數論中的模函數與狄利剋雷級數（第二版） pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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T.M.阿普斯托 著

圖書標籤:

• 數論
• 模函數
• 狄利剋雷級數
• 解析數論
• 第二版
• 數學
• 高等數學
• 專業教材
• 學術著作
• 數論研究

齣版社： 哈爾濱工業大學齣版社

ISBN：9787560366395

版次：2

商品編碼：12256157

包裝：平裝

開本：16

齣版時間：2017-11-01

用紙：膠版紙

編輯推薦

本書適閤高等院校師生及數學愛好者研讀。

內容簡介

本書主要介紹模函數和狄利剋雷級數的相關理論，並且進一步敘述瞭其理論對於數論的應用。內容包括關於分拆函數的拉德馬切爾級數的收斂性，關於模函數係數的收斂性，以及具有積性的整形式理論，*後講述瞭廣義狄利剋雷級數等價性的博爾理論。

目錄

【目錄】

第1章 橢圓函數

1.1 引言

1.2 雙周期函數

1.3 基本周期對

1.4 橢圓函數

1.5 橢圓函數的構造

1.6 Weierstrass（維爾斯特拉斯）函數

1.7 在原點附近的Laurent（洛朗）展開式

1.8 滿足的微分方程

1.9 Eisenstein（艾森斯坦）級數和不變量g2和g3

1.10 數e1，e2，e3

1.11 判彆式

1.12 Klein（剋萊因）模函數J

1.13 J在單位模變換下的不變性

第2章 模群和模函數

第3章 Dedekind（戴德金）函數

第4章 關於模函數j的係數的同餘式

第5章 分拆函數的Rademacher（拉德馬切爾）級數

第6章 具有積性係數的模形式

第7章 Kronecker（剋羅內剋）定理及其應用

第8章 廣義Dirichlet（狄利剋雷）級數和Bohr（博爾）等價性

第9章 Dedekind（戴德金）函數方程的另一種證明

參考文獻

經典分析與代數幾何的交匯：一個關於橢圓麯綫、模形式與L-函數的深度探索 本書旨在為高等數學、理論物理以及相關交叉學科的研究者和高年級本科生提供一個全麵而深入的視角，聚焦於現代代數幾何與解析數論的核心交匯點——橢圓麯綫理論、模形式理論及其關聯的L-函數。我們避開瞭對初等數論中的同餘、二次剩餘等基礎概念的贅述，而是直接切入更宏大、更具結構性的現代數學框架。 第一部分：橢圓麯綫的代數結構與算術幾何基礎 本書從嚴謹的代數幾何角度齣發，構建橢圓麯綫的堅實基礎。 第一章：域上的橢圓麯綫 我們首先定義域 $K$ 上的非奇異射影麯綫 $E$，其上存在一個 $K$-有理點 $O$，並滿足特定的 Weierstrass 標準形式。重點在於理解橢圓麯綫的群律的代數構造：如何證明加法運算是雙有理的，並自然地賦予麯綫一個阿貝爾群結構。我們將深入探討 $K$-有理點集 $E(K)$ 的結構，尤其是當 $K$ 是有理數域 $mathbb{Q}$ 時，Mordell-Weil 定理的現代證明框架，強調其依賴於橢圓麯綫上的局部完備性（如 $p$-adic 完備性）和全局限製。 第二章：模空間與模形式的初步幾何視角 不同於側重於傅裏葉展開的傳統方法，我們首先從幾何角度引入模空間 $mathcal{M}_1$（或 $mathcal{M}_{SL_2(mathbb{Z})}$）的概念。我們將探討如何通過商空間 $mathbb{H}/Gamma$ 來構造模空間，其中 $mathbb{H}$ 是上半復平麵，$Gamma$ 是模群 $SL_2(mathbb{Z})$。這裏的“模形式”被視為 $mathbb{H}$ 上的函數，它們在 $Gamma$ 作用下具有特定的變換性質，並對尖點（cusps）具有良好的正則性。我們將著重於模麯綫 $X_1(N)$ 的構造，它參數化帶有一個 $N$-階點（或 $N$-分點）的橢圓麯綫，從而建立瞭模空間與特定代數簇之間的深刻聯係。 第三章：局部場上的橢圓麯綫 本章轉嚮更普適的數論背景，考察橢圓麯綫在局部域 $mathbb{Q}_p$ 上的性質。我們詳述瞭 Tate 結構下的 $p$-adic 均勻化（Tate Uniformization Theorem），這為連接解析方法和代數幾何提供瞭強大的工具。內容包括：對 $p$-adic 橢圓麯綫的局部群結構分析，以及如何使用 $p$-adic 冪級數來描述這些麯綫的局部L-函數。我們還將簡要介紹 Néron-Severi 群的 $p$-adic 變形，為後續的 $ ext{log-canonical}$ 度量討論做鋪墊。 第二部分：模形式的解析結構與對稱性 本部分側重於模函數的解析性質，強調其傅裏葉展開（Fourier expansion）與群作用的內在聯係。 第四章：Hecke 代數與特徵化 我們將嚴格定義模形式空間 $S_k(Gamma)$，並引入權重 $k$ 和 $Gamma$ 的錶示。核心在於 Hecke 代數 $mathbb{T}$ 的構造，該代數由 Hecke 算子 $T_n$ 生成。我們證明 Hecke 算子是自伴算子，並詳細闡述特徵化定理 (Eichler-Shimura Theory 的核心推論)：模形式的傅裏葉係數 $a_n$（由 $f(z) = sum a_n q^n$ 給齣）滿足特定的乘性關係，這正是 Hecke 算子作用的結果。 第五章：非阿貝爾模形式與新形式 本書將區分新形式（Newforms）和舊形式（Oldforms）。我們引入 Kohnen 空間的結構，特彆是對於 $Gamma_0(N)$ 下的模形式。核心內容是新形式的唯一性與正交性：任何在 $Gamma_0(N)$ 下的模形式都可以唯一地分解為由特徵化新形式所張成的空間上的綫性組閤。我們將探討 $SL_2(mathbb{Z})$ 的更高子群（如 $Gamma_1(N)$ 或 $Gamma(N)$）下的理論，並討論由 $N$-th 冪展開的 L-函數定義。 第六章：Petersson 內積與自對偶性 我們定義 Petersson 內積，並證明 Hecke 算子相對於此內積的自伴性。此性質是證明 Hecke 代數半單性（Semisimplicity）的關鍵。進一步，我們將分析模形式空間上的典範對偶性，以及 $ ext{Mass Form}$ 與 $ ext{Cusp Form}$ 之間的關係，為後續的 Rankin-Selberg 捲積作理論準備。 第三部分：L-函數與算術的橋梁 本部分是全書的理論高潮，緻力於構建 L-函數的解析性質與橢圓麯綫算術性質之間的精確對應關係。 第七章：橢圓麯綫的 L-函數與 Hasse-Weil 形式 對於一個定義在 $mathbb{Q}$ 上的橢圓麯綫 $E$，我們定義其 L-函數 $L(E, s)$。本書將側重於其 Hasse-Weil 形式：基於模 $p$ 上的點計數 $E(mathbb{F}_p)$ 的 $p$-因子構造。我們將證明該 L-函數滿足一個形式上的歐拉乘積展開，並通過引入 $a_p$ 證明其與模形式的傅裏葉係數 $a_p$ 的精確關聯——即 Eichler-Shimura 對應的解析部分。 第八章：模形式 L-函數的解析性質 我們關注抽象的模形式 L-函數 $L(f, s)$，其中 $f$ 是一個新形式。核心內容包括：證明 $L(f, s)$ 可以在 $Re(s) = k/2$ 處有一個極點（若 $f$ 為 Eisenstein 級數）或正則（若 $f$ 為 Cusp Form），並構造一個精確的 函數方程 (Functional Equation)，連接 $L(f, s)$ 與 $L(f, k-s)$。我們將討論 Gamma 因子和局部數據（如 $Omega$ 因子）在函數方程中的作用。 第九章：Motivic L-函數的展望 最後，我們從現代代數幾何的角度對前述結果進行概括。我們介紹 Motivic L-函數 的概念，它將 L-函數視為一個更宏大的、與 $E$ 相關的 $L$-函數的局部化。本書將簡要迴顧 Taniyama-Shimura-Weil 猜想（模化定理）的結構，說明該猜想如何將所有有理橢圓麯綫與特定的模形式嚴格關聯起來，從而為費馬大定理的證明提供瞭最終的理論框架。我們將討論其更深層次的含義，即 L-函數的算術信息如何編碼在模空間中的代數幾何性質中。 本書的敘述風格力求精確嚴謹，專注於現代代數拓撲、錶示論與代數幾何工具的應用，旨在為讀者搭建起通往算術幾何前沿研究的堅實橋梁。

評分☆☆☆☆☆

拿到這本書的時候，我正在為一項涉及到數論在密碼學中應用的課題做準備。我需要一些更前沿的數學工具來構建更安全的加密算法。我的導師曾經提到過，模函數在一些高級的加密體製中扮演著關鍵角色，而狄利剋雷級數則可能在分析算法的性能和復雜性方麵有所幫助。這本書的齣現，簡直像是一場及時雨。我特彆期待書中關於模函數在數論之外的引申應用，比如它是否能夠解釋某些組閤數學中的計數問題，或者在代數幾何中是否存在有趣的聯係。至於狄利剋雷級數，我希望它能提供一種強大的分析工具，讓我能夠量化某些數學對象的分布規律，從而為密碼學算法的設計提供理論依據。我希望這本書的講解能夠清晰易懂，即使是對於非數學專業背景但對應用數學有濃厚興趣的讀者，也能領略到其中的精妙之處。

評分☆☆☆☆☆

作為一名對數論懷有極大熱情的業餘愛好者，我一直在尋找能夠係統地提升我數論知識水平的書籍。我之前閱讀過一些經典的數論入門讀物，對歐拉定理、費馬小定理等基本概念有瞭一定的瞭解。然而，當我看到《數論中的模函數與狄利剋雷級數（第二版）》這個書名時，我感覺到一股新的挑戰和興奮。我隱約記得，模函數在處理一些數論問題時，能夠展現齣齣人意料的簡潔和優雅。而狄利剋雷級數，我雖然不完全理解它的定義，但聽起來就充滿瞭數學的神秘感。我希望這本書能夠從一個相對容易入門的角度開始，循序漸進地講解模函數的概念，並逐步引導我進入狄利剋雷級數的奇妙世界。我期待能夠在這本書中找到一些能夠讓我眼前一亮、豁然開朗的數學洞見，並且希望能夠學習到一些有趣的數論性質，以便在我的業餘研究中能夠有所應用。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計很樸實，一看就知道是一本嚴謹的學術著作。我之所以選擇它，純粹是因為在研究一個涉及模算子性質的問題時，頻繁地遇到瞭“模函數”這個概念，但對其瞭解僅停留在初等數論的皮毛。這讓我意識到，要深入理解這個領域，必須依賴更專業的書籍。在眾多選擇中，這本《數論中的模函數與狄利剋雷級數（第二版）》吸引瞭我，它龐大的篇幅和嚴謹的標題預示著內容的深度和廣度，這正是我所需要的。我期望這本書能夠係統地介紹模函數的定義、性質以及它們在數論中的重要應用。同時，我也對“狄利剋雷級數”這一部分感到好奇，雖然我大概知道它與素數定理等有聯係，但具體是如何運作的，以及它與模函數之間可能存在的深刻聯係，是我非常想在書中找到答案的地方。讀完這本書，我希望能對模函數有一個透徹的理解，並能將它靈活地應用於解決我遇到的具體研究問題。

評分☆☆☆☆☆

我是一名數學係的研究生，目前的研究方嚮是解析數論。我一直對狄利剋雷級數情有獨鍾，它們的美妙之處在於能夠將離散的數論對象轉化為連續的函數，並通過分析函數的性質來揭示數的奧秘。我在學習過程中遇到過很多關於狄利剋雷級數的教材，但很少有能夠將它與模函數如此緊密地結閤起來進行講解的。我看到這本書的標題時，立刻被它所吸引。我非常好奇，模函數這個相對“初等”的概念，是如何與像狄利剋雷級數這樣“高級”的工具結閤在一起的。我猜測書中可能涉及一些關於模形式與狄利剋雷L-函數之間的深刻聯係，這正是我一直想要探索的領域。我希望這本書能夠提供一些我未曾接觸過的視角和方法，讓我能夠更好地理解這些概念之間的內在聯係，並為我未來的研究提供新的思路。

評分☆☆☆☆☆

最近，我在整理我大學時期的數學筆記，偶然翻到一本關於代數數論的舊書，裏麵提到瞭數論中的一些“更高級”的概念，包括模函數和狄利剋雷級數。當時我因為基礎不夠紮實，對這些內容隻能囫圇吞棗，留下瞭一知半解的印象。如今，隨著年齡的增長和數學視野的開闊，我越發覺得這些概念的重要性。這本《數論中的模函數與狄利剋雷級數（第二版）》恰好填補瞭我知識體係中的這一塊空白。我希望能在這本書中找到對模函數的清晰定義和性質的詳盡闡述，瞭解它們是如何在數論中被構建和應用的。同時，我也對狄利剋雷級數如何與數論的各種問題聯係起來感到好奇，特彆是它在解析數論中的強大威力。我期望這本書能夠提供一個嚴謹又不失啓發性的視角，讓我能夠重新認識並深入理解這兩個重要的數論工具。