数学思想方法与中学数学（第3版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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钱珮玲，邵光华 著，北京师范大学数学科学学院 编

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• 数学思想方法
• 中学数学
• 数学学习
• 解题技巧
• 思维训练
• 数学教育
• 高中数学
• 初中数学
• 数学辅导
• 竞赛数学

出版社： 北京师范大学出版社

ISBN：9787303126422

版次：3

商品编码：12213969

包装：平装

丛书名： 新世纪高等学校教材·数学教育主干课程系列教材

开本：16开

出版时间：2017-06-01

用纸：胶版纸

页数：274

字数：320000

正文语种：中文

内容简介

　　数学思想方法是基于具体数学内容，又高于具体数学内容的一种指导思想和普遍适用的方法。
　　《数学思想方法与中学数学（第3版）》从数学的研究对象和特点出发，提炼和挖掘基于数学内容中的数学思想方法，通过化隐为显的数学思想方法的介绍，使读者更好地认识和领悟基本的数学思想方法，更有效地学习数学，运用数学，更好地认识和理解数学。全书分为上、下两篇，上篇共6章，介绍了数学问题解决的一般方法、数学化活动过程的一般方法、数学推理和证明方法、基于数学研究对象和特征的数形结合方法、数学构建理论的一般方法以及一般科学方法在数学中的运用。下篇共6章，围绕中学数学内容，揭示近现代数学理论和思想方法与中学数学的有机联系，及其对中学数学的指导意义，充分展示了数学逐级抽象的特征以及数学直观在数学学习中的重要作用。
　　《数学思想方法与中学数学（第3版）》可作为数学教育方向的研究生、研究生学位课程班，以及本科高年级“数学思想方法”课程的教材，也可作为广大中学教师和数学教育工作者的参考书。

内页插图

目录

上篇
第1章 数学思想方法简介
1．1 如何认识数学思想方法
1．1．1 何谓数学思想方法
1．1．2 数学方法的特点
1．1．3 数学知识体系的三个层次
1．2 研究数学思想方法的目的和意义
1．2．1 现代教育目的观和学科教育的本质
1．2．2 数学思想方法是形成良好认知结构的基础
1．2．3 概括中学数学中的数学思想方法
1．2．4 研究数学思想方法的目的意义
1．3 数学思想方法的教学
1．3．1 数学思想方法教学的特点
1．3．2 充分挖掘教材中的数学思想方法
1．3．3 有目的有意识地渗透、介绍和突出有关数学思想方法
1．3．4 有计划有步骤地渗透、介绍和突出有关思想方法
第2章 化归方法——数学解决问题的基本方法
2．1 如何认识化归方法
2．1．1 如何认识化归方法
2．1．2 化归方法的基本思想
2．1．3 化归是数学解决问题的基本方法
2．2 化归方法的基本原则
2．2．1 化归目标简单化原则
2．2．2 具体化原则
2．2．3 和谐统一性原则
2．2．4 形式标准化原则
2．2．5 低层次化原则
2．3 化归的基本策略
2．3．1 语义转换策略
2．3．2 一般化与特殊化策略
2．3．3 分解与组合策略
2．3．4 归纳、类比、联想在化归中的作用
第3章 抽象方法——数学活动的一般方法
3．1 如何认识数学抽象方法
3．1．1 抽象和数学抽象
3．1．2 数学抽象的特征
3．1．3 数学抽象的基本原则
3．2 数学抽象的主要方法
3．2．1 性质抽象
3．2．2 关系抽象
3．2．3 等置抽象
3．2．4 无限抽象
3．2．5 弱抽象和强抽象
3．3 数学模型方法
3．3．1 数学建模与数学教育
3．3．2 数学模型及其分类
3．3．3 数学模型与中学数学教学
3．3．4 数学建模的一般原则、步骤和教学
3．4 数学抽象的教学对策
3．4．1 学生在数学学习中常见错误的表现及成因分析
3．4．2 教学对策
第4章 数学推理与证明方法——数学的逻辑基础
4．1 如何认识数学推理与数学证明
4．1．1 如何认识数学推理
4．1．2 数学推理的教育功能
4．1．3 如何认识数学证明
4．2 数学推理方法
4．2．1 必真推理方法
4．2．2 似真推理方法
4．2．3 数学推理能力的培养
4．3 数学证明方法
4．3．1 数学归纳法
4．3．2 反证法
4．3．3 存在性证明和不可能性证明
4．3．4 机器证明与算法
第5章 数形结合方法——数学中最基本、最常用的方法
5．1 数学研究对象与数形结合方法
5．1．1 数学的研究对象、特点与数形结合方法
5．1．2 数形结合方法是思考和解决问题的基本方法
5．1．3 从数到形，以形“读”数
5．1．4 从形到数，以数“观”形
5．1．5 数形结合，互相转化，互相补充
5．2 向量是体现数形结合的良好载体
5．2．1 如何认识向量
5．2．2 如何把握向量的教学
5．3 数形结合是函数学习的有力工具
5．3．1 函数在中学数学中的地位和作用
5．3．2 如何把握函数的教学
5．4 解析几何是数形结合的典范
5．4．1 解析几何与数形结合方法
5．4．2 如何把握解析几何的教学
第6章 公理化方法与结构方法——构建数学理论体系的基本方法
6．1 公理化方法
6．1．1 公理化方法的产生和发展
6．1．2 公理化方法的逻辑特征、意义和作用
6．1．3 公理化方法对教学的启示
6．2 数学结构方法
6．2．1 结构方法简述
6．2．2 数学中的三种母结构
6．2．3 结构方法对教学的启示

下篇
第7章 集合与逻辑初步
7．1 集合与中学数学
7．1．1 集合的语言和运算
7．1．2 集合的幂集
7．1．3 集合的势
7．1．4 集合论的思想方法在中学数学中的作用
7．2 逻辑初步与中学数学
7．2．1 逻辑与数学学习
7．2．2 逻辑的初步知识
7．2．3 命题演算与中学数学
第8章 函数、运算与关系
8．1 一些具体的关系
8．2 关系与等价关系
8．2．1 关系
8．2．2 等价关系与数域的扩充
8．3 顺序关系和大小关系
8．4 函数与关系
8．4．1 函数的三种定义方式及其比较
8．4．2 对函数的进一步思考
8．4．3 函数教学中应注意的几个问题
8．5 运算与关系
8．5．1 从数的运算到各种对象的运算
8．5．2 运算的定义和例子
8．5．3 从运算到代数结构
8．5．4 运算的作用
第9章 空间的双重意义
9．1 如何认识空间
9．1．1 空间在数学中的双重意义
9．1．2 现实空间与几何直观能力
9．1．3 抽象空间
9．2 距离和距离空间
9．2．1 两点间的距离
9．2．2 两函数间的距离
9．2．3 距离空间
9．3 向量代数与内积空间
9．3．1 几何向量及其运算
9．3．2 向量的坐标表示及其运算
9．3．3 线性空间
9．3．4 内积空间与向量空间
9．4 分形几何
9．4．1 海岸线的测量问题
9．4．2 分形几何中的几个例子
9．4．3 分维——分形的定量表征
第10章 变换群与几何学
10．1 克莱因关于几何学的观点
10．1．1 引言
10．1．2 克莱因关于几何学的观点
10．2 变换群
10．3 射影与射影几何
10．3．1 射影（投影）
10．3．2 射影平面
10．3．3 射影平面的坐标系
10．3．4 射影变换
10．4 二阶曲线
10．4．1 射影分类
10．4．2 仿射分类
10．5 变换思想方法在解题中的作用
10．5．1 等距变换与解题
10．5．2 相似变换与解题
10．5．3 仿射变换与解题
第11章 微积分的基本内容与思想方法
11．1 初等微积分的基本内容与思想方法
11．1．1 初等微积分内容的选择与安排
11．1．2 初等微积分的基本思想方法
11．1．3 初等微积分在中学数学中的应用
11．2 如何把握中学数学中微积分的教学
11．2．1 微积分的教育价值
11．2．2 教学中需注意的问题
第12章 概率与统计的基本思想方法
12．1 如何认识概率
12．1．1 随机事件（事件）
12．1．2 如何认识概率
12．2 古典概型和几何概型
12．2．1 古典概型
12．2．2 几何概型
12．3 概率的统计定义
12．3．1 概率的统计定义
12．3．2 频率与概率之间的关系
12．4 概率的公理化定义
12．4．1 事件和事件域
12．4．2 概率的公理化定义
12．5 数理统计及其基本概念
12．5．1 基本概念
12．5．2 对统计思维的思考
12．6 统计推断中假设检验及其思想方法
12．6．1 统计推断和假设检验
12．6．2 假设检验的基本思想方法
12．7 统计推断中独立性假设检验及其方法
12．7．1 概率论中两个事件独立的含义
12．7．2 独立性检验方法
12．8 统计推断中回归分析及其思想方法
12．8．1 如何认识相关关系
12．8．2 最小二乘法与一元线性回归方程
12．8．3 求一元线性回归方程的几种基本方法
参考文献

前言/序言

　　1915年，北京师范大学的前身——北京高等师范学校成立数理部，1922年成立数学系。2004年成立数学科学学院。经过近百年的风风雨雨，数学科学学院在学科建设、人才培养和教学实践中积累了丰富的经验。将这些经验落实并贯彻到教材编著中去是大有益处的。
　　我院的数学教育研究已经有了近百年的光荣历史。1918年，北京高等师范学校数理部就开设了初等数学研究课程。在20世纪20～50年代，中国数学教育的先驱傅种孙教授撰写了多篇教学法研究论文（见《傅种孙数学教育文选》）。傅先生极端热心于中学数学教育。他倡议并组织翻译和编写了一套初等数学和教学法的教材，解决了全国高师联系中学课程的教材问题，在20世纪50年代前期，北京市编写了一套中学数学教学参考资料，请北京师范大学修改，傅先生热情地接受了这一工作，亲自组织教师仔细修改，为当时提高中学教学质量起到了很好的作用，傅先生经常为北京市的中学数学教师组织讲座，讲授与中学教学有关的数学问题，由他和系里其他教师主讲，这些讲座促进了中学教师的业务提高，反映很好，值得一提的是：我系梁绍鸿先生编著的《初等数学复习及研究》影响颇大，共发行100多万册。
　　在傅种孙先生的领导和培养下，钟善基、丁尔陞、曹才翰和孙瑞清等先生长期从事数学教育和研究工作，为我国数学教育事业培养了大批的中学数学教师和高级专门人才，是我国数学教育学学科的主要创立者和奠基人。1982年以来，我校出版社先后出版了若干部数学教育有关的教材或参考书，但未策划出版数学教育主干课程系列教材。2005年5月，由北京师范大学数学科学学院李仲来教授和北京师范大学出版社理科编辑室岳昌庆和王松浦进行了沟通和协商，由李仲来教授主编，准备对北京师范大学数学科学学院教师目前使用的北京师范大学出版社出版的几部数学教育教材进行修订后再版，再用几年时间，出版数学教育学科主要课程系列教材。
　　本套教材可供高等师范院校数学教育本科生和研究生、教育学院数学系、函授（数学专业）、网络大学和在职中学教师等使用和参考。

深入探索数学世界的广袤与精妙 图书名称：《数学思想方法与中学数学（第3版）》 图书简介 本书旨在为广大中学数学教师、数学教育研究者以及有志于提升自身数学素养的读者，提供一套系统、深入且富有启发性的数学思想方法论。它并非仅仅是对现有中学数学教材内容的简单罗列或解析，而是致力于挖掘中学数学知识背后的底层逻辑、核心思想与普适方法，构建一座连接基础知识与高阶思维的桥梁。 在知识爆炸的时代，单纯掌握知识点已不足以应对复杂的现实问题和未来的挑战。教育的重心正逐步从“教什么”转向“如何学”和“如何思考”。本书正是在这一理念的指引下，力求帮助读者超越孤立的公式和定理，洞察数学学科的思维脉络。 全书结构紧密，逻辑清晰，分为基础篇、核心思想篇、方法论篇和应用与展望篇四个主要部分，力求实现理论的深度与实践的广度兼顾。 --- 第一部分：基础篇——重塑对数学本质的认知 本部分侧重于对中学数学基础概念进行本质性的梳理和再认识。我们不只是复述定义，而是探究这些定义和概念是如何在人类数学史上被构建和完善的。 1. 数学概念的演进与本质解析： 详细剖析集合论、函数、极限、向量等核心概念的起源、内涵的深化过程。例如，对“数”的理解，如何从自然数逐步扩展到有理数、实数乃至复数，每一步扩展背后的数学动机和逻辑必然性被深入探讨。这有助于教师在课堂上准确把握概念的“生长点”，避免机械化教学。 2. 结构与对应： 探讨代数结构（如群、环、域的初步思想）在中学数学中的体现，如等价关系、同构思想的萌芽。强调数学研究对象之间的“对应”关系，这为理解映射和函数提供了更宏大的视角。 3. 几何直觉与公理化思想： 回顾欧氏几何的建立过程，重点阐释公理化体系的意义——如何从少数不证自明的命题出发，逻辑严密地推导出复杂的几何结论。这对于培养学生的逻辑严谨性至关重要。 --- 第二部分：核心思想篇——探寻数学思维的灵魂 这是本书的理论核心，聚焦于那些贯穿所有数学分支的、具有强大解释力和创造力的思维模式。这些思想是数学家解决问题的“内功心法”。 1. 归纳与演绎的辩证统一： 深入分析数学归纳法（Mathematical Induction）的严密性及其在证明中的作用。更重要的是，探讨如何将直觉经验（归纳）转化为严格证明（演绎）的过程，指出两者在数学发现中的协同作用。 2. 转化与化归思想： 将复杂问题转化为已知问题、将陌生问题转化为熟悉问题的核心策略。书中通过大量实例（如代数问题几何化、高维问题低维化、超越方程求解的构造法等）展示如何利用坐标系、函数变换等工具实现问题的“降维打击”。 3. 特殊化与一般化： 阐释如何通过研究特殊情形（如特殊函数、特殊数列、特殊三角形）来获得解决一般问题的灵感，反之，如何从一般结论中提炼出对特殊情形的深刻洞察。这种思维的往复运动是数学创新的源泉。 4. 极端思想与最优化原理： 探讨在边界条件或极端情况下对问题进行分析的方法。这不仅包括最大值、最小值问题，更延伸至对不等式证明中“取等条件”的深入探究，揭示了数学模型中效率与平衡的追求。 5. 构造性思维： 数学证明往往需要“无中生有”地构造辅助元素（如辅助线、辅助函数、构造反例）。本书详述了常见的构造技巧，如配方法、引入辅助角、构造特定函数等，强调构造是连接已知与未知的关键步骤。 --- 第三部分：方法论篇——中学数学知识的深度挖掘 本部分将前述思想方法应用于中学数学的具体知识模块，实现知识与方法的深度融合，为教师提供具体的课堂实施策略。 1. 函数与方程思想的深化： 不仅仅是求解，更是将函数视为描述关系、变化和运动的工具。分析如何利用函数的单调性、奇偶性、周期性等性质来“解题”，而非仅仅是“计算”。探讨函数与方程的相互转化如何渗透在数列、不等式和解析几何之中。 2. 空间想象与几何直觉的培养： 超越平面直角坐标系，深入分析立体几何中的投影、截面、向量法在空间中的应用。重点论述如何通过“直观想象—工具建模—计算验证”的循环来发展学生的空间思维。 3. 概率与统计中的随机性思维： 从古典概型到频率解释，阐明概率论背后的思想是对不确定性的量化描述。强调大数定律和中心极限定理的思想在统计推断中的作用，引导学生理解“样本”与“总体”之间的桥梁。 4. 算法思想在数学中的体现： 解析循环、迭代、分支等计算思维在中学数学问题解决中的潜在应用，例如数列的递推关系求解、数值逼近等，体现数学方法与信息技术的结合趋势。 --- 第四部分：应用与展望篇——思维的迁移与教育的反思 本书的收尾部分着眼于数学思想方法的迁移应用、评价与未来发展。 1. 跨学科的应用潜力： 展示数学思想如何应用于物理学（运动、力学模型）、经济学（最优决策）、信息技术（编码、逻辑）等领域。这有助于拓宽师生的视野，激发学习数学的内在驱动力。 2. 数学问题解决能力的评价： 探讨如何设计更具启发性的数学问题，从而有效检测学生对数学思想的掌握程度，而非仅仅是知识的记忆水平。提出将“思维过程”纳入教学评价体系的建议。 3. 对未来数学教育的展望： 基于对核心思想的深刻理解，反思当前中学数学教学中存在的“碎片化”、“重计算轻思考”的倾向，并提出如何在日常教学中有效渗透和强化数学思维训练的具体路径和教学模式改革方向。 --- 总结： 本书结构严谨，论述详实，案例丰富且具有典型性。它不是一本“习题集”，而是一本引导读者进行深度思考的“方法论手册”。通过阅读本书，读者将能够深刻理解数学的“为什么”和“怎么样”，从而实现从“知识的传授者”到“思维的引导者”的角色转变，真正提升中学数学教学的质量与深度。 目标读者： 中学数学教师（初中、高中）、数学教育研究生、数学爱好者及教育管理者。

评分☆☆☆☆☆

这本书简直是为我量身定做的！作为一个对数学一直有着浓厚兴趣，但又觉得中学数学有些枯燥的读者，我一直在寻找一本能够“点亮”数学的读物。这本书，恰恰做到了。它没有枯燥的公式堆砌，没有无休止的习题训练，而是从一个全新的视角，深入浅出地揭示了数学背后蕴含的智慧和思想。当我翻开它，仿佛打开了一扇通往数学王国的大门，里面不再是冷冰冰的数字和符号，而是充满逻辑美、结构美和思想深度的奇妙世界。作者巧妙地将抽象的数学概念与我们熟悉的生活现象、历史故事、哲学思辨相结合，让我深刻体会到数学并非是脱离现实的象牙塔，而是构建我们认识世界、理解世界的基石。

评分☆☆☆☆☆

我是一名多年从事中学数学教学的一线教师，在教学过程中，我时常感到学生们对数学的畏难情绪和“为什么学”的困惑。这本书的出现，无疑为我提供了一个绝佳的教学辅助工具。它不仅仅是知识的罗列，更是教学理念的升华。书中对于各种数学思想方法的剖析，比如分类讨论、化归思想、数形结合等等，都非常透彻，并且提供了大量生动鲜活的案例，让我能够更清晰地向学生解释这些抽象的数学工具的意义和应用。我特别欣赏书中对于数学史的穿插介绍，这不仅能激发学生的学习兴趣，更能让他们感受到数学发展的脉络和人类智慧的结晶。这本书让我重新审视了自己的教学方式，更加注重培养学生的数学思维能力，而非仅仅传授解题技巧。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我曾经对数学抱着一种“能绕开就绕开”的态度，觉得它离我的生活太遥远。但读了这本书后，我的看法彻底改变了。作者用极其通俗易懂的语言，将那些看似高深莫测的数学概念，比如“无限”、“对称”、“抽象”等等，分解成一个个可以理解的片段。书中举的例子，很多都来源于我们日常生活中的实际问题，比如如何用概率来理解彩票的中奖率，如何用函数模型来预测人口增长，甚至是如何用几何原理来欣赏建筑的美感。这些都让我惊叹于数学的无处不在和强大力量。这本书让我觉得，学习数学不再是一件痛苦的事情，而是一次有趣的探索，它正在悄悄地改变我观察世界的方式。

评分☆☆☆☆☆

作为一名数学爱好者，我一直在寻找能够深化我对数学理解的书籍。我读过很多专业的数学书籍，但它们往往过于晦涩难懂，难以与中学数学的知识体系建立起有效的桥梁。《数学思想方法与中学数学（第3版）》在这方面做得非常出色。它精准地抓住了中学数学的精髓，并将深邃的数学思想巧妙地融入其中。书中对数学思想方法的梳理，逻辑清晰，条理分明，能够帮助我系统地回顾和巩固中学阶段所学的知识，并且能够发现其中更深层次的联系。作者的视角非常独特，能够从宏观上把握数学的脉络，让我对中学数学有了更全面的认识，也为我未来进一步深入学习数学打下了坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

我最近刚结束了中学阶段的数学学习，对于曾经学习过的知识，总感觉有些零散，缺乏一个整体的认识。《数学思想方法与中学数学（第3版）》的出现，恰好弥补了我的这一需求。这本书像一个“连接器”，将我中学时期接触到的各种数学概念、定理、公式串联了起来，并且赋予了它们更深刻的内涵。我不再是机械地记忆公式，而是开始理解它们是如何被发现、如何被证明、以及它们在解决实际问题中的作用。书中对数学思想方法的讲解，非常具有启发性，让我明白了数学学习的“道”远比“术”更重要。这本书的价值在于，它让我看到了中学数学的广度和深度，也让我对未来的数学学习充满了期待。