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步尚全 著

图书标签:

• 泛函分析
• 数学分析
• 高等数学
• 理论基础
• 数学专业
• 大学教材
• 分析学
• 函数空间
• 线性空间
• 算子理论

出版社： 清华大学出版社

ISBN：9787302250579

版次：1

商品编码：12285161

包装：平装

丛书名： 清华大学研究生公共课教材·数学系列

开本：16开

出版时间：2011-05-01

用纸：胶版纸

页数：194

字数：276000

正文语种：中文

内容简介

　　《泛函分析基础》主要论述泛函分析的基本内容及其在分析及逼近论中的应用。全书共分为五大部分，依次论述度量空间、赋范空间、内积空间、赋范空间中的基本定理及有界线性算子的谱论。《泛函分析基础》可以作为综合性大学工科各专业学生以及没有修过实变函数的理科各专业学生学习泛函分析的教材，也可以作为数学系学生学习泛函分析时的参考书。

内页插图

目录

第1章 度量空间
1．1 度量空间的定义及例子
1．2 开集和闭集
1．3 收敛性、完备性及紧性
1．4 Banach不动点定理及其应用
习题1

第2章 赋范空间
2．1 线性空间和维数
2．2 赋范空间和Banach空间
2．3 有限维赋范空间
2．4 有界线性算子
2．5 有界线性泛函及其表示
习题2

第3章 内积空间和Hilbert空间
3．1 内积空间
3．2 正交补及正交投影
3．3 标准正交集与标准正交基
3．4 Hilbert空间上有界线性泛函的表示
习题3

第4章 赋范空间中的基本定理
4．1 Hahn-Banach定理
4．2 一致有界性原理
4．3 强收敛与弱收敛
4．4 开映射定理和闭图像定理
4．5 在逼近论中的应用
习题4

第5章 线性算子的谱论
5．1 基本概念及例子
5．2 紧算子的谱论
5．3 自伴算子的谱论
习题5

附录1 半序集和Zorn引理
附录2 集合的势与可数集
索引

前言/序言

　　泛函分析是数学的一个抽象分支，它起源于经典分析。人们在研究各种实际数学问题时发现，虽然他们研究的对象不同，有时可能是序列，有时可能是函数，有时可能是欧氏空问中的点，但他们研究这些问题的方法和技巧本质上是一样的。人们根据这个事实，通过对问题的提炼，而获得了解决这些问题有效而统一的途径，形成了一套综合应用代数、分析和几何的理论，这就是泛函分析的起源。泛函分析与数学的几乎所有学科均有内在的联系，在微分方程的现代理论、调和分析、随机过程与随机分析学、计算数学、生物数学以及经济数学等数学分支中有着十分重要的应用。泛函分析在规划与优化、电子信息、控制论、自动化及管理学等方面也有著十分重要的应用，这也是越来越多的大学对工科学生开设泛函分析这门课程的原因。
　　本书是针对工科各专业学生和没有修过实变函数的数学系学生讲授的泛函分析教材。考虑到工科学生一般仅仅掌握高等数学的基本内容，对于较深的数学内容（如拓扑、Lebesgue积分及集合论）所知甚少，我们在本书的编写过程中力图避开应用这些较深的数学内容。考虑到工科学生的数学基础，我们尽量将所编内容细化，在证明的推导过程中尽力给出详细过程。只要了解高等数学基本内容的学生就可以不费力地读懂此书，从而掌握泛函分析的基本内容及其在实际中的应用技巧。我们希望学生们通过对详细推导过程的阅读和理解，不光可以掌握泛函分析的基本内容和应用技巧，也可以同时提高他们的抽象逻辑思维能力。这对他们以后在学习和工作中掌握更加深入的数学知识是十分必要的。
　　本书涵盖了泛函分析的基本内容。第1章讨论度量空间，这是全书的基础。在这一部分中，将给出度量空间的基本例子，研究度量空间的基本性质，包括开集、闭集、内部、闭包、稠密性、序列的收敛性、可分性、完备性、紧性、映射的连续性等，在这一部分里还将介绍著名的Banach不动点定理，它在数学的许多分支均有重要的应用。第2章讲授赋范空间的基本内容，包括线性空间的维数、Hamel基、线性算子、线性泛函以及线性泛甬的表示等。第3章研究内积空间，主要内容包括。Hilbert空间的正交投影、正交分解、标准正交基以及Hilberl空间上有界线性泛函的表示等。第4章是本书的核心内容，将建立赋范空间中的四大基本定理，即Hahn-Banach定理、一致有界性原理、开映射定理和闭图像定理，在这一章里还将给出这些基本定理的几个应用。第5章主要讨论有界线性算子的谱论，首先给出谱论的一般理论，然后研究紧算子的谱论及自伴算子的谱论。
　　由于工科学生更加注重泛函分析的应用，我们在每个重要理论之后力图多给一些此类抽象理论的具体应用。这些应用包括Banach不动点定理在求解线性方程组、微分方程初值问题解的局部存在性、求解函数积分方程及隐函数存在定理方面的应用。在第4章的最后一节，给出了泛函分析在逼近论中的几个应用，包括Chebysbev多项式、最小二乘法及三阶样条函数等。另外在第4章还给出了一致有界性原理在周期函数傅里叶级数收敛性、序列的可求和性以及求数值积分等方面的几个典型应用。为了使所讲授的主要内容紧凑些，将与集合的半序性及势的概念与基本性质安排在附录中，以便于读者自己补充这方面的知识。
　　本书是作者在清华大学多年讲授针对工科研究生的基础泛函分析这门课程的讲义基础上形成的。在本书的撰写过程中，得到了不少专家、同事及这门课程助教们的支持和帮助，作者借此机会一并向他们表示衷心的感谢。对于书中的疏漏之处，也请读者给予批评指正。

好的，以下是一份关于《泛函分析基础》的图书简介，侧重于介绍泛函分析这一学科的广泛应用和理论深度，同时避免提及具体书籍内容，旨在展示该领域的吸引力： --- 现代数学的基石：泛函分析的宏大叙事 在这个知识爆炸的时代，科学的边界正以前所未有的速度拓展。从量子力学描述的基本粒子行为，到金融市场中复杂衍生品的定价模型；从图像处理中精妙的滤波算法，到控制理论中最优解的求解——支撑这一切的，是数学结构与无限维空间的深刻洞察。这一切的理论核心，正是泛函分析（Functional Analysis）。 泛函分析，顾名思义，是研究函数空间及其上的线性映射的学科。它并非孤立的理论大厦，而是连接了古典分析、拓扑学、线性代数以及现代物理学和应用科学的强大桥梁。它将我们从有限维欧几里得空间中对几何和代数的直观理解，延伸到了包含无数个自由度的“无限维世界”。在这个世界里，向量不再是简单的三维箭头，而是复杂的函数、序列甚至算子。 跨越维度的视角：为什么需要泛函分析？ 在许多科学领域，我们遇到的对象往往不是有限个变量的组合，而是连续的、无穷的实体。例如，描述一个物理系统随时间演化的微分方程，其解本身就是一个函数。要对这些解进行比较、测量距离、求极限，甚至进行“线性组合”，就需要一套全新的、能够处理无限维向量空间（即函数空间）的数学工具。 泛函分析正是提供这套工具的学科。它为“无限”提供了一种可操作的框架。通过将函数视为向量，将微分算子视为线性变换，我们可以运用线性代数的深刻洞察力，去解决那些看似无从下手的分析问题。 核心概念的魅力：抽象的力量 该领域最迷人的部分在于其高度的抽象性，正是这种抽象性赋予了它无与伦比的普适性。学习泛函分析，意味着深入探究以下几个至关重要的概念： 首先是拓扑向量空间。这是对向量空间赋予拓扑结构后的产物。它允许我们在一个函数族中谈论“邻近性”、“收敛性”和“连续性”，为研究函数序列的渐进行为提供了坚实的基础。巴拿赫空间（Banach Spaces）和希尔伯特空间（Hilbert Spaces）是这一领域中的两大核心结构，前者提供了完备性保证，后者则引入了内积结构，使得“角度”和“投影”的概念得以在无限维空间中重现。 其次是算子理论。在线性代数中，我们研究矩阵如何作用于向量。在泛函分析中，我们研究线性算子（或称有界线性映射），它们将一个函数空间中的函数映射到另一个函数空间中的函数。理解这些算子的性质——它们的有界性、连续性、谱结构——是解决微分方程和量子力学问题的关键。特别地，紧算子（Compact Operators）的概念，将无限维问题转化为有限维的近似，是连接理论与实际计算的纽带。 最后，对偶空间与基本定理。每一个向量空间都有一个与之关联的对偶空间，它由作用于原空间元素的线性泛函组成。理解这个对偶结构，如著名的Hahn-Banach定理和极端的泛函理论，能够揭示空间本身的内在对称性和结构，是泛函分析理论深度的体现。 连接物理与工程的桥梁 泛函分析的实用价值是毋庸置疑的。在理论物理中，量子力学框架完全建立在希尔伯特空间之上，可观测量的期待值、态的演化、不确定性原理，无一不是通过算子在这些空间上的作用来描述。 在应用数学领域，偏微分方程（PDEs）的解存在性、唯一性和正则性研究，很大程度上依赖于特定的函数空间（如Sobolev空间）理论。当我们试图用数值方法逼近方程解时，泛函分析提供的理论保证，是验证算法可靠性的数学基础。即使在更偏向工程的领域，例如信号处理中的傅里叶变换，其理论根基深植于傅里叶空间（一种特殊的希尔伯特空间）的分析之中。 展望未来：无限之维的探索 探索泛函分析，不仅是对一个数学分支的学习，更是对数学思维方式的一次深刻洗礼。它要求学习者超越直观的几何图像，拥抱抽象的逻辑结构，并以一种全新的视角去审视连续性、收敛性和无限的本质。 这份学科的深度和广度，保证了其在未来科学研究中的持续核心地位。无论是致力于基础理论的构建，还是投身于前沿的工程应用，掌握泛函分析的语言和工具，都是理解现代科学前沿复杂系统的必备能力。它是一扇通往无限世界大门的钥匙，邀请着有志者们去探索更高维度、更抽象层次的数学真理。 ---

评分☆☆☆☆☆

拿到这本书，第一印象是它的厚重感，以及那种不怒自威的学术气息。封面上那些深邃的数学符号，仿佛在诉说着一个庞大而精密的理论体系。从我对这本书初步浏览的观察来看，它似乎是在构建一个关于“函数”的抽象世界，并且在这个世界里，我们不是简单地讨论函数的取值，而是关注函数的“性质”本身。我猜想，书中会涉及如何去定义和衡量函数之间的“相似度”或“距离”，比如引入一些范数或者度量，来刻画函数空间的结构。 接着，我推测这本书会对“线性算子”这一概念进行深入剖析。线性算子，在我看来，就像是一种对函数进行“变换”的规则，但这种变换必须遵循“叠加性”和“齐次性”的原则。比如，积分算子、微分算子，它们都是线性算子。书中是否会系统地介绍这类算子的性质，例如它们的定义域、值域、核以及像，并且讨论它们的性质，例如有界性、连续性、甚至紧致性？如果能通过例子说明这些算子在求解微分方程、傅里叶分析等问题中的作用，那将是极好的。 我预感这本书在讲解“收敛性”和“完备性”时，会非常严谨。数学分析的核心之一就是理解序列和函数的收敛行为，以及空间是否“完整”。我特别好奇，书中是否会详细阐述柯西序列的概念，以及为什么完备空间对于确保某些数学过程（如求解方程）能够成功至关重要。理解这些基础概念，对于深入学习诸如泛函分析、数值分析等领域，是必不可少的。 另外，从书名“基础”来看，这本书很可能涵盖了关于“赋范线性空间”的理论。这意味着它会介绍如何在一个向量空间里引入“长度”的概念，并且利用这个“长度”来定义距离和分析向量的“大小”。例如，它可能会介绍Lp空间，这些空间在概率论、信号处理等领域有着广泛的应用。我希望书中能清晰地解释这些空间的定义以及它们之间的关系。 最后，我强烈地感觉到，这本书不仅仅是知识的堆砌，更是在培养一种数学思维方式。它可能通过对数学概念的精炼定义、严谨的证明过程，以及对数学定理之间内在联系的揭示，来帮助读者建立起一种分析和解决问题的能力。我期待着在阅读过程中，能够逐步领会到数学的逻辑之美，以及如何运用抽象的数学工具去解决实际问题。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计颇具匠心，硬壳封面加上烫金的标题，散发着一种经典而庄重的学术气息，让人一眼就觉得它是一本值得深入研读的著作。根据我初步翻阅的印象，这本书似乎在构建一个关于“函数”的抽象数学框架，并且会从最基本的概念入手，逐步建立起更复杂的理论体系。我推测，书中会详细介绍各种“空间”的定义，不仅仅是简单的二维或三维空间，而是更抽象的、由函数本身构成的空间，比如函数空间。 我猜想，书中会对“度量空间”和“赋范空间”进行非常详细的阐述。这两个概念在我看来，都是为了给抽象的空间引入“距离”或“大小”的概念，从而能够对空间中的元素进行量化和比较。这本书是否会从最直观的欧几里得距离出发，然后推广到更一般的距离函数和范数定义？它是否会探讨不同范数之间的关系，以及它们如何影响空间的性质？我对此非常感兴趣，因为我一直觉得，理解这些“距离”的概念是掌握高维空间和复杂函数行为的关键。 同时，我推测这本书会深入讲解“收敛性”和“完备性”这两个核心概念。在数学分析中，收敛性是处理无穷序列和无穷级数的基础，而完备性则保证了许多重要数学过程的有效性。我特别希望书中能够详细解释柯西序列的意义，以及为什么完备空间对于保证极限的存在至关重要。如果书中能通过一些典型的例子，比如实数轴的完备性，来阐明这些概念，那对我来说将是极大的帮助。 此外，书名中的“泛函”二字，让我联想到这本书会大量涉及“算子”的概念。算子，在我理解中，就是作用在函数上的“函数”，它们能够将一个函数映射到另一个函数，或者将其转化为一个数值。书中是否会重点介绍线性算子，并探讨其性质，比如有界性、连续性，甚至紧致性？我希望这本书能揭示这些算子在解决微分方程、积分方程，以及在量子力学等领域的应用。 总而言之，我从这本书的标题和初步翻阅中，感受到了一种系统性、严谨性和深刻性。我期望它能够帮助我建立起扎实的数学理论基础，提升我的抽象思维能力，并为我将来深入研究更高级的数学领域打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计简洁而不失力量感，标题“泛函分析基础”更是直接点明了其学术属性，让我对其内容充满了好奇与期待。在我初步的翻阅中，我感觉这本书像是一扇通往更抽象数学世界的门，它可能会深入探讨“函数”本身所具有的各种性质，以及由函数构成的“空间”所展现出的丰富结构。 我推测，书中会详细讲解“度量空间”和“赋范线性空间”的定义和性质。这部分内容很可能涉及如何为抽象的空间引入“距离”和“大小”的概念，以便我们能够定量地描述空间中元素之间的关系。我特别希望书中能够通过具体的例子，例如实数空间、复数空间，甚至更复杂的函数空间，来帮助我理解这些抽象概念的实际意义。 同时，我预计书中会花大量篇幅来阐述“收敛性”和“完备性”等核心分析思想。这对于理解函数序列和函数级数的行为至关重要。我很好奇，书中会如何详细解释柯西序列的概念，以及为什么完备空间能够保证极限的存在，从而使得许多数学构造（如积分、傅里叶级数）能够有意义地进行。 此外，书名中的“泛函”二字，让我联想到本书会深入探讨“算子”的概念。算子，可以理解为一种对函数施加变换的规则。我希望书中能详细介绍线性算子，并分析其各种性质，例如有界性、连续性，以及它们在解微分方程、研究积分方程等问题中的应用。 总体而言，我预感这本书将是一部极具深度和广度的数学著作，它旨在为读者打下坚实的数学理论基础，培养严谨的逻辑思维能力，并为进一步探索数学的奥秘铺平道路。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计非常简洁大气，一眼就能感受到一种严谨而深邃的学术氛围。从我个人翻阅的初步感受来看，它似乎是一部对数学领域某个分支进行了系统性梳理的作品。我猜测，它可能围绕着“函数”这一核心概念，深入探讨了各种与函数相关的数学结构和性质。比如，我留意到书中有不少篇幅在描绘抽象空间中的点，以及这些点之间的“距离”或“大小”是如何被定义的。这不禁让我联想到，或许这本书在介绍度量空间、赋范线性空间等基本概念时，会用一种非常清晰和逐步递进的方式来引导读者。 同时，我推测书中会对“算子”进行详尽的阐述。算子，在我浅薄的理解中，就是作用在函数上的“函数”，它们可以改变函数的形态、大小，甚至将其映射到另一个空间。这本书是否会深入分析线性算子、有界算子，甚至是不连续算子？它们在不同数学分支中扮演着怎样的角色？比如，在微分方程的求解中，求解过程本身就可以看作是一个算子的应用；在量子力学中，描述物理量的算符更是核心概念。这本书有没有可能将这些抽象的数学工具，通过具体的例子和应用场景，呈现在我们面前，让我们理解它们的实际意义和威力？我对此充满了期待。 再者，这本书的标题“泛函分析基础”让我猜测，它可能在讲解诸如收敛性、完备性、连续性等一系列分析学中的核心思想。一个空间里的点列是否会“聚集”到某个点上？一个空间是否“没有漏洞”，即任何收敛的柯西列都能找到它的极限？以及，函数是否在各个地方都“平滑”地变化？这些看似基础的概念，在更高深的数学理论中却是基石。我特别希望这本书能够帮助我牢固掌握这些基础，因为我知道，在后续的学习中，无论是概率论、偏微分方程，还是更抽象的几何学，都需要这些扎实的分析功底。 此外，我注意到书中似乎提及了“赋范空间”这个术语。这可能意味着它会对向量空间的结构进行更细致的研究，尤其是在引入“范数”的概念之后。范数，就像是我们为向量定义的一个“长度”或“大小”，它使得我们可以量化向量的“大小”和向量之间的“距离”。这本书是否会从最简单的欧几里得空间出发，逐步过渡到更一般的赋范线性空间，甚至希尔伯特空间、巴拿赫空间等？我对这些空间在信号处理、图像识别等领域的潜在应用非常感兴趣，希望这本书能够揭示它们之间的联系。 最后，虽然我尚未深入阅读，但从书名的“基础”二字，我隐约感觉到这本书旨在为读者构建一个坚实的数学理论框架。它或许不像一本纯粹的应用数学书籍那样，直接抛出各种算法和工具，而是更侧重于讲解数学的逻辑、公理体系和证明方法。这对我来说是尤为宝贵的，因为我深知，只有理解了数学的本质，才能灵活地运用它们去解决各种复杂的问题，而不是死记硬背一些公式。我期望这本书能够培养我的数学思维，提升我的抽象概括能力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版设计非常清晰，字里行间透露着一种严谨而细致的学术风格。从我粗略的翻阅来看，这本书似乎在系统地构建一个关于“函数”的抽象数学理论体系。我猜测，它可能会从最基础的“集合”和“映射”的概念出发，逐步过渡到更复杂的“空间”和“算子”的理论。 我推测，书中会重点探讨“赋范线性空间”的概念，这涉及到如何在向量空间中引入“长度”或“大小”的概念。我希望它能清晰地解释范数的定义，以及不同范数如何影响空间的几何性质。例如，它是否会介绍诸如Lp空间、希尔伯特空间、巴拿赫空间等重要的函数空间？我特别好奇这些空间在解决实际问题时是如何被应用的，比如在信号处理、图像压缩等领域。 同时，我预感书中会对“算子”的概念进行深入的阐述。算子，在我看来，就像是一种作用在函数上的“变换”，它能够将一个函数映射到另一个函数，或者将函数转化为一个数值。书中是否会详细介绍线性算子，并分析其性质，如紧致性、自伴性等？我期待看到算子理论如何帮助我们理解和解决例如微分方程、积分方程等问题。 此外，我猜测这本书会对“收敛性”和“连续性”等分析学中的核心概念进行严谨的定义和深入的探讨。理解函数序列的收敛性，以及函数在空间中的连续性，是进行各种数学分析的基础。我希望书中能通过清晰的例子和证明，帮助我牢固掌握这些概念。 总的来说，我感觉这本书不仅仅是一本知识的汇集，更像是在引导读者构建一种严谨的数学思维方式。它旨在为读者打下坚实的理论基础，提升其抽象概括能力，并为进一步深入学习数学的各个分支做好准备。