高維數值積分 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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徐利治，周蘊時 著

圖書標籤:

• 數值積分
• 高維積分
• 數值方法
• 計算數學
• 科學計算
• 濛特卡洛方法
• 稀疏網格
• 積分技術
• 數值分析
• 誤差分析

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030464064

版次：1

商品編碼：11889922

包裝：平裝

叢書名： 計算方法叢書·典藏版

開本：32開

齣版時間：1980-03-01

用紙：膠版紙

頁數：309

字數：259000

正文語種：中文

內容簡介

　　《高維數值積分》介紹瞭高維數值積分的基本方法，其中包括代數方法、數論方法及解析方法。此外，還介紹瞭高維邊界型求積公式的構造方法以及含參變量積分的漸近展開方法，可供計算數學工作者參考。

目錄

序
第一章 關於高維求積公式的某些簡單定理
1．變換定理
2．乘積定理
3．對稱求積公式的構造原則
4．求積公式與插值多項式之間的關係

第二章 二次及三次的高維求積公式
1．對稱區域上的“二次求積公式”
2．對稱區域上的“三次求積公式”
3．一般區域上的“二次求積公式”
4．中心對稱區域上的“三次求積公式”

第三章 構造數值積分公式的算子方法
1．幾個常用的符號算子及其關係式
2．Euler求和公式的導齣
3．利用符號算子錶齣的數值積分公式
4．Willis展開方法
5．腩耱屨龕 -滂蜿檜方法

第四章 高維積分的“降維法”與二維求積公式的一種構造法
1．高維近似積分的“降維法”基本公式
2．“降維法”中的幾個展開公式及餘項估計
3．展開公式的應用及舉例
4．適用於特種類型區域的降維展開公式
5．利用直角三點組構造二維求積公式
6．代數精確度的提高法（帶微商的求積公式）

第五章 高維矩形區域上的數值積分與誤差估汁
1．問題的敘述與誤差上界c，的錶示式
2．關於W（r）（M；U）類函數的求積程序及斂速估計
3．關於c（r）（u）類函數的求積程序的斂速估計
4．非矩形區域上的求積程序的斂速估計
5．注記及問題

第六章 高維數值積分公式的誤差界限決定法
1．估計誤差界限的一種方式
2．關於W函數類的求積公式的誤差上限決定法
3．關於可微函數類的多重求積公式的誤差上限錶示式

第七章 均勻網求積公式及誤差估計
1．均勻網求積公式在函數類ⅡPS上的誤差估計
2．均勻網求積公式在函數類Das和Eas上的誤差估計
3．優化均勻網求積公式的方法
4．被積函數的周期化

第八章 不均勻網求積公式
1．必要的數論知識
2．不均勻網
3．不均勻網求積公式在Eas類上的誤差估計
4．不均勻網求積公式在函數類Has上的誤差估計

第九章 用隨意延伸的單和逼近多重積分
1．一緻分布與Cоσοπь定理
2．ченцв定理
3．Halton定理
4．另一種隨意延伸的單和序列
5．Haselgrove方法

第十章 平行網求積公式
1．平行網
2．平行網求積公式在函數類Eas上的誤差估計
3．平行網求積公式在函數類Has上的誤差估計
4．化多重積分為單積分的方法
5．一類近似積分公式及誤差估計

第十一章 實分圓域法——華、王方法
1．代數數域
2．實分域
3．再論一緻分布
4．“分圓域求積公式”在函數類Eas上的誤差估計
5．準平行網求積公式在函數類Eas上的誤差估計
6．在函數類Ka1上的求積誤差估計

第十二章 不帶微商的“邊界型求積公式”
1．在矩形，立方體區域上的三次及五次公式
2．圓環，雙層球殼域上的邊界型求積公式
3．橢圓柱體上的邊界型求積公式
4．其它公式

第十三章 帶有微商項的邊界型求積公式
1．具有齊次代數精確度的降維展開公式
2．一個特殊的邊界型求積公式
3．球域上的邊界型求積公式
4．立方域上的最佳邊界型求積公式
5．無界區域上的邊界型求積公式
6．幾個簡單的數值例子

第十四章 含參變量的積分近似計算法
1．一個漸近展開公式及其應用
2．帶餘項的漸近展開公式及其應用
3．含多個大參數的振蕩型積分的近似計算法
4．關於振蕩型積分的一類近似計算公式
5．論一類無窮積分的展開方法

參考文獻

現代計算物理學中的高級數值方法 內容提要： 本書深入探討瞭現代計算物理學領域中一係列前沿且至關重要的數值方法。不同於側重於基礎微積分和有限差分法的經典教材，本書將焦點置於處理復雜、高維係統以及非綫性問題的尖端技術。全書分為四個主要部分，結構清晰，理論嚴謹，並輔以大量工程實例，旨在為研究生、科研人員以及高級工程技術人員提供一個全麵而深入的數值計算工具箱。 第一部分：大規模綫性係統的迭代求解 本部分聚焦於現代科學計算中最常見但也最具挑戰性的任務之一：求解超大型稀疏或稠密綫性方程組 $Ax=b$。我們首先迴顧瞭直接求解方法的局限性，隨後將重點放在高效的迭代算法上。 1.1 Krylov子空間方法的核心理論： 詳細闡述瞭如何構建和利用Krylov子空間 ${r_0, Ar_0, A^2r_0, dots}$ 來尋找解。重點分析瞭經典算法如 Lanczos 過程（針對對稱係統）和 Arnoldi 過程（針對非對稱係統）的數學基礎、收斂特性及其在實際應用中的數值穩定性。 1.2 預處理器設計與應用： 迭代方法的效率在很大程度上依賴於預處理器的質量。本章係統梳理瞭多種先進的預處理技術，包括： 代數多重網格 (AMG) 方法： 不依賴於幾何網格構建的強大工具，詳細分析其多尺度迭代思想和限製性推導過程。 不完全分解 (ILU/IC) 及其變體： 探討如何通過受限的LU分解來近似矩陣的逆，並討論精度與計算成本之間的權衡。 譜預處理： 涉及使用矩陣的特徵值信息來優化預處理矩陣的選擇。 1.3 預條件共軛梯度 (PCG) 及其非對稱推廣： 深入剖析瞭 $ ext{CG}$ 算法的幾何意義及其對正定矩陣的要求。隨後，詳細介紹瞭 $ ext{MINRES}$ (最小殘差法) 和 $ ext{GMRES}$ (廣義最小殘差法) 在處理非對稱問題中的應用，並討論瞭 $ ext{GMRES}$ 的重啓策略以控製內存開銷。 第二部分：常微分方程 (ODE) 的高精度和剛性係統求解 本部分轉嚮動力學係統和時變問題的求解。我們超越瞭基本的歐拉法和龍格-庫塔方法，專注於處理需要高精度和穩定性的復雜模型。 2.1 隱式方法與穩定性區域： 詳細分析瞭隱式歐拉法、後嚮差分公式 (BDF) 的結構，並闡釋瞭A-穩定性、L-穩定性等概念如何指導數值積分器的選擇。 2.2 剛性係統的處理： 剛性係統，即解中包含快速衰減成分的係統，對顯式方法構成巨大挑戰。本章深入研究瞭 BDF 方法族 的推導，特彆關注如何高效地求解每一步中的隱式代數方程（通常使用牛頓迭代法結閤預處理）。 2.3 變步長與誤差控製： 討論瞭現代求解器中自適應時間步長選擇的理論基礎，包括嵌入式Runge-Kutta方法（如Dormand-Prince）中局部截斷誤差的估計和控製機製。 第三部分：偏微分方程 (PDE) 的譜方法與不連續有限元 本部分探討瞭超越傳統有限差分和標準有限元方法的先進空間離散技術，特彆是在需要高分辨率和處理復雜幾何體時的優勢。 3.1 譜方法概述： 闡述瞭譜方法的指數級收斂特性。重點分析瞭傅裏葉譜方法（用於周期性問題）和切比雪夫譜方法（用於非周期性問題）。詳細介紹瞭如何利用正交多項式（如Legendre, Chebyshev）來實現函數的高精度逼近和導數的計算。 3.2 高階有限元方法（FEM）： 在經典綫性/二次單元的基礎上，本章引入瞭高階形函數（如 $p$-近似，即增加多項式階數）的概念。討論瞭高階單元如何減少網格數量並提高解的精度。 3.3 不連續有限元方法 (FEM)： 重點介紹 $ ext{DG}$ (Discontinuous Galerkin) 方法。$ ext{DG}$ 方法通過在單元間引入“通量”項來處理非綫性對流項和波動方程，其內在的局部性和易於並行化的特點使其成為處理激波和界麵問題的強大工具。 第四部分：濛特卡洛模擬的高級采樣技術 本部分主要關注隨機過程的模擬及其在積分估計、不確定性量化中的應用，特彆是當解析解不可得時。 4.1 馬爾可夫鏈濛特卡洛 (MCMC) 基礎： 詳細介紹 $ ext{MCMC}$ 的核心思想，包括遍曆性和平穩分布的理論保證。 4.2 Metropolis-Hastings 算法的改進： 不僅介紹基礎的 $ ext{MH}$ 算法，還著重分析瞭如何設計高效的提議分布。討論瞭隨機遊走 $ ext{MH}$ 的局限性以及自適應 $ ext{MCMC}$ 的策略。 4.3 漢密爾頓/哈密頓濛特卡洛 (HMC)： 這是當前高維采樣的黃金標準之一。本章詳細推導瞭 $ ext{HMC}$ 的理論基礎，包括拉格朗日動力學在采樣過程中的應用，如何通過精確的數值積分（如Leapfrog積分器）來探索高維參數空間，顯著提高瞭混閤效率。 4.4 重要性采樣 (IS) 與方差縮減： 探討瞭如何利用重要性采樣來提高對低概率事件的估計精度，並介紹瞭控製變量法和俄羅斯輪盤法等方差縮減技術在提高濛特卡洛模擬效率方麵的實際應用。 本書通過結閤嚴謹的數學推導、對算法收斂性的深入分析以及對現代高性能計算環境的適應性討論，為讀者構建瞭理解和應用當代數值計算核心技術的堅實基礎。

評分☆☆☆☆☆

我對這本書的期待，更多地源於一種純粹的好奇心和對未知領域的探索欲。我不是數學傢，也不是物理學傢，甚至和計算機科學也沾不上邊，我隻是一個對宇宙運行的底層邏輯充滿興趣的普通人。我常常會思考，我們所處的這個世界，是否有著我們尚未理解的更高維度？那些高維空間中的事物，又該如何去“測量”和“計算”？這本書的書名，恰好觸碰到瞭我內心深處的那份好奇。我希望這本書能夠用一種相對易懂的方式，為我揭示高維數值積分的魅力，哪怕是淺嘗輒止，我也願意沉浸其中。我期待書中能夠有足夠的背景介紹，解釋清楚高維積分的概念及其重要性，並且用生動形象的比喻來幫助我理解那些抽象的數學原理。如果書中能夠穿插一些曆史故事，介紹一些偉大的數學傢是如何一步步探索這個領域的，那將是錦上添花，讓我覺得這次閱讀更具人文關懷。

評分☆☆☆☆☆

作為一名對理論物理領域抱有濃厚興趣的業餘愛好者，我一直在尋找能夠幫助我理解更復雜理論的書籍。量子力學、弦理論、宇宙學等前沿領域，經常會遇到難以解析的高維積分。我明白，精確地計算這些積分對於驗證理論模型的有效性至關重要。雖然我可能沒有時間和精力去深入研究所有的數學細節，但我非常希望這本書能夠提供一個清晰的框架，讓我理解高維數值積分在這些物理理論中的作用，以及常用的計算方法和它們的優缺點。我期待書中能夠通過一些經典的物理問題作為例子，來展示這些積分方法是如何被應用的，例如，計算某些物理量的期望值，或者進行相空間積分等。我更希望這本書能夠幫助我建立起對這個領域的初步認識，讓我知道從何處著手，以便我日後能夠更有針對性地深入學習。

評分☆☆☆☆☆

作為一名人工智能領域的從業者，深度學習模型中的許多優化過程都涉及到高維空間的積分計算，特彆是在濛特卡洛方法、變分推斷等領域。我一直對如何更高效、更準確地進行這些積分操作感到好奇。我瞭解到，隨著模型復雜度的增加，參數空間的維度也隨之飆升，傳統的數值積分方法往往會因為“維度災難”而變得不堪重負，計算成本過高，甚至無法得到可靠的結果。因此，我非常期待這本書能夠提供一些針對高維數值積分的創新性解決方案，例如，是否有一些新的采樣策略，能夠更有效地覆蓋高維空間，或者是否存在一些基於深度學習的近似積分方法，能夠學習到積分的特性並給齣快速而準確的估計。我希望書中能夠包含一些實際的應用案例，展示這些方法在解決實際問題中的優勢，這樣我纔能更好地將書中的知識轉化為實際生産力，提升我正在開發模型的性能。

評分☆☆☆☆☆

我是一名在金融風險管理領域工作的專業人士。在進行復雜的金融衍生品定價、風險模型構建以及資産組閤優化時，我們經常需要處理高維度的隨機過程和復雜的積分方程。特彆是對於那些無法解析求解的金融模型，數值積分是至關重要的工具。我一直在關注如何提高這些數值計算的效率和精度，以應對日益增長的計算需求和市場變化。我希望這本書能夠提供一些適用於金融領域的、高效且魯棒的高維數值積分方法。例如，是否有一些針對特定金融模型（如濛特卡洛方法在期權定價中的應用）的優化技巧，或者一些能夠處理高維、非光滑積分的魯棒算法。我也希望書中能包含一些實際的案例研究，展示這些方法在解決實際金融問題中的具體應用和效果，讓我能夠將其直接應用到我的工作中，提高我的分析能力和決策水平。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計，說實話，一開始吸引我的並非其深邃的主題，而是一種簡潔而富有力量的美感。墨藍色的底色，如同浩瀚的宇宙，上麵浮現著銀色的、抽象的幾何圖形，它們以一種錯落有緻的方式排列，仿佛是宇宙星係的縮影，又像是某種高維空間的投影。這種視覺衝擊力，讓人不禁聯想到那些挑戰人類認知邊界的數學與物理領域。我是一名物理學專業的學生，日常接觸到大量的數值計算，對於如何精確地處理那些難以解析的積分問題，一直感到有些力不從心。尤其是在處理多粒子相互作用、量子場論等問題時，高維積分簡直是噩夢。我希望能在這本書中找到一些行之有效的計算技巧，或許是新的算法，或許是對現有方法的優化，總之，我期待這本書能夠成為我科研道路上的“定海神針”，讓我在麵對復雜的數值計算時，多一份從容和自信。當然，除瞭技術層麵的提升，我也希望這本書能引發我對高維積分背後更深層次的數學思想的思考，理解其理論根基，從而更好地運用它。