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徐利治，周蕴时 著

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• 数值积分
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• 计算数学
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• 蒙特卡洛方法
• 稀疏网格
• 积分技术
• 数值分析
• 误差分析

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030464064

版次：1

商品编码：11889922

包装：平装

丛书名： 计算方法丛书·典藏版

开本：32开

出版时间：1980-03-01

用纸：胶版纸

页数：309

字数：259000

正文语种：中文

内容简介

　　《高维数值积分》介绍了高维数值积分的基本方法，其中包括代数方法、数论方法及解析方法。此外，还介绍了高维边界型求积公式的构造方法以及含参变量积分的渐近展开方法，可供计算数学工作者参考。

目录

序
第一章 关于高维求积公式的某些简单定理
1．变换定理
2．乘积定理
3．对称求积公式的构造原则
4．求积公式与插值多项式之间的关系

第二章 二次及三次的高维求积公式
1．对称区域上的“二次求积公式”
2．对称区域上的“三次求积公式”
3．一般区域上的“二次求积公式”
4．中心对称区域上的“三次求积公式”

第三章 构造数值积分公式的算子方法
1．几个常用的符号算子及其关系式
2．Euler求和公式的导出
3．利用符号算子表出的数值积分公式
4．Willis展开方法
5．腩耱屦龛 -滂蜿桧方法

第四章 高维积分的“降维法”与二维求积公式的一种构造法
1．高维近似积分的“降维法”基本公式
2．“降维法”中的几个展开公式及余项估计
3．展开公式的应用及举例
4．适用于特种类型区域的降维展开公式
5．利用直角三点组构造二维求积公式
6．代数精确度的提高法（带微商的求积公式）

第五章 高维矩形区域上的数值积分与误差估汁
1．问题的叙述与误差上界c，的表示式
2．关于W（r）（M；U）类函数的求积程序及敛速估计
3．关于c（r）（u）类函数的求积程序的敛速估计
4．非矩形区域上的求积程序的敛速估计
5．注记及问题

第六章 高维数值积分公式的误差界限决定法
1．估计误差界限的一种方式
2．关于W函数类的求积公式的误差上限决定法
3．关于可微函数类的多重求积公式的误差上限表示式

第七章 均匀网求积公式及误差估计
1．均匀网求积公式在函数类ⅡPS上的误差估计
2．均匀网求积公式在函数类Das和Eas上的误差估计
3．优化均匀网求积公式的方法
4．被积函数的周期化

第八章 不均匀网求积公式
1．必要的数论知识
2．不均匀网
3．不均匀网求积公式在Eas类上的误差估计
4．不均匀网求积公式在函数类Has上的误差估计

第九章 用随意延伸的单和逼近多重积分
1．一致分布与Cоσοπь定理
2．ченцв定理
3．Halton定理
4．另一种随意延伸的单和序列
5．Haselgrove方法

第十章 平行网求积公式
1．平行网
2．平行网求积公式在函数类Eas上的误差估计
3．平行网求积公式在函数类Has上的误差估计
4．化多重积分为单积分的方法
5．一类近似积分公式及误差估计

第十一章 实分圆域法——华、王方法
1．代数数域
2．实分域
3．再论一致分布
4．“分圆域求积公式”在函数类Eas上的误差估计
5．准平行网求积公式在函数类Eas上的误差估计
6．在函数类Ka1上的求积误差估计

第十二章 不带微商的“边界型求积公式”
1．在矩形，立方体区域上的三次及五次公式
2．圆环，双层球壳域上的边界型求积公式
3．椭圆柱体上的边界型求积公式
4．其它公式

第十三章 带有微商项的边界型求积公式
1．具有齐次代数精确度的降维展开公式
2．一个特殊的边界型求积公式
3．球域上的边界型求积公式
4．立方域上的最佳边界型求积公式
5．无界区域上的边界型求积公式
6．几个简单的数值例子

第十四章 含参变量的积分近似计算法
1．一个渐近展开公式及其应用
2．带余项的渐近展开公式及其应用
3．含多个大参数的振荡型积分的近似计算法
4．关于振荡型积分的一类近似计算公式
5．论一类无穷积分的展开方法

参考文献

现代计算物理学中的高级数值方法 内容提要： 本书深入探讨了现代计算物理学领域中一系列前沿且至关重要的数值方法。不同于侧重于基础微积分和有限差分法的经典教材，本书将焦点置于处理复杂、高维系统以及非线性问题的尖端技术。全书分为四个主要部分，结构清晰，理论严谨，并辅以大量工程实例，旨在为研究生、科研人员以及高级工程技术人员提供一个全面而深入的数值计算工具箱。 第一部分：大规模线性系统的迭代求解 本部分聚焦于现代科学计算中最常见但也最具挑战性的任务之一：求解超大型稀疏或稠密线性方程组 $Ax=b$。我们首先回顾了直接求解方法的局限性，随后将重点放在高效的迭代算法上。 1.1 Krylov子空间方法的核心理论： 详细阐述了如何构建和利用Krylov子空间 ${r_0, Ar_0, A^2r_0, dots}$ 来寻找解。重点分析了经典算法如 Lanczos 过程（针对对称系统）和 Arnoldi 过程（针对非对称系统）的数学基础、收敛特性及其在实际应用中的数值稳定性。 1.2 预处理器设计与应用： 迭代方法的效率在很大程度上依赖于预处理器的质量。本章系统梳理了多种先进的预处理技术，包括： 代数多重网格 (AMG) 方法： 不依赖于几何网格构建的强大工具，详细分析其多尺度迭代思想和限制性推导过程。 不完全分解 (ILU/IC) 及其变体： 探讨如何通过受限的LU分解来近似矩阵的逆，并讨论精度与计算成本之间的权衡。 谱预处理： 涉及使用矩阵的特征值信息来优化预处理矩阵的选择。 1.3 预条件共轭梯度 (PCG) 及其非对称推广： 深入剖析了 $ ext{CG}$ 算法的几何意义及其对正定矩阵的要求。随后，详细介绍了 $ ext{MINRES}$ (最小残差法) 和 $ ext{GMRES}$ (广义最小残差法) 在处理非对称问题中的应用，并讨论了 $ ext{GMRES}$ 的重启策略以控制内存开销。 第二部分：常微分方程 (ODE) 的高精度和刚性系统求解 本部分转向动力学系统和时变问题的求解。我们超越了基本的欧拉法和龙格-库塔方法，专注于处理需要高精度和稳定性的复杂模型。 2.1 隐式方法与稳定性区域： 详细分析了隐式欧拉法、后向差分公式 (BDF) 的结构，并阐释了A-稳定性、L-稳定性等概念如何指导数值积分器的选择。 2.2 刚性系统的处理： 刚性系统，即解中包含快速衰减成分的系统，对显式方法构成巨大挑战。本章深入研究了 BDF 方法族 的推导，特别关注如何高效地求解每一步中的隐式代数方程（通常使用牛顿迭代法结合预处理）。 2.3 变步长与误差控制： 讨论了现代求解器中自适应时间步长选择的理论基础，包括嵌入式Runge-Kutta方法（如Dormand-Prince）中局部截断误差的估计和控制机制。 第三部分：偏微分方程 (PDE) 的谱方法与不连续有限元 本部分探讨了超越传统有限差分和标准有限元方法的先进空间离散技术，特别是在需要高分辨率和处理复杂几何体时的优势。 3.1 谱方法概述： 阐述了谱方法的指数级收敛特性。重点分析了傅里叶谱方法（用于周期性问题）和切比雪夫谱方法（用于非周期性问题）。详细介绍了如何利用正交多项式（如Legendre, Chebyshev）来实现函数的高精度逼近和导数的计算。 3.2 高阶有限元方法（FEM）： 在经典线性/二次单元的基础上，本章引入了高阶形函数（如 $p$-近似，即增加多项式阶数）的概念。讨论了高阶单元如何减少网格数量并提高解的精度。 3.3 不连续有限元方法 (FEM)： 重点介绍 $ ext{DG}$ (Discontinuous Galerkin) 方法。$ ext{DG}$ 方法通过在单元间引入“通量”项来处理非线性对流项和波动方程，其内在的局部性和易于并行化的特点使其成为处理激波和界面问题的强大工具。 第四部分：蒙特卡洛模拟的高级采样技术 本部分主要关注随机过程的模拟及其在积分估计、不确定性量化中的应用，特别是当解析解不可得时。 4.1 马尔可夫链蒙特卡洛 (MCMC) 基础： 详细介绍 $ ext{MCMC}$ 的核心思想，包括遍历性和平稳分布的理论保证。 4.2 Metropolis-Hastings 算法的改进： 不仅介绍基础的 $ ext{MH}$ 算法，还着重分析了如何设计高效的提议分布。讨论了随机游走 $ ext{MH}$ 的局限性以及自适应 $ ext{MCMC}$ 的策略。 4.3 汉密尔顿/哈密顿蒙特卡洛 (HMC)： 这是当前高维采样的黄金标准之一。本章详细推导了 $ ext{HMC}$ 的理论基础，包括拉格朗日动力学在采样过程中的应用，如何通过精确的数值积分（如Leapfrog积分器）来探索高维参数空间，显著提高了混合效率。 4.4 重要性采样 (IS) 与方差缩减： 探讨了如何利用重要性采样来提高对低概率事件的估计精度，并介绍了控制变量法和俄罗斯轮盘法等方差缩减技术在提高蒙特卡洛模拟效率方面的实际应用。 本书通过结合严谨的数学推导、对算法收敛性的深入分析以及对现代高性能计算环境的适应性讨论，为读者构建了理解和应用当代数值计算核心技术的坚实基础。

评分☆☆☆☆☆

我是一名在金融风险管理领域工作的专业人士。在进行复杂的金融衍生品定价、风险模型构建以及资产组合优化时，我们经常需要处理高维度的随机过程和复杂的积分方程。特别是对于那些无法解析求解的金融模型，数值积分是至关重要的工具。我一直在关注如何提高这些数值计算的效率和精度，以应对日益增长的计算需求和市场变化。我希望这本书能够提供一些适用于金融领域的、高效且鲁棒的高维数值积分方法。例如，是否有一些针对特定金融模型（如蒙特卡洛方法在期权定价中的应用）的优化技巧，或者一些能够处理高维、非光滑积分的鲁棒算法。我也希望书中能包含一些实际的案例研究，展示这些方法在解决实际金融问题中的具体应用和效果，让我能够将其直接应用到我的工作中，提高我的分析能力和决策水平。

评分☆☆☆☆☆

我对这本书的期待，更多地源于一种纯粹的好奇心和对未知领域的探索欲。我不是数学家，也不是物理学家，甚至和计算机科学也沾不上边，我只是一个对宇宙运行的底层逻辑充满兴趣的普通人。我常常会思考，我们所处的这个世界，是否有着我们尚未理解的更高维度？那些高维空间中的事物，又该如何去“测量”和“计算”？这本书的书名，恰好触碰到了我内心深处的那份好奇。我希望这本书能够用一种相对易懂的方式，为我揭示高维数值积分的魅力，哪怕是浅尝辄止，我也愿意沉浸其中。我期待书中能够有足够的背景介绍，解释清楚高维积分的概念及其重要性，并且用生动形象的比喻来帮助我理解那些抽象的数学原理。如果书中能够穿插一些历史故事，介绍一些伟大的数学家是如何一步步探索这个领域的，那将是锦上添花，让我觉得这次阅读更具人文关怀。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计，说实话，一开始吸引我的并非其深邃的主题，而是一种简洁而富有力量的美感。墨蓝色的底色，如同浩瀚的宇宙，上面浮现着银色的、抽象的几何图形，它们以一种错落有致的方式排列，仿佛是宇宙星系的缩影，又像是某种高维空间的投影。这种视觉冲击力，让人不禁联想到那些挑战人类认知边界的数学与物理领域。我是一名物理学专业的学生，日常接触到大量的数值计算，对于如何精确地处理那些难以解析的积分问题，一直感到有些力不从心。尤其是在处理多粒子相互作用、量子场论等问题时，高维积分简直是噩梦。我希望能在这本书中找到一些行之有效的计算技巧，或许是新的算法，或许是对现有方法的优化，总之，我期待这本书能够成为我科研道路上的“定海神针”，让我在面对复杂的数值计算时，多一份从容和自信。当然，除了技术层面的提升，我也希望这本书能引发我对高维积分背后更深层次的数学思想的思考，理解其理论根基，从而更好地运用它。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对理论物理领域抱有浓厚兴趣的业余爱好者，我一直在寻找能够帮助我理解更复杂理论的书籍。量子力学、弦理论、宇宙学等前沿领域，经常会遇到难以解析的高维积分。我明白，精确地计算这些积分对于验证理论模型的有效性至关重要。虽然我可能没有时间和精力去深入研究所有的数学细节，但我非常希望这本书能够提供一个清晰的框架，让我理解高维数值积分在这些物理理论中的作用，以及常用的计算方法和它们的优缺点。我期待书中能够通过一些经典的物理问题作为例子，来展示这些积分方法是如何被应用的，例如，计算某些物理量的期望值，或者进行相空间积分等。我更希望这本书能够帮助我建立起对这个领域的初步认识，让我知道从何处着手，以便我日后能够更有针对性地深入学习。

评分☆☆☆☆☆

作为一名人工智能领域的从业者，深度学习模型中的许多优化过程都涉及到高维空间的积分计算，特别是在蒙特卡洛方法、变分推断等领域。我一直对如何更高效、更准确地进行这些积分操作感到好奇。我了解到，随着模型复杂度的增加，参数空间的维度也随之飙升，传统的数值积分方法往往会因为“维度灾难”而变得不堪重负，计算成本过高，甚至无法得到可靠的结果。因此，我非常期待这本书能够提供一些针对高维数值积分的创新性解决方案，例如，是否有一些新的采样策略，能够更有效地覆盖高维空间，或者是否存在一些基于深度学习的近似积分方法，能够学习到积分的特性并给出快速而准确的估计。我希望书中能够包含一些实际的应用案例，展示这些方法在解决实际问题中的优势，这样我才能更好地将书中的知识转化为实际生产力，提升我正在开发模型的性能。