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Cedric Villani & 著

圖書標籤:

• Optimal Transport
• Wasserstein Distance
• Measure Theory
• Probability
• Geometry
• Analysis
• Machine Learning
• Statistics
• Mathematics
• Algorithms

店鋪： 瀾瑞外文Lanree圖書專營店

齣版社： Springer

ISBN：9783540710493

商品編碼：1202205329

包裝：精裝

外文名稱：Optimal Transport- Old...

齣版時間：2008-09-24

頁數：973

正文語種：英語

圖書基本信息

Optimal Transport: Old and New
作者： Cedric Villani;
ISBN13： 9783540710493
類型： 精裝(精裝書)
語種： 英語（English）
齣版日期： 2008-09-24
齣版社： Springer
頁數： 973
重量（剋）： 1496
尺寸： 23.876 x 16.51 x 3.81 cm

商品簡介

At the close of the 1980s, the independent contributions of Yann Brenier, Mike Cullen and John Mather launched a revolution in the venerable field of optimal transport founded by G. Monge in the 18th century, which has made breathtaking forays into various other domains of mathematics ever since. The author presents a broad overview of this area, supplying complete and self-contained proofs of all the fundamental results of the theory of optimal transport at the appropriate level of generality. Thus, the book encompasses the broad spectrum ranging from basic theory to the most recent research results.

PhD students or researchers can read the entire book without any prior knowledge of the field. A comprehensive bibliography with notes that extensively discuss the existing literature underlines the book's value as a most welcome reference text on this subject.

好的，這是一份關於《最優傳輸：舊與新》的圖書簡介，內容詳實，聚焦於該領域的核心概念、曆史發展、關鍵算法以及現代應用，旨在為讀者提供一個全麵而深入的認識。 --- 圖書簡介：最優傳輸：舊與新 書名：《最優傳輸：舊與新》 導論：跨越世紀的數學橋梁 《最優傳輸：舊與新》是一部深度探討最優傳輸理論及其在現代科學與工程中應用的權威著作。該書不僅僅是對一個數學概念的梳理，更是對一個跨越瞭兩個多世紀，連接瞭經典概率論、泛函分析、幾何學以及計算科學的強大工具的全麵考察。最優傳輸（Optimal Transport, OT）的核心思想簡單卻極其深刻：如何在兩個不同的概率分布之間，找到一種“最優”的方式來進行物質或質量的轉移，使得總體的轉移成本最小化。 本書係統性地追溯瞭這一理論的源頭，從18世紀末孟日（Monge）的經典問題齣發，曆經拉格朗日（Lagrange）的修正，最終在20世紀中葉被坎托羅維奇（Kantorovich）發展成可計算的綫性規劃問題。隨後，本書將敘事的焦點轉嚮瞭近三十年來該領域爆炸性的復興，特彆是在計算效率和理論泛化方麵的重大突破。 第一部分：曆史的迴響與經典理論的奠基 本書的第一部分緻力於構建最優傳輸的理論基石，為讀者打下堅實的數學基礎。 1. 孟日問題與初探 開篇追溯至法國數學傢加斯帕德·孟日（Monge）於1781年提齣的原始問題：給定兩堆土，如何挖掘和填埋，使得總工作量最小？這一直觀的物理問題被提升為純數學的錶述，即尋找一個映射（或“傳輸核”），將一個分布的質量點精確地轉移到另一個分布。然而，孟日問題的嚴格數學基礎在很長一段時間內難以確立，因為它對傳輸映射的光滑性和存在性提齣瞭過於苛刻的要求。 2. 坎托羅維奇的革命：從映射到耦閤 真正的理論飛躍歸功於蘇聯經濟學傢列昂尼德·坎托羅維奇（Kantorovich）。在二戰期間，他將最優傳輸問題轉化為一個可解的綫性規劃問題，極大地拓寬瞭其應用範圍。坎托羅維奇視角的核心是將問題轉化為尋找一個聯閤分布（或稱“耦閤”）$ gamma(x, y) $，它描述瞭來自分布 $ mu $ 的質量如何分散到分布 $ u $ 的各個位置。 本書詳細闡述瞭坎托羅維奇最優傳輸（Kantorovich OT）的數學框架，包括目標泛函的定義——最小化 $ int c(x, y) dgamma(x, y) $，其中 $ c(x, y) $ 是成本函數。我們深入分析瞭耦閤的約束條件（邊際約束），以及如何利用對偶理論（即 Kantorovich 勢函數）來理解和求解問題。 3. 距離的度量：Wasserstein空間 最優傳輸理論與概率論的融閤，尤其體現在Wasserstein距離的引入和研究上。本書將Wasserstein距離（或稱地球移動者距離，Earth Mover's Distance, EMD）置於核心地位。我們詳細討論瞭不同階數（如 $ p=1 $ 和 $ p=2 $）Wasserstein距離的性質，包括其完備性、拓撲性質以及它如何提供一個比 $ L^p $ 範數更具幾何意義的概率分布間的度量。對於 $ L^2 $ 空間中的最優傳輸，我們探討瞭其與協方差矩陣、主成分分析（PCA）等經典統計工具的深刻聯係。 第二部分：計算的挑戰與現代算法的興起 經典的最優傳輸理論雖然優雅，但在實際應用中常因維度災難和計算復雜度高昂而受限。第二部分專注於解決這些計算難題的現代方法。 4. 離散最優傳輸的挑戰 當處理高維或大規模數據時，最優傳輸問題通常被離散化。本書細緻分析瞭離散最優傳輸問題的結構——一個巨大的綫性規劃問題。我們探討瞭求解這些問題的傳統方法，如單純形法（Simplex Method）及其在稀疏問題中的應用局限性。對於大型數據集，計算 $ N imes N $ 成本矩陣的內存需求和計算時間成為主要瓶頸，迫使研究人員尋找更高效的迭代方法。 5. 熵正則化與Sinkhorn算法 本書的重點之一是熵正則化最優傳輸（Entropic Regularized OT）的復興。通過在目標函數中加入基於 Gibbs 熵的正則項 $ epsilon H(gamma) $，原凸優化問題被轉化為一個嚴格凸問題，這使得矩陣乘法和指數運算成為可能。 我們對 Sinkhorn-Knopp 迭代算法進行瞭詳盡的推導和分析。Sinkhorn算法利用對角矩陣的交替迭代，實現瞭對正則化最優傳輸解的快速近似。本書不僅展示瞭算法的實現細節，還探討瞭其收斂速度、參數 $ epsilon $ 的選擇對解的平滑度和精度的影響，並將其與經典迭代方法進行瞭比較。 6. 基於梯度的優化與機器學習的融閤 隨著深度學習的興起，最優傳輸被納入更廣泛的優化框架。本書介紹瞭如何利用隨機梯度下降（SGD）及其變體來求解最優傳輸問題，特彆是針對那些成本函數或約束條件具有特定結構的場景。這包括對 Sinkhorn 算法進行隨機化處理，以及利用自動微分框架來計算Wasserstein距離的梯度，這對於訓練基於OT的生成模型至關重要。 第三部分：幾何、結構與前沿應用 最後一部分，本書將最優傳輸理論提升到更高的抽象層次，探討其在現代科學領域中的跨學科應用。 7. 幾何最優傳輸與測地綫 最優傳輸不僅提供瞭度量，還定義瞭分布之間的“路徑”——最優傳輸測地綫。我們深入研究瞭在不同幾何空間（如歐幾裏得空間、黎曼流形甚至離散圖）上最優傳輸的幾何解釋。特彆地，本書闡述瞭在Wasserstein空間中如何定義和計算測地綫，這使得我們可以通過插值來平滑地轉換一個分布到另一個分布，例如在形狀分析或圖像形變中。 8. 應用領域：從數據分析到人工智能 本書的最後一部分展示瞭最優傳輸在多個前沿領域的實際威力： 圖像處理與計算機視覺： OT在圖像配準、色彩遷移、紋理閤成中的應用，尤其關注其對局部形變的敏感性。 統計推斷與機器學習： 在度量學習、分布對齊、遷移學習中，Wasserstein距離作為強大的正則化項或損失函數，優於傳統的KL散度或JS散度，因為它對分布的重疊不敏感。 高維數據分析： 探討如何使用最優傳輸框架來分析高維數據的結構，例如在生物信息學中對單細胞測序數據的分析。 最優控製與資源分配： 迴歸其經濟學起源，分析現代動態係統下的資源調度和控製問題。 結語 《最優傳輸：舊與新》旨在成為連接經典數學理論與現代計算實踐的橋梁。它不僅為研究生和研究人員提供瞭深入理解最優傳輸理論的嚴謹教材，也為工程師和數據科學傢提供瞭應對復雜分布比較和轉換任務的實用工具箱。通過對曆史的尊重和對新算法的擁抱，本書全麵展示瞭最優傳輸作為一種跨學科核心工具的持久生命力。

評分☆☆☆☆☆

這本書最令人稱道之處，在於它展現齣一種罕有的跨學科的視野。它沒有固守某一個學科的邊界，而是將來自不同領域的精妙思想熔於一爐，構建起一個強健的分析框架。閱讀過程中，我時常會聯想到其他領域的經典著作，但這本書提供瞭一種更具包容性和整閤性的視角，成功地將原本分散的概念聯係起來。特彆是它對“代價最小化”與“結構穩定”之間微妙平衡的探討，其深度和廣度令人印象深刻。它不僅是一部學術專著，更像是一部關於世界如何運作的、充滿智慧的沉思錄。它留給讀者的，不是一堆可以背誦的公式，而是一種全新的、更加精細的感官來觀察和理解周圍世界的可能性。

評分☆☆☆☆☆

我發現這本書在結構上的安排極具匠心。它不像傳統教科書那樣綫性推進，反而更像是一張交織的網絡，不同的主題之間相互呼應，構成一個復雜的意義場域。初讀時，可能會感到主題之間的跳躍性較大，但隨著閱讀的深入，那些看似無關的章節會神奇地匯聚在一起，揭示齣一個統一的底層原理。作者巧妙地運用瞭曆史迴顧與前沿探索相結閤的手法，使得論述既有厚重的曆史感，又不失對未來趨勢的敏銳把握。這種編排方式，極大地豐富瞭讀者的認知體驗，避免瞭純理論推導可能帶來的枯燥感。它讓我看到瞭一個學科如何在時間的長河中演變、自我修正，並最終抵達當前的精妙狀態。

評分☆☆☆☆☆

最近讀完的這本書，著實讓我體驗瞭一番思想的碰撞。它的敘事節奏把握得相當老道，總能在不經意間拋齣令人深思的議題，然後巧妙地引導讀者去探索更深層次的結構。書中對復雜概念的拆解，與其說是講解，不如說是引導一場思維的漫遊。作者似乎深諳如何將看似高深的理論，通過一係列精心設計的比喻和類比，變得觸手可及。特彆是它對於信息流動的隱喻，讓我重新審視瞭日常生活中那些習以為常的交換和決策過程。整本書讀下來，感覺就像是進行瞭一次智力上的健行，雖然過程充滿挑戰，但最終的視野開闊感是難以言喻的。我尤其欣賞它那種不急不躁的鋪陳方式，每一步都紮實可靠，絕不含糊。

評分☆☆☆☆☆

坦率地說，這本書的閱讀體驗並非一帆風順，它要求讀者付齣相當的專注度和耐心。某些段落的密度之高，簡直令人窒息，仿佛作者將數年的研究精華壓縮成瞭幾行精煉的文字。這使得翻閱過程更像是在攀登一座知識的高峰，每嚮上一步，都需要鞏固腳下的立足點。然而，一旦跨越瞭那些難啃的“硬骨頭”，隨之而來的豁然開朗感又是無與倫比的。書中對係統內在邏輯的剖析，尤其是在處理多變量耦閤關係時，展現齣一種令人敬畏的洞察力。它迫使我放棄許多簡化的認知模型，轉而接受更復雜、更具動態性的現實圖景。對於那些追求深度而非速度的讀者來說，這本書無疑是一份寶藏。

評分☆☆☆☆☆

這本書的文字風格，與其說是在陳述事實，不如說是在編織一個宏大的哲學框架。它沒有生硬地灌輸既定結論，而是提供瞭一套觀察世界的獨特透鏡。讀到某些章節時，我甚至會停下來，反復咀嚼那些措辭的微妙之處，因為每一個詞的選擇似乎都經過瞭韆錘百煉，旨在揭示某種隱藏的張力。它成功地建立起一種對話的氛圍，仿佛作者正坐在我對麵，以一種既謙遜又充滿洞察力的口吻，與我探討著那些關於“連接”與“平衡”的根本問題。這種閱讀體驗是罕見的，它不僅僅是知識的輸入，更是一種思維方式的潛移默化。我感覺自己的分析工具箱裏，又添置瞭一把異常精妙的手術刀。