高中數學題典：不等式·推理與證明 [Senior High School Mathematical Problems and Solutions—Inference and Proof] pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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甘誌國 著

圖書標籤:

• 高中數學
• 不等式
• 推理與證明
• 題典
• 解題技巧
• 數學學習
• 同步練習
• 應試備考
• 知識點總結
• 數學思維

齣版社： 哈爾濱工業大學齣版社

ISBN：9787560360065

版次：1

商品編碼：12029004

包裝：平裝

叢書名： 全國優秀數學教師專著係列

外文名稱：Senior High School Mathematical Problems and Solutions—Inference and Proof

開本：16開

齣版時間：2016-0

內容簡介

　　《高中數學題典：不等式·推理與證明》是《高中數學題典》叢書的第5捲——不等式·推理與證明.收錄的題目有基礎題和高考題，還有全國高中數學聯賽和自主招生試題。
　　《高中數學題典：不等式·推理與證明》可供高三學生復習備考時使用，也可供參加全國高中數學聯賽和自主招生的同學和教練使用。

內頁插圖

目錄

第1章 不等關係與一元二次不等式
第2章 簡單的綫性規劃問題
第3章 均值不等式及其應用
第4章 閤情推理與演繹推理
第5章 直接證明與間接證明
第6章 數學歸納法
第7章 不等式綜閤問題

前言/序言

　　從一定程度上說，數學教（學）就是數學的解題教（學）。對定理的證明、公式的推導是這樣，對於概念教（學），還是如此。
　　筆者於1988年參加工作，至今從事數學教（學）近30年瞭。這期間，無時無刻不在與數學題打交道：從不會解、模仿著解，到冥思苦想、查閱資料、嚮前輩請教討論，再到欣賞解題方法、探尋解題規律、編製試題……
　　筆者於2008年、2009年在哈爾濱工業大學齣版社分彆齣版瞭《初等數學研究（Ⅰ）》和《初等數學研究（Ⅱ）（上、下）》；於2014年在哈爾濱工業大學齣版社齣版瞭《數學解題與研究叢書》，包括《集閤、函數與方程》《數列與不等式》《三角與平麵嚮量》《平麵解析幾何》《立體幾何與組閤》《極限與導數、數學歸納法》《趣味數學》《教材教法》《自主招生》《高考壓軸題（上、下）》11冊；於2015年在哈爾濱工業大學齣版社齣版瞭《北京市五區文科數學三年高考模擬題詳解（2013-2015）》《北京市五區理科數學三年高考模擬題詳解（2013～2015）》和《數學高考參考》；於2014年在浙江大學齣版社齣版瞭《高中數學經典題選·三角函數與平麵嚮量》；於2014年在清華大學齣版社齣版瞭《高考數學真題解密》；於2016年在中國科學技術大學齣版社齣版瞭《重點大學自主招生數學備考用書》，這些著作也大多是數學解題方麵的闡述。
　　哈爾濱工業大學齣版社劉培傑副社長（即劉培傑數學工作室主任）曾在《數學解題與研究叢書》的“編輯手記”中寫道：
　　甘誌國的作品首先是短小精悍，言之有物，雖不頂天但總是立地。素材皆取自中學數學教學實際，絕無淩波微步。每一篇小文章都是有感而發。每一個例題都是就地取材，沒有一點八股痕跡。
　　其次，甘誌國先生的作品引用的例題非常之多。恰似蘇綉之絲綫遠不止4800個（為什麼（蘇綉）那麼漂亮呢？就是因為絲綫的品種很多，聽說有4800多種，光紅色的就有幾十樣，顔色的花樣很多，所以綉齣來的東西好看、逼真，寫文章也是一樣，詞匯好比絲綫，掌握詞匯越多，就能運用自如，變化無窮，隨手拈來就能選齣那些濃淡相宜的顔色，“織成”最美好的作品。）。而且都是從一些我們熟視無睹的問題中看齣問題來，西諺說：“魔鬼藏在細節之中，”對這些教材、教參、試題中大量細節的處理纔是最能體現齣一位優秀中學教師的功力，從這些小文章中我們也同時看到瞭一個中學教師對理想的追求。

高中數學題典：不等式·推理與證明 內容概述 本書是一部旨在係統梳理、精講精練高中數學核心概念“不等式”與“推理與證明”的專著。內容涵蓋瞭不等式部分的恒成立、求最值、判彆性問題，以及推理與證明部分的邏輯基礎、命題推理、數學歸納法、反證法、構造法等一係列重要知識點和解題技巧。全書力求在概念的深度理解、方法的靈活運用、能力的全麵提升等方麵，為廣大高中生提供一套嚴謹、全麵、實用的學習解決方案。 第一篇 不等式 本篇內容聚焦於高中數學中占比重大的不等式知識，旨在幫助學生建立紮實的不等式理論基礎，掌握各類不等式的解法與應用。 第一章 不等式的基本性質與概念 不等式的概念與數軸錶示： 深入解析不等式的定義，理解大於、小於、大於等於、小於等於的含義，以及如何藉助數軸直觀錶示不等式的解集。 不等式的基本性質： 係統梳理不等式的傳遞性、加法法則、乘法法則、除法法則、平方性質等，並通過典型例題強化對性質的理解與應用。 含絕對值不等式的解法： 重點講解 $|x| < a$、$|x| > a$、$|x - a| < b$、$|x - a| > b$ 等基本類型不等式的求解方法，以及利用幾何意義或分類討論法解決更復雜的情況。 指數不等式與對數不等式： 介紹指數函數與對數函數的單調性在不等式求解中的應用，講解基本指數不等式和對數不等式的解法，以及與函數性質相結閤的綜閤題。 第二章 常用不等式及其應用 均值不等式（重要不等式）： 詳細闡述算術平均數-幾何平均數（AM-GM）不等式，包括其適用條件（“一正、二共、三相等”），並深入探討其在求最值、證明不等式等方麵的廣泛應用。通過大量例題展現其“拆項”、“添項”、“配湊”等變形技巧。 柯西-施瓦茲不等式： 介紹柯西-施瓦茲不等式的形式及其多種變形，重點講解其在證明不等式、求最值方麵的應用，以及與嚮量、數列等知識的聯係。 其他常用不等式： 適時引入排序不等式、閔可夫斯基不等式等，拓展學生的視野，為解決更高級彆的問題打下基礎。 不等式的證明方法： 係統梳理不等式的基本證明方法，包括： 比較法： 作差比較法、作商比較法。 綜閤法與分析法： 講解兩種基本邏輯推理方法在不等式證明中的應用。 換元法： 運用換元技巧簡化不等式結構，便於求解。 構造法： 通過構造輔助函數或數列來證明不等式。 反證法： 探討利用反證法證明不等式的策略。 第三章 不等式恒成立、求最值與判彆性問題 不等式恒成立問題： 深入分析不等式恒成立的條件，通常轉化為求參數範圍問題，重點講解利用函數的最值（頂點式、判彆式、單調性、導數等）來解決。 不等式求最值問題： 總結不等式求最值的常見方法，包括： 基本不等式法： 充分利用均值不等式等。 函數單調性法： 將問題轉化為求函數的最值。 二次函數法： 利用二次函數的頂點坐標或開口方嚮求解。 幾何意義法： 將不等式轉化為幾何圖形中的距離或斜率問題。 變量代換法： 通過引入新的變量簡化問題。 不等式判彆性問題： 講解如何根據參數的變化，判斷不等式是否成立，或確定不等式成立的條件。 第四章 綫性規劃與不等式 二元一次不等式（組）的圖解法： 講解二元一次不等式錶示的平麵區域，以及二元一次不等式組錶示的公共區域。 綫性規劃初步： 引入目標函數，講解如何利用可行域的頂點或邊緣來求目標函數的最大值或最小值，並將綫性規劃思想應用於實際問題。 第二篇 推理與證明 本篇內容緻力於提升學生的邏輯思維能力和數學論證水平，幫助學生掌握嚴謹的數學錶達方式和有效的解題策略。 第五章 邏輯基礎與命題 命題及其結構： 講解命題的定義、真假判斷，以及“如果...那麼...”形式的條件命題。 充分條件、必要條件、充要條件： 深入理解這三者之間的區彆與聯係，以及在解題中的應用。 四種命題： 區分原命題、否命題、逆命題、逆否命題，並理解它們之間的邏輯關係。 邏輯聯結詞： 講解“且”、“或”、“非”等邏輯聯結詞在命題組閤中的作用。 第六章 數學證明的基本方法 直接證明： 綜閤法： 從已知條件齣發，運用定義、公理、定理、性質，一步步推導齣結論。 分析法： 從結論齣發，思考結論成立的充要條件，層層遞進，直至遇到已知條件。 間接證明： 反證法： 假設結論不成立，然後推導齣矛盾，從而證明原結論成立。重點講解反證法的適用條件和步驟。 排除法： 當有有限個可能的結論時，逐一排除錯誤的結論，剩下正確的結論。 第七章 數學歸納法 數學歸納法的原理： 詳細闡述數學歸納法的兩個基本步驟： 基本步驟： 證明當 $n=n_0$ 時命題成立。 歸納步驟： 假設當 $n=k$ 時命題成立，證明當 $n=k+1$ 時命題也成立。 數學歸納法的應用： 廣泛應用於證明與正整數 $n$ 相關的命題，包括等式、不等式、整除性、性質等。通過大量例題，講解如何正確構建歸納假設和推導歸納結論。 第八章 證明中的特殊方法 構造法： 講解如何通過構造函數、數列、圖形、等式、不等式等輔助元素，將待證明的問題轉化為更易於處理的形式。 放縮法： 在證明不等式時，通過將錶達式放大或縮小，使其與目標不等式關係更加明確。 整體法： 將多個變量或式子看作一個整體進行處理，簡化運算過程。 待定係數法： 在構建模型或求解方程時，引入待定係數，通過已知條件確定係數的值。 類比推理： 藉鑒已知的數學結論或模型，對新的問題進行猜想和推理。 反例法： 用一個具體的例子來說明一個全稱命題是錯誤的。 第九章 證明題綜閤訓練 平麵幾何證明： 運用幾何公理、定理，結閤邏輯推理，證明平麵幾何中的綫段、角、麵積等關係。 代數式證明： 運用代數方法，包括恒等變形、因式分解、配方法等，證明代數式之間的關係。 函數性質證明： 證明函數的單調性、奇偶性、周期性、最值等性質。 數列性質證明： 證明數列的通項公式、前 $n$ 項和公式，以及數列的其他性質。 解析幾何證明： 結閤代數與幾何，證明直綫、圓、橢圓、雙麯綫、拋物綫等幾何圖形的性質。 本書特點 體係化構建： 內容嚴格按照高中數學課程標準，將不等式與推理證明兩大闆塊進行係統梳理，邏輯清晰，層次分明。 概念精講： 對每一個核心概念都進行深入淺齣的講解，力求讓學生理解其本質，掌握其內涵。 方法集萃： 詳細介紹各類不等式的解法和證明方法的精髓，並總結歸納瞭多種有效的解題技巧。 例題精選： 精選瞭大量來自全國各地高考試題及模擬題中的典型例題，涵蓋瞭知識點的各個側麵，覆蓋瞭不同難度梯度。 詳析透徹： 對每一道例題都進行瞭詳盡的分析和解答，剖析解題思路、關鍵步驟和易錯點，幫助學生舉一反三。 能力導嚮： 強調能力的培養，不僅僅是傳授知識，更注重引導學生掌握分析問題、解決問題的方法，提升數學思維能力和邏輯推理能力。 語言規範： 使用準確、規範的數學語言，避免齣現模糊不清或容易引起誤解的錶述。 易於自學： 結構清晰，講解到位，配以豐富的例題和詳細的解析，非常適閤學生自主學習和鞏固提高。 適用人群 本書適閤於全國高中學生，特彆是： 需要係統學習和鞏固不等式和推理證明知識的學生。 希望在高中數學競賽中取得優異成績的學生。 在學習中遇到瓶頸，希望提升數學解題能力和邏輯思維能力的學生。 即將參加高考，需要進行專題復習和衝刺的學生。 通過本書的學習，相信廣大高中生能夠深刻理解不等式和推理證明的精髓，掌握科學有效的解題方法，從而在數學學習的道路上邁齣堅實的步伐，取得理想的成績。

評分☆☆☆☆☆

作為一名對數學證明略感頭疼的學生，我一直在尋找一本能夠真正幫助我理解“推理與證明”精髓的書籍。《高中數學題典：不等式·推理與證明》完全超齣瞭我的預期。我最喜歡它的一點是，它並沒有把“不等式”和“推理與證明”割裂開來，而是將兩者緊密結閤。在講解不等式的各種性質和解法時，書中大量穿插瞭需要運用證明方法的題目，反之亦然，在講解各種證明技巧時，又會巧妙地引入不等式的概念。這種融閤性使得我對數學知識的理解更加立體和深入。我曾經以為不等式隻是簡單的計算和變形，但這本書讓我看到瞭它在證明中的強大力量。書中的例題講解非常詳盡，它不僅僅是告訴你“怎麼做”，更重要的是告訴你“為什麼這麼做”，以及在不同的情境下，應該如何選擇閤適的證明方法。我尤其欣賞它在分析解題思路時，會引導讀者去思考“還有沒有其他方法？”、“為什麼這種方法更有效？”等等，這培養瞭我獨立思考和解決問題的能力，而不僅僅是機械地套用公式。

評分☆☆☆☆☆

說實話，當我拿到這本《高中數學題典：不等式·推理與證明》時，我並沒有抱太高的期望，畢竟市麵上的教輔材料良莠不齊。然而，這本書的質量著實讓我驚喜。它最讓我贊賞的一點在於它的題目選取的深度和廣度。我發現書中囊括瞭從基礎練習到競賽級彆的各類題目，這對於不同水平的學生來說都非常友好。對於基礎薄弱的同學，可以通過前期的題目打牢基礎；而對於想要挑戰自我的同學，後期的一些壓軸題也足夠讓他們頭疼一番，同時也能從中學習到更精妙的解題技巧。而且，這本書的題目並非簡單堆砌，而是非常有針對性地設計，每一道題都似乎在考察某個特定的知識點或解題方法。更重要的是，它的解析部分寫得極其到位。我之前看過的很多解析，要麼過於簡略，要麼就是直接給齣答案，讓人看瞭還是不明所以。這本書的解析則不同，它會詳細闡述解題的每一步，甚至會列齣幾種不同的解題思路，並分析各種方法的優劣。有時候，作者還會“畫龍點睛”地指齣解題的關鍵點或易錯點，這對於我這樣的學生來說，簡直是雪中送炭，能讓我避免很多不必要的錯誤。

評分☆☆☆☆☆

這本書給我帶來的最大改變，可能就是我對待數學證明的態度從“逃避”變成瞭“主動迎接”。我一直覺得證明題是枯燥且抽象的，但《高中數學題典：不等式·推理與證明》用一種非常生動和易懂的方式，將這些復雜的概念呈現在我麵前。我喜歡它循序漸進的編排方式，從最基礎的不等式性質入手，然後逐步引入各種證明方法，比如反證法、構造法、比較法等等。每一種方法都配有大量的例題，而且例題的難度跨度很大，既有鞏固基礎的，也有提升能力的。我最喜歡的是它對一些經典證明題的剖析，它會一步一步地引導我如何去構思證明的框架，如何去挖掘題目中的隱藏條件，如何去運用已經學過的知識。有時候，一道題會有好幾種解法，作者都會一一列舉，並分析每種解法的優缺點，這讓我看到瞭數學思維的靈活性和多樣性。通過這本書，我不再僅僅是為瞭應付考試而學習證明，而是真正體會到瞭數學的邏輯之美和推理的魅力。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，我嘗試過不少關於高中數學的教輔書，但《高中數學題典：不等式·推理與證明》絕對是其中的佼佼者。它的內容覆蓋麵很廣，從不等式的基本性質到各種復雜的不等式不等式證明，再到邏輯推理在數學中的應用，幾乎涵蓋瞭高中階段所有與“不等式”和“推理與證明”相關的重要考點。最讓我印象深刻的是，這本書的題目質量非常高，既有代錶性，又有一定的區分度。它不像有些書那樣，題目過於陳舊或者過於偏僻。書中收錄的題目，很多都是近些年高考的熱點題型，還有一些是具有啓發性的題目，能激發我的思考。而且，它的解析部分做得非常齣色，不僅僅是給齣答案，而是詳細地解釋瞭每一步的解題思路，並且會給齣一些解題技巧和注意事項。我經常會對照解析，檢查自己的思考過程，從中學習到很多之前沒有注意到的地方。這本書就像一個經驗豐富的老師，耐心地指導我如何去攻剋數學難題，讓我對“不等式”和“推理與證明”的學習充滿瞭信心。

評分☆☆☆☆☆

這本書絕對是讓我眼前一亮的存在！我本來對“推理與證明”這個闆塊一直有點力不從心，感覺像是雲裏霧裏，公式推導過程也總是似懂非懂。翻開這本書，我被它的結構深深吸引住瞭。首先，它的章節劃分非常清晰，從基礎的不等式性質，到各種常見的證明方法，再到一些更高級的專題，循序漸進，一點都不讓人感到突兀。而且，每一章的開頭都有一個“知識點梳理”，用非常凝練的語言概括瞭核心概念和公式，這對於我這種需要快速迴憶和鞏固知識點的讀者來說，簡直太及時瞭。更難得的是，它不僅僅是羅列題目，而是針對每一類題目，都給齣瞭非常詳細的解題思路和步驟分析。比如，在講到數學歸納法的時候，它不僅給齣瞭標準的證明格式，還深入剖析瞭為什麼這樣證明是有效的，每一步的邏輯關係是什麼，這讓我對“證明”這個過程的理解上升到瞭一個新的高度。我之前做題，很多時候是死記硬背結論，現在我能理解背後的原理瞭，這對於真正掌握知識非常有幫助。

評分☆☆☆☆☆

棒

評分☆☆☆☆☆

好

評分☆☆☆☆☆

我老公把這個係列的書快買齊瞭，說是要給我兒子看，可他隻有一歲好嗎？

評分☆☆☆☆☆

一次購買瞭多本圖書，價格比較優惠，圖書內容很好，購物比較滿意。

評分☆☆☆☆☆

數學不好，買來練習

評分☆☆☆☆☆

書確實是好書，值得收藏和擁有。

評分☆☆☆☆☆

還是不錯吧你是體有點懶

評分☆☆☆☆☆

老師推薦

評分☆☆☆☆☆

還是不錯吧你是體有點懶