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沈文选，杨清桃编著 著

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出版社： 哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560365640

商品编码：19193688779

开本：16开

出版时间：2017-05-01

页数：348

字数：525000

作  者:沈文选,杨清桃 编著 定  价:58 出 版 社:哈尔滨工业大学出版社 出版日期:2017年05月01日 页  数:348 装  帧:平装 ISBN:9787560365640 ●数学解题意义
●1.1为什么要解题？
●1.2什么是题？什么是数学题？
●1.3数学问题的分类
●1.3.1按四信息分析分类
●1.3.2按知识内容分类
●1.3.3按解题形式分类
●1.3.4按评判解答的客观性分类
●1.3.5按思维程度分类
●1.3.6按用途分类
●1.3.7按难度分类
●1.4什么是解题？
●1.4.1运用系统论科学描述解题
●1.4.2问题解决
●第二章数学解题研究观点
●2.1系统科学论的观点
●2.1.1系统的基本性质与解题
●2.1.2信息论与解题
●2.1.3三条基本原理与解题
●2.2波利亚的观点
●部分目录

内容简介

本册书共分八章：靠前章数学解题意义；第二章数学解题研究观点；第三章数学解题过程；第四章数学解题策略；第五章数学解题方法；第六章数学解题思路；第七章几类特殊题型及求解；第八章数学试题校正及数学题错解辨析。 沈文选,杨清桃 编著 沈文选，男，1948年生。湖南师范大学数学与计算机科学学院教授，曾任初等数学研究会理事长，湖南省高师数学教育研究会理事长，高师数学教育研究会常务理事，教育数学研究会常务理事，湖南省中学数学研究会副理事长，湖南省数学会中学数学委员会副主任，湖南师范大学数学奥林匹克研究所副所长，《中国初等数学研究》主任，《数学教育学报》编委，《现代中学数学》副主编，中国数学奥林匹克不错教练。长期从事中学数学研究、初等数学研究、奥林匹克数学研究、教育数学研究，已出版学术专著16部，主编高校教材4部，出版其他书籍近40部，发表学术论文80余篇，其他文章200余篇。多年来为初、高中数学联赛，数学冬令营，国家集训队提供试等

数学解题的艺术与实践：从基础到前沿的探索 图书简介 本书旨在为数学学习者和研究者提供一套系统、深入的解题方法论和实践指南。我们深知，数学能力的真正体现不仅在于对知识点的掌握，更在于运用这些知识解决复杂问题的能力。本书摒弃了传统教材中碎片化的解题技巧罗列，转而构建一个以“思维模型”为核心的解题框架，引导读者建立起扎实、灵活的数学思维体系。 第一部分：解题思维的基石——概念的重塑与结构的洞察 数学解题的第一步，是对问题的核心概念进行深刻的、结构化的理解。本书首先从基础概念的“再定义”入手，探讨如何将看似熟悉的数学术语，置于更广阔的理论背景下进行审视。 第一章：概念的深度挖掘与本质抽象 本章详细阐述了如何通过历史溯源和多角度类比，穿透概念表面的定义，直抵其内在逻辑。我们探讨了集合论思想在代数、几何中的渗透作用，强调了“范畴”思维在统一不同数学分支中的潜力。对于初学者常感模糊的“极限”、“连续性”等概念，本书提供了基于直觉模型和严格逻辑推导相结合的解析，确保读者不仅“知道”如何使用，更能“理解”其产生的必然性。例如，通过对不同数系的构造过程的回溯，展示了为何某些公理的选择是解决特定问题的唯一有效途径。 第二章：结构化建模与问题分解 数学问题往往复杂且冗余。成功的解题者，其首要能力是将复杂问题迅速“降维”和“模块化”。本章聚焦于结构识别能力。我们引入了拓扑学、图论中的基本结构概念（如连通性、对称性、群作用）来分析代数方程组、几何构造乃至概率模型的内在联系。 等价变换与不变性原理： 讲解了如何在变换中寻找不变量，这是求解微分方程、分析函数性质的利器。我们详细分析了拉格朗日点、伽罗瓦群的例子，展示了不变性如何成为锁定解空间的强大约束。 模型选择的艺术： 探讨了何时应该使用连续模型（微积分），何时应诉诸离散模型（组合学）。通过对实际物理问题的简化过程分析，揭示了“过度简化”与“过度复杂化”之间的平衡点。 第二部分：核心解题策略的系统演进 在坚实的思维基础上，本书系统地梳理了解决不同类型数学问题的经典和前沿策略。 第三章：代数思维的精妙运用——从线性到非线性 本章超越了传统的方程求解技巧，着重于对代数结构的整体把握。 线性代数的解题思维： 强调向量空间、特征值分解在解微分方程组、优化问题中的作用。如何将一个复杂的非线性系统，通过泰勒展开线性化，并利用矩阵方法分析其局部稳定性。 多项式方法的威力： 讨论了希尔伯特零点定理在代数几何中的基础地位，以及利用复变量函数理论来解决实系数多项式问题的技巧。重点介绍了 Gröbner 基在处理多项式方程组方面的系统性优势。 第四章：几何直觉与拓扑洞察 几何直觉是通往深刻理解的桥梁，但它必须辅以严谨的逻辑支撑。 坐标系的选择与转换： 深入分析了如何根据问题的对称性选择最优的坐标系（如极坐标、仿射坐标），以及在变换中保持核心几何性质不变的技巧。 微分几何的初探： 介绍了曲率、测地线等概念如何为平面几何和空间几何问题提供更深层次的解释。例如，如何使用黎曼曲率张量来分析非欧几里得空间中的最短路径问题。 拓扑不变量的应用： 如何利用欧拉示性数、同调群等工具来判断两个看似不同的几何对象是否本质上相同，这在组合拓扑和图论问题中尤为关键。 第五章：分析的严谨与概率的随机性 分析学是现代数学的骨干，涉及连续性、极限和无限的精确处理。 微积分的“反向工程”： 探讨如何从一个期望的解的性质（如光滑性、周期性）反推出需要满足的微分方程或积分方程。重点分析了变分法的基本思想，即通过寻找泛函的极值来解决动力学和优化问题。 概率论中的信息论视角： 将概率问题视为信息传递和不确定性量化。引入了贝叶斯推理的核心框架，展示了如何在信息不断增加的情况下更新我们的知识状态。详细讨论了马尔可夫链的稳态分析在预测复杂系统长期行为中的应用。 第三部分：高级解题范式与跨学科整合 本书的后半部分将读者的视野引向更前沿、更综合性的解题范式，鼓励思维的跨界流动。 第六章：优化理论与算法思维 在当代数学应用中，优化是核心议题。 对偶性原理： 详细阐述了线性规划、凸优化中的强对偶和弱对偶概念，解释了如何通过构造对偶问题来简化原问题的求解难度，并验证解的最优性。 贪婪算法与动态规划的辩证关系： 讨论了何时局部最优选择可以导向全局最优（贪婪），以及何时需要建立状态转移方程（动态规划）。通过背包问题、最短路径问题的精细对比，深化理解。 第七章：证明的艺术与反证法的精妙布局 证明是数学的语言。本章侧重于构造性证明和非构造性证明的策略选择。 构造性证明的五种基本工具： 归纳法（强弱）、构造反例、不动点定理的应用、迭代构造法。 反证法的高级运用： 不仅仅是“假设不成立”，更在于如何通过反向推理，揭示原始假设在逻辑结构上的内在矛盾。重点分析了哥德尔不完备性定理中，如何通过自我指涉来构造一个在系统内无法判断真伪的命题。 第八章：计算的辅助与数学的未来 承认并有效利用计算工具，是现代数学家的必备素质。 符号计算与数值分析的协同： 探讨了何时应使用高精度数值模拟（如有限元法），何时应依赖符号计算系统（如代数结构分析）。强调计算结果的合理性检验，避免“垃圾进，垃圾出”的陷阱。 理论的形成与验证： 分析了数学猜想的提出、通过特定案例的计算验证，以及最终走向普遍证明的完整路径。引导读者将计算视为探索性工具，而非最终结论。 总结与展望 本书通过对解题过程的层层剖析，旨在培养读者一种系统化、模块化、且富有创造性的数学思维。解题不是技巧的堆砌，而是一门深植于逻辑与直觉之上的艺术。掌握了这些核心范式，学习者便能自信地面对任何领域的数学挑战，将知识转化为解决未知问题的实际能力。本书期望成为读者从“解题者”蜕变为“问题构建者”的坚实阶梯。

评分☆☆☆☆☆

这部作品的文字风格简直就像一位经验丰富的老教授在跟你促膝长谈，娓娓道来那些晦涩难懂的数学概念。他没有急于展示那些华丽的公式堆砌，而是先从最基础的逻辑思辨入手，引导你思考“什么是解题”。我尤其欣赏作者在处理那些经典难题时所展现出的耐心和洞察力。他不是简单地给出标准答案，而是像侦探一样，一步步拆解问题的结构，剖析隐藏在文字背后的数学意图。我记得书中有一节专门探讨了如何从一个看似无关的背景信息中提炼出关键的数学模型，那段论述逻辑缜密，层层递进，让我这个长期在题海中挣扎的“学徒”茅塞顿开。读完它，我感觉自己对数学的理解不再停留在机械运算的层面，而是上升到了一个更高的、更具哲学意味的层次。那种感觉，就像是突然被授予了一把能打开所有谜题宝箱的钥匙，虽然钥匙本身并不复杂，但掌握使用方法才是关键。对于那些渴望真正理解数学思维而非仅仅追求分数的人来说，这本书无疑是一剂良药。它需要的不是你拥有惊人的计算天赋，而是需要你拥有好奇心和持之以恒的探究精神。

评分☆☆☆☆☆

我向来对那种把数学包装得过于“神奇”或“高深莫测”的读物持保留态度，但这部作品成功地避免了这些陷阱。它以一种极其务实却又不失启发性的方式，讲述了数学解题的“手艺”。书中关于如何利用反证法进行“反向工程”的分析尤为精彩，它不仅仅是解释了反证法的定义，而是深入探讨了选择“什么来否定”才是解题的关键所在。作者的叙事节奏把握得非常好，时而放缓，细致勾勒出某个关键定理的适用边界；时而加快，引导读者迅速进入下一个需要思考的场景。整本书读下来，我体验到一种非常流畅的思维流动感，仿佛作者为我的大脑搭建了一条效率极高的信息高速公路。这本书真正做到的，是将那些看似是“灵光乍现”的解题技巧，系统化、流程化，最终转化为一种任何人都可以学习和掌握的通用技能。它提供的不只是答案，更是一种可靠的、可复制的思考路径。

评分☆☆☆☆☆

坦率地说，这本书的入门门槛比我想象的要高那么一点点。它面向的读者群似乎更偏向于那些已经接触过基础微积分和线性代数，并且对逻辑推理有一定敏感度的群体。它不是那种能让你在短期内突飞猛进的“速成宝典”。相反，它更像是一部需要反复咀嚼、时常回味的心法口诀。其中对“对称性原理”和“不变量”的讨论，视角独特而深刻，作者似乎在试图揭示隐藏在各种看似迥异的数学领域之下的统一结构。我花了相当多的时间去消化其中关于如何“跳出已知框架”思考的部分，那种感觉就像是作者在为你描绘一个更高维度的空间，让你尝试用全新的视角去看待熟悉的二维平面上的难题。它要求读者投入大量的时间去进行“心智演练”，而不是简单地做题。对于那些已经厌倦了重复练习、渴望探究数学奥秘的深度学习者，这本书绝对是一次值得投入精力的挑战。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和装帧给人的第一印象是朴实无华，但内容却蕴含着一股强大的内力。它不像那些花哨的辅导书那样试图用鲜艳的色彩和爆炸性的标题来吸引眼球，它完全依赖于文字本身的重量和逻辑的力量。我最欣赏的地方在于作者对待“不确定性”的态度。在数学世界里，并非所有问题都能找到一条清晰、笔直的路径。本书深刻地剖析了在面对开放性问题时，如何管理那种“我不知道下一步该怎么做”的焦虑感。它教导我们，一个好的解题者，首先是一个出色的“问题重构者”。通过对问题语言的解构和数学符号的转换，将一个看似无解的迷宫，转化为一系列可操作的小任务。这种能力是无法通过背诵公式获得的，它需要长期的训练和对数学本质的理解。读完这本书，我感觉自己对待遇到的所有挑战都有了一种更加沉着和系统化的应对策略，这远远超出了单纯的“应试”范畴，更像是一种思维的升级换代。

评分☆☆☆☆☆

说实话，我一开始对这本书抱有很高的期望，毕竟“引论”这个词自带一种权威性。但读完之后，我发现它的价值更像是一本“工具箱使用说明书”，而非“知识全景图”。它非常注重解题的“方法论”，而不是具体知识点的罗列。比如，书中对“构造法”的讲解，不是那种教科书式的定义，而是通过一系列精心挑选的例子，展示了构造过程中的灵感闪现与理性约束之间的微妙平衡。作者似乎非常擅长模拟真实的思维过程，他会坦诚地展示在早期探索中可能出现的误区和死胡同，并引导读者如何识别和规避这些陷阱。这使得阅读过程充满了代入感，仿佛作者就坐在你旁边，在你卡壳的时候给出恰到好处的提示。唯一让我感到有些意犹未尽的是，在某些高级主题的引入部分，作者的笔墨稍显保守，似乎过于担心读者无法跟上节奏，导致某些更前沿的解题思路未能得到充分的展开。但这或许也是其“引论”定位的必然取舍吧，毕竟它需要为后续更深层次的学习打下坚实的基础。