中國科學技術大學精品教材：綫性代數(第2版) pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

簡體網頁||繁體網頁

☆☆☆☆☆

李炯生 等 著

圖書標籤:

• 綫性代數
• 科大教材
• 數學教材
• 高等教育
• 大學教材
• 矩陣
• 嚮量
• 行列式
• 解方程
• 數值計算

店鋪： 時代齣版官方旗艦店

齣版社： 中國科學技術大學齣版社

ISBN：9787312022982

商品編碼：1727085999

品牌：APGTIME

包裝：平裝

齣版時間：2010-01-01

基本信息

書名：中國科學技術大學精品教材：綫性代數(第2版)

定價：48.00元

作者：李炯生 等

齣版社：中國科學技術大學齣版社

齣版日期：2010-01-01

ISBN：9787312022982

字數：

頁碼：447

版次：2

裝幀：平裝

開本：16開

商品重量：0.4kg

編輯

---

內容提要

---

是作者在中國科學技術大學數學係多年教學的基礎上編寫成的。它由多項式、行列式、矩陣、綫性空間、綫性變換、Jordan標準形、Euclid空間、酉空間和雙綫性函數等九章組成。在內容的敘述上，力圖做到矩陣方法與幾何方法相並重，每章都配有豐富的典型例題和充足的習題。
《綫性代數（第2版）》適閤作為綜閤性大學理科數學的教材，也可以作為各類大專院校師生的教學參考書，以及關心綫性代數與矩陣論的科技工作者的自學讀物或參考書。

目錄

---

總序
第2版序言
第1版序言
第1章 多項式
1.1 整數環與數域
1.2 一元多項式環
1.3 整除性與           大公因式
1.4 唯壹析因定理
1.5 實係數與復係數多項式
1.6 整係數與有理係數多項式
1.7 多元多項式環
1.8 對稱多項式

第2章 行列式
2.1 數域F上n維嚮量空間
2.2 n階行列式的定義與性質
2.3 Laplace展開定理
2.4 Cramer法則
2.5 行列式的計算

第3章 矩陣
3.1 矩陣的代數運算
3.2 Bi-Cauchy公式
3.3 可逆矩陣
3.4 矩陣的秩與相抵
3.5 一些例子
3.6 綫性方程組
3.7 矩陣的廣義逆

第4章 綫性空間
4.1 綫性空間的定義
4.2 綫性相關
4.3 基與坐標
4.4 基變換與坐標變換
4.5 同構
4.6 子空間
4.7 直和
4.8 商空間

第5章 綫性變換
5.1 映射
5.2 綫性映射
5.3 綫性映射的代數運算
5.4 像與核
5.5 綫性變換
5.6 不變子空間
5.7 特徵值與特徵嚮量
5.8 特徵子空間
5.9 特徵值的界

第6章 Jordan標準形
6.1 根子空間
6.2 循環子空間
6.3 Jordan標準形的概念
6.4 矩陣的相抵
6.5 Jordan標準形的求法
6.6 一些例子
6.7 實方陣的實相似

第7章 Euclid空間
7.1 內積
7.2 正交性
7.3 綫性函數與伴隨變換
7.4 規範變換
7.5 正交變換
7.6 自伴變換與斜自伴變換
7.7 正定對稱方陣與矩陣的奇異值分解
7.8 方陣的正交相似
7.9 一些例子
7.10 Euclid空間的同構

第8章 酉空間
8.1 酉空間的概念
8.2 復方陣的酉相似
8.3 正定Hermite方陣與矩陣的奇異值分解
8.4 一些例子

第9章 雙綫性函數
9.1 雙綫性函數的概念
9.2 對稱雙綫性函數與二次型
9.3 斜對稱雙綫性函數
9.4 共軛雙綫性函數與Hermite型

作者介紹

---

文摘

---

序言

---

總序
第2版序言
第1版序言
第1章 多項式
1.1 整數環與數域
1.2 一元多項式環
1.3 整除性與大公因式
1.4 唯壹析因定理
1.5 實係數與復係數多項式
1.6 整係數與有理係數多項式
1.7 多元多項式環
1.8 對稱多項式

第2章 行列式
2.1 數域F上n維嚮量空間
2.2 n階行列式的定義與性質
2.3 Laplace展開定理
2.4 Cramer法則
2.5 行列式的計算

第3章 矩陣
3.1 矩陣的代數運算
3.2 Bi-Cauchy公式
3.3 可逆矩陣
3.4 矩陣的秩與相抵
3.5 一些例子
3.6 綫性方程組
3.7 矩陣的廣義逆

第4章 綫性空間
4.1 綫性空間的定義
4.2 綫性相關
4.3 基與坐標
4.4 基變換與坐標變換
4.5 同構
4.6 子空間
4.7 直和
4.8 商空間

第5章 綫性變換
5.1 映射
5.2 綫性映射
5.3 綫性映射的代數運算
5.4 像與核
5.5 綫性變換
5.6 不變子空間
5.7 特徵值與特徵嚮量
5.8 特徵子空間
5.9 特徵值的界

第6章 Jordan標準形
6.1 根子空間
6.2 循環子空間
6.3 Jordan標準形的概念
6.4 矩陣的相抵
6.5 Jordan標準形的求法
6.6 一些例子
6.7 實方陣的實相似

第7章 Euclid空間
7.1 內積
7.2 正交性
7.3 綫性函數與伴隨變換
7.4 規範變換
7.5 正交變換
7.6 自伴變換與斜自伴變換
7.7 正定對稱方陣與矩陣的奇異值分解
7.8 方陣的正交相似
7.9 一些例子
7.10 Euclid空間的同構

第8章 酉空間
8.1 酉空間的概念
8.2 復方陣的酉相似
8.3 正定Hermite方陣與矩陣的奇異值分解
8.4 一些例子

第9章 雙綫性函數
9.1 雙綫性函數的概念
9.2 對稱雙綫性函數與二次型
9.3 斜對稱雙綫性函數
9.4 共軛雙綫性函數與Hermite型

綫性代數：理論、方法與應用 引言 綫性代數，作為現代數學的基石之一，其重要性已滲透到科學、工程、經濟、計算機科學等眾多領域。它提供瞭一套強大的工具和概念，用於描述和解決涉及多個變量的綫性關係問題。從圖像處理中的矩陣變換，到機器學習中的模型優化，再到經濟學中的資源分配，綫性代數的身影無處不在。這門學科不僅為我們理解復雜係統提供瞭深刻的洞察，更推動瞭許多前沿科技的發展。 本書旨在係統地介紹綫性代數的核心理論、基本方法及其廣泛的應用。我們力求在理論的嚴謹性與方法的實用性之間取得平衡，通過清晰的邏輯和豐富的例證，幫助讀者構建紮實的綫性代數知識體係。本書不僅麵嚮數學專業學生，也同樣適用於其他專業領域對綫性代數有深入學習需求的讀者。 第一部分：嚮量空間與綫性映射 我們從最基礎的概念——嚮量——入手。通過對嚮量的幾何直觀理解，自然而然地引齣嚮量空間的概念。嚮量空間是綫性代數研究的核心載體，它定義瞭一組滿足特定代數性質的嚮量集閤。我們將深入探討嚮量空間的定義、性質，以及子空間的構成。 嚮量與嚮量空間: 我們將詳細闡述嚮量的定義，包括實數域和復數域上的嚮量。在此基礎上，引入嚮量空間的公理化定義，並給齣各種常見的嚮量空間例子，如 $R^n$、$C^n$、多項式空間、函數空間等。我們將區分嚮量空間和其子空間的區彆，並介紹子空間的基本性質。 綫性組閤與綫性無關: 綫性組閤是構建嚮量空間的基本操作。我們將詳細講解如何判斷一組嚮量是否能由另一組嚮量綫性錶示，以及綫性組閤的唯一性問題。在此基礎上，引入綫性無關和綫性相關的概念，這是理解嚮量組性質的關鍵。我們將探討綫性無關組的特點以及它在錶示嚮量時的重要性。 基與維數: 一個嚮量空間的基是能夠“張成”整個空間的最小綫性無關嚮量組。基的存在和選取對後續的理論發展至關重要。本書將詳細介紹基的定義、性質，以及如何找到特定嚮量空間的基。基的存在性保證瞭嚮量空間的維數是一個唯一的、描述其“大小”的重要屬性。我們將討論基的存在性證明，並深入理解維數在嚮量空間分類中的作用。 綫性映射: 綫性映射是連接不同嚮量空間的橋梁。我們將其定義為保持嚮量加法和標量乘法運算的函數。本書將詳細研究綫性映射的性質，包括其核空間（零空間）和像空間（值域）。核空間描述瞭綫性映射將哪些嚮量映射到零嚮量，而像空間則描述瞭綫性映射的輸齣範圍。我們將證明核空間和像空間的維度關係（秩-零度定理），並探討綫性映射的矩陣錶示。 矩陣錶示: 任何一個嚮量空間之間的綫性映射，在選取瞭基之後，都可以用一個矩陣來錶示。矩陣成為研究綫性映射的有力工具。我們將詳細講解如何根據給定的綫性映射和基，構造齣相應的矩陣。反之，矩陣也能夠唯一地確定一個綫性映射。我們將深入理解矩陣乘法與綫性映射復閤之間的關係。 第二部分：矩陣與綫性方程組 矩陣是綫性代數中最重要的數學對象之一，它不僅是綫性映射的載體，更是描述和解決綫性方程組的強大工具。本部分將係統地介紹矩陣的運算、性質，以及如何利用矩陣理論來求解綫性方程組。 矩陣的運算: 我們將詳細介紹矩陣的加法、數乘、乘法、轉置等基本運算。矩陣乘法的非交換性以及其幾何意義將被重點闡述。我們還將討論一些特殊的矩陣，如零矩陣、單位矩陣、對角矩陣、上（下）三角矩陣等，以及它們的運算性質。 矩陣的逆與可逆性: 可逆矩陣在求解綫性方程組和理解綫性映射的性質方麵起著至關重要的作用。我們將給齣可逆矩陣的定義，並探討其等價條件，例如行列式非零、存在逆矩陣、核空間為零嚮量等。我們將學習如何計算矩陣的逆，以及逆矩陣在方程組求解中的應用。 行列式: 行列式是與方陣相關的一個重要數值。我們將介紹行列式的定義（代數定義和幾何定義），並探討其基本性質，如行列式與矩陣乘法、轉置、行（列）變換的關係。我們將學習計算行列式的方法，例如代數餘子式展開法和行（列）變換法。行列式的零值與矩陣的可逆性緊密相關。 綫性方程組: 綫性方程組是綫性代數中最直接的應用場景之一。本書將從矩陣的視角齣發，係統地研究綫性方程組的解的存在性、唯一性以及解的結構。我們將介紹高斯消元法（行化簡）作為求解綫性方程組的標準算法。通過將增廣矩陣化為行階梯形或簡化行階梯形，我們可以直觀地判斷方程組的解的情況。 剋萊默法則與逆矩陣法: 在特定條件下，我們還可以利用剋萊默法則或矩陣的逆來求解綫性方程組。我們將詳細推導剋萊默法則，並分析其適用範圍和局限性。同時，也將展示如何利用逆矩陣來求解方程組。 嚮量方程與矩陣方程: 我們還將從嚮量方程和矩陣方程的角度來理解綫性方程組，將其轉化為更為抽象和一般的形式，以便於更深入的理論分析。 第三部分：特徵值與特徵嚮量 特徵值和特徵嚮量是理解綫性變換作用於特定方嚮上的性質的強大工具，它們在分析動力係統、量子力學、主成分分析等領域扮演著核心角色。 特徵值與特徵嚮量的定義: 對於一個方陣 $A$，如果存在非零嚮量 $v$ 和標量 $lambda$，使得 $Av = lambda v$，則稱 $lambda$ 為 $A$ 的特徵值， $v$ 為對應於 $lambda$ 的特徵嚮量。本書將深入講解特徵值和特徵嚮量的定義、幾何意義以及計算方法。 特徵多項式: 特徵值可以通過求解特徵多項式的根來獲得。我們將詳細介紹如何構造特徵多項式，並學習求解特徵多項式的各種技巧。 特徵嚮量的計算: 一旦求得瞭特徵值，我們就可以通過求解齊次綫性方程組來獲得對應的特徵嚮量。本書將詳細演示計算特徵嚮量的步驟。 對角化: 如果一個矩陣 $A$ 能夠錶示為 $A = PDP^{-1}$，其中 $D$ 是一個對角矩陣，那麼我們稱 $A$ 是可對角化的。對角化能夠極大地簡化矩陣的計算，特彆是計算矩陣的冪。我們將探討矩陣可對角化的條件，以及如何進行對角化。 譜定理（僅限實對稱矩陣）: 對於實對稱矩陣，存在一個正交矩陣 $P$，使得 $A = PDP^T$。這將簡化對角化過程，並具有重要的理論意義。我們將介紹譜定理，並闡述其在某些應用中的重要性。 第四部分：嚮量空間的內積與正交性 內積的引入為嚮量空間賦予瞭幾何結構，如長度、角度和距離。正交性是內積空間中最重要和最有用的概念之一。 內積的定義與性質: 內積是嚮量空間上的一種二元運算，它將兩個嚮量映射到一個標量。我們將給齣標準內積的定義，並探討其基本性質，如對稱性、綫性性、正定性等。 範數與距離: 由內積可以定義嚮量的範數（長度）和嚮量之間的距離。我們將研究範數的性質，並理解距離在幾何空間中的意義。 正交與正交基: 如果兩個嚮量的內積為零，則稱它們正交。正交基是嚮量空間中最“理想”的基，它使得許多計算和錶示都變得非常簡便。我們將介紹正交集和正交基的概念。 施密特正交化: 即使給定的嚮量組不是正交的，我們也可以通過施密特正交化過程構造齣一組正交基。本書將詳細介紹施密特正交化算法的步驟和原理。 正交補: 對於嚮量空間中的一個子空間，其正交補是與該子空間中的所有嚮量都正交的嚮量集閤。正交補的概念在求解問題和理解子空間關係時非常重要。 第五部分：應用簡介 綫性代數在各行各業有著廣泛的應用。本部分將簡要介紹幾個典型的應用方嚮，以展現綫性代數強大的解決問題的能力。 最小二乘法: 許多實際問題無法找到精確的解，但可以找到“最接近”的近似解。最小二乘法是一種廣泛應用於數據擬閤和參數估計的方法，它利用綫性代數的工具來求解“最佳”的近似解。 綫性迴歸: 在統計學和機器學習中，綫性迴歸模型是分析變量之間綫性關係的基本模型。綫性代數在求解綫性迴歸模型中的參數扮演著核心角色。 圖論中的應用: 圖論可以被錶示為鄰接矩陣，而綫性代數中的矩陣運算能夠有效地分析圖的性質，如連通性、最短路徑等。 計算機圖形學: 計算機圖形學中的各種變換，如縮放、鏇轉、平移等，都通過矩陣運算來實現，使得三維模型在屏幕上得以呈現。 數據科學與機器學習: 綫性代數是數據科學和機器學習的基石。從降維（如主成分分析）到求解優化問題（如支持嚮量機），綫性代數提供瞭不可或缺的理論和算法支持。 結語 綫性代數是一門充滿力量和美感的學科。通過本書的學習，我們希望讀者能夠掌握綫性代數的核心概念和基本方法，並能夠將其靈活應用於解決實際問題。綫性代數的知識體係是不斷深入的，本書提供的基礎將為讀者進一步探索更高級的主題奠定堅實的基礎。我們鼓勵讀者在理解理論的同時，勤於練習，多做習題，從而真正地掌握這門重要的學科。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計簡潔大氣，書名“中國科學技術大學精品教材：綫性代數(第2版)”幾個字赫然在目，透露著一股嚴謹紮實的學術氣息。拿到手裏，觸感也相當不錯，紙張厚實，印刷清晰，翻閱起來感覺很舒服。我本身就是一名對數學有著濃厚興趣的學生，一直以來都想找一本能夠係統深入地理解綫性代數這門學科的書籍。之前也零散地看過一些教材，但總覺得不夠係統，或者講解不夠透徹，有些概念總是模模糊糊的。這次聽說有中科大精品教材的綫性代數，而且是第二版，便抱著極大的期待入手瞭。從書的整體外觀就可以感受到齣版方的用心，相信內容也一定不會讓人失望。我尤其看重教材的邏輯性和連貫性，希望這本書能夠循序漸進地引導我掌握綫性代數的精髓，而不是停留在一些零散的公式和定理的記憶上。畢竟，數學的學習最重要的是理解其內在的邏輯和思想，而不僅僅是機械的計算。這本書的第二版，也讓我對它在內容的更新和完善方麵有瞭更高的期待，也許在一些新的研究方嚮或者應用方麵會有所體現，這對我來說也充滿瞭吸引力。

評分☆☆☆☆☆

總而言之，這本書給我留下瞭非常深刻的印象。它不僅內容嚴謹、邏輯清晰，而且講解生動、易於理解。從基礎概念的引入，到核心理論的闡述，再到實際應用的展示，都做得非常齣色。我在這本書的學習過程中，不僅掌握瞭綫性代數的知識，更重要的是培養瞭嚴謹的數學思維和解決問題的能力。這本書絕對算得上是一本值得推薦的精品教材，無論是對於初學者還是希望深入理解綫性代數的讀者，都能從中獲益匪淺。我真心希望能夠通過這本書，為我未來的學習和研究打下堅實的基礎。

評分☆☆☆☆☆

這本書在習題的設計上也非常有特色。除瞭常規的計算題和證明題，還包含瞭一些需要思考和探索的題目，甚至還有一些涉及到編程實現的思考題。這錶明編寫者不僅僅是為瞭教授知識，更是希望培養讀者的數學思維能力和解決問題的能力。我尤其喜歡那些需要綜閤運用多個章節知識的題目，這些題目能夠幫助我鞏固所學，並且發現知識點之間的內在聯係。對於一些比較難的題目，書中也提供瞭詳細的解題思路或者提示，這對於我這樣的自學者來說非常寶貴，能夠避免我在難題麵前“卡殼”。

評分☆☆☆☆☆

翻開書頁，映入眼簾的是序言，讀完後我更是信心倍增。序言中提到瞭編寫此書的初衷和目標，強調瞭綫性代數作為一門基礎學科的重要性，以及它在各個科學技術領域中的廣泛應用。作者的嚴謹態度和對教材質量的追求，字裏行間都得到瞭充分的體現。我特彆注意到作者在序言中提到，這本教材是在第一版的基礎上進行瞭修訂和完善，力求在內容的深度、廣度和教學方法的創新上都達到新的高度。這讓我對第二版的內容充滿期待，相信在原有的紮實基礎上，會有更多令人耳目一新的內容。書中的章節安排也非常閤理，從最基礎的概念如嚮量、矩陣開始，逐步深入到綫性方程組、嚮量空間、綫性變換、特徵值與特徵嚮量等核心內容。每章的知識點都講解得非常清晰，並且配有大量的例題和習題，這一點對於我這樣的學習者來說至關重要。我喜歡通過大量的練習來鞏固所學的知識，並且希望習題的難度能夠有所區分，既有基礎的鞏固練習，也有一些具有挑戰性的思考題，能夠幫助我深入理解概念並提升解題能力。

評分☆☆☆☆☆

綫性變換是連接嚮量空間和嚮量空間之間的“橋梁”，是理解綫性代數的重要組成部分。這本書對綫性變換的講解深入淺齣，從映射的角度齣發，明確瞭綫性變換的兩個核心性質：疊加性和齊次性。作者通過大量的幾何例子，如鏇轉、投影、反射等，來展示綫性變換的幾何意義，並進一步將其與矩陣聯係起來，說明任何一個有限維嚮量空間的綫性變換都可以用一個矩陣來錶示。這讓我深刻理解瞭“矩陣是綫性變換的錶示”這一關鍵思想。書中還詳細講解瞭核空間（零空間）和像空間（值域）的概念，以及維度公式（秩-零度定理），並闡述瞭它們與綫性變換的性質之間的緊密聯係。這些內容對於理解綫性代數的深層結構至關重要。

評分☆☆☆☆☆

這本書在講解綫性代數與幾何的關係上也做得非常齣色。作者將代數中的概念與幾何中的圖形和變換聯係起來，例如，將嚮量看作空間中的點或箭頭，將矩陣看作坐標變換或綫性形變。我尤其喜歡作者在介紹二次型和主軸定理時，用到的幾何直觀解釋。例如，通過鏇轉坐標係，將二次型化為不含交叉項的形式，這在幾何上對應於橢圓或雙麯綫的軸綫與坐標軸平行。這種將抽象的代數運算與具體的幾何圖形聯係起來的講解方式，讓我能夠更深刻地理解數學概念的幾何意義，也更容易記住和應用相關的知識。

評分☆☆☆☆☆

嚮量空間是綫性代數中一個非常抽象但又極其重要的概念，很多初學者都會在這裏感到睏惑。這本書在這部分的處理非常齣色。作者從“好”的嚮量集閤的定義齣發，通過一係列的例子，如 R^n，多項式空間，函數空間等，來闡述嚮量空間的構成要素和性質。我特彆喜歡作者在介紹子空間、基和維度時，用到的直觀的類比和幾何解釋。例如，將子空間類比為“平行於某個平麵或直綫”的集閤，將基類比為“構成空間的基本元素”，將維度類比為“描述空間所需的獨立方嚮的數量”。這些形象的比喻，讓我能夠更好地把握這些抽象概念的本質。書中還深入講解瞭綫性無關、生成集閤、基的存在性以及維度定理，這些都是理解嚮量空間的精髓所在。

評分☆☆☆☆☆

綫性方程組的求解是綫性代數中的一個核心內容，也是許多實際應用的基礎。我一直覺得這部分內容如果講解不清，會直接影響到後續的學習。這本書在這方麵的處理讓我非常滿意。作者首先介紹瞭高斯消元法，並詳細講解瞭每一步操作的原理和目的，通過大量的例子來展示如何運用這種方法求解不同類型的綫性方程組，包括有唯一解、無窮多解以及無解的情況。更重要的是，作者並沒有止步於單純的算法介紹，而是深入探討瞭綫性方程組解的結構，比如解空間的意義，以及如何通過初等行變換將係數矩陣化為行簡化階梯形矩陣，進而直接得到方程組的解。這種從算法到原理再到結構的講解方式，讓我能夠真正理解綫性方程組求解的本質，而不是僅僅記住一個算法步驟。

評分☆☆☆☆☆

書中的第一個大章節，關於嚮量和矩陣的部分，我就被深深地吸引住瞭。作者並沒有直接給齣復雜的定義和公式，而是從一些直觀的例子入手，比如空間中的點和方嚮，圖形的縮放和鏇轉，來引齣嚮量和矩陣的概念。這種循序漸進的講解方式，讓我能夠很自然地理解這些抽象的概念是如何産生的，以及它們在實際問題中的應用。我尤其喜歡作者在介紹矩陣運算時，不僅僅是給齣加法、減法、乘法等運算規則，還詳細解釋瞭這些運算的幾何意義和代數意義。例如，矩陣乘法不僅僅是簡單的元素相乘再求和，它實際上代錶著綫性變換的復閤，或者說一個嚮量在經過一係列綫性變換後最終會到達的位置。這種深入的解釋，讓我對矩陣的理解不再停留在錶麵，而是能夠感受到其背後蘊含的強大數學思想。書中的插圖也相當精美，用圖示化的方式將抽象的數學概念變得生動形象，大大降低瞭理解的難度。

評分☆☆☆☆☆

特徵值和特徵嚮量是綫性代數中一個非常重要且應用廣泛的概念。這本書對這部分內容的講解非常到位。作者首先介紹瞭特徵值和特徵嚮量的定義，並通過一些實際例子，如人口增長模型、振動係統等，來展示它們在現實世界中的應用。我特彆喜歡作者在講解如何求解特徵值和特徵嚮量時，清晰地展示瞭整個推導過程，包括如何構造特徵方程，如何求解特徵多項式，以及如何根據特徵值求解對應的特徵嚮量。書中還深入探討瞭特徵值和特徵嚮量的性質，比如它們與矩陣可對角化之間的關係，以及如何利用特徵值和特徵嚮量來簡化矩陣運算，比如矩陣的冪運算。這些內容對於理解矩陣的內在結構和性質非常有幫助。

評分☆☆☆☆☆

書很好，物流也非常地快，以後還會來買的

評分☆☆☆☆☆

印刷還不錯，挺舒服的

評分☆☆☆☆☆

有難度，好好看收獲還是非常大的

評分☆☆☆☆☆

好好好好好好好

評分☆☆☆☆☆

有難度，好好看收獲還是非常大的

評分☆☆☆☆☆

綫性代數是一門基礎課程

評分☆☆☆☆☆

傳說中啊亞洲最難。

評分☆☆☆☆☆

科大齣品，必屬精品

評分☆☆☆☆☆

好