應用泛函分析 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

簡體網頁||繁體網頁

☆☆☆☆☆

紀友清 等 著

圖書標籤:

• 泛函分析
• 數學
• 應用數學
• 高等教育
• 教材
• 理論
• 分析
• 函數空間
• 算子理論
• 數值分析

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030542281

版次：31

商品編碼：12339781

包裝：平裝

叢書名： 工科研究生數學類基礎課程應用係列叢書

開本：16開

齣版時間：2018-04-01

頁數：202

字數：272000

正文語種：中文

內容簡介

　　《應用泛函分析》是為工學各專業研究生學習泛函分析課程編寫的教材。《應用泛函分析》共分4章，分彆介紹實分析基礎、距離空間、Hilbert空間、有界綫性算子等內容，並在附錄裏介紹瞭上述知識的一些延伸內容：Sobolev空間、正規正交基、二次變分問題等。
　　《應用泛函分析》取材精煉，結構緊湊，關注應用，每章末都附有難易適度的習題。在注重培養學生掌握泛函分析基本理論和方法的同時，也注重培養學生應用泛函分析的思想方法解決實際問題的能力。

目錄

目錄
序言
前言
第1章 實分析基礎 1
1.1 集閤與映射 1
1.1.1 集閤 1
1.1.2 映射 3
1.1.3 集閤的基數 4
1.2 實數與函數的有關定理 7
1.2.1 實數的有關定理 7
1.2.2 函數的有關概念與定理 11
1.3 直綫上的開集和閉集 15
1.3.1 開集和閉集的概念 15
1.3.2 開集和閉集的性質 17
1.3.3 開集和閉集的結構 19
1.4 可測集 20
1.4.1 有界開集和閉集的測度 20
1.4.2 可測集的概念 22
1.4.3 可測集的性質 24
1.5 可測函數 25
1.5.1 可測函數的概念 25
1.5.2 可測函數的性質 27
1.5.3 幾乎處處收斂和測度收斂 29
1.6 Lebesgue積分 31
1.6.1 Riemann積分 31
1.6.2 Lebesgue積分的概念 33
1.6.3 Lebesgue積分的性質 35
1.6.4 Lp空間 37
習題 1 38
第2章 距離空間 41
2.1 距離空間的定義和例子 41
2.1.1 距離空間的定義 41
2.1.2 距離空間的實例 41
2.2 度量空間中的點集 47
2.2.1 距離拓撲 47
2.2.2 稠密集與可分性 48
2.3 完備距離空間 49
2.3.1 距離空間的完備化 52
2.4 緊性與列緊性 54
2.5 Banach空間 60
2.6 不動點原理及其應用 68
2.6.1 Banach不動點原理及迭代方法 68
2.6.2 壓縮映像原理在積分方程理論中的應用 72
2.6.3 利用不動點定理求解常微分方程 74
2.7 有界綫性泛函與Hahn-Banach擴張定理 76
2.7.1 有界綫性算子 76
2.7.2 Hahn-Banach定理 84
習題 2 100
第3章 Hilbert空間 107
3.1 內積空間 107
3.1.1 內積空間的概念和性質 107
3.1.2 常見的內積空間 110
3.2 幾個常用的Hilbert空間 112
3.3 正交分解 115
3.3.1 正交與正交補 115
3.3.2 變分原理與正交分解定理 117
3.3.3 正交分解定理的應用 120
3.4 Hilbert空間中的Fourier分析 123
3.4.1 標準正交係 123
3.4.2 Fourier級數 126
3.5 Hilbert空間的同構 129
習題 3 131
第4章 有界綫性算子 135
4.1 一緻有界原理，開映射定理和閉算子定理 135
4.1.1 一緻有界原理 135
4.1.2 開映射定理，閉算子定理 139
4.2 共軛空間與共軛算子 141
4.2.1 共軛空間 141
4.2.2 共軛算子 143
4.2.3 算子的值域與核空間 145
4.3 算子的譜 147
4.3.1 譜的定義和性質 147
4.3.2 具體算子的譜 149
4.4 緊算子 152
4.4.1 緊算子的定義及性質 152
4.4.2 緊算子的譜 155
4.5 自伴算子，射影算子 156
4.5.1 自伴算子的定義及性質 157
4.5.2 射影 161
4.5.3 不變子空間與約化子空間 164
習題 4 165
附錄 Sobolev空間 168
A.1 Sobolev空間 168
A.1.1 廣義導數 168
A.1.2 Sobolev空間 170
A.1.3 Sobolev空間 171
A.2 正規正交基的存在性與Parseval公式 174
A.2.1 正規正交基的存在性 174
A.2.2 Parseval公式 174
A.3 共軛雙綫性泛函 176
A.4 Hilbert共軛算子與Lax-Milgram定理 178
A.4.1 Hilbert共軛算子 178
A.4.2 Lax-Milgram定理 182
A.4.3 算子的矩陣錶示 185
A.5 二次變分問題 187
A.5.1 雙綫性形式 187
A.5.2 二次變分問題的主定理 188
A.6 從泛函分析角度考察Dirichlet原理 190
A.6.1 經典的歐拉{拉格朗日方程 191
A.6.2 廣義邊界值 194
A.6.3 Poincarffe-Friedrichs不等式 194
A.6.4 Dirichlet問題的解的存在性 196
參考文獻 199
索引 200

拓撲學基礎與現代幾何的橋梁 本書旨在為讀者構建一個堅實而深刻的拓撲學知識體係，重點聚焦於點集拓撲和代數拓撲的初步概念及其在分析學和幾何學中的應用。全書內容組織嚴謹，邏輯推演清晰，旨在幫助讀者從直觀的幾何概念過渡到抽象的數學結構中。 第一部分：點集拓撲的基石 第一章：集閤論迴顧與基礎概念的鋪陳 本章首先對集閤論的基本語言進行必要的梳理，包括集閤的定義、函數、關係、以及序關係等。在此基礎上，引入拓撲學的核心構件——拓撲空間的概念。我們將詳細討論拓撲的定義、開集、閉集、閉包、內部、邊界等基本要素的嚴格定義與相互關係。特彆地，對基（Basis）和子基（Subbasis）的引入，使得後續對特定拓撲結構的構造與分析變得係統化。我們將考察如密集性、分離公理（如$T_0, T_1, T_2$（Hausdorff）、$T_3, T_4$（正規））等關鍵性質，並展示這些性質在不同空間類型中的體現。 第二章：連續性、同胚與緊緻性 連續性是連接不同拓撲空間的橋梁。本章首先定義瞭拓撲空間之間的連續映射，並探討瞭其與開集、閉集之間的等價刻畫。隨後，引入同胚（Homeomorphism）的概念，將其確立為拓撲學中研究“拓撲不變性”的根本工具。緊接著，我們深入探討緊緻性（Compactness），這是一個極為重要的性質。緊緻性的定義（開覆蓋的有限子覆蓋）在度量空間中錶現為有界閉集，但在一般拓撲空間中則更加抽象。我們將詳細討論緊緻空間的性質，如緊子集的閉性，緊集的連續像的緊緻性，以及Tychonoff定理（有限個緊緻空間的乘積空間仍是緊緻的）的證明及其重要性。 第三章：連通性與可構造性 本章緻力於研究拓撲空間的“分離性”——連通性（Connectedness）。我們將連通性定義為不能被分解為兩個不相交的非空開集的並集。重點分析路徑連通性（Path-connectedness）及其與連通性的關係，尤其是在具有足夠良好性質的空間中，兩者是如何相互蘊含的。此外，本章還將討論局部連通性的概念，並將其應用於分析一些重要的拓撲空間，如歐幾裏得空間的子集。最後，本章會初步探討拓撲空間的構造性問題，如商空間（Quotient Spaces）的建立，這是理解復雜空間結構，如球麵、環麵等幾何對象，在拓撲學上進行研究的基礎。 第二部分：度量空間與函數空間的初步 第四章：度量空間的深度剖析 度量空間是拓撲學與分析學交叉的核心領域。本章從度量（Metric）的定義齣發，構建齣依賴於度量的拓撲結構（即由開球定義的拓撲）。我們將詳細討論度量空間的開集、閉集、完備性（Completeness）的概念。完備性是泛函分析等高級領域中不可或缺的工具，本章將集中闡述柯西序列、收斂性以及完備空間（如Banach空間的前身）的性質。我們將考察著名的Baire範疇定理（Baire Category Theorem）在完備度量空間中的應用，它揭示瞭完備空間中“大部分”元素所具有的稠密性質。 第五章：函數空間與收斂性 將函數集閤本身結構化為拓撲空間是連接幾何與分析的關鍵一步。本章專注於構造和分析函數空間。我們將介紹點態收斂、一緻收斂的拓撲含義。重點討論均勻收斂拓撲（即由sup範數誘導的拓撲），並在緊湊集上定義這種拓撲。此外，我們還會簡要介紹等度連續性（Equicontinuity）的概念，為Ascoli定理的引入做好鋪墊。緊緻收斂拓撲的性質，特彆是它如何將一緻收斂的良好性質提升到函數空間層麵，將是本章的重點討論內容。 第三部分：代數拓撲的入門視野 第六章：同倫與基本群的初步探索 本章將視角從度量和距離提升到拓撲變換的穩定性，引入代數拓撲的視角。我們首先定義連續形變（Homotopy）的概念，並在此基礎上定義同倫等價（Homotopy Equivalence）。隨後，我們將構造基本群（Fundamental Group $pi_1(X, x_0)$），這是一個非平凡的代數不變量，用於區分具有“洞”的拓撲空間。通過對圓周 $S^1$ 的基本群的計算，展示代數不變量如何區分拓撲空間，並闡述基本群的群結構是如何從路徑的乘法和逆元定義的。 第七章：覆蓋空間與單連通性 在理解瞭基本群後，本章將探討覆蓋空間（Covering Spaces）的概念。我們將給齣覆蓋映射的嚴格定義，並討論其與基本群之間的深刻聯係。通過Liftings Property（提升性質），我們將看到基本群如何作用於覆蓋空間。對於基本群是平凡群（即所有迴路都可收縮到一點）的空間，我們稱之為單連通（Simply Connected）空間。本章將以球體 $S^n$（$ngeq 2$）的單連通性作為案例，展示代數拓撲方法在處理高維幾何對象時的威力。 全書的敘事綫索是從具體的度量結構齣發，逐步抽象到拓撲空間，最後引入代數工具來對拓撲空間進行分類和區分。本書的難度適中，適閤具有紮實實分析基礎的高年級本科生或初級研究生閱讀，為進一步深入研究拓撲學、微分幾何或泛函分析奠定堅實的數學基礎。書中包含瞭大量的例題和習題，旨在強化讀者的理論理解和計算能力。

評分☆☆☆☆☆

這本書給我的最大感受是其卓越的結構完整性，仿佛它描繪的是一張已經完成的、邏輯自洽的宏偉藍圖。作者在全書的組織上采取瞭一種遞進式的、螺鏇上升的結構，每一個引入的概念都不是孤立的，而是作為後續更深層次討論的必要前置條件。最讓我印象深刻的是它對“收斂性”這一核心主題的處理，作者通過一係列不同度量空間下的實例對比，清晰地展示瞭拓撲結構選擇對結論穩定性的決定性影響。書中對反例的選取也頗為精妙，那些看似微小的差異，卻能引齣截然不同的數學結論，這種對“邊界條件”的敏感性教育，是任何淺嘗輒止的教材所無法比擬的。每當我認為自己已經完全掌握瞭某個工具時，下一章總會以一種意想不到的方式，展示齣這個工具在更廣闊的背景下所能解決的新問題，這種持續的知識刷新感，讓人欲罷不能，也讓我對數學這門學科的博大精深有瞭更深的體會。

評分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀設計簡直是一場視覺盛宴，厚實的封麵搭配著燙金的書名，散發齣一種低調而深邃的學者氣質。內頁的紙張選擇也非常考究，觸感溫潤，字跡清晰銳利，即便是長時間的閱讀也不會感到疲憊。初次翻閱時，我被它嚴謹的排版和流暢的圖錶深深吸引。作者在邏輯構建上的功力可見一斑，從基礎概念的引入到復雜定理的推導，每一步都像是精心鋪設的階梯，引領讀者穩步嚮上。盡管主題本身帶有一定的抽象性，但作者似乎深諳如何將晦澀的理論變得觸手可及。尤其是對於某些關鍵引理的闡述，那種層層遞進、環環相扣的論證過程，讓人在豁然開朗之餘，油然而生一種對數學美學的敬畏。我特彆欣賞它在章節末尾設置的“思考與辨析”環節，它不僅僅是簡單的習題，更像是與作者進行的一場智力對話，迫使我跳齣現有的思維框架去審視和挑戰那些既定的結論。這本書無疑是為那些真正渴望在數學的殿堂裏深耕細作的求知者準備的，它不提供捷徑，但它鋪設瞭一條最堅實可靠的羅馬大道。

評分☆☆☆☆☆

我必須承認，這本書的閱讀門檻相當高，它不是那種可以隨意放置在咖啡桌上翻閱的休閑讀物。它要求讀者在心智上做好充分的準備，帶著對精確性和完備性的執著追求纔能進入其構建的世界。不過，一旦你適應瞭它的語言體係，你會發現它所提供的理論框架具有無與倫比的解釋力和預測力。書中對某些經典問題的處理方式，簡直是教科書級彆的範例——每一步的假設、每一步的推理，都如同精密儀器校準過一般，毫無冗餘。我特彆喜歡它在證明某些關鍵定理時所采用的“雙軌製”策略：首先用直覺性的、構造性的方式勾勒齣大緻的思路，讓讀者心中先建立一個“地圖”，然後再進行嚴格的形式化證明。這種先“形”後“實”的路徑，有效地避免瞭初學者在純粹的符號迷宮中迷失方嚮。對於有誌於從事前沿研究的人士來說，這本書提供的工具集是無可替代的基石，它讓你在麵對前人尚未觸及的領域時，能夠自信地依靠其強大的邏輯支撐進行探索。

評分☆☆☆☆☆

我將其視為一本“內功心法”級彆的著作。它不太像那些麵嚮入門的“招式教學”類書籍，它更側重於錘煉讀者的數學思維的韌性和彈性。它的論證往往非常簡潔，但這種簡潔背後是無數次思想的提煉。當我嘗試用自己的語言復述書中的某個復雜概念時，我發現自己必須調用更深層次的抽象能力，纔能準確地抓住其精髓，而這種反復的內化過程，正是功力增長的體現。書中對某些概念的定義，那種教科書式的精確和無可辯駁，讓人感覺這些概念仿佛是自然界中早已存在的規律，隻是被作者用最恰當的語言捕捉瞭下來。這本書的價值，並不在於你能在短時間內記住多少公式，而在於它如何重塑你思考問題的方式——它訓練你從“例子”走嚮“一般性”，從“直覺”走嚮“證明”，這是一種思維習慣的根本性轉變，對於任何需要嚴密邏輯支撐的領域，都是一筆寶貴的財富。

評分☆☆☆☆☆

這本書的行文風格如同一個經驗豐富、洞察鞦毫的導師在耳邊細細道來，沒有絲毫的生硬與說教感。它的敘事節奏把握得恰到好處，高潮迭起卻又不失平穩過渡。我尤其贊賞它對曆史背景的穿插介紹，每當引入一個新的重要概念時，作者總能巧妙地植入相關數學傢的心路曆程或他們麵對的時代睏境。這種“人本”的敘述方式，極大地緩解瞭純粹符號推導帶來的枯燥感，讓我真切地感受到，這些抽象的工具箱是如何一步步被人類的智慧所鍛造齣來的。在處理那些跨學科概念的邊界時，作者展現瞭驚人的廣度和深度，將理論與其他學科（比如物理學中的某些極限情況或信息論中的信息度量）進行類比，這種“觸類旁通”的手法，極大地拓寬瞭我的理解維度。閱讀這本書的過程，與其說是學習知識，不如說是一場與數學思想的深度交流，它教會我的不僅僅是“是什麼”，更是“為什麼會是這樣”，以及“在何種條件下它依然有效”。