高中数学题典：算法·平面几何·初等数论·组合数学·其他 [Senior High School Mathematical Problems and Solutions:Algorithm,Plane Geometry,Elementary Number Theory,Combinatories and Others] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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甘志国 著

图书标签:

• 高中数学
• 数学竞赛
• 算法
• 平面几何
• 数论
• 组合数学
• 数学题典
• 解题技巧
• 数学学习
• 奥数

出版社： 哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560360553

版次：1

商品编码：12033820

包装：平装

丛书名： 全国优秀数学教师专著系列

外文名称：Senior High School Mathematical Problems and Solutions:Algorithm,Plane Geometry,Elementary Number T

内容简介

　　《高中数学题典：算法·平面几何·初等数论·组合数学·其他》是《高中数学题典》丛书的第9卷——算法·平面几何·初等数论·组合数学·其他。收录的题目有基础题和高考题，还有全国高中数学联赛和自主招生试题等。
　　《高中数学题典：算法·平面几何·初等数论·组合数学·其他》可供高三复习备考时使用，也可供参加全国高中数学联赛和自主招生的同学和教练使用。

内页插图

目录

第1章 算法、极坐标系与参数方程、矩阵与行列式
§1 算法
§2 极坐标系与参数方程
§3 矩阵与行列式

第2章 平面几何
第3章 初等数论
§1 数的整除
§2 不定方程

第4章 组合数学
§1 组合问题
§2 操作变换与游戏策略问题
§3 组合极值

第5章 高校自主招生面试题（数学部分）及杂题
§1 高校自主招生面试题（数学部分）
§2 杂题

第6章 错题错解查误

前言/序言

　　从一定程度上说，数学教（学）就是数学的解题教（学）。对定理的证明、公式的推导也是这样的，甚至概念教（学），还是如此。
　　笔者于1988年参加工作，至今从事数学教（学）近三十年了，这期间，无时无刻不在与数学题打交道：从不会解、模仿着解，到冥思苦想、查阅资料、向前辈请教讨论，再到欣赏解题方法、探寻解题规律、编制试题，……
　　笔者于2008年、2009年在哈尔滨工业大学出版社分别出版了《初等数学研究（Ⅰ）》和《初等数学研究（Ⅱ）（上、下）》；于2014年在哈尔滨工业大学出版社出版了《数学解题与研究丛书》，包括《集合、函数与方程》《数列与不等式》《三角与平面向量》《平面解析几何》《立体几何与组合》《极限与导数、数学归纳法》《趣味数学》《教材教法》《自主招生》《高考压轴题（上、下）》等11册；于2015年在哈尔滨工业大学出版社出版了《北京市五区文科数学三年高考模拟题详解（2013-2015）》《北京市五区理科数学三年高考模拟题详解（2013～2015）》和《数学高考参考》；于2014年在浙江大学出版社出版了《高中数学经典题选·三角函数与平面向量》；于2014年在清华大学出版社出版了《高考数学真题解密》；于2016年在中国科学技术大学出版社出版了《重点大学自主招生数学备考用书》，这些著作也大多是数学解题方面的阐述。
　　哈尔滨工业大学出版社刘培杰副社长（即刘培杰数学工作室主任）曾在《数学解题与研究丛书》的“编辑手记”中写道：
　　甘志国的作品首先是短小精悍，言之有物，虽不顶天但总是立地。素材皆取自中学数学教学实际，绝无凌波微步。每一篇小文章都是有感而发。每一个例题都是就地取材，没有一点八股痕迹。
　　其次，甘志国先生的作品引用的例题非常之多，恰似苏绣之丝线远不止4800个（为什么（苏绣）那么漂亮呢？就是因为丝线的品种很多，听说有4800多种，光红色的就有几十样，颜色的花样很多，所以绣出来的东西好看、逼真。写文章也是一样，词汇好比丝线，掌握词汇越多，就能运用自如，变化无穷，随手拈来就能选出那些浓淡相宜的颜色，“织成”最美好的作品。）。而且都是从一些我们熟视无睹的问题中看出问题来。西谚说：“魔鬼藏在细节之中，”对这些教材、教参、试题中大量细节的处理才是最能体现出一位优秀中学教师的功力。从这些小文章中我们也同时看到了一个中学教师对理想的追求。

《高中数学精萃：思维、方法与探索》 这本《高中数学精萃：思维、方法与探索》旨在为广大高中生提供一套系统、深入的数学学习资源。它不仅仅是一本习题集，更是一座引导学生理解数学本质、掌握解题策略、激发数学兴趣的桥梁。全书围绕高中数学的核心主题，精选了大量具有代表性、启发性的题目，并辅以详尽的解析，力求在有限的篇幅内，呈现数学的魅力与深度。 一、思维的训练营：逻辑、推理与抽象 数学的本质在于逻辑与推理。本书将思维的训练贯穿始终，尤其在题目设计上，注重引导学生从已知条件出发，层层递进，发现隐藏的联系，最终得出结论。 逻辑严谨的推导： 在几何、数论等章节，我们会精心设计需要严密逻辑链条的题目。例如，在平面几何部分，涉及证明相似、全等、圆的性质等，题目将要求学生不仅要写出关键步骤，更要清晰阐述每一步的依据，培养其严谨的数学表达能力。在初等数论部分，诸如整除性、同余、素数判定等问题，将引导学生掌握数学归纳法、反证法等重要证明技巧，理解数学证明的精髓。 抽象思维的培养： 许多高中数学问题都涉及将具体情境转化为抽象的数学模型。本书将通过引入变量、建立方程、绘制图像等方式，帮助学生理解如何进行数学抽象。例如，在解析几何或函数部分，我们会设计需要学生将实际问题转化为代数模型，再通过代数方法解决，最后解释结果的题目。这种从具体到抽象，再从抽象回到具体的思维过程，是培养学生数学核心素养的关键。 发散性思维的激发： 数学并非只有唯一的解题路径。本书鼓励学生多角度思考问题，尝试不同的解题方法。对于一些难题，我们会提供多种解法，或引导学生思考“如果条件改变，结果会怎样”等变式问题，从而拓宽解题思路，培养其创新思维能力。 二、方法的探索者：策略、技巧与建模 掌握解决问题的策略与技巧，是提高数学学习效率的关键。《高中数学精萃》将重点介绍和训练学生多种行之有效的数学解题方法。 化归与转化： 这是数学中最强大的思想之一。许多看似复杂的题目，都可以通过化归和转化，将其简化为已知的、更容易解决的问题。例如，在解决不等式问题时，我们可能会引导学生利用均值不等式、柯西不等式等，将复杂形式转化为标准形式；在处理圆锥曲线问题时，将方程进行配方、平移等，转化为标准方程。 数形结合： 数形结合是高中数学中一种极其重要的思想方法。本书将大量运用几何直观来辅助代数运算，或利用代数方法来刻画几何图形的性质。例如，在函数与方程部分，我们会强调函数图像的意义，利用图像的单调性、对称性、极值等来分析函数性质，解决方程的根的个数、范围等问题。在解析几何中，我们将直线的斜率、圆心距、焦点弦等问题与图像特征紧密结合。 分类讨论： 在数学问题中，当遇到不确定的条件或参数时，往往需要进行分类讨论。本书将引导学生学会如何根据参数的取值范围或问题的不同情况，对问题进行合理分类，避免遗漏或重复。例如，在解含参方程或不等式时，我们会通过分析参数的不同取值，分别讨论方程或不等式的解集。 特殊化与一般化： 对于一些问题，可以先考虑特殊情况，从中获得启发，再推广到一般情况。反之，也可以从一般结论出发，通过特殊化来验证其正确性。本书将通过一些例子，展示如何运用这种方法来探究数学规律。 数学建模： 本书还将触及数学建模的初步思想，引导学生认识到数学在解决实际问题中的应用价值。一些贴近生活实际的应用题，将要求学生提取关键信息，建立数学模型，并运用数学方法求解，最后将数学结果解释回实际问题。 三、知识的精讲与拓展：深度、广度与关联 本书在内容编排上，力求对高中数学知识点进行精深讲解，并适当拓展，建立知识点之间的内在联系。 核心概念的透彻理解： 每一个章节都将从核心概念入手，进行由浅入深的讲解。例如，在初等数论部分，我们会详细阐述整除、模运算、最大公约数、最小公倍数等概念的定义、性质及其应用，并通过一系列题目巩固理解。在组合数学部分，我们将清晰区分排列、组合、重复组合等概念，并讲解相关的计数原理。 知识点的系统梳理： 书中将对高中数学的各个板块进行系统梳理，例如，在平面几何部分，不仅包含欧几里得几何的基本定理，还将涉及向量法在几何中的应用，以及一些与解析几何相衔接的初步概念。 学科间的融会贯通： 高中数学并非是孤立的知识点集合，而是相互关联、相互渗透的整体。本书将注重展示不同知识点之间的联系，例如，函数思想在代数、几何、概率等多个领域的应用，或是代数方法在解决几何问题中的威力。 四、挑战与启迪：兴趣、信心与视野 学习数学的过程，也是一个不断挑战自我、激发潜能的过程。《高中数学精萃》不仅关注知识的传授，更注重培养学生的学习兴趣和科学精神。 精选的题目难度分布： 题目难度将有梯度设计，从基础巩固到拔高提升，循序渐进，让学生在不断解决问题的过程中建立信心。 富有启发性的题目： 许多题目将不仅仅是“套公式”就能解决的，需要学生动脑思考，发现问题的本质，激发解题的乐趣。 拓展性思维的引导： 对于一些有难度的题目，解析部分会提供多种思路，并引导学生思考更深层次的问题，开阔数学视野。 数学文化与发展： 在适当的地方，可能会穿插一些数学发展简史、著名数学家的故事，或是数学在现代科技中的应用，以激发学生对数学的兴趣，培养其人文情怀。 本书内容大致涵盖（但不限于）以下方面： 代数基础与函数： 方程与不等式、函数及其性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）、指数与对数、数列（等差、等比）、三角函数及其图像与性质。 平面几何与解析几何： 基本平面图形性质、相似与全等、圆的性质、向量在几何中的应用、直线与圆方程、圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的方程与性质。 初等数论： 整除性、同余、质数与合数、最大公约数与最小公倍数、整除性判定。 组合数学： 排列、组合、二项式定理、概率初步（古典概型、几何概型）。 立体几何基础： 空间几何体的结构、表面积与体积、空间向量初步。 其他： 可能包含一些涉及数学思想方法、数学史、或跨学科联系的题目。 《高中数学精萃：思维、方法与探索》是一本致力于引导学生走进数学殿堂的指南。它将帮助你构建坚实的数学基础，掌握高效的学习方法，培养深刻的数学思维，并在挑战中发现数学的无穷魅力。我们相信，通过本书的学习，你不仅能够掌握高中数学知识，更能为未来的学习和人生打下坚实的逻辑与思维基础。

评分☆☆☆☆☆

组合数学这部分内容，无疑是我在这本书中最大的惊喜之一。在我看来，组合数学一直是高考数学中一个相对“神秘”的领域，很多同学都觉得它“看运气”、“凭感觉”。但这本书的讲解，彻底颠覆了我的认知。作者从最基础的计数原理入手，循序渐进地讲解了排列、组合、容斥原理等核心概念，并且将每一个概念都用非常直观的方式呈现出来。 我特别喜欢书中对“为什么”的深入剖析。比如，为什么在计算排列时要考虑顺序，而计算组合时则不必？为什么使用容斥原理能够避免重复计算？作者通过大量精心设计的例子，将这些抽象的原理讲得透彻无比。我甚至开始尝试自己去设计一些组合问题，并用书中的方法去解答。这种主动探索和验证的过程，让我对组合数学的理解上升到了一个新的高度。我不再是死记硬背公式，而是真正理解了它们背后的逻辑，也能够自信地应对各种复杂的组合问题。

评分☆☆☆☆☆

初等数论的部分，这本书的处理方式让我耳目一新。我一直认为数论是数学中最“纯粹”也最“抽象”的领域之一，对高中生来说可能显得有些晦涩。然而，作者却用非常生动活泼的语言，将一些抽象的概念具象化。比如，在讲解整除性质时，作者引入了“分糖果”的游戏，形象地解释了余数的概念；在讲解同余方程时，则用“时钟上的指针”来比喻模运算。这些贴切的比喻，让我瞬间打消了对数论的畏惧感，也更容易理解那些看似“无理取闹”的定理。 更让我惊喜的是，书中将很多抽象的数论概念与实际生活联系了起来。比如，如何用同余方程来解决一些日期计算的问题，如何用模运算来设计简单的密码系统。这些应用让我深刻体会到，数论并非高高在上的理论，而是渗透在我们生活方方面面的实用工具。我开始主动去思考，我所遇到的数学问题，是否也能从数论的角度去寻找更巧妙的解决方案。这种“举一反三”的能力，正是这本书带给我的宝贵财富。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对平面几何有着特别偏爱的学生，我一直希望能找到一本能真正“玩转”几何的书。市面上大多数几何题集，要么题目过于简单，要么难度骤降，要么就是一些奇技淫巧的技巧堆砌，缺乏对几何思想的深入挖掘。而这本《高中数学题典》在这方面做得相当出色。它提供的题目，从基础的作图推理，到复杂的空间想象，再到利用解析几何方法处理平面几何问题，环环相扣，层层递进。更难得的是，对于一些经典几何定理的证明，作者并没有止步于给出一个标准答案，而是给出了多种证明思路，甚至引导读者思考“为什么”会是这样。这极大地激发了我对几何证明的兴趣，也让我对“用数学的语言描述世界”有了更深的理解。 在阅读的过程中，我尤其喜欢那些“思考题”和“拓展题”。它们不像常规题目那样有明确的解题步骤，而是更侧重于考察思维的深度和广度。有些题目甚至没有给出具体的数值，而是要求我们去探索某种性质的普遍性，或是去发现几何图形之间隐藏的联系。这种探索式的学习过程，虽然有时会感到吃力，但每当攻克一个难关，那种成就感是无与伦比的。我仿佛看到自己成为了一个小小探险家，在几何的星空中不断发现新的宝藏。

评分☆☆☆☆☆

至于“其他”这个部分，我原本以为会是内容零散、不成体系的集合。但实际上，它更像是一个“集大成者”，将前面提到的各种数学分支巧妙地融合在一起，并引出了一些更具挑战性的综合性题目。这些题目往往需要运用到多种数学思想和方法，比如将几何知识与数论相结合，或者利用算法思想来解决组合问题。 我在这里学到的，不仅仅是解题技巧，更是一种“数学融汇贯通”的能力。这本书让我明白了，数学的各个分支并非孤立存在，而是相互联系，相互促进的。一道看似简单的题目，背后可能隐藏着深厚的数学思想。通过解决这些综合性的问题，我仿佛站在了数学的制高点，能够更宏观地审视整个数学体系，并从中发现更多有趣的联系。这种学习体验，让我对数学的敬畏之心油然而生，也更加坚定了继续深入探索的决心。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本《高中数学题典》的时候，我本以为它会像我之前看过的很多题集一样，只是枯燥的题型堆砌，缺乏深入的讲解。然而，翻开第一页，我就被它的“不同寻常”所吸引。作者在每一章节的开头，都不仅仅是简单地罗列知识点，而是通过一些有趣的引入，比如历史故事、现实生活中的应用场景，甚至是引人深思的哲学观点，来勾勒出该部分数学知识的“全貌”。这就像是为我打开了一扇通往数学世界的窗户，让我得以窥见其背后蕴含的美丽与逻辑。 让我印象尤为深刻的是关于算法的部分。以往我对算法的理解仅限于程序设计中的一些基本概念，总觉得与高中数学有些距离。但这本书中的讲解，将算法的思想巧妙地融入到了我们熟悉的数学问题中，比如如何用更高效的方法解决数列求和问题，如何通过图论来分析实际中的路径选择等等。这些讲解不仅让我看到了算法在高中数学中的实际应用，更重要的是，它培养了我用“算法思维”去分析和解决问题的能力。我开始尝试将这种思维方式迁移到其他科目，甚至日常生活中，发现解决问题变得更加条理清晰、效率倍增。

评分☆☆☆☆☆

还不错，值得购买，下次再光顾。

评分☆☆☆☆☆

甘老师的书都不错，只要下决心认真学习，一定会体验书中的乐趣的！！！

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这套书我终于买齐了，书确实是好书，没得说，这里应该感谢作者，感谢京东，给我帮了一个大忙。

评分☆☆☆☆☆

这套书我终于买齐了，书确实是好书，没得说，这里应该感谢作者，感谢京东，给我帮了一个大忙。

评分☆☆☆☆☆

很好的书，选题典型，学生老师都比较适用。

评分☆☆☆☆☆

孩子喜欢，看能否提高孩子的成绩

评分☆☆☆☆☆

孩子要的，很好

评分☆☆☆☆☆

质量挺好