共形幾何的若乾問題 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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☆☆☆☆☆

王文智 著

圖書標籤:

• 共形幾何
• 復分析
• 黎曼麵
• 調和函數
• 保形映射
• 微分幾何
• 偏微分方程
• 數學分析
• 幾何學
• 拓撲學

齣版社： 華南理工大學齣版社

ISBN：9787562353263

版次：1

商品編碼：12257724

品牌：華南理工大學齣版社

包裝：平裝

開本：16

齣版時間：2017-06-01

用紙：銅版紙

內容簡介

微分算子，通常討論的是非綫性偏微分方程。除瞭在微分幾何方麵的重要性之外，共形幾何在理論物理，超弦理論方麵也有重要應用。由於其變分泛函不滿足緊性條件，通常的變分方法不再適用，而為瞭獲得緊性條件，必須考慮所研究幾何對象的幾何結構、拓撲結構等等，在知識上涉及麵廣泛，在方法上技巧高超，是艱深而又有趣的。

目錄

部分Ⅰ 背景材料
第一章 黎曼幾何要略
第一節 微分流形
一、拓撲流形微分流形
二、切空間與餘切空間
三、張量場與外微分式
四、外微分式的積分
第二節 Riemann流形
一、Riemann度量
二、仿射聯絡
三、Levi-Civita聯絡
四、流形上的微分算子
第三節 麯率
一、麯率張量
二、Ricci麯率數量麯率
第四節 指數映射
一、平移
二、指數映射
三、測地法坐標係
四、Jacolbi場
第五節 共形不變張量
一、Weyl張量
二、Schouten張量Cotten張量
三、共形度量
四、Weyl張量的共形不變性
五、局部共形平坦
第二章 索伯列夫空間
第一節 Lebesgue積分
一、流形上的Lebesgue積分
二、空間Lp(M)
三、Lorentz空間Lp，q(M)
第二節 Sobolev空間及相關不等式
一、Sobolev嵌入定理
二、最佳Sobolev不等式
三、直交性Aubin不等式
四、Moser-Aubin不等式

部分Ⅱ 共形數量麯率的分析方法
第三章 共形度量的數量麯率
第一節 經典Yamabe問題
一、曆史上的Yamabe問題
二、Aubin定理BN.模型
三、Schoen定理
四、Yamabe方程解的集閤
五、Aubin定理的影響
第二節 設定共形數量麯率
一、存在性與Euler示性數
二、存在性與Yamabe不變量
三、Brezis-Kato正則化
第三節 Yamabe流
一、Yamabe流
二、Sn上的Yamabe流
三、指數收斂
四、關於Yamabe不變量
第四章 對稱性與NIR.問題
第一節 Nirenberg問題
一、問題
二、Kazdan-Warner恒等式
第二節 分析方法
一、非綫性Fredholm型定理
二、具對稱性的問題
第三節 Aubin不等式的另一種形式
一、Chang-Yang的結論
二、用次臨界逼近
三、不等式的建立

部分Ⅲ Nirenberg問題的拓撲方法
第五章 代數拓撲方法
第一節 Bahri-Coron定理
一、變分問題
二、Rn上的Bahri-Coron模型
第二節 (P.S.)序列的行為
一、Struwe-Bahri-Coron引理
二、用粒子逼近及餘項
三、導算子在粒子上的作用
第三節 梯度流及其走嚮
一、梯度流
二、從W(p，?)(p≥2)齣發的下降流
三、從W(1，?)齣發的下降流
四、構建形變引理
第四節 拓撲論證
一、代數拓撲準備
二、拓撲論證
第五節 積分估計補充
一、粒子與餘項間的作用
二、粒子間的相互作用
三、J(u)的展開式
第六章 拓撲度方法
第一節 張一楊攝動定理
一、張-楊映射
二、張-楊攝動定理
三、指標記數條件與拓撲度條件
第二節 共形參數解
一、帶Lagrange乘數的共形解
二、Qp(u)的一階與二階導數
三、極小解的唯一性與連續性
第三節 G(P，t)的漸近性質
一、拓撲度相等的映射
二、極值函數的存在性
三、攝動條件下的積分估計
第四節 G的漸近展式及其它
一、其它結論
二、庥成?
第七章 低維Nirenberg問題
第一節 解的上下界
一、共形參數解
二、(?-*)條件
第二節 逐點估計
一、跡零Ricci張量
二、拉迴映射
三、逐點估計
第三節 整體拓撲度
一、攝動常數量麯率
二、拓撲度的計算
第四節 二維情形的結論
一、Chang-Gursky-Yang定理
二、張恭慶劉嘉荃定理

部分Ⅳ 高階共形麯率
第八章 高階共形麯率
第一節 Q麯率及相關問題
一、Paneitz算子
二、Q-Yamabe問題
三、一個極小極大方案
第二節 k-Yamabe問題
一、髃-麯率
二、髃-Yamabe問題
三、變分法
四、Kazdan-Wamer型恒等式
附錄A 變分原理
一、泛函三定理及收斂
二、映射的微分
三、極值問題
四、形變引理
附錄B 拓撲度理論
一、Brouwer度
二、Leray-Scshauder度
附錄C 凝聚緊性原理
一、P.-L.ions引理
二、Sobolev函數列
三、Struwe-Bahri型引理
附錄D Sn上的Laplace算子
一、球極投影
二、特徵值與特徵函數
三、球麵調和函數
參考文獻
符號索引
內容索引

好的，這是一份圖書簡介，旨在介紹一本與“共形幾何的若乾問題”無關，但同樣具有深度和廣度的數學領域著作。 --- 書名：非歐幾何基礎與黎曼麯麵的拓撲結構 作者：[此處可填入虛構的作者名，例如：李明 教授] 齣版社：[此處可填入虛構的齣版社名，例如：數學前沿齣版社] 內容簡介： 本書係統、深入地探討瞭非歐幾何的根基及其在現代數學結構中的重要作用，特彆聚焦於黎曼麯麵的拓撲性質及其與代數幾何的交叉聯係。全書旨在為具備微積分和綫性代數基礎的讀者，提供一條通往高等幾何和拓撲學核心概念的嚴謹路徑。我們著重於構建幾何直覺與分析工具之間的橋梁，而非僅僅羅列公式或陳述定理。 第一部分：非歐幾何的誕生與基礎 本部分追溯瞭非歐幾何的哲學與數學淵源。我們從歐幾裏得幾何的第五公設入手，詳細剖析瞭其在曆史上的爭議及其被推翻的可能性。通過對羅巴切夫斯基和鮑伊亞的幾何思想的梳理，我們引入瞭雙麯空間的內稟結構。 1.1 歐氏幾何的內省：第五公設的獨立性 本章首先迴顧瞭歐氏幾何的公理係統，並以剋萊因對平行綫的討論為例，揭示瞭第五公設的特殊地位。我們詳細分析瞭割捨該公設後可能産生的邏輯後果，為過渡到更廣闊的幾何空間做鋪墊。 1.2 羅巴切夫斯基幾何：雙麯空間的構造 我們采用運動學和嚮量分析相結閤的方法，構建瞭羅巴切夫斯基空間（雙麯空間）。重點討論瞭雙麯三角形的內角和定理——其和恒小於 $pi$——以及相關的三角函數關係。通過構建龐加萊圓盤模型和雙麯上半平麵模型，讀者可以直觀地理解雙麯度量的內在性質，如測地綫的性質和空間麯率的恒定性。我們還將討論雙麯空間中“理想點”的概念及其在幾何證明中的應用。 1.3 橢圓幾何：球麵幾何的再審視 與雙麯幾何形成對比，本章分析瞭麯率恒為正的空間，即球麵幾何。雖然球麵幾何常被視為初等內容，但我們在本節中將其提升到更嚴格的微分幾何框架下討論。重點在於測地綫的唯一性、大圓的概念，以及球麵三角學中內角和恒大於 $pi$ 的性質。此處的討論旨在統一處理麯率為零（歐氏）、負（雙麯）和正（橢圓）三種基本情形。 第二部分：度量空間與微分流形初步 為瞭更精確地描述非歐幾何，我們需要引入現代微分幾何的語言。本部分側重於度量空間的引入和對麯率概念的初步理解。 2.1 度量空間的拓撲性質 我們從抽象的度量空間齣發，討論瞭開集、閉集、完備性、緊緻性和連通性等基本拓撲概念。這些概念是理解幾何對象內在結構的基石。我們詳細分析瞭由非歐度量誘導的拓撲結構，例如在雙麯空間中，測地綫如何影響區域的邊界行為。 2.2 麯率的內稟概念：高斯關於麯麵的絕妙定理 高斯關於麯麵的絕妙定理是連接局部幾何與整體拓撲的關鍵。我們首先定義瞭第一、第二基本形式，並由此導齣法麯率和主麯率。本章的核心在於證明高斯麯率 $K$ 是完全由麯麵自身的內稟度量決定的，從而奠定瞭黎曼幾何的內稟性基礎。我們將通過幾個具體的例子（如圓柱麵、球麵、懸鏈麯麵）來計算和解釋高斯麯率的幾何意義。 2.3 黎曼度量與黎曼流形 在二維空間之後，我們將概念推廣到更高維度的流形。黎曼流形被定義為光滑流形配備一個處處非退化的對稱二次型（黎曼度量）。我們引入瞭協變導數、黎曼麯率張量和裏奇張量，為後續討論的整體性質做準備。 第三部分：黎曼麯麵的拓撲結構與分析 本部分將前兩部分的幾何直覺與拓撲不變量相結閤，深入探討二維緊緻黎曼流形——黎曼麯麵——的性質。 3.1 拓撲分類與歐拉示性數 黎曼麯麵的拓撲結構由其歐拉示性數 $chi$ 完全決定。我們采用組閤拓撲的方法，通過剖分和組閤公式，計算瞭不同拓撲類型（球麵、環麵、雙孔麯麵等）的歐拉示性數。本章強調瞭拓撲不變量在區分幾何結構方麵的決定性作用。 3.2 調和微分形式與德拉姆上同調 為瞭在不依賴度量的情況下研究麯麵的拓撲結構，我們引入瞭微分形式理論。詳細闡述瞭德拉姆上同調群 $H^k_{dR}(M)$ 的構造。對於二維流形 $M$，我們重點分析瞭 $H^0(M)$（函數空間）和 $H^1(M)$（一形式空間）。 3.3 黎曼-洛赫定理（Riemann-Roch Theorem） 本書的高潮部分是黎曼-洛赫定理的闡述與應用。該定理精妙地聯係瞭代數幾何中的代數係統（代數麯綫上的綫叢和它們的截麵空間維度）與微分幾何中的分析量（麯麵的拓撲屬性和度量）。我們將以拓撲麯綫上的亞純函數和除數理論為切入點，解釋該定理的深刻內涵，展示瞭黎曼麯麵在連接不同數學分支中的中心地位。 3.4 測地流與動力學 最後，我們短暫地觸及瞭黎曼麯麵上的動力學係統。討論瞭測地綫流（Geodesic Flow）的性質，以及它如何受麯麵麯率的影響。在負麯率（雙麯）流形上，測地流錶現齣完全的混沌性，這為理解隨機過程在麯麵上的演化提供瞭幾何模型。 目標讀者： 本書適閤數學係高年級本科生、研究生，以及幾何學、拓撲學、理論物理學中需要紮實非歐幾何基礎的研究人員。對讀者要求具備紮實的微積分基礎、綫性代數知識，並對拓撲學有初步瞭解者更佳。 本書特點： 強調內稟性： 盡可能使用不依賴於嵌入空間的證明方法。 模型與抽象結閤： 結閤具體的幾何模型（如龐加萊圓盤）與抽象的微分幾何語言。 跨學科視野： 重點展示非歐幾何、微分幾何與拓撲學之間的內在聯係。 ---

評分☆☆☆☆☆

一本沉浸式的數學之旅，讓人領略到數學思維的精妙與深度。初拿到這本書，就被其書名所吸引——“共形幾何的若乾問題”。這並非一本通俗的科普讀物，而是邀請讀者一同深入探討數學世界中那些引人入勝的未解之謎。書中的內容，如同精心雕琢的藝術品，每一個公式、每一個證明都凝聚著作者的智慧與心血。 我尤其被其中關於黎曼麯麵的討論所打動。作者以一種循序漸進的方式，從基礎概念入手，逐步構建起一個宏大而嚴謹的理論框架。那些看似抽象的幾何變換，在作者的筆下變得鮮活起來，仿佛有瞭生命一般，在紙麵上跳躍、鏇轉，展現齣其內在的優雅與和諧。讀者不僅能學習到共形映射的核心思想，更能體會到它在拓撲學、復分析等多個數學分支中的廣泛應用，以及其在解決實際問題上的強大潛力。 書中對於一些經典難題的探討，更是令人拍案叫絕。作者沒有直接給齣答案，而是帶領讀者一步步剝絲抽繭，分析問題的癥結所在，展現齣解決問題過程中的思維火花。這種互動式的寫作風格，極大地激發瞭我的求知欲和探索精神。我不再是被動地接收知識，而是主動地參與到數學的創造過程中，仿佛自己也成為瞭一名小小探險傢，在未知的數學海洋中尋找寶藏。 當然，這本書對讀者的數學基礎有一定要求，但正是這份挑戰，使得每一次閱讀都成為一次自我突破。我發現，隨著閱讀的深入，自己對數學的理解也在不斷深化，看待問題的方式也變得更加靈活和深刻。那些曾經讓我望而卻步的難題，如今也似乎有瞭些許眉目。這本書不僅僅是一本教材，更像是一位循循善誘的良師益友，引導我不斷超越自我，攀登數學的高峰。 總而言之，“共形幾何的若乾問題”是一本值得反復品讀的數學著作。它不僅為我打開瞭通往共形幾何深奧領域的大門，更重要的是，它點燃瞭我對數學的無限熱情，讓我看到瞭數學思維的無窮魅力。我相信，任何對數學有濃厚興趣的讀者，都會在這本書中找到屬於自己的那份驚喜與收獲。

評分☆☆☆☆☆

這本書給人的感覺，就像是在探索一個古老而充滿智慧的迷宮，每一個轉角都可能隱藏著令人驚嘆的發現。初次翻閱，就被其獨特的視角所吸引。它不像傳統的數學書籍那樣，上來就拋齣一堆定理和公式，而是以一種更加“問題導嚮”的方式，引導讀者去思考、去探索。 我印象最深刻的是其中關於“共形不變性”的章節。作者並沒有直接陳述這個概念有多麼重要，而是通過一係列精心設計的例子，展示瞭在不同的幾何變換下，某些幾何性質是如何保持不變的。這種“潤物細無聲”的教學方式，讓我對共形映射有瞭更直觀、更深刻的理解。我仿佛看到瞭那些看似微不足道的變換，在背後卻支撐著一個龐大而精妙的數學結構。 書中對一些具有挑戰性的證明過程的呈現，更是讓我受益匪淺。作者並沒有簡化那些復雜的推導，而是詳細地展示瞭每一步的邏輯鏈條，讓我們能夠跟隨作者的思路，一步步地走入證明的內心世界。有時候，即使不能完全理解每一個細節，但僅僅是跟隨作者的腳步，也能感受到其中蘊含的嚴謹與智慧。 這本書的語言風格也十分獨特，既有嚴謹的學術性，又不失文學的韻味。作者善於運用生動的比喻和形象的描述，將抽象的數學概念變得易於理解。我常常在閱讀的過程中，會不自覺地停下來，迴味那些精妙的措辭，思考那些引人深思的觀點。 對我而言，這本書更像是一次思維的洗禮。它教會我如何用更廣闊的視野去審視數學問題，如何從不同的角度去尋找解決之道。那些看似孤立的數學知識，在書中被巧妙地聯係起來，展現齣它們之間韆絲萬縷的聯係。這本書不僅提升瞭我的數學技能，更重要的是，它培養瞭我獨立思考和解決問題的能力。

評分☆☆☆☆☆

這本書的書名“共形幾何的若乾問題”本身就散發著一種神秘而吸引人的氣息，讓我充滿好奇。閱讀過程宛如走進一個精心設計的數學迷宮，每一步都充滿瞭智力上的挑戰與驚喜，讓我不禁沉浸其中，久久不能自拔。 書中對不同幾何空間之間關係的闡述，尤其讓我印象深刻。作者沒有直接給齣結論，而是通過大量的細節和嚴謹的論證，帶領讀者一步步地理解這些復雜的關聯。我常常會反復閱讀某一段，試圖去理解其中蘊含的深層含義，以及作者是如何一步步構建起這些精妙的論證。 我特彆喜歡書中關於“莫比烏斯變換”的討論。作者將這一看似簡單的變換，從不同的角度進行瞭深入的剖析，展現瞭它在幾何、拓撲等多個領域的強大應用。我仿佛看到瞭數學工具的強大力量，是如何將看似無關的概念連接起來，並解決實際問題的。 這本書的寫作風格十分獨特，既有學術的嚴謹性，又不乏一絲浪漫的色彩。作者在描述復雜的數學概念時，常常會穿插一些曆史故事或者哲學的思考，讓整個閱讀過程更加生動有趣。我感覺自己不僅僅是在學習數學，更是在與一位富有智慧的思想傢進行對話。 對我而言，這本書最大的價值在於它提供瞭一種全新的數學視角。它讓我明白，數學並非僵化的規則和公式，而是一個充滿活力和創造力的領域。通過這本書，我不僅學到瞭共形幾何的知識，更重要的是，我學會瞭如何去思考，如何去探索，如何去發現數學中隱藏的美。 因此，我強烈推薦這本書給所有對數學有熱情，並且樂於接受挑戰的讀者。它一定會帶給你一次難忘的數學之旅。

評分☆☆☆☆☆

第一次接觸到這本書，就被它深邃的書名所吸引：“共形幾何的若乾問題”。這股吸引力並非源於對某個具體知識點的期待，而是一種對未知領域探索的渴望。讀完之後，我深切感受到這本書帶給我的那種“撥雲見日”般的驚喜，以及一種智識上的全新體驗。 書中對早期幾何學傢們在共形幾何領域所麵臨的挑戰的描繪，讓我對數學的發展曆程有瞭更深的認識。作者並非簡單地羅列定理，而是將這些定理置於曆史的背景之下，展現瞭它們是如何在解決實際問題的過程中孕育而生的。我仿佛看到瞭那些偉大的頭腦，如何在麵對睏難時，展現齣驚人的毅力和創造力。 令我印象深刻的是，作者對於一些看似相互獨立的幾何概念，通過共形映射這一核心工具，巧妙地將它們串聯起來，展現齣一種宏大的統一性。這種“以小見大”的寫作手法，不僅讓我看到瞭共形幾何的威力，更讓我領略到數學的普適性和內在的和諧之美。 書中關於度量空間的探討，更是讓我大開眼界。作者從不同的角度分析瞭度量在幾何中的作用，以及共形變換如何改變度量，但又保留瞭某些重要的幾何信息。這種深入的分析，讓我對“距離”這一概念有瞭更深刻的理解，也讓我看到瞭數學的嚴謹與精妙之處。 這本書並非易讀之作，它需要讀者具備一定的數學基礎，以及持續的耐心和思考。但正是這份挑戰，使得每一次的閱讀都充滿瞭成就感。我發現，隨著閱讀的深入，自己對數學的理解也在不斷地升華，思維的邊界也在不斷地拓寬。 總而言之，“共形幾何的若乾問題”是一本令人著迷的書籍，它不僅讓我學習到瞭寶貴的數學知識，更重要的是，它點燃瞭我對探索數學世界的熱情，讓我看到瞭數學的無限可能。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵上“共形幾何的若乾問題”幾個字，仿佛是開啓一個未知世界的鑰匙，激起瞭我內心深處的好奇和求知欲。拿到手後，我迫不及待地翻開，果然，這是一本能讓人沉浸其中、忘卻時間的書。 書中對一些關鍵性幾何概念的引入，非常巧妙。它不像一般的教材那樣，直白地給齣定義，而是通過一係列的問題和思考，引導讀者主動去探索和發現。我常常會跟隨作者的思路，在腦海中構建齣幾何圖形，然後在心中反復推敲。 我特彆欣賞書中對於“共形映射”的深入探討。作者不僅解釋瞭它的數學本質，更重要的是，它揭示瞭共形映射在解決一些看似棘手的幾何問題中所扮演的關鍵角色。我仿佛看到瞭一個隱藏在幕後的“魔法師”，通過其獨特的能力，化解瞭一個又一個的難題。 書中對一些具有挑戰性的數學證明的呈現，也讓我印象深刻。作者並沒有迴避其中的復雜性，而是選擇瞭一條清晰而嚴謹的邏輯路徑，一步步地帶領讀者走嚮結論。這種“循循善誘”的寫作方式，讓我即使在遇到睏難時，也能保持學習的動力。 更重要的是，這本書為我提供瞭一個全新的思考框架。它讓我明白，在探索數學世界時，不僅僅要關注“是什麼”，更要深入思考“為什麼”和“如何”。這種批判性思維的培養，對於任何一個追求知識深度的人來說，都是至關重要的。 總而言之，“共形幾何的若乾問題”是一本極具啓發性的數學書籍。它不僅提供瞭寶貴的知識，更重要的是，它點燃瞭我對數學探索的熱情，讓我看到瞭數學思維的強大力量和無限魅力。