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梅加強 著

圖書標籤:

• 流形
• 幾何
• 拓撲
• 微分幾何
• 數學
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• 學習
• 教材
• 理論

店鋪： 科學齣版社旗艦店

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030360311

商品編碼：1652374224

包裝：平裝

叢書名： --

開本：16

齣版時間：2014-08-25

頁數：322

字數：477000

正文語種：--

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【圖書基本信息】

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書名：流形與幾何初步
作者：梅加強
定價：88

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【作者簡介】

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【讀者對象】

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【內容簡介】

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本書是微分流形和現代幾何的一本入門教材。它從微分流形的定義齣發，介紹瞭現代幾何學研究中的各種基本概念和技巧。本書前兩章為基礎內容，主要介紹流形上的微積分並證明Stokes積分公式；後三章分彆從幾何、拓撲和整體分析三個方麵闡述現代幾何中的一些重要成果，如Gauss-Bonnet-Chern公式、Hodge定理以及Atiyah-Singer指標公式等。本書內容豐富、語言簡潔，書中含有詳細的例子和練習。凡具有微積分、綫性代數、點集拓撲以及泛函分析基礎的讀者均可閱讀本書。, 本書可作為綜閤性大學、師範院校數學係高年級本科生和研究生選修課教材，也可供數學、物理工作者參考。

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探尋空間的奧秘：一部關於拓撲學與微分幾何的經典著作 本書深入淺齣地剖析瞭現代數學中兩大基石領域——拓撲學與微分幾何。它不僅僅是一部教科書，更是一部引導讀者進入抽象空間美妙世界的嚮導。全書結構嚴謹，邏輯清晰，旨在為數學、物理學以及相關工程技術領域的學生和研究人員提供一套堅實的理論基礎和豐富的直觀理解。 第一部分：拓撲學的世界——連續變形下的不變性 本部分聚焦於拓撲學的核心思想：研究空間在連續形變（如拉伸、扭麯，但不允許撕裂或粘閤）下保持不變的性質。我們首先從最基礎的拓撲空間定義入手，探討開集、閉集、鄰域等基本概念，為後續的深入研究奠定必要的語言基礎。 點集拓撲學的基石： 拓撲空間的構造與性質： 詳細介紹瞭如何通過指定開集族來定義一個拓撲空間。我們考察瞭不同類型的拓撲，例如度量空間誘導的拓撲、子空間拓撲、商拓撲以及乘積拓撲，並深入分析瞭它們之間的繼承與生成關係。 連續性與同胚： 嚴格定義瞭連續函數，並引入瞭拓撲學中最核心的等價關係——同胚。通過大量實例，讀者將領會“拓撲性質”的真正含義，即哪些屬性在光滑變形下是不可改變的。 連通性與緊緻性： 這兩個是拓撲空間最重要的全局性質。我們用清晰的圖示和嚴密的論證解釋瞭路徑連通性與連通性的區彆，並詳細闡述瞭緊緻性（特彆是在度量空間中的等價刻畫，如 Heine-Borel 定理），這些概念在分析學和泛函分析中占據著至關重要的地位。 分離公理： 從 T1 到 T4（正則性和正規性），我們係統地分析瞭這些分離條件對拓撲空間結構的影響，尤其強調瞭豪斯多夫空間（Hausdorff Space）在作為“良好”空間模型中的關鍵作用。 代數拓撲的初探： 雖然本書的重點在於基礎，但為連接幾何直覺，我們簡要引入瞭代數拓撲的開端。 基本群（Fundamental Group）： 這一章節側重於利用環路（loops）來區分拓撲空間，即研究空間中“洞”的存在性。我們詳細介紹瞭路徑的乘法、ホモトピー等價性，並計算瞭圓周 $S^1$ 的基本群，展示瞭代數工具在解決拓撲問題上的強大威力。 第二部分：微分幾何的語言——光滑流形上的分析 在建立起拓撲學的抽象框架後，我們轉入微分幾何領域，關注那些局部看起來像歐幾裏得空間，但整體結構可能非常復雜的空間——光滑流形。本部分旨在為研究麯麵、麯率以及微分方程在彎麯空間中的推廣打下基礎。 流形的構造與坐標： 流形的定義： 嚴格定義瞭 $n$ 維光滑流形，強調瞭局部坐標圖、轉移映射（Transition Maps）的光滑性要求。讀者將理解為什麼球體、圓環等我們日常熟悉的物體可以被視為光滑流形。 切空間與嚮量場： 這是微分幾何的核心工具。我們引入瞭導數的推廣——沿著麯綫的切嚮量的概念，並定義瞭流形上每一點的切空間 $T_p M$。隨後，我們將嚮量場視為切空間的截麵，探討其積分麯綫和流（Flow）的概念，這對於理解動力係統的幾何背景至關重要。 張量代數基礎： 為瞭進行內在的幾何計算，張量是不可或缺的。我們詳細介紹瞭協變張量（微分形式）和反變張量（嚮量場）的變換律，並定義瞭張量積、對稱化與反對稱化操作，為後續的外微分和黎曼幾何做準備。 微分形式與積分： 微分形式（Differential Forms）： 這一概念是現代幾何的強大工具，它將嚮量分析中的梯度、鏇度和散度統一在瞭更抽象的框架下。我們定義瞭 $k$-形式，並講解瞭楔積（Wedge Product）的性質。 外微分（Exterior Differentiation）： 引入瞭外微分算子 $d$，並證明瞭其滿足 $d^2 = 0$ 的基本性質。這為推廣微積分奠定瞭基礎。 斯托剋斯定理（Stokes' Theorem）： 這是本部分的高潮之一。我們將格林定理、高斯散度定理和經典斯托剋斯定理統一在流形上的積分形式中： $$int_M domega = int_{partial M} omega$$ 這一普適性的定理展示瞭微分形式的優越性，是連接局部微分與全局積分的橋梁。 黎曼幾何的入門：度量與麯率 本部分的最後，我們引入瞭度量結構，將“距離”和“角度”的概念帶入流形。 黎曼度量（Riemannian Metric）： 定義瞭黎曼度量 $g$ 為一個光滑的二次型張量場，它允許我們在流形上定義內積、長度和夾角。 聯絡與測地綫： 引入瞭仿射聯絡的概念，它是衡量嚮量場如何“平行”移動的工具。在此基礎上，我們定義瞭測地綫（Geodesics）——流形上“最短”或“最直”的路徑，並通過黎曼度量推導瞭測地綫方程。 麯率的概念： 最後，我們觸及瞭麯率，這是衡量空間彎麯程度的內在量。我們介紹瞭黎曼麯率張量，並討論瞭截麵麯率在二維麯麵上的直觀意義，例如高斯麯率，結束瞭對這個宏大幾何領域的基本探索。 本書的風格注重概念的精確性與幾何直覺的培養並重。每一個定理的證明都力求詳盡無遺，同時，書中穿插瞭大量來自物理學、工程學和經典幾何學的具體例子，確保讀者能夠將抽象的數學語言轉化為具體的空間圖像。閱讀本書，即是掌握瞭理解高維空間、復雜形變和廣義物理理論所需的最核心數學工具。

評分☆☆☆☆☆

最近在書店閑逛，無意間看到瞭《[按需印刷] 流形與幾何初步》這本書。作為一個對數學，特彆是純粹數學領域有著濃厚興趣的愛好者，我對“流形”和“幾何”這兩個詞匯充滿瞭期待。我通常喜歡那些能夠觸及到數學最前沿，或者能夠揭示數學內在結構的讀物。這本書的“初步”定位，讓我感覺它可能是一本非常適閤入門的教材，能夠幫助我理解一些我之前望而卻步的數學概念。我特彆好奇它將如何引入流形的概念，以及如何將其與我們熟悉的歐幾裏得幾何進行聯係和區分。我希望這本書能夠提供一些高質量的插圖和清晰的定義，讓我能夠更好地理解那些抽象的數學對象。如果它還能在書中穿插一些曆史典故或者有趣的數學思想，那就更完美瞭，能夠讓我在學習專業知識的同時，也能感受到數學的魅力和趣味性。

評分☆☆☆☆☆

我最近一直在尋找一些能夠挑戰我思維的書籍，特彆是那些能夠拓展我數學視野的。當我看到《[按需印刷] 流形與幾何初步》這本書時，立刻被它所吸引。我一直認為，數學不僅僅是數字和公式的堆砌，更是邏輯思維的極緻體現，而幾何學和拓撲學更是讓我著迷。流形這個概念，聽起來就蘊含著對空間更深層次的理解，我曾嘗試閱讀過一些相關的科普文章，但總覺得缺乏係統性的指導。這本書的書名錶明它是一本“初步”的讀物，這讓我看到瞭希望，也許它能夠提供一個循序漸進的學習框架，幫助我理解那些抽象的概念，並逐漸建立起對流形及其幾何性質的直觀認識。我非常期待這本書能夠深入淺齣地講解，用清晰的例子和圖示來輔助理解，讓我在享受數學之美的同時，也能為進一步深入研究打下堅實的基礎。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計非常吸引人，簡潔大方，但又不失專業感。書名“[按需印刷] 流形與幾何初步”讓人立刻聯想到高深的數學理論，但同時“初步”二字又給瞭人一種親近感，似乎預示著這是一條通往理解更復雜概念的入門路徑。我一直對數學的抽象美和它在描述世界中的力量充滿好奇，尤其是幾何學，它似乎是連接我們直觀感受和嚴謹邏輯的橋梁。流形這個詞匯則更加神秘，我聽說它在現代物理學和計算機科學中有廣泛的應用，但一直缺乏一個清晰易懂的入門途徑。這本書的齣版，尤其是“按需印刷”的模式，讓我覺得它可能是一種非常靈活的學習資源，能夠滿足那些不那麼大眾化但又極具價值的數學領域的需求。我期待它能為我打開一扇新的窗口，讓我能夠開始探索這個既古老又充滿活力的數學分支，並理解它如何構建起我們對空間和結構的認知。

評分☆☆☆☆☆

作為一名對理論物理學有一定瞭解的讀者，我深知流形和微分幾何在描述時空結構中的重要性。《[按需印刷] 流形與幾何初步》這本書的書名，直接點明瞭我一直以來非常感興趣的領域。我曾經閱讀過一些關於廣義相對論和弦理論的科普書籍，它們都離不開流形的概念，但往往在解釋上過於簡化，難以深入理解。因此，我非常渴望能找到一本係統介紹流形和幾何基礎的讀物。這本書的“初步”字樣，讓我看到瞭希望，它也許能為我提供一個紮實的數學基礎，讓我能夠更好地理解那些物理學理論背後的數學語言。我期待它能夠用嚴謹但不失生動的筆觸，為我勾勒齣流形的本質，以及它在不同幾何框架下的錶現，為我將來進一步探索更復雜的數學和物理概念鋪平道路。

評分☆☆☆☆☆

最近我的閱讀清單上一直缺一本能夠係統梳理幾何學基礎，並引嚮更抽象概念的書籍。《[按需印刷] 流形與幾何初步》這本書的書名，正好擊中瞭我一直以來想要學習的知識點。我一直覺得，幾何學是我們理解空間和形狀最直觀的方式，而現代數學的許多分支，如拓撲學和微分幾何，都建立在幾何學的基石之上。“流形”這個詞匯，在我看來，代錶著一種更廣闊、更靈活的空間概念，我渴望能夠理解它的基本性質，以及它如何與我們所熟悉的歐幾裏得空間相聯係。這本書的“初步”定位，讓我覺得它可能是一本非常適閤新手入門的教材，能夠以一種循序漸進的方式，將復雜的概念變得易於理解。我希望它能提供清晰的定義、豐富的例子，以及恰到好處的數學符號，幫助我建立起對流形和幾何的初步認識，為我今後的深入學習打下堅實的基礎。