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內容簡介

《量子係統的辛算法》介紹瞭量子係統的辛算法與簡單應用，包括Hamilton係統辛算法的基本知識——辛積與辛結構，經典Hamilton係統的辛格式；分子係統經典軌跡的辛算法計算與簡單分子係統微觀反應和動力學的數值研究；定態Schr？dinger方程的辛形式以及在充分遠空間上計算分立態和連續態的辛算法，計算基態與低激發態的虛時間演化法；含時Schr？dinger方程的辛離散與保結構計算以及在強激光場原子物理中的應用；立方非綫性Schr？dinger方程的辛離散與辛算法以及一維立方非綫性Schr？dinger方程的動力學性質和Bose-Einstein凝聚體乾涉效應的數值研究；含時Schr？dinger方程的對稱分裂算符-快速Fourier變換方法；量子係統Heisenberg方程的保等時交換關係-辛算法。

目錄

目錄
序言
前言
第1章辛結構與Hamilton係統的辛算法1
1.1辛結構與Hamilton力學1
1.2Hamilton係統的辛格式9
1.2.1一般經典Hamilton係統的辛格式10
1.2.2不顯含時間的綫性Hamilton係統與可分Hamilton係統的辛格式13
1.2.3顯含時間可分Hamilton係統的辛格式17
1.2.4顯含時間可分綫性Hamilton係統的辛格式21
參考文獻26
第2章分子係統經典軌跡的辛算法計算28
2.1A2B模型分子經典軌跡的辛算法計算29
2.2雙原子分子反應係統經典軌跡的辛算法計算32
2.3強激光場中雙原子分子動力學的辛算法計算34
2.4激光場中一維共綫氫分子離子(H2+)動力學的辛算法計算37
2.4.1經典理論模型37
2.4.2激光場中一維共綫——係統經典運動的辛算法計算39
2.4.3雙色激光場中一維共綫——的動力學行為45
2.5激光場中三維氫分子離子(H2+)係統的經典動力學46
2.5.1激光場中三維氫分子離子(H2+)的經典理論模型47
2.5.2初態的選取與辛算法計算50
2.5.3單色場中三維氫分子離子的動力學行為53
2.5.4不同電離判據下氫分子離子動力學行為的異同56
2.5.5雙色激光場中三維氫分子離子的動力學行為56
2.6推導約化質量舉例60
2.6.12粒子係統的約化質量60
2.6.2具有C2v對稱性的3粒子係統A2B的約化質量61
2.6.3氫分子離子係統的約化質量64
參考文獻69
第3章定態Schr"odinger方程的辛形式與辛算法72
3.1一維定態Schr"odinger方程的辛形式72
3.2一維定態Schr"odinger方程的辛!--!矩陣法74
3.3一維定態Schr"odinger方程的辛!--!打靶法75
3.4一維定態Schr"odinger方程連續態的保Wronskian算法83
3.5二維定態Schr"odinger方程的辛!--!打靶法87
3.6計算定態Schr"odinger方程分立態的虛時間演化法92
參考文獻102
第4章含時Schr"odinger方程的辛算法計算104
4.1量子係統是一個無窮維Hamilton係統104
4.2基於完備基展開和僞分立態近似的辛算法105
4.3含時Schr"odinger方程的空間辛離散------空間變量離散法117
4.4強激光場中的一維模型原子------基於漸近邊界條件的辛算法124
參考文獻136
第5章立方非綫性Schr"odinger方程的辛算法與Bose-Einstein凝聚的數值研究138
5.1一維非綫性Schr"odinger方程138
5.2一維立方非綫性Schr"odinger方程的辛算法計算148
5.3一維立方非綫性Schr"odinger方程的動力學性質152
5.4Bose-Einstein凝聚體乾涉效應的數值研究157
5.4.1兩個凝聚體的乾涉158
5.4.2三個凝聚體間的乾涉162
參考文獻166
第6章數值求解含時Schr"odinger方程的對稱分裂算符-快速Fourier變換方法168
6.1對稱分裂算符!-Fourier變換法168
6.1.1二階對稱分裂算符法168
6.1.2二階對稱分裂算符-Fourier變換方法170
6.1.3Fourier積分的數值計算171
6.2快速Fourier變換方法172
6.3雙色激光場中一維氫原子的高次諧波181
參考文獻186
第7章Heisenberg方程的保等時交換關係-辛算法188
參考文獻191
索引192
緻謝194
《現代物理基礎叢書》已齣版書目196

精彩書摘

第1章[辛結構與Hamilton係統的辛算法]
Hamilton力學的基本定理指齣，Hamilton係統的正則方程在辛變換下形式不變，係統的時間演化是辛變換的演化， 具有辛群對稱性，相應地Hamilton係統有守恒量------辛結構。基於此， 1980年代初Ruth[2]和馮康[3]各自獨立地提齣瞭數值求解Hamilton係統的辛算法。辛算法就是保持Hamilton係統辛結構的差分法，它的第n步到第n + 1步的變換f：z^n + 1 =f(z^n)是一個辛變換，使離散化後的差分方程的辛結構守恒。辛算法具有長時間的計算穩定性和跟蹤能力，所以， 應用辛算法求解Hamilton係統的正則方程，尤其在長時間﹑多步數的計算中和保持係統整體結構上較其他非辛算法有明顯的優越性。
section[辛結構與Hamilton力學]辛結構與Hamilton力學 !^[4]
19世紀英國天文學傢Hamilton將在Euclid空間中研究的Newton力學轉化成在辛流形上研究的Hamilton力學，這無論在理論研究和應用上， 還是在數學錶述上，都是經典力學發展史上的重大突破。Newton力學用質點(組)在三維Euclid空間中的位置描述運動，它滿足Newton運動方程。Lagrange力學用廣義坐標和廣義速度描述運動，它滿足Lagrange方程。Hamilton力學用正則坐標q(t)=(q_1(t)， cdots，q_n (t))^ rm T和共軛正則動量p(t)=(p_1(t)， cdots，p_n (t))^ rmT以及它們的可微函數H(q，p)描述運動， H(q，p)是係統的總能量，稱為Hamilton函數， 係統的運動滿足Hamilton正則方程式
(1.1.1)可寫成矩陣形式noindent
其中偏導數H_q_i= dfrac partial H partial q_i ， vspace1.5mmH_p_i = dfrac partial H partial p_i ，O和I分彆是n times n零矩陣和單位矩陣， 2n times2n矩陣J稱為(2n階)標準辛矩陣， 它滿足J^ - 1 = J^ rm T = -J。
在本書中， 上角標T錶示嚮量和矩陣的轉置。
再記z = (q，p)^ rm T= (z_1， cdots， z_n， z_n +1， cdots， z_2n)^ rm T， H_z =(H_q， H_p)^ rm T=(H_z_1， cdots，H_z_2n)^ rm T，
正則方程(1.1.1)可寫成更為緊湊的形式noindent 所以這個Hamilton係統總能量守恒，是保守係統。如果Hamilton函數H(q， p， t)顯含時間t， 則 noindent 顯含時間Hamilton係統的總能量不守恒， 不是保守係統。
本書中齣現的變量(如時間變量t， tau ， 空間變量x， y等)和函數(如正則坐標q_i (t)， 正則動量p_i (t)，Hamilton函數H(q，p)等)都是實的；如遇到復的，將明確指齣。上麵使用的記號q， p， z， H_q ， H_p ， H_z ，T以及本節中使用的其他記號，在本書後麵的章節中使用時將不再一一說明。
綫性Hamilton係統的Hamilton函數是z的二次型， 即H(z，t) = dfrac12z^ rm TA(t) z， 其中A(t)^ rm T = A(t)，正則方程(1.1.3)特殊化成綫性微分方程(組)
如果Hamilton函數不顯含時間， H(z) = dfrac12z^ rm TA z，A^ rm T=A， 正則方程(1.1.3)進一步簡化成常係數綫性微分方程記
Re 為實數域， 設 Re ^2n是2n維的實綫性空間， 它的每個元素稱為嚮量，其中的e_1 ， cdots ，e_2n 是 Re^2n中2n個綫性無關的單位嚮量。描述n維Hamilton係統的每個運動的正則坐標和共軛正則動量組成的嚮量z(t)中的函數嚮量，這個運動在每一時刻t'給齣的狀態z(t') = (z_1 (t')， cdots，z_2n(t'))^ rm T是 Re ^2n中的嚮量。對時間步長 Delta t > 0，取t_0= Deltat為時間原點建立新的時間坐標；原Hamilton係統的運動在這個新的時間坐標中由描述。在中引進變換S:和逆變換。
詳寫之， 變換noindent 和逆變換noindent 描述係統能量的Hamilton函數H(z)在新坐標 tildez中變換成 tilde H( tilde z)：H(z) = H(S( tilde z)) = tilde H( tilde z)。因為 tildez(t)描述原Hamilton係統在新的時間坐標中的運動，它應該滿足正則方程 vspace1.5mm dfrac rm d tilde z rm dt = J dfrac partial tilde H partial tildez。將逆變換和變換分彆代入正則方程 dfrac rm d tilde zrm d t = J dfrac partial tilde H partial tildez的左端和右端， 得到
noindent
其中 left( dfrac partial S partial tilde z right)和 left( dfrac partial S^ - 1 partial z right)= left( dfrac partial S partial tilde z right)^ -1是變換S和逆變換S^ - 1的Jacobi矩陣。
於是得到noindent
與z(t)滿足的正則方程(1.1.3)比較可得 left( dfrac partial S partial tilde z right)J left( dfracpartial S partial tilde z right)^ rm T = J。容易驗證noindent
這裏的符號 Leftrightarrow 錶示等價，即其前後的關係互為充分必要條件。若變換S的Jacobi矩陣滿足 left( dfrac partial S partial tilde z right)^ rm TJ left( dfrac partial S partial tilde z right) = J，則稱變換S為辛變換。依據(1.1.6)， 若變換S， S^ rm T和S^ -1中之一為辛變換， 則另兩個也是辛變換。若2n階矩陣A滿足A^ rmTJA = J， 則稱A為辛矩陣；容易驗證， 若矩陣A， A^ rm T和A^- 1中之一為辛矩陣， 則另兩個也是辛矩陣。 '
thHamilton力學基本定理1 正則方程在辛變換下形式不變。詳言之，如果S是辛變換， z = S( tilde z)， H(z) = H(S( tilde z)) = tilde H( tilde z)， 則在辛變換S之下正則方程(1.1.3)變為
thHamilton力學基本定理2正則方程的解由一個時刻到另一個時刻是一個辛變換。詳言之，設z(t)是正則方程(1.1.3)的解， Delta t > 0是時間步長，則變換S： z(t) to tilde z(t) = z(t + Delta t) =S(z(t))是辛變換。特彆地，綫性正則方程的解由一個時刻到另一個時刻是一個綫性辛變換。
對 Re ^2n中任意二嚮量x != !x_1，e_1 !+ ! cdots !+noindent
容易驗證， 辛積滿足
(1) th雙綫性 對和 alpha ， beta ， gamma in Re ，
(2) th反對稱性 對x，y in ， left langle x，y right rangle = - left langle y，x right rangle ;特彆地， left langle x，x right rangle = 0;
(3) th非退化性 對每一非零嚮量x in Re ^2n， 必有y in Re^2n， 使 left langle x，y right rangle ne 0。
偶數2n維綫性空間 Re ^2n上定義瞭
辛積之後， 即 Re ^2n，left langle x，y right rangle ， 稱為辛空間。 vspace1mm辛積有明確的幾何意義。因 beginarrayccendarray right|是 vspace1.5mm Re ^2n中由坐標嚮量e_i 與e_n + i張成的坐標麵上的兩個嚮量 left( x_i ，x_n +i right)與 left( y_i ，y_n + i right)張成的平行四邊形的有嚮麵積， 故辛積 langle x，y
rangle是 Re ^2n中嚮量x與y張成的超平行多麵體在n個坐標麵e_1 -e_n + 1 ， cdots， e_n - e_2n上投影而成的平行四邊形的有嚮麵積的代數和。設 tilde S是 Re ^2n上的綫性變換， tilde S:z to tildez = tilde S(z)， 它將 Re ^2n中的一組基 linebreak e_1 ，寫成矩陣形式就是
tilde S(e_1 cdots e_2n ) != ! (e_1，一方麵 vspace-2mmnoindent 另一方麵， vspace-2mmnoindent 所以， 綫性變換 tilde S對應著一個變換矩陣S，noindent 變換矩陣S就是這個綫性變換 tildeS的Jacobi矩陣；反之， 每個2n times 2n矩陣對應 Re^2n中的一個綫性變換。
因此， 在不緻引起混亂時， 本書對綫性變換tilde S和對應的變換矩陣S不加區分， 都記作S。
特彆地， 如果tilde S是 Re ^2n上的非異綫性變換， 則它將 Re^2n中的一組 ziju-0.08基 e_1 ， cdots ，e_2n 變為另一組基 tilde e_1 ， cdots ， tilde e_2n ，它的Jacobi矩陣是非異矩陣。若S為綫性辛變換， 則它的變換矩陣滿足S^ rm TJS = J，故而是辛矩陣。
可以驗證， 綫性辛變換保持辛積守恒。事實上，若S是綫性辛變換，
則對x，y in Re ^2n，thHamilton力學基本定理3綫性正則方程的任意兩個解保持辛積守恒。
詳言之， 設是綫性正則方程的兩個解，
則這隻需證明
值得注意的是， 綫性正則方程的兩個解保持辛積守恒，而一般的正則方程則不然！這很容易驗證。

考慮 Re ^2n上的辛變換，規定兩個辛變換S和W的相繼進行為它們的乘積=， 則容易驗證，兩個辛變換的乘積仍是辛變換、辛變換相乘滿足結閤律、恒等變換是辛變換、辛變換的逆變換是辛變換。所以， Re^2n上的所有辛變換在規定兩個辛變換的相繼進行為它們的乘積之後構成Lie群，稱為2n階辛群， 記作。
如果2n階矩陣滿足，則稱為無窮小辛矩陣。可以驗證:
(1) 如果2n階矩陣是無窮小辛矩陣， 則它的指數變換 exp(B)是辛矩陣。
(2) 如果2n階矩陣是無窮小辛矩陣， 且行列式 righ是階單位矩陣， 則F = (I + B)^ - 1(I -B)是辛矩陣。將對應的綫性變換F稱為的Cayley變換。
可以驗證， 所有2n階無窮小辛矩陣在矩陣加法和數乘下構成綫性空間，再添加對易子運算[A，B] = AB - BA後構成Lie代數， 記作 rmSp(2n)， 它是辛群 rm sp(2n)的Lie代數。
依據上述Hamilton力學基本定理2和常微分方程的解的存在與唯一性定理，便得下麵的定理.
thHamilton力學基本定理4正 ziju-0.03則方程(1.1.3)的解由一個單參數辛群;生成。詳言之， 若z(

前言/序言

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