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吴强，黄建华 著

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• 分数阶导数
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• 应用数学
• 工程数学
• 数学分析
• 常微分方程

出版社： 清华大学出版社

ISBN：9787302435464

版次：1

商品编码：11924749

包装：平装

开本：16开

出版时间：2016-05-01

用纸：胶版纸

页数：185

字数：244000

内容简介

　　本书讲述了Grünwald Letnikov型、Riemann Liouville型、Caputo型及Weyl型四种分数阶微分、分数阶积分的定义、性质、运算法则及分数阶微积分建模的案例，讨论了分数阶微分方程的初边值问题、随机分数阶微分方程初值问题和随机级数在非线性波方程初值随机化中的应用.
　　本书可作为高等院校理工科高年级本科生、研究生的教材或教师的教学参考书，也可供从事相关理论研究的科技工作者阅读使用.

内页插图

目录

第1章绪论
1.1分数阶微积分的创立与发展简介
1.2几类特殊函数及变换
1.2.1Gamma函数
1.2.2Beta函数
1.2.3Laplace变换
1.2.4Fourier变换
1.3Mittag�睱effler函数及其性质
1.3.1Mittag�睱effler函数定义
1.3.2两参数Mittag�睱effler函数的Laplace变换
1.3.3Mittag�睱effler函数的求导公式
习题1
第2章Grünwald�睱etnikov型分数阶微积分
2.1G�睱型分数阶微积分的定义
2.1.1整数阶导数的差分近似递推
2.1.2G�睱意义下整数阶微分与积分的统一形式
2.1.3G�睱型分数阶微积分的定义
2.2G�睱型分数阶微积分的性质
2.3G�睱型分数阶微积分的数学建模
2.3.1一般能量信号的G�睱型分数阶微分模型
2.3.2图像增强与去噪的G�睱型分数阶微分与积分滤波器
构造模型
2.3.3计算时间分数阶导数的G�睱定义下的差分模型
2.4G�睱型分数阶微积分计算的数学实验
习题2
第3章Riemann�睱iouville型分数阶微积分
3.1R�睱型分数阶微积分的定义与性质
3.1.1左R�睱型分数阶微积分
3.1.2左R�睱型分数阶微积分算子的性质
3.1.3R�睱型分数阶微积分的中值定理
3.1.4右R�睱型分数阶微积分的概念
3.1.5常用R�睱意义下的左（右）12阶导数与12阶积分
3.2R�睱型分数阶微积分积分变换与广义分数阶导数
3.2.1R�睱型分数阶微积分的积分变换
3.2.2广义分数阶导数与R�睱型分数阶积分
3.3G�睱型与R�睱型分数阶微积分之间的关系
3.4R�睱型分数阶微积分的物理解释与数学建模及实验
3.4.1R�睱型分数阶微积分的一种物理解释
3.4.2控制系统中R�睱型分数阶微分模型
3.4.3耳石器官广义分数阶黏弹性动力学模型
3.4.4计算时间分数阶导数的R�睱定义下的差分模型
3.5R�睱型分数阶微积分计算的数学实验
习题3
第4章Caputo型分数阶微积分
4.1Caputo型分数阶导数的定义
4.2Caputo型分数阶导数的性质
4.3G�睱型、R�睱型分数阶微积分与Caputo型分数阶导数之间的关系
4.3.1G�睱型定义与Caputo型定义之间的关系
4.3.2R�睱型定义与Caputo型定义之间的关系
4.4Caputo型分数阶导数的数学建模
4.4.1Caputo型分数阶Lagrange函数的Euler�睱agrange
数学模型
4.4.2计算时间分数阶导数的Caputo型差分模型
4.5Caputo型分数阶导数计算的数学实验
习题4
第5章Weyl型分数阶微积分
5.1Weyl型分数阶微积分的定义
5.1.1速降函数的概念及性质
5.1.2Weyl型分数阶微积分的定义
5.2Weyl型分数阶微积分的性质
5.3Weyl型分数阶微积分的数学建模
5.4Weyl型分数阶微积分计算的数学实验
习题5
第6章分数阶微分方程
6.1分数阶微分方程模型
6.2分数阶微分方程的Green函数和Laplace变换求法
6.2.1Laplace变换求解分数阶微分方程
6.2.2序列分数阶导数
6.2.3Green函数法求解分数阶微分方程
6.3分数阶微分方程的初值问题
6.3.1线性R�睱型分数阶微分方程的初值问题
6.3.2非线性R�睱型分数阶微分方程的初值问题
6.3.3Caputo型分数阶微分方程初值问题
6.4分数阶微分方程的两点边值问题
6.4.1线性分数阶微分方程两点边值问题
6.4.2分数阶非线性微分方程边值问题
6.5分数阶发展方程的初值问题
6.5.1抽象分数阶线性微分方程初值问题
6.5.2抽象分数阶发展方程初值问题
习题6
第7章随机分数阶微分方程
7.1随机分析基础
7.1.1Brown运动
7.1.2Ito积分的定义与性质
7.1.3Ito公式
7.1.4停时
7.1.5鞅的概念与性质
7.1.6常用的不等式
7.1.7分数Brown运动及其随机积分
7.2半线性随机分数阶微分方程
7.3随机分数阶积分�参⒎址匠�
7.4Hilbert空间中的随机分数阶Volterra方程
7.5随机分数阶振动方程
7.6几类抽象随机分数阶微分方程的适定性
7.6.1Caputo型分数阶随机微分方程
7.6.2带Caputo型分数阶导数的随机分数阶微分方程
7.6.3分数Brown运动驱动的随机微分方程
习题7
第8章初值随机化及其应用
8.1随机级数的定义与性质
8.1.1Banach空间中的随机级数
8.1.2Hilbert空间中的随机级数
8.1.3正项随机级数
8.2随机级数的Lp正则性
8.3超临界波方程初值随机化的Cauchy问题
8.4几类非线性发展方程初值随机化的Cauchy问题
8.4.1分数阶不可压Navier�睸tokes方程初值随机化的
Cauchy问题
8.4.2非线性Schr�塪inger方程初值随机化的Cauchy问题
习题参考答案
参考文献

前言/序言

数学分析的边界：超越整数阶导数的深邃探索 图书名称： 数学分析的边界：超越整数阶导数的深邃探索 内容简介： 本书旨在为读者提供一个全面而深入的视角，探究经典微积分框架之外的数学分析领域。它将引导读者从熟悉的整数阶导数和积分概念出发，逐步进入一个更为广阔、充满挑战与机遇的分析空间。本书的核心聚焦于那些在经典理论中难以捕捉或描述的现象，特别是那些涉及到非整数阶运算的数学模型和理论工具。 第一部分：基础的回顾与重构 在深入探讨更高级概念之前，本书首先对经典一元和多元微积分的基石进行了严谨的复习与重新审视。我们不仅仅停留在对基本定理（如微积分基本定理、均值定理、泰勒公式）的机械应用，而是深入探究其背后的拓扑与测度论基础。我们将考察极限、连续性、一致收敛性在函数空间中的表现，并为后续引入非整数阶概念铺设必要的理论桥梁。重点将放在对积分的黎曼和勒贝格定义的深入理解，因为后者对于推广到更复杂的积分形式至关重要。 第二部分：从离散到连续的插值：非整数阶思想的萌芽 本部分开始引入本书的核心思想——如何将离散的差分运算和平滑的微分运算联系起来。我们探讨了差分方程组在不同时间尺度下的行为，并引入了插值函数的概念，以期找到一种连接 $n$ 阶导数和 $(n+1)$ 阶导数之间的“中间状态”。 我们详细考察了经典的整数阶导数算子 $frac{d^n}{dx^n}$ 的谱结构，并提出一个核心问题：是否存在一个算子 $D^alpha$，其中 $alpha$ 不是整数，但它能够以一致和有意义的方式介于 $D^n$ 和 $D^{n+1}$ 之间？ 本章将引入对诸如“广义函数”和“分布理论”的初步介绍，这些工具为定义和理解非整数阶算子提供了最初的数学语言。我们将分析为什么标准的微分定义无法直接推广，并探讨了对导数定义进行“正则化”或“重定义”的必要性。 第三部分：非整数阶分析的核心工具：核函数与积分表示 本部分是全书的技术核心，集中展示了定义非整数阶算子的主要数学方法。我们将聚焦于两个最强大且应用最广泛的工具：积分变换和卷积。 1. 傅里叶分析与加权积分： 我们将展示如何利用傅里叶变换将微分运算转化为简单的乘法运算，即 $mathcal{F}{D^n f}(xi) = (ixi)^n mathcal{F}{f}(xi)$。随后，我们提出一个自然的问题：如何将指数 $n$ 推广到任意实数或复数 $alpha$？这自然地导向了定义 $mathcal{F}{D^alpha f}(xi) = (ixi)^alpha mathcal{F}{f}(xi)$。本书将详细分析这种定义在 $L^p$ 空间中的良好定义性、连续性和半群性质。 2. 卷积与核函数的构建： 深入探讨了利用特定核函数 $K_alpha(x)$ 来表示非整数阶算子 $D^alpha f(x) = int K_alpha(x-y) f(y) dy$ 的方法。重点分析了与分数阶导数密切相关的两个经典核： Riemann-Liouville（里曼-李乌维尔）核： 基于广义的伽马函数积分表示，我们详细推导了这种左侧（或右侧）分数阶导数的精确积分形式，并分析了其在积分下限处的奇异性处理方式。 Caputo（卡普托）核： 与里曼-李乌维尔定义相比，卡普托定义在处理带有非整数阶初始条件的微分方程时具有显著的物理优势。本书将对比这两种主要的积分表示方式及其各自的适用场景。 第四部分：空间、半群与函数空间理论 非整数阶算子不再是作用于普通的连续函数空间，而是要求更精细的函数空间结构来保证其运算的有效性。本部分致力于将这些新算子嵌入到适当的分析框架中。 我们将介绍Sobolev空间 $mathcal{W}^{s,p}$ 的概念，并探讨如何使用分数阶范数来定义 $mathcal{H}^{alpha}$（分数阶Hӧlder-Sobolev空间）。重点分析了非整数阶导数算子在这些空间上的有界性和一致性。 此外，本书深入研究了非整数阶算子作为半群生成元的角色。我们将展示，当 $alpha$ 为正时，$D^alpha$ 及其逆运算（分数阶积分）如何构筑一个连续的时间演化系统，这对于理解扩散过程（如分数阶布朗运动）至关重要。 第五部分：非整数阶方程的求解与应用概述 在建立了坚实的理论基础后，本书的最后一部分将目光投向了非整数阶方程的实际求解。 1. 方程类型分类： 我们区分了以分数阶导数为主的 分数阶常微分方程 (FODEs)、涉及空间分数阶导数的 分数阶偏微分方程 (FPDEs)，以及混合型方程。 2. 求解策略： 针对特定类型的FODEs，我们将介绍利用Laplace变换（在$alpha$阶幂次下的推广）和级数解法（例如，基于Mittag-Leffler函数的展开）来构造精确解。对于FPDEs，我们将探讨其解与经典热传导方程或波动方程解的本质区别，特别是其非局部性的体现。 3. 物理与工程的印记： 本部分将概述非整数阶分析在现实世界中的应用领域，例如： 粘弹性材料建模： 描述材料在应力-应变关系中表现出的“记忆效应”。 异常扩散现象： 模拟介质中粒子运动的非高斯、长程依赖性扩散过程（如在多孔介质或复杂生物系统中）。 控制理论中的优化： 利用分数阶控制器设计实现更精细的系统响应。 本书的结构旨在为对经典分析有深刻理解的研究人员和高年级学生提供一座坚实的桥梁，通往现代数学分析中一个既古老又充满活力的前沿领域。通过严谨的推导和对概念的细致辨析，读者将能够掌握描述和分析超越整数阶行为的必要数学语言和技术。

评分☆☆☆☆☆

这是一次令人惊艳的阅读体验！《分数阶微积分》这本书，与其说是一本教材，不如说是一场思维的拓展之旅。我一直对那些能“跳出常规”的数学工具很感兴趣，而分数阶微积分无疑是其中的佼佼者。本书的作者在讲解过程中，并没有回避其中的复杂性，而是巧妙地将其分解，让我们能够循序渐进地掌握。我特别欣赏作者在引入分数阶积分概念时所采取的“回溯”手法，它能够帮助读者将熟悉的整数阶积分与分数阶积分联系起来，理解其自然延伸。书中对各种定义（如Riemann-Liouville、Caputo等）的比较分析，以及它们在不同应用场景下的优劣势，也让我受益匪浅。我原本以为这些定义会很难区分，但作者的讲解让我豁然开朗，深刻理解了它们各自的特点和适用范围。书中关于分数阶微积分在控制理论、图像处理等领域的应用案例，更是让我对它的实用性有了全新的认识。我之前接触的控制理论模型，往往假设系统是“局部”的，而分数阶模型则能够捕捉到更长期的历史信息，这对于设计更鲁棒、更智能的控制系统至关重要。总而言之，这是一本能够激发读者探索欲望、拓展数学视野的宝贵读物。

评分☆☆☆☆☆

哇，最近终于读完了这本《分数阶微积分》！说实话，一开始我被这个名字给吓住了，以为会是那种晦涩难懂、让人头疼的数学理论书。但实际上，这本书带给我的惊喜远不止于此。它就像一位温柔的向导，一步步地引领我探索分数阶微积分这个神奇的领域。作者的叙述方式非常清晰，即使是像我这样数学基础不算特别扎实的读者，也能逐渐理解其中的核心概念。书中穿插了大量的例子，这些例子不仅贴近实际应用，而且解释得非常透彻，让我能直观地感受到分数阶微积分的魅力。比如，在讲解分数阶导数的物理意义时，作者没有仅仅停留在公式推导，而是花了很大篇幅去阐述它如何能够更好地描述一些具有“记忆效应”或“非局域性”的物理现象，比如材料的蠕变、土壤的水分扩散等等。这让我意识到，原来数学不仅仅是抽象的符号游戏，它还能如此巧妙地描绘我们所处的真实世界。而且，书中的排版设计也很人性化，公式和文字的比例恰到好处，不会让人感到压抑。我尤其喜欢书中那些图示，它们生动形象地展示了各种分数阶算子的行为，让原本抽象的概念变得触手可及。读完这本书，我感觉自己对微分方程、信号处理等领域的理解都有了更深层次的提升。

评分☆☆☆☆☆

这次阅读《分数阶微积分》，算是我一次深入接触这个领域的尝试。这本书的结构安排非常合理，从基础的概念引入，到各种分数阶算子的定义和性质，再到实际应用，层层递进，非常适合入门者。我之前对分数阶微积分的印象，停留在“很高级”、“很难懂”的阶段，但这本书彻底颠覆了我的认知。作者用非常通俗易懂的语言，解释了诸如分数阶导数的“记忆性”和“非局部性”等核心特征，并且通过大量的图例来辅助说明，让我对这些抽象的概念有了直观的理解。我尤其喜欢书中对分数阶波动方程和分数阶扩散方程的讲解。这些方程在描述一些奇异的传播现象时，展现出远超传统整数阶方程的优势，比如更准确地模拟介质的不均匀性和长期依赖性。这对我来说，不仅仅是学习了新的数学工具，更是对如何更精确地建模复杂系统有了更深刻的认识。这本书的价值在于，它不仅传授了知识，更激发了读者的思考，让人忍不住想要去探索更多未知的数学领域。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，《分数阶微积分》这本书给了我一个全新的视角来审视数学。之前，我总觉得数学就像一块块孤立的积木，各自独立运作。但这本书，特别是它对于“积分”和“微分”概念的泛化和拓展，让我看到了数学之间千丝万缕的联系。作者在解释分数阶算子时，花了大量篇幅从几何和物理的直观角度去阐述，而不是仅仅停留在形式化的定义上。这对于我这样更偏爱理解“为什么”而非“是什么”的读者来说，简直是及时雨。书中关于分数阶动力学系统的部分，尤其让我着迷。它揭示了许多经典动力学模型在引入分数阶导数后，能够展现出更丰富的行为，比如更复杂的混沌动力学、更慢的能量耗散等。这让我开始思考，我们当前很多描述自然现象的数学模型，是否可能因为过于简化而丢失了一些关键的信息？这本书就像一把钥匙，打开了我对更深层、更精细数学描述世界可能性的想象。而且，作者的语言风格也很平实，即使是遇到一些复杂的数学推导，也能让我感受到一种逻辑上的流畅性，而不是被生硬的符号淹没。

评分☆☆☆☆☆

《分数阶微积分》这本书，让我感受到了数学的无穷魅力和无限可能。我一直以为微积分的“阶数”只能是整数，而这本书彻底打开了我的视野。作者以一种非常沉浸式的方式，引导读者一步步地走进分数阶微积分的世界。他没有直接给出复杂的定义，而是从更基础的概念出发，通过巧妙的类比和生动的解释，让我们逐渐理解分数阶算子的由来和意义。书中所提及的分数阶傅里叶变换、分数阶拉普拉斯变换等，更是让我看到了数学工具的强大延展性。这些工具能够帮助我们更有效地分析信号和系统，尤其是在处理那些具有记忆效应和长程依赖性的问题时。我印象最深刻的是书中关于分数阶积分在生物力学和材料科学中的应用。它能够更精妙地描述生物组织的非线性行为，以及材料在长期应力下的响应。这让我不禁感叹，数学的边界原来如此辽阔，而分数阶微积分正是其中一条充满希望的探索之路。这本书不仅是一次知识的学习，更是一次思维的革新。

评分☆☆☆☆☆

书挺不错，看不太懂，挺难

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有点薄的一本书，感觉还是可以的～～

评分☆☆☆☆☆

不错

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还行。京东买书价格真的是很实惠的

评分☆☆☆☆☆

好，就是价格略贵，

评分☆☆☆☆☆

吼哇

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挺不错的

评分☆☆☆☆☆

不错

评分☆☆☆☆☆

挺好的。。。。。。。