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单墫 著

图书标签:

• 数学
• 解题技巧
• 思维训练
• 趣味数学
• 学习方法
• 科普
• 教育
• 成长
• 问题解决
• 数学思维

出版社： 上海教育出版社

ISBN：9787544470063

版次：1

商品编码：12093802

包装：软精装

丛书名： 单墫解题研究丛书

开本：16开

出版时间：2016-12-01

用纸：胶版纸

页数：169

字数：300000

正文语种：中文

编辑推荐

适读人群 ：广大读者

单墫老师的书，是许多数学爱好者，尤其是关注数学竞赛的人，是必备之书。本书是单墫老师的新力作。其轻快的文风，亦师亦友的叙述方式，使得令人生畏的数学解题变得轻松有趣起来。

内容简介

本书是《解题研究》的姊妹篇，专门针对数学常规问题，讲述解题所需的知识、方法、技巧等，揭示解题所应追求的简洁性和趣味性。本书适合进行常规数学教与学活动的师生阅读。本书分为三个部分：基础部分（60节），提高部分（50节），附录.基础部分的问题，内容较浅，解法比较简单.提高部分，内容较深，解法比较复杂。附录搜集作者在《学数学》杂志上发表的一些文章。

作者简介

单墫，我国著名数学传播、普及和数学竞赛的专家。1964年毕业于扬州师范学院数学系，在中学、大学任教四十多年。
1983年获理科博士学位（我国首批18名博士之一），1991年当选全国“优秀教师”，1991年7月起享受政府特殊津贴，1992年评为国家有突出贡献的中青年专家。1995年评为省“优秀学科带头人”。
单墫教授曾任南京师范大学数学系主任，中国数学奥林匹克委员会委员、教练组组长，国家教委理科试验班专家组组长，南京数学学会理事长。
单墫教授主要从事数论与组合方面的研究，很多成果达到国际先进水平。
1989年作为中国数学奥林匹克代表队副领队、主教练，1990年作为领队，率队参赛IMO均获总分第1，为我国数学竞赛事业作为很大贡献。

内页插图

目录

基础部分
1 溶液浓度
2 力求简单
3 整数好算
4 从何切入
5 立方体的展开
6 阶乘好大啊！
7 又见阶乘
8 等比的值
9 最简单的证法
10 别没事找事
11 如愿以偿
12 化为互质
13 是平方数
14 唯有一个
15 条件太多
16 五人合作
17 1的变形
18 变为同分母
19 盯紧分母
20 瞄准目标
21 没有根式
22 一个恒等式
23 配方更好
24 又用配方
25 无需花招
26 何需套路
27 弄巧成拙
28 一次函数
29 变更原点
30 列表更好
31 尽信书，不如无书
32 用判别式？
33 三次根式
34 不可忽视
35 不解风情
36 根的正负
37 函数单调
38 先定范围
39 中点距离
40 先抓西瓜
41 拼图游戏
42 知识障
43 面积之比
44 六边形面积
45 芝麻，开门
46 寻找条件
47 改造题目
48 排定大小
49 第六种证法
50 老封编的题
51 倒立而行
52 座位相邻
53 复数，并不复杂
54 取数
55 多项式
56 中位数
57 一座雄关
58 复数又来了
59 子集族个数
60 集合个数
未带地图的旅人

提高部分
61 叶中豪的题
62 姜霁恒的题
63 外心的对称点
64 西摩松线
65 对称性
66 有与没有
67 三分之一
68 一道竞赛题的推广
69 新编几何题
70 相交的圆
71 两圆相切
72 又是两圆相切
73 无穷多个平方数
74 难亲数列
75 苍蝇、蝇魂
76 幽灵数列
77 沿数轴前进
78 侣伴数列
79 代数式的值
80 幂和的不等式
81 整数逼近
82 标准化
83 两组正整数
84 整数组数
85 多个函数
86 一个多项式
87 乘积的项数
88 上要封顶
89 柳暗花明
90 完全剩余系相加
91 添加元素
92 数论函数
93 廉洁不廉洁
94 四进制
95 差分再来
96 复数的模
97 递推与归纳
98 不动点
99 又一个函数
100 元素、集合
101 功不唐捐
102 元素的和
103 集合、映射
104 好子集
105 元素的和相等
106 暗示
107 元数的最大值
108 小孩买糖
109 图的染色
110 友好的赛事
眼界与品味

附录
1 代数问题应当用代数解法
2 近在眼前
3 相似形、透视形、位似形
4 一题五解
5 两道2013年江苏高考题
6 三次函数与中心对称
7 谈谈提高解题能力
8 解首届“学数学”邀请赛的感想
9 Mobius函数
10 再谈提高解题能力
11 也谈一道竞赛题的纯几何解法
12 两道高考题
13 每道题做三遍
14 一同做2015年江苏省数学高考试题
15 Ramanujam的一个恒等式
16 解第30届中国数学奥林匹克试题
17 简评第二届“学数学”数学奥林匹克邀请赛（秋季赛）
18 谈第55届国际数学奥林匹克试题的解法
19 做第三届“学数学”邀请赛（春季赛）的试题

精彩书摘

1. 溶液浓度
问题：A瓶装180毫升浓度为35.5%的某种溶液，B瓶装120毫升浓度为67.2%的同种溶液。从A、B取出等量的溶液，然后分别倒入B、A.混合后两瓶溶液恰好相等。问各取出多少毫升溶液？
甲：这个浓度问题，我会做。
师：那你就做一做。
乙：这题我也会做。
师：我把数据改一改，35.5%、67.2%分别改为32.5%、58.4%.你做做看。
过了一会，两人都做好了。
甲：答案是72毫升。
乙：我的答案也是72毫升。
甲：题目数据不同，怎么答案恰好一样，太巧了。
师：看看你们怎么做的。
甲：我用算术方法。
乙：我用代数方法。
师：进入中学，用代数方法更多，我们先看看乙的做法。
乙：设各取出x毫升，则
(180-x)×35.5%+x·67.2%180=(120-x)×67.2%+x·35.5%120
然后去分母整理，最后得出结果。
甲：不见得比算术方法好。
乙：老师怎么做的？师：我的方法和你的差不多。同样设取出x毫升.但将题目中的数据改成字母：A瓶有a毫升浓度为p的溶液，B瓶有b毫升浓度为q的溶液(p≠q)。
甲：那么方程就是
(a-x)p+xqa=(b-x)q+xpb
去分母整理得
(a+b)(p-q)x=ab(p-q)
因为p≠q，所以
x=aba+b.(1)
在a=180,b=120时，x=72。
乙：这比数的计算简单。
甲：不论p、q为什么值，答案都是(1)。
师：代数就是用字母代替数.用字母代替数后，不但计算简单（避免了繁琐的数值计算），而且具有一般性，容易看到规律.学习代数后，就应当自觉地用字母代替数，力求得出一般的结果。
所谓好的解法，就是简单而又一般的解法。
评注：引入字母后，数学发生了巨大的变化。研究的对象不仅是数，而且还有字母。字母可以代表数（起初就是这样），也可以不代表数（比如代表向量、矩阵等等）。字母自成体系（或称为系统），可以有各种运算与规则（比如矩阵可以定义乘法，满足结合律，却不满足交换律）。
2. 力求简单
问题酒精与水的溶液中，酒精∶溶液总量=k∶m.如果再加x个单位的水或者去掉x个单位的酒精（x≠0），那么得到的酒精∶溶液总量的比都相同。求这新的比的数值。
师：还是浓度问题。
甲：不妨设原溶液中有k个单位酒精，(m-k)个单位水。由题意
km+x=k-xm-x(1)
去分母，整理得
x(x+m-2k)=0(2)
所以
x=2k-m(3)
代入（1）的左边得新比的值为
km+x=k2k=12
乙：我设新比为r，则
k=(m+x)r(4)
k=(m-x)r+x(5)
(4)-(5)得
2xr=x(6)
所以
r=12.
师：不求x，直接得出r。等二种解法稍简单一些。
甲：还有其它解法吗？
师：题意，在两种情况，酒精与溶液总量的比相等。其中第二种情比第一种，酒精少x个单位，水也少x个单位，即总量少2x个单位。如果将酒精为x个单位，溶液总量为2x个单位的溶液加到第二种情况的溶液中，那么就变为第一种情况，而浓度（酒精与溶液问题的比）不变。所以加入，浓度与它们也相同，即浓度为x2x=12。
乙：这种解法更加简单。
师：其实这种解法与你们的解法并无实质的差异，只不过省去了一些形式上的演算.但省去形式上的演算，更多地用脑思考，对发展思维能力是有益的。
很多数学会议休息时，数学家们边喝咖啡边讨论问题。这时不可能进行纸面上的演算，更需要直接剖析问题的本质。
数学家Erd s曾说：数学家是将咖啡转变成定理的机器”。

前言/序言

这本《解题漫谈》与已出版的《解题研究》、《我怎样解题》，属于解题系列，精神是一致的：以自己解过的题为例子，加以分析与讨论，着重描述探究的过程，阐述我们怎样解题。
本书分为三个部分：基础部分（60节），提高部分（48节），附录。
基础部分的问题，内容较浅，解法比较简单.提高部分，内容较深，解法比较复杂.附录搜集我在《学数学》杂志上发表的一些文章。
怎样提高解题能力？这是一个大家关心的问题。
首先，自己得解一定数量的题，其中有一些稍难的，需要动脑筋，不能依样画葫芦的题。
解题是一种实践性的智力活动，必须勤练才能娴熟，娴熟才能生巧。
有人说：“做了很多题，解题能力仍未提高。为什么？”
这多半是由于没有及时做好总结。
每次做完一道不太简单的题，一定要回顾一遍.弄清：需要哪些步骤？哪些是必须的？哪些是多余的（可以去掉）？哪些步骤是关键步骤？有无其它解法？能否解得更好？
这种总结工作，正是提高解题能力的最重要的一环。
如果有朋友在一起讨论更好。
最近在网上看到一个帖子，说不喜欢我，因为我“老是指出别人的解有错”，“说别人的解不好。”
我想了一想，的确写过几篇纠错的文章。但数学是一门科学.科学就要求真，就要纠错。
钥匙不仅要明辨是非，弄清对错，还应当精益求益，寻求最佳的解法，只有这样，解题能力才能得到提高。
所以我还得写一些文章，写一些书皮，谈解题中的问题。有错误就得纠正，有不妥就应当指出，这教师与人为善的态度。当然，不要进行人身攻击，贬低别人。好像打球，冲着球（问题）去，而不是冲着人去。
对于自己的错误，当然更不能宽容。写这本书颇费功夫，改了多次，反复琢磨能不能把解答做得更好一些。但现在年龄大了，精力不够，常有照顾不周的地方，请读者与朋友多加批评。
基础部分
基础部分的问题比较容易，乃至的知识较少（很多只需要实践的数学）。
基础极为重要.基础未打好就忙于提高，就如在沙滩上建筑高楼，也像楷书还未学好，就去写狂草，当然不易成功。据我观察，不少高三学生，实践基础并未打好。即使是参加竞赛的选手，也有一些人需要加固基础。
良好的解题习惯应当在打基础时养成（不良习惯也应在这时及早纠正）。
遇到问题，要认真读题，弄清已知与求证（或求），不仅要了解其意义，记在胸中，还要知道相关知识，如已知三角形是直角三角形，就应知道两个锐角互余，斜边中线是斜边的一边，勾股定理，…，如果求证四边形是平行四边形，就应考虑两组对边平行、两组对边相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分、……等有关的判定定理。
在这一部分，我们要介绍一些基本的技巧与手法，也介绍一些基本的解题方法。每道题都加以分析、讨论与总结。

解题漫谈：思想的边界与创新的火花 《解题漫谈》并非一本提供标准答案的手册，也不是一套循序渐进的解题教程。它更像是一场关于“如何思考”的深度对话，一场跨越学科、挑战思维定势的探索之旅。这本书旨在激发读者对问题本质的洞察力，培养独立思考和创造性解决问题的能力，让每一次“解题”都成为一次思想的飞跃。 一、 问题的本质：剥离表象，直抵核心 在信息爆炸的时代，我们每天都被海量的信息和形形色色的问题所包围。然而，许多时候，我们过于关注问题的表面现象，急于寻找一个快速的解决方案，却忽略了问题背后更深层次的根源。 《解题漫谈》的第一部分，正是着力于引导读者学会“看透”问题。 定义与范畴： 何为“问题”？不同学科、不同情境下的问题有哪些共性与差异？本书会从哲学、逻辑学、认知科学等多个角度，深入剖析“问题”的概念，帮助读者建立对问题的全局观。我们不仅仅是在解决数学题或技术难题，更是在处理现实生活中的各种困境与挑战。 思维的陷阱： 我们在面对问题时，常常会陷入各种思维的误区，例如确认偏误（confirmation bias）、锚定效应（anchoring effect）、群体思维（groupthink）等。本书会通过生动有趣的案例，揭示这些常见的思维陷阱，并提供识别和规避它们的策略，让读者能够更清晰、更客观地审视问题。 问题的分解与重构： 复杂的问题往往令人望而生畏。本书强调将大问题分解为更小、更易于管理的部分，并在此过程中，引导读者尝试从不同的角度重新审视和定义问题。有时候，改变看问题的角度，问题本身就可能变得简单，甚至不复存在。这涉及到“重新表述”（reframing）的力量，通过改变问题的叙述方式，来打开新的解决思路。 价值与意义的探寻： 解决问题的目的不仅仅是为了消除障碍，更是为了创造价值。本书会鼓励读者思考，某个问题出现的背后，是否隐藏着更重要的需求或机会？理解问题的潜在价值，能让我们的解决过程更有方向和动力。 二、 思维的工具箱：多样化视角，跨界融合 《解题漫谈》所倡导的，并非单一的、固化的解题方法。相反，它提供的是一个丰富多样的“思维工具箱”，鼓励读者根据问题的性质和自身的特点，灵活运用不同的工具和视角。 逻辑与理性： 严谨的逻辑推理是解决问题的基础。本书会探讨演绎推理、归纳推理、溯因推理等基本逻辑方法，并结合实际案例，展示如何在复杂的论证中保持清晰的思路。同时，也会强调批判性思维的重要性，学会质疑前提、评估证据、识别谬误。 直觉与洞察： 尽管逻辑至关重要，但许多突破性的解决方案往往源于直觉的闪现。本书并非排斥直觉，而是将其视为一种重要的思维模式。它会探讨直觉的产生机制，以及如何通过积累经验、培养敏感度，来更好地捕捉和利用直觉。如何将直觉与理性分析相结合，达到最佳的思维效果，是本书的重要议题。 类比与隐喻： “举一反三”、“触类旁通”是人类学习和创新的重要方式。本书将深入探讨类比和隐喻的力量，如何从看似不相关的领域中汲取灵感，借鉴成熟的模式来解决眼前的问题。例如，从自然界中寻找启发，从历史事件中吸取教训，甚至从艺术作品中获得创意。 系统性思维： 很多问题并非孤立存在，而是相互关联、构成一个复杂的系统。本书将介绍系统性思维的核心理念，如反馈回路、涌现性、临界点等，帮助读者理解问题与环境的相互作用，从而找到更有效的干预点。 反向思维与逆向工程： 有时，当我们陷入困境时，不妨尝试“反其道而行之”。本书会介绍反向思维（thinking backward）和逆向工程（reverse engineering）等方法，从最终目标倒推过程，或者从已知结果推断原因，往往能找到意想不到的突破口。 三、 创新的火花：打破常规，生成新知 “解题”的终极目标，不仅仅是“解决”现有的问题，更是“创造”新的可能性。 《解题漫谈》将创新视为一种能力，一种可以通过训练和实践来不断提升的素质。 发散性思维的培养： 创新往往始于头脑风暴式的发散性思维。本书会介绍各种鼓励发散性思维的技巧，如自由联想、思维导图、SCAMPER法则等，帮助读者打破思维定势，产生尽可能多的想法。 收敛性思维的运用： 海量的想法需要经过筛选、评估和整合。本书将探讨如何运用收敛性思维，将发散过程中产生的优秀想法进行提炼、优化，并最终转化为可行的解决方案。 跨界与融合的魅力： 真正的创新常常发生在学科与学科、领域与领域之间。本书会通过大量的案例，展示不同知识领域的融合如何催生新的思想和技术。鼓励读者打破学科壁垒，拥抱多元化的知识体系。 试错与迭代的精神： 创新并非一蹴而就，而是一个不断试错、不断迭代的过程。本书将强调拥抱失败、从失败中学习的重要性，以及如何通过快速原型制作（prototyping）和用户反馈（user feedback）来加速创新的进程。 好奇心与探索欲的激发： 好奇心是创新的源泉。本书会通过引人入胜的叙述，点燃读者内在的好奇心，鼓励他们不断质疑、不断探索未知，将解决问题的过程视为一场永无止境的冒险。 四、 实践的智慧：理论联系实际，知行合一 《解题漫谈》深知，再精妙的思维方法，如果脱离实践，都将是空中楼阁。因此，本书始终强调理论与实践的结合，将抽象的概念落地到具体的场景中。 案例分析与情景模拟： 本书会精心挑选来自科学、技术、商业、艺术、社会等多个领域的经典案例，深入剖析问题的提出、思考过程、解决方案以及最终影响。通过对这些案例的反复推敲，读者可以从中学习到具体的解题策略和思维模式。同时，也会设计一些情景模拟，鼓励读者亲身实践书中的方法。 个人反思与经验总结： 每个人都有自己独特的解题经历。本书鼓励读者在阅读过程中，不断反思自己的过往经验，将书中的理论与自己的实践相结合，提炼出属于自己的“解题哲学”。 合作与交流的力量： 很多复杂问题的解决，离不开团队的协作和思想的碰撞。《解题漫谈》会探讨如何在团队中进行有效的沟通、协作和知识共享，从而集思广益，共同攻克难题。 持续学习与成长： 在一个快速变化的时代，我们面临的问题也在不断更新。本书倡导一种持续学习的心态，将“解题”视为一种终身学习和自我成长的过程。 《解题漫谈》并非旨在提供“万能钥匙”，而是希望成为读者思想旅程中的一位良师益友。它邀请您一同踏上一场关于智慧、创新与可能性的探索，在每一次挑战中，发现更广阔的天地，点燃属于自己的创意思维火花。

评分☆☆☆☆☆

我注意到这本书的名称，就觉得它带有一种特别的亲和力，仿佛它不是一本高高在上的学术著作，而是像一位经验丰富的前辈，愿意与你分享他的见解和思考。我一直相信，很多问题，特别是那些我们常常感到棘手的难题，并不一定需要多么复杂的理论或者多么高深的技巧才能解决。有时候，换一个角度，用一种更轻松、更开放的心态去面对，反而能找到意想不到的突破口。这本书的书名，恰好传递了这种“漫谈”的氛围，让我觉得，它会是一本能够引导读者进行独立思考的书，而不是直接给出标准答案的书。我非常期待，在这本书中，能够看到作者如何运用他独特的智慧，去化解生活和学习中的种种困惑，如何引领读者在探索中发现乐趣，在讨论中获得成长。

评分☆☆☆☆☆

我个人一直以来都非常喜欢那种能够引发深入思考的读物，而这本书的名称“解题漫谈”，恰好抓住了我阅读的核心需求。它不仅仅是在“解题”，更是在“漫谈”，这暗示着一种开放式的探讨，一种不拘泥于标准答案的交流。我设想，这本书的作者一定是一位能够将复杂问题简单化，将枯燥知识趣味化的大师。他不会强迫读者去接受某种既定的框架，而是鼓励读者去自由地探索，去独立地思考。我期待在这本书中，能够找到一些关于如何看待问题、如何分析问题、如何解决问题的崭新思路。也许，它会教会我如何从不同的角度去理解一个困扰已久的问题，又或者，它会提供一些意想不到的工具和方法，帮助我在未来的学习和生活中，更加从容地应对挑战。我希望，这不仅仅是一次阅读，更是一次思想的盛宴。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计非常有意思，那种淡淡的复古色调，配上一些手绘风格的插图，让人一看就觉得充满了故事感。拿到手里的时候，厚度也正好，不是那种薄薄的快餐读物，也不是那种让人望而却步的鸿篇巨制。翻开扉页，看到作者的名字，脑海中瞬间闪过之前读过他一些文章的片段，那时候就觉得他的文字有一种别样的魅力，不落俗套，又能触及内心深处。我尤其喜欢这种能够引发思考的书，不是那种直接告诉你答案的，而是引导你一步步去探索，去发现。我还在期待这本书能给我带来一些意想不到的启发，也许是在某个熟悉的领域里，发现全新的视角，又或者是解锁了之前一直困扰我的某个难题，那种豁然开朗的感觉，是阅读最美好的回报之一。封面上的那种从容和智慧，让我对即将展开的阅读旅程充满了期待，感觉这会是一次关于知识、关于理解的深刻探索。

评分☆☆☆☆☆

这本书的书名，让我第一时间联想到了那些在茶余饭后，大家围坐在一起，畅谈古今、评说天下、闲聊家常的场景。这种“漫谈”的感觉，恰恰是我在阅读时所追求的一种体验。我不想被生涩的理论或者枯燥的公式所束缚，我更希望在轻松愉快的阅读过程中，获得知识和乐趣的双重享受。我猜想，这本书的作者一定是位学识渊博，同时又非常接地气的人。他能够将那些高深莫测的道理，用最通俗易懂的语言表达出来，让读者在不知不觉中，就领悟其中的精髓。我期待在这本书中，能够看到作者对各种问题的深入浅出的剖析，能够感受到他对知识的热爱和对思考的执着。我希望，这本书能够成为我日常生活中的一位良师益友，在我迷茫时给予指引，在我困惑时提供启示，让我在汲取知识的同时，也能感受到阅读的纯粹乐趣。

评分☆☆☆☆☆

我之所以会对这本书产生浓厚的兴趣，很大程度上是因为它所传递的一种“漫谈”的姿态。在这个信息爆炸、节奏飞快的时代，能够静下心来，进行一次深入的、轻松的、不拘泥于形式的交流，本身就是一种奢侈。我设想，这本书的作者一定是一位非常有耐心，也非常善于观察生活的人。他不会强迫你去接受某种固定的观念，而是像一位老朋友一样，在你耳边娓娓道来，用他独特的视角，去剖析一些看似简单却又极其复杂的现象。我期待在这本书中，能够看到对日常生活中那些被我们忽略的细节的精彩解读，能够感受到作者在字里行间流露出的那份对世界的好奇心和对人性的洞察。也许，这本书会用一种幽默的方式，拆解那些我们习以为常的“理所当然”，让我们重新审视自己所处的世界。我更希望，它能像一杯醇厚的咖啡，在某个闲适的下午，伴我度过一段宁静而充实的时光。

评分☆☆☆☆☆

单墫老师的著作，有实力的书。

评分☆☆☆☆☆

书是正版，看起来稍有难度

评分☆☆☆☆☆

非常好非常好非常好非常好

评分☆☆☆☆☆

复制粘贴，当你看到这段话，说明我对这个产品还是初步认可的，如果它真的不好

评分☆☆☆☆☆

很不错的一本书，系统全面，题型经典！

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书的内容非常好，希望对学习有很大帮助。

评分☆☆☆☆☆

谢谢快递小哥热情周到的服务！

评分☆☆☆☆☆

很好的一本书，孩子很喜欢！

评分☆☆☆☆☆

很不错的解题类书籍，单墫老师的这基本解题系列非常经典，竞赛必备。快递好评。