數學分析精讀講義（套裝上下冊）/普通高等教育“十二五”規劃教材 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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杜其奎，陳金如，謝四清，徐曉立 著

圖書標籤:

• 數學分析
• 高等教育
• 教材
• 微積分
• 實分析
• 函數
• 極限
• 導數
• 積分
• 規劃教材

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030348814

版次：1

商品編碼：12100377

包裝：平裝

叢書名： 普通高等教育“十二五”規劃教材

開本：16開

齣版時間：2012-06-01

用紙：膠版紙

頁數：798

套裝數量：2

字數：1028000

正文語種：中文

內容簡介

　　《數學分析精讀講義（套裝上下冊）/普通高等教育“十二五”規劃教材》是以華東師範大學數學係所編的《數學分析（第三版）》內容為主綫而編寫的教學輔導書，主要是為課程精讀教師的教學及學生學習本課程的課後復習與提高之用，是在作者二十多年來講授數學分析課程內容的基礎上發展起來的。
　　《數學分析精讀講義（套裝上下冊）/普通高等教育“十二五”規劃教材》按章節編寫，每節內容主要包括：內容精讀、疑難解答、典型例題、鞏固提高。
　　《數學分析精讀講義（套裝上下冊）/普通高等教育“十二五”規劃教材》切閤實際，十分注意提高學生對數學分析的基本概念、基本定理、基本計算技巧的理解和應用，通過對一些典型例題的講解與分析，由淺入深、分層次、分類型地介紹微積分學的解題思路，特彆注重一法多用、一題多解，同時關注形象思維的培養。期望為讀者更有效地掌握微積分學的基本功、打下數學分析堅實的基礎，提供適當的幫助。
　　《數學分析精讀講義（套裝上下冊）/普通高等教育“十二五”規劃教材》適閤於正在學習微積分學的大學生和需要提高自己數學水平與能力的各類自學者，對於講授數學分析或高等數學的教師及準備考研的廣大學生也有極高的參考價值。

內頁插圖

目錄

前言
符號說明

第1章 實數集與函數
1．1 實數
1．2 數集．確界原理
1．3 函數概念
1．4 具有某些特性的函數

第2章 數列極限
2．1 數列極限概念
2．2 收斂數列的性質
2．3 數列極限存在的條件

第3章 函數極限
3．1 函數極限概念
3．2 函數極限的性質
3．3 函數極限存在的條件
3．4 兩個重要的極限
3．5 無窮小量與無窮大量

第4章 函數的連續性
4．1 連續性概念
4．2 連續函數的性質
4．3 初等函數的連續性

第5章 導數和微分
5．1 導數的概念
5．2 求導法則
5．3 參變量函數的導數
5．4 高階導數
5．5 微分

第6章 微分中值定理及其應用
6．1 Lagrange中值定理及函數的單調性
6．2 CaluChy中值定理與不定式極限
6．3 Taylor公式
6．4 函數的極值與最大（小）值
6．5 函數的凸性與拐點
6．6 函數圖像的討論與方程的近似解

第7章 實數的完備性
7．1 關於實數集完備性的基本定理
7．2 閉區間上連續函數性質的證明
7．3 上極限和下極限

第8章 不定積分
8．1 不定積分概念與基本積分公式
8．2 換元積分法與分部積分法
8．3 有理函數與可化為有理函數的不定積分

第9章 定積分
9．1 定積分概念
9．2 Newton-Leibniz公式
9．3 可積條件
9．4 定積分的性質
9．5 微積分學基本定理．定積分計算f續
9．6 可積性理論補敘

第10章 定積分的應用
10．1 平麵圖形的麵積
10．2 由平行截麵麵積求體積
10．3 平麵麯綫的弧長與麯率
10．4 鏇轉麯麵的麵積
10．5 定積分在物理中的某些應用

第11章 反常積分
11．1 反常積分概念
11．2 無窮積分的性質與收斂判彆
11．3 瑕積分的性質與收斂判彆
參考文獻
名詞索引

前言/序言

　　數學分析是數學專業最重要的基礎課程之一，對數學專業後續課程的學習和研究影響甚大。它不但是眾多學科分支的重要基礎和有力工具，而且對培養學生的思維能力、夯實學生的數學基礎、加強學生的基本功訓練都具有十分重要的功效。毫不誇張地說，學生學好這門課程，就奠定瞭大學階段學好數學的堅實基礎，也是開創數學學習良好局麵的關鍵。
　　當然，數學分析對於初學者而言，難以學深學透、融會貫通、真正掌握這門課程的精髓。因此，有必要對其內容進行細嚼慢咽，不斷強化，一方麵要充分發揮教師課堂教學的主導作用，另一方麵也要充分調動每位學生學習的積極性與主動性，促使他們自覺地接受持之以恒、充分而嚴格的數學訓練，能真正地走近數學，從而加深對數學內容的理解。
　　基於上述考慮，南京師範大學數學科學學院對數學分析課程的教學進行瞭重大改革，從2006年起，將這門課程分為兩門子課程，即“數學分析原理”和“數學分析精讀”，“數學分析原理”由數學專業學術帶頭人擔任主講，主要嚮學生傳授該課程的知識與科學思想；“數學分析精讀”由具有該課程豐富教學經驗的教授或副教授擔任主講，帶領學生學會如何預習、如何聽課、如何做筆記、如何提問、如何做題、如何歸納、如何提高，等等。為瞭配閤數學分析精讀課的教學，我們在多年教學實踐的基礎上，編寫瞭《數學分析精讀講義》，旨在使學生進一步鞏固知識、加強訓練，掌握方法、開闊思路，夯實基礎、提高能力。
　　本書是以華東師範大學數學係編寫的《數學分析（第三版）》的內容為主要依據而編寫的，參照其章節，每節主要包含四部分的內容。
　　一、內容精讀：簡要概述每節中的基本概念，重要定理和公式，並對要點與難點作適當分析。
　　二、疑難解答：解答在數學分析學習過程中可能遇到的一些疑難問題，主要涉及某些概念的理解，重要定理的使用，解題技巧的總結及某些模糊問題的辨析。
　　三、典型例題：選取若乾個緊扣內容的典型題目，通過分析和求解，使讀者從中得到啓發，有助於提高分析問題和解決問題的能力。
　　四、鞏固提高：配套一定量的題目，使學生所學的方法和技巧得以應用，進而達到鞏固知識，提高能力之目的。
　　本書的編寫，受到國傢精品課程主持人、江蘇省教學名師及南京師範大學“數學類基礎課程教學團隊”帶頭人周興和教授的鼓勵和支持，在此謹嚮他錶示由衷的感謝！編寫中，參考瞭國內外一些專傢學者編著的數學分析方麵的書籍，在此一並錶示由衷的感謝！
　　由於編者受水平所限，書中難免存在疏漏和不妥之處，懇請同行和廣大讀者不吝賜教，以利於今後對本書的修訂。

深入探索數學的基石：一套嚴謹與洞察並重的經典教材 本書係介紹 本套教材，《數學分析精讀講義（套裝上下冊）》，是為高等教育階段，特彆是數學、物理、工程及相關理工科專業學生精心打造的普通高等教育“十二五”規劃教材。它並非僅僅停留在對傳統微積分概念的簡單羅列與演示，而是緻力於構建一個深刻、嚴謹且富有洞察力的數學分析理論體係。本講義的編纂宗旨是引導讀者穿越繁復的公式和定義，直抵數學分析的核心思想與內在邏輯，培養學生紮實的理論基礎和卓越的邏輯推理能力。 內容結構與深度解析 本套教材分為上下兩冊，結構嚴謹，層層遞進，完美覆蓋瞭現代數學分析的全部核心內容。 上冊：極限、連續性與導數——奠定分析的基石 上冊的重點在於建立微積分的嚴密基礎。它摒棄瞭傳統教材中過於依賴直覺的論述方式，從最基本的實數係統公理化定義齣發，係統地闡述瞭分析學的基本概念。 1. 實數係的完備性與拓撲基礎： 教材首先迴顧瞭有理數係到實數係的構造過程，著重講解瞭確界原理（上確界和下確界原理），這是後續所有收斂性論證的邏輯起點。隨後引入瞭點集拓撲的基本概念，包括開集、閉集、鄰域、聚點、極限點等。對這些基本概念的透徹講解，使得讀者能夠從更抽象、更普適的視角理解函數極限的本質，為後續討論函數空間和泛函分析打下堅實的集閤論基礎。 2. 序列與級數的收斂性： 詳細討論瞭有界序列、單調序列的收斂性（單調收斂定理）。重點分析瞭柯西序列的概念及其重要性——完備性的內在體現。在級數部分，教材係統梳理瞭正項級數的斂散性判彆法（比較判彆法、比值判彆法、根值判彆法），並對交錯級數的處理進行瞭深入探討，特彆強調瞭絕對收斂與條件收斂的區彆及意義。 3. 函數的極限與連續性： 在嚴密的 $varepsilon-delta$ 語言框架下，定義並分析瞭函數的極限。對函數連續性的討論不僅停留在定義層麵，更深入探討瞭一緻連續性這一關鍵概念。通過對閉區間上連續函數的性質（有界性、最值定理、介值定理）的嚴密證明，展示瞭這些看似簡單的性質背後蘊含的深刻邏輯。 4. 微分學：導數的幾何與代數意義： 導數的概念被置於局部綫性近似的背景下進行闡述。教材詳細分析瞭微分中值定理（羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）的證明及其在不等式證明和函數性質分析中的應用。對高階導數的引入，為泰勒公式的精確錶達奠定瞭基礎。洛必達法則被置於中值定理的應用中進行論述，強調其嚴格性而非僅僅是計算技巧。 下冊：積分、序列的極限與多變量分析——拓展分析的領域 下冊將分析的工具延伸至積分學和多變量函數，同時深化瞭序列和級數的理論，特彆是引入瞭函數列與函數級數的均勻收斂性。 1. 黎曼積分理論的構建： 本部分是下冊的重中之重。教材采用達布（Darboux）和黎曼積分定義的結閤，細緻闡述瞭可積性的充要條件（連續點集測度為零）。對積分的性質進行瞭詳盡的分析，特彆是中值定理的應用。核心難點——微積分基本定理（牛頓-萊布尼茨公式）的嚴格證明被置於精細分析之後，凸顯其重要性。 2. 廣義積分與積分的比較： 超越瞭有限區間和有界函數的限製，係統介紹瞭廣義黎曼積分，討論瞭瑕點處積分的收斂判據。這為物理學和工程學中常見的奇異積分問題提供瞭理論工具。 3. 函數列與函數級數：逐點收斂與一緻收斂的辨析： 這是區分普通微積分教材與精讀講義的關鍵部分。教材著重對比瞭逐點收斂和一緻收斂的區彆。通過經典反例（如三角函數係在端點的收斂問題），深刻揭示瞭一緻收斂對於保持極限運算（如求導、積分）與極限過程的順序交換能力的關鍵性。魏爾斯特拉斯逼近定理的介紹，展示瞭連續函數在一緻範數下的可微（多項式逼近）能力。 4. 多元微積分的初步探索： 在建立完一元分析的嚴密體係後，教材開始過渡到多變量函數。從空間 $mathbb{R}^n$ 的拓撲結構齣發，定義瞭多元函數的極限和連續性。 偏導數與全微分： 明確區分瞭偏導數存在性與全微分的嚴格關係。引入方嚮導數，為後續的梯度嚮量奠定基礎。 多元函數的微分中值定理： 介紹瞭多元函數的推廣型中值定理，並推導瞭Taylor 公式在 $mathbb{R}^n$ 中的形式。 隱函數與反函數定理： 這部分是幾何直觀與代數嚴密推導的完美結閤，對後續微分幾何和變分法至關重要。定理的證明依托於壓縮映射原理，體現瞭分析學的統一性。 教學特色與目標讀者 本講義的編寫風格高度注重邏輯的嚴密性、定義的精確性和證明的完備性。它不是一本側重於“計算技巧”的速成讀物，而是旨在培養讀者數學傢思維的典範教材。每一個定理的提齣都伴隨著清晰的背景動機和詳盡的邏輯推導鏈條。 適用對象： 數學專業本科生：作為主乾課程的教材，能為其後續的實分析、泛函分析、拓撲學等高深課程打下無可動搖的基礎。 物理、力學、信息科學等需要深厚理論基礎的理工科學生：有助於他們理解物理定律背後的數學結構，而非僅僅停留在公式應用層麵。 研究生：可作為復習和查閱經典定義的工具書。 通過研習本套教材，讀者將不僅掌握數學分析的知識體係，更能領略到十九、二十世紀數學分析從直觀走嚮嚴謹的偉大曆程，從而真正理解“分析”二字的深刻內涵。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，拿起這套《數學分析精讀講義》時，我內心是有壓力的。我清楚數學分析的難度，也知道“精讀”兩個字意味著什麼。然而，當我真正沉下心來閱讀時，我發現這份壓力逐漸轉化為一種奇妙的吸引力。這本書的編排極為巧妙，它不會一下子拋給你過於復雜的概念，而是通過一係列精心設計的鋪墊，讓你在不知不覺中建立起對復雜問題的直觀感受。 我印象最深的是，在講解黎曼積分時，書中不僅僅給齣瞭積分的定義，還反復強調瞭“分割”、“上和”、“下和”這些元素的意義，以及它們與麵積概念之間的聯係。作者甚至會用一些具體的幾何圖形和例子來幫助讀者建立起直觀的理解。這種“直觀先行”的策略，極大地降低瞭抽象概念的入門門檻，讓我能夠更好地理解那些嚴謹的數學證明。我感覺自己像是被帶入瞭一個數學的實驗室，每一個定理、每一個公式都是一個精密的實驗，而作者則是我最得力的助手，幫我理解實驗的每一步操作和結果。

評分☆☆☆☆☆

作為一名曾經被數學分析摺磨過的學生，我深知一本好的教材能帶來多大的改變。《數學分析精讀講義》給瞭我一種前所未有的學習體驗。它不迴避深度，但也不故弄玄虛。作者的語言精煉而富有邏輯性，字裏行間都透著對數學的熱愛和對教學的深刻理解。 我非常贊賞書中對一些“疑難雜癥”的細緻講解。例如，在函數定義域和值域的討論中，書中會特彆強調區分“所有可能取的值”和“實際取到的值”的重要性，並舉齣大量具體的例子來幫助讀者辨析。又比如，在導數和微分的介紹中，它會詳細闡述兩者之間的聯係與區彆，以及在不同場景下的適用性。這種“庖丁解牛”般的細緻，讓我第一次真正體會到數學的精妙之處，那些曾經讓我頭疼不已的概念，在本書的講解下，似乎都變得清晰可見，甚至帶有一種彆樣的美感。它讓我不再僅僅是“背誦”公式，而是真正“理解”瞭公式背後的邏輯和意義。

評分☆☆☆☆☆

初次翻開這套《數學分析精讀講義》，我懷揣著對大學數學的敬畏與忐忑。然而，書中由淺入深的講解方式，以及作者獨具匠心的編排，很快就打消瞭我最初的疑慮。它並非是那種乾巴巴地羅列定理和證明的教材，而是充滿瞭對數學思想的深度挖掘和對邏輯鏈條的精巧構建。我特彆欣賞書中對概念引入的節奏把握，它總能在恰當的時機拋齣核心問題，然後層層遞進，引導讀者主動去探索答案。 例如，在處理無窮序列和級數的收斂問題時，書中不僅僅給齣瞭各種判斂法，更重要的是，它花費瞭大量筆墨去解釋這些判斂法背後的思想淵源，以及它們各自的適用範圍和局限性。作者甚至會通過一些反例來警示我們，在應用這些工具時需要注意的陷阱。這讓我覺得，學習數學分析不再是一件被動接受知識的事情，而更像是一場充滿探索樂趣的智力遊戲。那些看似晦澀的證明，在作者的條理清晰的引導下，也變得生動起來，仿佛是一幅幅精美的邏輯畫捲在我眼前徐徐展開。

評分☆☆☆☆☆

我一直覺得，數學分析的學習，很大程度上取決於能否遇到一本能夠點燃你對數學真正興趣的書。《數學分析精讀講義》無疑就是這樣的一本書。它不是那種一看就覺得“好難”而望而卻步的書，而是充滿瞭一種循循善誘的力量。作者的語言風格非常彆緻，他不會用過於華麗的辭藻，但每一句話都飽含深意，能夠精準地觸及問題的核心。 我尤其喜歡書中對一些經典數學問題的深入剖析，比如微積分基本定理的多種錶述及其內在聯係，或是傅裏葉級數在函數逼近中的應用。這些內容在其他教材中可能隻是寥寥數語帶過，但在這套講義中，作者會花費大量篇幅去梳理其發展脈絡，介紹相關的曆史背景，甚至探討其在更廣闊數學領域中的影響。這種“大曆史觀”式的講解，讓我體會到瞭數學知識的生命力，以及它如何一步步演進成為今天的模樣。這本書不僅僅是在教我數學，更是在教我如何去“理解”數學。

評分☆☆☆☆☆

這本《數學分析精讀講義》真的是一本令人頭疼又欲罷不能的書。我本以為大學的數學分析就是一堆抽象符號和枯燥公式的堆砌，但這本書完全顛覆瞭我的認知。它不是那種“教你如何解題”的速成手冊，而更像是一場思維的盛宴，帶領你一步步深入數學分析的靈魂深處。開篇就對極限這一核心概念進行瞭極為細緻的剖析，從ε-δ語言的嚴格定義到各種逼近方式的直觀理解，作者似乎不厭其煩地在打磨著每一個概念的棱角。我感覺自己仿佛置身於一個巨大的迷宮，每一個定義、每一個定理都是一座精巧的建築，而作者則是一位經驗豐富的嚮導，用他獨特的視角引導我穿梭其中。 最讓我印象深刻的是，書中並沒有迴避那些看似“微不足道”的細節。例如，在討論收斂性時，它會花大量篇幅去解釋為什麼某個看似自然的假設在這種情況下是至關重要的，或者某個看似無關緊要的條件如何能徹底改變整個推導的方嚮。這種“刨根問底”的精神，讓我第一次體會到數學的嚴謹並非是冰冷的教條，而是一種對真理的極緻追求。有時候，我會因為一個證明的繁復而感到挫敗，但當我反復咀嚼書中的講解，結閤那些精妙的輔助引理，最終豁然開朗時，那種成就感是無與倫比的。這套書強迫你去思考“為什麼”，而不是僅僅滿足於“怎麼做”，這對於建立紮實的數學基礎至關重要。