高中数学题典：不等式·推理与证明 [Senior High School Mathematical Problems and Solutions—Inference and Proof] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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甘志国 著

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• 高中数学
• 不等式
• 推理与证明
• 题典
• 解题技巧
• 数学学习
• 同步练习
• 应试备考
• 知识点总结
• 数学思维

出版社： 哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560360065

版次：1

商品编码：12029004

包装：平装

丛书名： 全国优秀数学教师专著系列

外文名称：Senior High School Mathematical Problems and Solutions—Inference and Proof

开本：16开

出版时间：2016-0

内容简介

　　《高中数学题典：不等式·推理与证明》是《高中数学题典》丛书的第5卷——不等式·推理与证明.收录的题目有基础题和高考题，还有全国高中数学联赛和自主招生试题。
　　《高中数学题典：不等式·推理与证明》可供高三学生复习备考时使用，也可供参加全国高中数学联赛和自主招生的同学和教练使用。

内页插图

目录

第1章 不等关系与一元二次不等式
第2章 简单的线性规划问题
第3章 均值不等式及其应用
第4章 合情推理与演绎推理
第5章 直接证明与间接证明
第6章 数学归纳法
第7章 不等式综合问题

前言/序言

　　从一定程度上说，数学教（学）就是数学的解题教（学）。对定理的证明、公式的推导是这样，对于概念教（学），还是如此。
　　笔者于1988年参加工作，至今从事数学教（学）近30年了。这期间，无时无刻不在与数学题打交道：从不会解、模仿着解，到冥思苦想、查阅资料、向前辈请教讨论，再到欣赏解题方法、探寻解题规律、编制试题……
　　笔者于2008年、2009年在哈尔滨工业大学出版社分别出版了《初等数学研究（Ⅰ）》和《初等数学研究（Ⅱ）（上、下）》；于2014年在哈尔滨工业大学出版社出版了《数学解题与研究丛书》，包括《集合、函数与方程》《数列与不等式》《三角与平面向量》《平面解析几何》《立体几何与组合》《极限与导数、数学归纳法》《趣味数学》《教材教法》《自主招生》《高考压轴题（上、下）》11册；于2015年在哈尔滨工业大学出版社出版了《北京市五区文科数学三年高考模拟题详解（2013-2015）》《北京市五区理科数学三年高考模拟题详解（2013～2015）》和《数学高考参考》；于2014年在浙江大学出版社出版了《高中数学经典题选·三角函数与平面向量》；于2014年在清华大学出版社出版了《高考数学真题解密》；于2016年在中国科学技术大学出版社出版了《重点大学自主招生数学备考用书》，这些著作也大多是数学解题方面的阐述。
　　哈尔滨工业大学出版社刘培杰副社长（即刘培杰数学工作室主任）曾在《数学解题与研究丛书》的“编辑手记”中写道：
　　甘志国的作品首先是短小精悍，言之有物，虽不顶天但总是立地。素材皆取自中学数学教学实际，绝无凌波微步。每一篇小文章都是有感而发。每一个例题都是就地取材，没有一点八股痕迹。
　　其次，甘志国先生的作品引用的例题非常之多。恰似苏绣之丝线远不止4800个（为什么（苏绣）那么漂亮呢？就是因为丝线的品种很多，听说有4800多种，光红色的就有几十样，颜色的花样很多，所以绣出来的东西好看、逼真，写文章也是一样，词汇好比丝线，掌握词汇越多，就能运用自如，变化无穷，随手拈来就能选出那些浓淡相宜的颜色，“织成”最美好的作品。）。而且都是从一些我们熟视无睹的问题中看出问题来，西谚说：“魔鬼藏在细节之中，”对这些教材、教参、试题中大量细节的处理才是最能体现出一位优秀中学教师的功力，从这些小文章中我们也同时看到了一个中学教师对理想的追求。

高中数学题典：不等式·推理与证明 内容概述 本书是一部旨在系统梳理、精讲精练高中数学核心概念“不等式”与“推理与证明”的专著。内容涵盖了不等式部分的恒成立、求最值、判别性问题，以及推理与证明部分的逻辑基础、命题推理、数学归纳法、反证法、构造法等一系列重要知识点和解题技巧。全书力求在概念的深度理解、方法的灵活运用、能力的全面提升等方面，为广大高中生提供一套严谨、全面、实用的学习解决方案。 第一篇 不等式 本篇内容聚焦于高中数学中占比重大的不等式知识，旨在帮助学生建立扎实的不等式理论基础，掌握各类不等式的解法与应用。 第一章 不等式的基本性质与概念 不等式的概念与数轴表示： 深入解析不等式的定义，理解大于、小于、大于等于、小于等于的含义，以及如何借助数轴直观表示不等式的解集。 不等式的基本性质： 系统梳理不等式的传递性、加法法则、乘法法则、除法法则、平方性质等，并通过典型例题强化对性质的理解与应用。 含绝对值不等式的解法： 重点讲解 $|x| < a$、$|x| > a$、$|x - a| < b$、$|x - a| > b$ 等基本类型不等式的求解方法，以及利用几何意义或分类讨论法解决更复杂的情况。 指数不等式与对数不等式： 介绍指数函数与对数函数的单调性在不等式求解中的应用，讲解基本指数不等式和对数不等式的解法，以及与函数性质相结合的综合题。 第二章 常用不等式及其应用 均值不等式（重要不等式）： 详细阐述算术平均数-几何平均数（AM-GM）不等式，包括其适用条件（“一正、二共、三相等”），并深入探讨其在求最值、证明不等式等方面的广泛应用。通过大量例题展现其“拆项”、“添项”、“配凑”等变形技巧。 柯西-施瓦兹不等式： 介绍柯西-施瓦兹不等式的形式及其多种变形，重点讲解其在证明不等式、求最值方面的应用，以及与向量、数列等知识的联系。 其他常用不等式： 适时引入排序不等式、闵可夫斯基不等式等，拓展学生的视野，为解决更高级别的问题打下基础。 不等式的证明方法： 系统梳理不等式的基本证明方法，包括： 比较法： 作差比较法、作商比较法。 综合法与分析法： 讲解两种基本逻辑推理方法在不等式证明中的应用。 换元法： 运用换元技巧简化不等式结构，便于求解。 构造法： 通过构造辅助函数或数列来证明不等式。 反证法： 探讨利用反证法证明不等式的策略。 第三章 不等式恒成立、求最值与判别性问题 不等式恒成立问题： 深入分析不等式恒成立的条件，通常转化为求参数范围问题，重点讲解利用函数的最值（顶点式、判别式、单调性、导数等）来解决。 不等式求最值问题： 总结不等式求最值的常见方法，包括： 基本不等式法： 充分利用均值不等式等。 函数单调性法： 将问题转化为求函数的最值。 二次函数法： 利用二次函数的顶点坐标或开口方向求解。 几何意义法： 将不等式转化为几何图形中的距离或斜率问题。 变量代换法： 通过引入新的变量简化问题。 不等式判别性问题： 讲解如何根据参数的变化，判断不等式是否成立，或确定不等式成立的条件。 第四章 线性规划与不等式 二元一次不等式（组）的图解法： 讲解二元一次不等式表示的平面区域，以及二元一次不等式组表示的公共区域。 线性规划初步： 引入目标函数，讲解如何利用可行域的顶点或边缘来求目标函数的最大值或最小值，并将线性规划思想应用于实际问题。 第二篇 推理与证明 本篇内容致力于提升学生的逻辑思维能力和数学论证水平，帮助学生掌握严谨的数学表达方式和有效的解题策略。 第五章 逻辑基础与命题 命题及其结构： 讲解命题的定义、真假判断，以及“如果...那么...”形式的条件命题。 充分条件、必要条件、充要条件： 深入理解这三者之间的区别与联系，以及在解题中的应用。 四种命题： 区分原命题、否命题、逆命题、逆否命题，并理解它们之间的逻辑关系。 逻辑联结词： 讲解“且”、“或”、“非”等逻辑联结词在命题组合中的作用。 第六章 数学证明的基本方法 直接证明： 综合法： 从已知条件出发，运用定义、公理、定理、性质，一步步推导出结论。 分析法： 从结论出发，思考结论成立的充要条件，层层递进，直至遇到已知条件。 间接证明： 反证法： 假设结论不成立，然后推导出矛盾，从而证明原结论成立。重点讲解反证法的适用条件和步骤。 排除法： 当有有限个可能的结论时，逐一排除错误的结论，剩下正确的结论。 第七章 数学归纳法 数学归纳法的原理： 详细阐述数学归纳法的两个基本步骤： 基本步骤： 证明当 $n=n_0$ 时命题成立。 归纳步骤： 假设当 $n=k$ 时命题成立，证明当 $n=k+1$ 时命题也成立。 数学归纳法的应用： 广泛应用于证明与正整数 $n$ 相关的命题，包括等式、不等式、整除性、性质等。通过大量例题，讲解如何正确构建归纳假设和推导归纳结论。 第八章 证明中的特殊方法 构造法： 讲解如何通过构造函数、数列、图形、等式、不等式等辅助元素，将待证明的问题转化为更易于处理的形式。 放缩法： 在证明不等式时，通过将表达式放大或缩小，使其与目标不等式关系更加明确。 整体法： 将多个变量或式子看作一个整体进行处理，简化运算过程。 待定系数法： 在构建模型或求解方程时，引入待定系数，通过已知条件确定系数的值。 类比推理： 借鉴已知的数学结论或模型，对新的问题进行猜想和推理。 反例法： 用一个具体的例子来说明一个全称命题是错误的。 第九章 证明题综合训练 平面几何证明： 运用几何公理、定理，结合逻辑推理，证明平面几何中的线段、角、面积等关系。 代数式证明： 运用代数方法，包括恒等变形、因式分解、配方法等，证明代数式之间的关系。 函数性质证明： 证明函数的单调性、奇偶性、周期性、最值等性质。 数列性质证明： 证明数列的通项公式、前 $n$ 项和公式，以及数列的其他性质。 解析几何证明： 结合代数与几何，证明直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等几何图形的性质。 本书特点 体系化构建： 内容严格按照高中数学课程标准，将不等式与推理证明两大板块进行系统梳理，逻辑清晰，层次分明。 概念精讲： 对每一个核心概念都进行深入浅出的讲解，力求让学生理解其本质，掌握其内涵。 方法集萃： 详细介绍各类不等式的解法和证明方法的精髓，并总结归纳了多种有效的解题技巧。 例题精选： 精选了大量来自全国各地高考试题及模拟题中的典型例题，涵盖了知识点的各个侧面，覆盖了不同难度梯度。 详析透彻： 对每一道例题都进行了详尽的分析和解答，剖析解题思路、关键步骤和易错点，帮助学生举一反三。 能力导向： 强调能力的培养，不仅仅是传授知识，更注重引导学生掌握分析问题、解决问题的方法，提升数学思维能力和逻辑推理能力。 语言规范： 使用准确、规范的数学语言，避免出现模糊不清或容易引起误解的表述。 易于自学： 结构清晰，讲解到位，配以丰富的例题和详细的解析，非常适合学生自主学习和巩固提高。 适用人群 本书适合于全国高中学生，特别是： 需要系统学习和巩固不等式和推理证明知识的学生。 希望在高中数学竞赛中取得优异成绩的学生。 在学习中遇到瓶颈，希望提升数学解题能力和逻辑思维能力的学生。 即将参加高考，需要进行专题复习和冲刺的学生。 通过本书的学习，相信广大高中生能够深刻理解不等式和推理证明的精髓，掌握科学有效的解题方法，从而在数学学习的道路上迈出坚实的步伐，取得理想的成绩。

评分☆☆☆☆☆

这本书绝对是让我眼前一亮的存在！我本来对“推理与证明”这个板块一直有点力不从心，感觉像是云里雾里，公式推导过程也总是似懂非懂。翻开这本书，我被它的结构深深吸引住了。首先，它的章节划分非常清晰，从基础的不等式性质，到各种常见的证明方法，再到一些更高级的专题，循序渐进，一点都不让人感到突兀。而且，每一章的开头都有一个“知识点梳理”，用非常凝练的语言概括了核心概念和公式，这对于我这种需要快速回忆和巩固知识点的读者来说，简直太及时了。更难得的是，它不仅仅是罗列题目，而是针对每一类题目，都给出了非常详细的解题思路和步骤分析。比如，在讲到数学归纳法的时候，它不仅给出了标准的证明格式，还深入剖析了为什么这样证明是有效的，每一步的逻辑关系是什么，这让我对“证明”这个过程的理解上升到了一个新的高度。我之前做题，很多时候是死记硬背结论，现在我能理解背后的原理了，这对于真正掌握知识非常有帮助。

评分☆☆☆☆☆

说实话，当我拿到这本《高中数学题典：不等式·推理与证明》时，我并没有抱太高的期望，毕竟市面上的教辅材料良莠不齐。然而，这本书的质量着实让我惊喜。它最让我赞赏的一点在于它的题目选取的深度和广度。我发现书中囊括了从基础练习到竞赛级别的各类题目，这对于不同水平的学生来说都非常友好。对于基础薄弱的同学，可以通过前期的题目打牢基础；而对于想要挑战自我的同学，后期的一些压轴题也足够让他们头疼一番，同时也能从中学习到更精妙的解题技巧。而且，这本书的题目并非简单堆砌，而是非常有针对性地设计，每一道题都似乎在考察某个特定的知识点或解题方法。更重要的是，它的解析部分写得极其到位。我之前看过的很多解析，要么过于简略，要么就是直接给出答案，让人看了还是不明所以。这本书的解析则不同，它会详细阐述解题的每一步，甚至会列出几种不同的解题思路，并分析各种方法的优劣。有时候，作者还会“画龙点睛”地指出解题的关键点或易错点，这对于我这样的学生来说，简直是雪中送炭，能让我避免很多不必要的错误。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对数学证明略感头疼的学生，我一直在寻找一本能够真正帮助我理解“推理与证明”精髓的书籍。《高中数学题典：不等式·推理与证明》完全超出了我的预期。我最喜欢它的一点是，它并没有把“不等式”和“推理与证明”割裂开来，而是将两者紧密结合。在讲解不等式的各种性质和解法时，书中大量穿插了需要运用证明方法的题目，反之亦然，在讲解各种证明技巧时，又会巧妙地引入不等式的概念。这种融合性使得我对数学知识的理解更加立体和深入。我曾经以为不等式只是简单的计算和变形，但这本书让我看到了它在证明中的强大力量。书中的例题讲解非常详尽，它不仅仅是告诉你“怎么做”，更重要的是告诉你“为什么这么做”，以及在不同的情境下，应该如何选择合适的证明方法。我尤其欣赏它在分析解题思路时，会引导读者去思考“还有没有其他方法？”、“为什么这种方法更有效？”等等，这培养了我独立思考和解决问题的能力，而不仅仅是机械地套用公式。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我尝试过不少关于高中数学的教辅书，但《高中数学题典：不等式·推理与证明》绝对是其中的佼佼者。它的内容覆盖面很广，从不等式的基本性质到各种复杂的不等式不等式证明，再到逻辑推理在数学中的应用，几乎涵盖了高中阶段所有与“不等式”和“推理与证明”相关的重要考点。最让我印象深刻的是，这本书的题目质量非常高，既有代表性，又有一定的区分度。它不像有些书那样，题目过于陈旧或者过于偏僻。书中收录的题目，很多都是近些年高考的热点题型，还有一些是具有启发性的题目，能激发我的思考。而且，它的解析部分做得非常出色，不仅仅是给出答案，而是详细地解释了每一步的解题思路，并且会给出一些解题技巧和注意事项。我经常会对照解析，检查自己的思考过程，从中学习到很多之前没有注意到的地方。这本书就像一个经验丰富的老师，耐心地指导我如何去攻克数学难题，让我对“不等式”和“推理与证明”的学习充满了信心。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我带来的最大改变，可能就是我对待数学证明的态度从“逃避”变成了“主动迎接”。我一直觉得证明题是枯燥且抽象的，但《高中数学题典：不等式·推理与证明》用一种非常生动和易懂的方式，将这些复杂的概念呈现在我面前。我喜欢它循序渐进的编排方式，从最基础的不等式性质入手，然后逐步引入各种证明方法，比如反证法、构造法、比较法等等。每一种方法都配有大量的例题，而且例题的难度跨度很大，既有巩固基础的，也有提升能力的。我最喜欢的是它对一些经典证明题的剖析，它会一步一步地引导我如何去构思证明的框架，如何去挖掘题目中的隐藏条件，如何去运用已经学过的知识。有时候，一道题会有好几种解法，作者都会一一列举，并分析每种解法的优缺点，这让我看到了数学思维的灵活性和多样性。通过这本书，我不再仅仅是为了应付考试而学习证明，而是真正体会到了数学的逻辑之美和推理的魅力。

评分☆☆☆☆☆

我老公把这个系列的书快买齐了，说是要给我儿子看，可他只有一岁好吗？

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棒

评分☆☆☆☆☆

不错。

评分☆☆☆☆☆

书确实是好书，值得收藏和拥有。

评分☆☆☆☆☆

好习题，真不错哦，学习慢慢练习，必考高分

评分☆☆☆☆☆

很好的书，选题典型，学生老师都比较适用。

评分☆☆☆☆☆

6666666

评分☆☆☆☆☆

数学不好，买来练习

评分☆☆☆☆☆

我老公把这个系列的书快买齐了，说是要给我儿子看，可他只有一岁好吗？