：什么是智能行为呢？人们马上想到数学定理证明.数学定理证明不仅被认为是高层次的智力活动，也被认为是人类一般问题求解能力最典型的代表与最好的训练方法.因此，美国学者Newell，Show与Simon便开始研究用计算机证明数学定理，开发了用于命题逻辑的定理证明器“逻辑理论机”（LT）.
　　Newell等采用的证明定理的基本方法是：模拟人证明定理的想法.这实际上是一种“搜索法最基本的搜索证明方法有两种：前推法与后推法。
　　（1）前推法与大英博物馆算法。
　　定理证明的前推法即由一个命题的假设A）开始，使用一组公理R由假设D0推出新的结论，这些新的结论和Do在一起组成DU再用同样方法从Dl推出更新的结论，这些更新的结论和D，一起组成D2，周而复始，直到得出所要证明的命题结论或得不出更新的结论为止.这一过程可表示如下：
　　一个有趣的问题是：如果不论是否已经获得要证的结论总是继续推理，是否在某一步必有Dk=Dk+1?果真如此，也就是说，我们已经不能由Dk推导出新的结论.换句话讲，我们达到了“推理不动点”：
　　这一不动点应该包含能由假设A）推导出的所有可能的结论.由此我们不仅可以证明所给定理，实际上还能发现所有能够用E从A）推导出的定理.
　　若果能如此，何其妙哉！实际情况并非如此.主要问题是随着推理步骤的增加，所得到的结论可能非常之多，以致于用很快且容量很大的计算机也不足以在合理的时间内解决问题.这就是所谓的“搜索空间爆炸”现象。
　　由此也不难理解前推法的一个别名“大英博物馆方法其意是讲如果由英文26个字母和几个标点符号出发，使用前推法写出字母与标点符号的所有可能组合，这里会有所有的单词、所有的句子，以致可以自动生成大英博物馆内的所有著作.显而易见，此路是不通的。
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前言/序言

好的，这是一份关于《数学机械化丛书 12：几何定理机器证明的几何不变量方法》的图书简介，内容将聚焦于该书所涉及的其他数学机械化、几何证明方法、不变量理论在不同领域（非该书特定主题）的应用，以及相关的前沿研究方向，同时确保内容充实、细节丰富，并力求自然流畅，不露人工痕迹。 --- 数学机械化丛书 12：几何定理机器证明的几何不变量方法 （以下内容为围绕“数学机械化丛书”整体系列主题，以及几何不变量理论在不同领域的拓展性介绍，旨在提供一个广泛的知识背景与前沿视野。） 凸显基础：机械化思维与现代数学的交汇 “数学机械化丛书”系列一直致力于探索如何将人类的数学直觉与逻辑推理过程，转化为可供计算机执行的、形式化的算法。这不仅是关于“证明的自动化”，更是对数学本质——结构、关系和变换——的深刻反思。本丛书的诸多卷册共同构建了一个宏大的知识体系，涵盖了从初等代数到高阶拓扑的各种证明范式。 本卷聚焦于几何这一古老而迷人的领域，但我们更关注其背后的结构固化与变换群的视角。在更广阔的机械化图景中，几何的证明挑战往往在于如何处理连续性和无穷多配置的可能性。成功的机械化需要我们找到那些在特定变换下保持不变的量——即“不变量”。 几何不变量方法论的基石：超越欧氏空间的视角 几何学的不变量方法论，其根基可以追溯到十九世纪，特别是黎曼几何的兴起与克莱因（Klein）的“埃尔朗根纲领”。这种纲领强调：几何学的本质是由其不变群所定义的。 在本丛书的更广泛讨论中，不变量方法论绝非仅限于欧氏空间中的长度、角度或面积的保持。其深刻的价值在于将复杂的几何问题，转化为相对简单且可计算的代数或拓扑不变量的判别问题。 在非该书特定主题的几何机械化探索中，我们深入研究了以下领域： 1. 代数几何与不变量理论的桥梁 在代数几何领域，几何对象的性质常常通过其关联的环、域或模空间来刻画。希尔伯特（Hilbert）的不可约定理和不变量理论（Invariant Theory）提供了强大的工具，用于确定哪些多项式表达式在仿射变换下是绝对不变的。 模空间（Moduli Spaces）的构造： 机械化证明的关键挑战之一是处理参数空间。通过寻找描述几何结构（如曲线的模空间）的“模（moduli）”，我们可以将无穷维的几何问题降维到有限维的代数问题上。不变量理论提供了一套成熟的算法来构造这些模函数，例如利用不变量式（Invariants）或协变量式（Covariants）来识别等价的几何对象。 2. 拓扑不变量与持久同调（Persistent Homology） 在拓扑学与数据分析的交界处，几何不变量的概念被推广到更高层次的抽象。拓扑学关注的是在连续形变下保持不变的性质，如连通分量、洞的数量（即贝蒂数 Betti Numbers）。 持久同调的机械化潜力： 传统的拓扑计算在高维和复杂流形中是计算密集型的。持久同调作为一种新兴工具，通过分析不同尺度下的拓扑特征，提供了一种“可计算”的拓扑不变量。机械化研究正在探索如何将持久同调的计算流程形式化，并集成到几何定理验证系统中，用于判断两个高维点云或形变模型是否本质上等价。 3. 机械化中的“形式化语言”选择 无论采用何种几何方法，数学机械化的核心难题在于形式化语言的选择。如果几何问题被编码为初等代数语句（如 Tarski 的实闭域理论），那么柱化分解（Cylindrical Decomposition）或三角化是核心算法。如果问题涉及更复杂的结构（如李群或微分几何），则需要引入更强大的Groebner基计算或基于微分代数的方法。 几何不变量的计算往往依赖于张量代数的推广。在计算机代数系统中，如何高效地表示、操作和简化高阶张量，并从中提取出具有几何意义的简化不变量，是机械化研究人员必须面对的工程挑战。这涉及到对对称群（Symmetric Group）和表示论的深度编码。 前沿探索：从证明到构造 本丛书所探讨的机械化不仅停留在“是/否”的判定，更指向“如何构造”。当一个几何不变量被确定为零时，这意味着特定的几何配置得以实现（例如，点共线或平面共面）。机械化系统如何利用这一不变量的消失，反向推导出构造出满足条件的特定几何配置（如寻找模空间的根点），是现代数学机械化研究的前沿。 几何不变量不仅是判断工具，更是连接抽象结构与具体实例的纽带。在计算机辅助设计（CAD）和机器人运动规划等应用领域，对运动、约束和形状进行不变量分析，能够显著提高算法的鲁棒性和效率，避免在不可行的构型空间中进行徒劳的搜索。 总而言之，本丛书的视野广阔，旨在为读者提供一个理解现代数学结构化、可计算化进程的全面视角。它强调了形式逻辑、代数结构与几何直觉的复杂耦合，并展示了如何通过对“不变性”的精妙把握，使最复杂的几何问题得以在机器上得到严谨的验证和解决。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计就带着一种沉静而又深邃的气质，深蓝色调搭配烫金的字体，仿佛诉说着数学世界那宏大而又精密的逻辑。拿到手中，分量十足，预示着它所蕴含的知识的厚重。虽然我还没有深入阅读，但从目录和前言中，我已经感受到了作者构建的那个宏伟图景：将抽象的几何定理转化为可以被机器处理的形式。想象一下，那些横跨千年的几何猜想，那些精妙绝伦的证明，未来有一天，可能不再需要人类皓首穷经，而是交给一台台冰冷的机器去完成，去验证。这种“数学机械化”的概念本身就充满了科幻色彩，而“几何不变量方法”这个词组，更是点燃了我内心深处的好奇。不变量，在数学中总是扮演着至关重要的角色，它们如同锚点，连接着各种看似无关的数学对象，揭示着隐藏在现象背后的本质。我迫不及待地想知道，作者是如何将这一强大的数学工具应用于复杂的几何定理证明，又是如何设计出能够识别和操纵这些不变量的“机器”。这本书，或许会颠覆我对数学证明的传统认知，开启一个全新的研究视角，这本身就是一种令人兴奋的期待。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本《数学机械化丛书 12：几何定理机器证明的几何不变量方法》，我的第一反应是：这绝对是一本硬核到家的学术专著。书名就充满了专业性和技术性，对于非数学背景的读者来说，可能需要相当的耐心和毅力才能啃下来。但是，对于那些对数学的深层逻辑和计算原理充满好奇，或者在计算机科学、人工智能等领域有相关研究的读者来说，这本书无疑打开了一个全新的世界。想象一下，如果几何定理的证明能够被“机械化”，那么我们是否可以构建一个庞大的几何知识库，让机器自动地发现新的定理，或者更高效地验证已有的猜想？“几何不变量方法”这个关键词，在我看来，是这本书的核心技术所在。不变量往往是数学中最稳定、最深刻的性质，如果能够有效地利用它们来指导机器进行证明，那么将极大地简化证明的复杂度，甚至发现我们人类思维难以触及的证明路径。这本书，就像是一把钥匙，解锁了数学证明的自动化大门，其潜在的应用价值，无论是在理论研究还是在实际工程领域，都不可限量。

评分☆☆☆☆☆

这本书的标题“几何定理机器证明的几何不变量方法”就极具吸引力。我一直觉得，数学中最美妙的部分之一就是它能够被精确地描述和逻辑地推导，而“机器证明”更是将这种精确性推向了极致。想象一下，那些困扰数学家们数个世纪的难题，是否有一天能够被一台机器通过算法，在短时间内找到完美的证明？“几何不变量方法”这个词组，更是点燃了我对这本书内容的极大好奇。不变量，在任何数学领域都扮演着至关重要的角色，它们往往是理解对象本质的关键。我迫不及待地想知道，作者是如何运用几何不变量来构建一套机器证明的系统，以及这套系统在处理复杂的几何定理时，会有怎样的表现。这本书，对于我这个对数学方法论和计算数学充满热情的人来说，无疑是一份珍贵的礼物。它不仅预示着数学研究的未来方向，也为我们提供了一个探索数学世界新路径的工具。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧就给人一种厚重感，沉甸甸的，就像是里面承载着许多数学世界的奥秘。虽然我目前还没有深入到书中的具体内容，但光是书名《数学机械化丛书 12：几何定理机器证明的几何不变量方法》就已经足够吸引人了。我一直对“数学机械化”这个概念非常着迷，它意味着将严谨的数学逻辑与强大的计算能力相结合，从而实现数学发现和证明的自动化。而“几何不变量方法”，更是让我产生了浓厚的兴趣。在几何学中，不变量往往能够揭示图形本质的属性，是理解几何结构的关键。我非常好奇，作者是如何将这种抽象的数学概念，应用到具体的几何定理的机器证明中去的。这本书是否会提供一套新的算法或者框架，让我们能够通过编程的方式，去探索和验证那些复杂的几何定理？我期待它能够带来一些令人耳目一新的思路，甚至是一些可以实际操作的工具，让我们能够更深入地理解几何世界，并推动数学研究的边界。

评分☆☆☆☆☆

这本书的出现，对于我这个长期在几何学领域摸爬滚打的研究者来说，简直是一场及时雨。长期以来，几何定理的证明，尤其是那些复杂而精巧的证明，往往需要深厚的几何直觉和大量的创造性劳动，耗时耗力，且容易出现疏漏。而“数学机械化”的理念，一直是我所关注的前沿方向。这本书将“几何不变量方法”作为核心，这让我看到了将这一理念具体落地的可行路径。我尤其感兴趣的是，作者是如何界定和提取几何对象中的“不变量”，以及这些不变量如何在机器证明的过程中发挥作用。是像某些代数方法那样，通过一系列精确的代数运算来规避几何直觉的模糊性？还是有更巧妙的方式，直接捕捉几何图形的内在属性？书中的“几何定理机器证明”部分，更是让我对接下来的内容充满了期待。我希望它能提供一套系统性的方法论，指导我们如何将经典的几何定理转化为机器可理解的语言，并最终实现自动化的证明。对于我们这些在学术道路上不断探索的人来说，这本书不仅是一本技术手册，更是一盏指引方向的明灯，它为我们勾勒出了未来几何研究的可能性，这种前瞻性和实践性，是极为宝贵的。