泛函分析基礎 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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步尚全 著

圖書標籤:

• 泛函分析
• 數學分析
• 高等數學
• 理論基礎
• 數學專業
• 大學教材
• 分析學
• 函數空間
• 綫性空間
• 算子理論

齣版社： 清華大學齣版社

ISBN：9787302250579

版次：1

商品編碼：12285161

包裝：平裝

叢書名： 清華大學研究生公共課教材·數學係列

開本：16開

齣版時間：2011-05-01

用紙：膠版紙

頁數：194

字數：276000

正文語種：中文

內容簡介

　　《泛函分析基礎》主要論述泛函分析的基本內容及其在分析及逼近論中的應用。全書共分為五大部分，依次論述度量空間、賦範空間、內積空間、賦範空間中的基本定理及有界綫性算子的譜論。《泛函分析基礎》可以作為綜閤性大學工科各專業學生以及沒有修過實變函數的理科各專業學生學習泛函分析的教材，也可以作為數學係學生學習泛函分析時的參考書。

內頁插圖

目錄

第1章 度量空間
1．1 度量空間的定義及例子
1．2 開集和閉集
1．3 收斂性、完備性及緊性
1．4 Banach不動點定理及其應用
習題1

第2章 賦範空間
2．1 綫性空間和維數
2．2 賦範空間和Banach空間
2．3 有限維賦範空間
2．4 有界綫性算子
2．5 有界綫性泛函及其錶示
習題2

第3章 內積空間和Hilbert空間
3．1 內積空間
3．2 正交補及正交投影
3．3 標準正交集與標準正交基
3．4 Hilbert空間上有界綫性泛函的錶示
習題3

第4章 賦範空間中的基本定理
4．1 Hahn-Banach定理
4．2 一緻有界性原理
4．3 強收斂與弱收斂
4．4 開映射定理和閉圖像定理
4．5 在逼近論中的應用
習題4

第5章 綫性算子的譜論
5．1 基本概念及例子
5．2 緊算子的譜論
5．3 自伴算子的譜論
習題5

附錄1 半序集和Zorn引理
附錄2 集閤的勢與可數集
索引

前言/序言

　　泛函分析是數學的一個抽象分支，它起源於經典分析。人們在研究各種實際數學問題時發現，雖然他們研究的對象不同，有時可能是序列，有時可能是函數，有時可能是歐氏空問中的點，但他們研究這些問題的方法和技巧本質上是一樣的。人們根據這個事實，通過對問題的提煉，而獲得瞭解決這些問題有效而統一的途徑，形成瞭一套綜閤應用代數、分析和幾何的理論，這就是泛函分析的起源。泛函分析與數學的幾乎所有學科均有內在的聯係，在微分方程的現代理論、調和分析、隨機過程與隨機分析學、計算數學、生物數學以及經濟數學等數學分支中有著十分重要的應用。泛函分析在規劃與優化、電子信息、控製論、自動化及管理學等方麵也有著十分重要的應用，這也是越來越多的大學對工科學生開設泛函分析這門課程的原因。
　　本書是針對工科各專業學生和沒有修過實變函數的數學係學生講授的泛函分析教材。考慮到工科學生一般僅僅掌握高等數學的基本內容，對於較深的數學內容（如拓撲、Lebesgue積分及集閤論）所知甚少，我們在本書的編寫過程中力圖避開應用這些較深的數學內容。考慮到工科學生的數學基礎，我們盡量將所編內容細化，在證明的推導過程中盡力給齣詳細過程。隻要瞭解高等數學基本內容的學生就可以不費力地讀懂此書，從而掌握泛函分析的基本內容及其在實際中的應用技巧。我們希望學生們通過對詳細推導過程的閱讀和理解，不光可以掌握泛函分析的基本內容和應用技巧，也可以同時提高他們的抽象邏輯思維能力。這對他們以後在學習和工作中掌握更加深入的數學知識是十分必要的。
　　本書涵蓋瞭泛函分析的基本內容。第1章討論度量空間，這是全書的基礎。在這一部分中，將給齣度量空間的基本例子，研究度量空間的基本性質，包括開集、閉集、內部、閉包、稠密性、序列的收斂性、可分性、完備性、緊性、映射的連續性等，在這一部分裏還將介紹著名的Banach不動點定理，它在數學的許多分支均有重要的應用。第2章講授賦範空間的基本內容，包括綫性空間的維數、Hamel基、綫性算子、綫性泛函以及綫性泛甬的錶示等。第3章研究內積空間，主要內容包括。Hilbert空間的正交投影、正交分解、標準正交基以及Hilberl空間上有界綫性泛函的錶示等。第4章是本書的核心內容，將建立賦範空間中的四大基本定理，即Hahn-Banach定理、一緻有界性原理、開映射定理和閉圖像定理，在這一章裏還將給齣這些基本定理的幾個應用。第5章主要討論有界綫性算子的譜論，首先給齣譜論的一般理論，然後研究緊算子的譜論及自伴算子的譜論。
　　由於工科學生更加注重泛函分析的應用，我們在每個重要理論之後力圖多給一些此類抽象理論的具體應用。這些應用包括Banach不動點定理在求解綫性方程組、微分方程初值問題解的局部存在性、求解函數積分方程及隱函數存在定理方麵的應用。在第4章的最後一節，給齣瞭泛函分析在逼近論中的幾個應用，包括Chebysbev多項式、最小二乘法及三階樣條函數等。另外在第4章還給齣瞭一緻有界性原理在周期函數傅裏葉級數收斂性、序列的可求和性以及求數值積分等方麵的幾個典型應用。為瞭使所講授的主要內容緊湊些，將與集閤的半序性及勢的概念與基本性質安排在附錄中，以便於讀者自己補充這方麵的知識。
　　本書是作者在清華大學多年講授針對工科研究生的基礎泛函分析這門課程的講義基礎上形成的。在本書的撰寫過程中，得到瞭不少專傢、同事及這門課程助教們的支持和幫助，作者藉此機會一並嚮他們錶示衷心的感謝。對於書中的疏漏之處，也請讀者給予批評指正。

好的，以下是一份關於《泛函分析基礎》的圖書簡介，側重於介紹泛函分析這一學科的廣泛應用和理論深度，同時避免提及具體書籍內容，旨在展示該領域的吸引力： --- 現代數學的基石：泛函分析的宏大敘事 在這個知識爆炸的時代，科學的邊界正以前所未有的速度拓展。從量子力學描述的基本粒子行為，到金融市場中復雜衍生品的定價模型；從圖像處理中精妙的濾波算法，到控製理論中最優解的求解——支撐這一切的，是數學結構與無限維空間的深刻洞察。這一切的理論核心，正是泛函分析（Functional Analysis）。 泛函分析，顧名思義，是研究函數空間及其上的綫性映射的學科。它並非孤立的理論大廈，而是連接瞭古典分析、拓撲學、綫性代數以及現代物理學和應用科學的強大橋梁。它將我們從有限維歐幾裏得空間中對幾何和代數的直觀理解，延伸到瞭包含無數個自由度的“無限維世界”。在這個世界裏，嚮量不再是簡單的三維箭頭，而是復雜的函數、序列甚至算子。 跨越維度的視角：為什麼需要泛函分析？ 在許多科學領域，我們遇到的對象往往不是有限個變量的組閤，而是連續的、無窮的實體。例如，描述一個物理係統隨時間演化的微分方程，其解本身就是一個函數。要對這些解進行比較、測量距離、求極限，甚至進行“綫性組閤”，就需要一套全新的、能夠處理無限維嚮量空間（即函數空間）的數學工具。 泛函分析正是提供這套工具的學科。它為“無限”提供瞭一種可操作的框架。通過將函數視為嚮量，將微分算子視為綫性變換，我們可以運用綫性代數的深刻洞察力，去解決那些看似無從下手的分析問題。 核心概念的魅力：抽象的力量 該領域最迷人的部分在於其高度的抽象性，正是這種抽象性賦予瞭它無與倫比的普適性。學習泛函分析，意味著深入探究以下幾個至關重要的概念： 首先是拓撲嚮量空間。這是對嚮量空間賦予拓撲結構後的産物。它允許我們在一個函數族中談論“鄰近性”、“收斂性”和“連續性”，為研究函數序列的漸進行為提供瞭堅實的基礎。巴拿赫空間（Banach Spaces）和希爾伯特空間（Hilbert Spaces）是這一領域中的兩大核心結構，前者提供瞭完備性保證，後者則引入瞭內積結構，使得“角度”和“投影”的概念得以在無限維空間中重現。 其次是算子理論。在綫性代數中，我們研究矩陣如何作用於嚮量。在泛函分析中，我們研究綫性算子（或稱有界綫性映射），它們將一個函數空間中的函數映射到另一個函數空間中的函數。理解這些算子的性質——它們的有界性、連續性、譜結構——是解決微分方程和量子力學問題的關鍵。特彆地，緊算子（Compact Operators）的概念，將無限維問題轉化為有限維的近似，是連接理論與實際計算的紐帶。 最後，對偶空間與基本定理。每一個嚮量空間都有一個與之關聯的對偶空間，它由作用於原空間元素的綫性泛函組成。理解這個對偶結構，如著名的Hahn-Banach定理和極端的泛函理論，能夠揭示空間本身的內在對稱性和結構，是泛函分析理論深度的體現。 連接物理與工程的橋梁 泛函分析的實用價值是毋庸置疑的。在理論物理中，量子力學框架完全建立在希爾伯特空間之上，可觀測量的期待值、態的演化、不確定性原理，無一不是通過算子在這些空間上的作用來描述。 在應用數學領域，偏微分方程（PDEs）的解存在性、唯一性和正則性研究，很大程度上依賴於特定的函數空間（如Sobolev空間）理論。當我們試圖用數值方法逼近方程解時，泛函分析提供的理論保證，是驗證算法可靠性的數學基礎。即使在更偏嚮工程的領域，例如信號處理中的傅裏葉變換，其理論根基深植於傅裏葉空間（一種特殊的希爾伯特空間）的分析之中。 展望未來：無限之維的探索 探索泛函分析，不僅是對一個數學分支的學習，更是對數學思維方式的一次深刻洗禮。它要求學習者超越直觀的幾何圖像，擁抱抽象的邏輯結構，並以一種全新的視角去審視連續性、收斂性和無限的本質。 這份學科的深度和廣度，保證瞭其在未來科學研究中的持續核心地位。無論是緻力於基礎理論的構建，還是投身於前沿的工程應用，掌握泛函分析的語言和工具，都是理解現代科學前沿復雜係統的必備能力。它是一扇通往無限世界大門的鑰匙，邀請著有誌者們去探索更高維度、更抽象層次的數學真理。 ---

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計非常簡潔大氣，一眼就能感受到一種嚴謹而深邃的學術氛圍。從我個人翻閱的初步感受來看，它似乎是一部對數學領域某個分支進行瞭係統性梳理的作品。我猜測，它可能圍繞著“函數”這一核心概念，深入探討瞭各種與函數相關的數學結構和性質。比如，我留意到書中有不少篇幅在描繪抽象空間中的點，以及這些點之間的“距離”或“大小”是如何被定義的。這不禁讓我聯想到，或許這本書在介紹度量空間、賦範綫性空間等基本概念時，會用一種非常清晰和逐步遞進的方式來引導讀者。 同時，我推測書中會對“算子”進行詳盡的闡述。算子，在我淺薄的理解中，就是作用在函數上的“函數”，它們可以改變函數的形態、大小，甚至將其映射到另一個空間。這本書是否會深入分析綫性算子、有界算子，甚至是不連續算子？它們在不同數學分支中扮演著怎樣的角色？比如，在微分方程的求解中，求解過程本身就可以看作是一個算子的應用；在量子力學中，描述物理量的算符更是核心概念。這本書有沒有可能將這些抽象的數學工具，通過具體的例子和應用場景，呈現在我們麵前，讓我們理解它們的實際意義和威力？我對此充滿瞭期待。 再者，這本書的標題“泛函分析基礎”讓我猜測，它可能在講解諸如收斂性、完備性、連續性等一係列分析學中的核心思想。一個空間裏的點列是否會“聚集”到某個點上？一個空間是否“沒有漏洞”，即任何收斂的柯西列都能找到它的極限？以及，函數是否在各個地方都“平滑”地變化？這些看似基礎的概念，在更高深的數學理論中卻是基石。我特彆希望這本書能夠幫助我牢固掌握這些基礎，因為我知道，在後續的學習中，無論是概率論、偏微分方程，還是更抽象的幾何學，都需要這些紮實的分析功底。 此外，我注意到書中似乎提及瞭“賦範空間”這個術語。這可能意味著它會對嚮量空間的結構進行更細緻的研究，尤其是在引入“範數”的概念之後。範數，就像是我們為嚮量定義的一個“長度”或“大小”，它使得我們可以量化嚮量的“大小”和嚮量之間的“距離”。這本書是否會從最簡單的歐幾裏得空間齣發，逐步過渡到更一般的賦範綫性空間，甚至希爾伯特空間、巴拿赫空間等？我對這些空間在信號處理、圖像識彆等領域的潛在應用非常感興趣，希望這本書能夠揭示它們之間的聯係。 最後，雖然我尚未深入閱讀，但從書名的“基礎”二字，我隱約感覺到這本書旨在為讀者構建一個堅實的數學理論框架。它或許不像一本純粹的應用數學書籍那樣，直接拋齣各種算法和工具，而是更側重於講解數學的邏輯、公理體係和證明方法。這對我來說是尤為寶貴的，因為我深知，隻有理解瞭數學的本質，纔能靈活地運用它們去解決各種復雜的問題，而不是死記硬背一些公式。我期望這本書能夠培養我的數學思維，提升我的抽象概括能力。

評分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀設計頗具匠心，硬殼封麵加上燙金的標題，散發著一種經典而莊重的學術氣息，讓人一眼就覺得它是一本值得深入研讀的著作。根據我初步翻閱的印象，這本書似乎在構建一個關於“函數”的抽象數學框架，並且會從最基本的概念入手，逐步建立起更復雜的理論體係。我推測，書中會詳細介紹各種“空間”的定義，不僅僅是簡單的二維或三維空間，而是更抽象的、由函數本身構成的空間，比如函數空間。 我猜想，書中會對“度量空間”和“賦範空間”進行非常詳細的闡述。這兩個概念在我看來，都是為瞭給抽象的空間引入“距離”或“大小”的概念，從而能夠對空間中的元素進行量化和比較。這本書是否會從最直觀的歐幾裏得距離齣發，然後推廣到更一般的距離函數和範數定義？它是否會探討不同範數之間的關係，以及它們如何影響空間的性質？我對此非常感興趣，因為我一直覺得，理解這些“距離”的概念是掌握高維空間和復雜函數行為的關鍵。 同時，我推測這本書會深入講解“收斂性”和“完備性”這兩個核心概念。在數學分析中，收斂性是處理無窮序列和無窮級數的基礎，而完備性則保證瞭許多重要數學過程的有效性。我特彆希望書中能夠詳細解釋柯西序列的意義，以及為什麼完備空間對於保證極限的存在至關重要。如果書中能通過一些典型的例子，比如實數軸的完備性，來闡明這些概念，那對我來說將是極大的幫助。 此外，書名中的“泛函”二字，讓我聯想到這本書會大量涉及“算子”的概念。算子，在我理解中，就是作用在函數上的“函數”，它們能夠將一個函數映射到另一個函數，或者將其轉化為一個數值。書中是否會重點介紹綫性算子，並探討其性質，比如有界性、連續性，甚至緊緻性？我希望這本書能揭示這些算子在解決微分方程、積分方程，以及在量子力學等領域的應用。 總而言之，我從這本書的標題和初步翻閱中，感受到瞭一種係統性、嚴謹性和深刻性。我期望它能夠幫助我建立起紮實的數學理論基礎，提升我的抽象思維能力，並為我將來深入研究更高級的數學領域打下堅實的基礎。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計簡潔而不失力量感，標題“泛函分析基礎”更是直接點明瞭其學術屬性，讓我對其內容充滿瞭好奇與期待。在我初步的翻閱中，我感覺這本書像是一扇通往更抽象數學世界的門，它可能會深入探討“函數”本身所具有的各種性質，以及由函數構成的“空間”所展現齣的豐富結構。 我推測，書中會詳細講解“度量空間”和“賦範綫性空間”的定義和性質。這部分內容很可能涉及如何為抽象的空間引入“距離”和“大小”的概念，以便我們能夠定量地描述空間中元素之間的關係。我特彆希望書中能夠通過具體的例子，例如實數空間、復數空間，甚至更復雜的函數空間，來幫助我理解這些抽象概念的實際意義。 同時，我預計書中會花大量篇幅來闡述“收斂性”和“完備性”等核心分析思想。這對於理解函數序列和函數級數的行為至關重要。我很好奇，書中會如何詳細解釋柯西序列的概念，以及為什麼完備空間能夠保證極限的存在，從而使得許多數學構造（如積分、傅裏葉級數）能夠有意義地進行。 此外，書名中的“泛函”二字，讓我聯想到本書會深入探討“算子”的概念。算子，可以理解為一種對函數施加變換的規則。我希望書中能詳細介紹綫性算子，並分析其各種性質，例如有界性、連續性，以及它們在解微分方程、研究積分方程等問題中的應用。 總體而言，我預感這本書將是一部極具深度和廣度的數學著作，它旨在為讀者打下堅實的數學理論基礎，培養嚴謹的邏輯思維能力，並為進一步探索數學的奧秘鋪平道路。

評分☆☆☆☆☆

拿到這本書，第一印象是它的厚重感，以及那種不怒自威的學術氣息。封麵上那些深邃的數學符號，仿佛在訴說著一個龐大而精密的理論體係。從我對這本書初步瀏覽的觀察來看，它似乎是在構建一個關於“函數”的抽象世界，並且在這個世界裏，我們不是簡單地討論函數的取值，而是關注函數的“性質”本身。我猜想，書中會涉及如何去定義和衡量函數之間的“相似度”或“距離”，比如引入一些範數或者度量，來刻畫函數空間的結構。 接著，我推測這本書會對“綫性算子”這一概念進行深入剖析。綫性算子，在我看來，就像是一種對函數進行“變換”的規則，但這種變換必須遵循“疊加性”和“齊次性”的原則。比如，積分算子、微分算子，它們都是綫性算子。書中是否會係統地介紹這類算子的性質，例如它們的定義域、值域、核以及像，並且討論它們的性質，例如有界性、連續性、甚至緊緻性？如果能通過例子說明這些算子在求解微分方程、傅裏葉分析等問題中的作用，那將是極好的。 我預感這本書在講解“收斂性”和“完備性”時，會非常嚴謹。數學分析的核心之一就是理解序列和函數的收斂行為，以及空間是否“完整”。我特彆好奇，書中是否會詳細闡述柯西序列的概念，以及為什麼完備空間對於確保某些數學過程（如求解方程）能夠成功至關重要。理解這些基礎概念，對於深入學習諸如泛函分析、數值分析等領域，是必不可少的。 另外，從書名“基礎”來看，這本書很可能涵蓋瞭關於“賦範綫性空間”的理論。這意味著它會介紹如何在一個嚮量空間裏引入“長度”的概念，並且利用這個“長度”來定義距離和分析嚮量的“大小”。例如，它可能會介紹Lp空間，這些空間在概率論、信號處理等領域有著廣泛的應用。我希望書中能清晰地解釋這些空間的定義以及它們之間的關係。 最後，我強烈地感覺到，這本書不僅僅是知識的堆砌，更是在培養一種數學思維方式。它可能通過對數學概念的精煉定義、嚴謹的證明過程，以及對數學定理之間內在聯係的揭示，來幫助讀者建立起一種分析和解決問題的能力。我期待著在閱讀過程中，能夠逐步領會到數學的邏輯之美，以及如何運用抽象的數學工具去解決實際問題。

評分☆☆☆☆☆

這本書的排版設計非常清晰，字裏行間透露著一種嚴謹而細緻的學術風格。從我粗略的翻閱來看，這本書似乎在係統地構建一個關於“函數”的抽象數學理論體係。我猜測，它可能會從最基礎的“集閤”和“映射”的概念齣發，逐步過渡到更復雜的“空間”和“算子”的理論。 我推測，書中會重點探討“賦範綫性空間”的概念，這涉及到如何在嚮量空間中引入“長度”或“大小”的概念。我希望它能清晰地解釋範數的定義，以及不同範數如何影響空間的幾何性質。例如，它是否會介紹諸如Lp空間、希爾伯特空間、巴拿赫空間等重要的函數空間？我特彆好奇這些空間在解決實際問題時是如何被應用的，比如在信號處理、圖像壓縮等領域。 同時，我預感書中會對“算子”的概念進行深入的闡述。算子，在我看來，就像是一種作用在函數上的“變換”，它能夠將一個函數映射到另一個函數，或者將函數轉化為一個數值。書中是否會詳細介紹綫性算子，並分析其性質，如緊緻性、自伴性等？我期待看到算子理論如何幫助我們理解和解決例如微分方程、積分方程等問題。 此外，我猜測這本書會對“收斂性”和“連續性”等分析學中的核心概念進行嚴謹的定義和深入的探討。理解函數序列的收斂性，以及函數在空間中的連續性，是進行各種數學分析的基礎。我希望書中能通過清晰的例子和證明，幫助我牢固掌握這些概念。 總的來說，我感覺這本書不僅僅是一本知識的匯集，更像是在引導讀者構建一種嚴謹的數學思維方式。它旨在為讀者打下堅實的理論基礎，提升其抽象概括能力，並為進一步深入學習數學的各個分支做好準備。