數學分析習題課講義（下冊） pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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齣版社： 高等教育齣版社

ISBN：9787040129410J

商品編碼：26533525838

商品參數

書   名:數學分析習題課講義（下冊）

作 者: 謝惠民　

I S B N :9787040129410

齣版社: 高等教育齣版社

齣版時間:2010年11月01日

印刷時間:2010年11月01日

字 數:字

頁 數:408頁

開 本:16開

包 裝:平裝

重 量:599g

定 價:33.9元

內容簡介

《數學分析習題課講義》(下)是教育部“國傢理科基地創建課程項目”的研究成果，其目的是為數學分析的習題課教學提供一套具有創新特色的教材和參考書。《數學分析習題課講義》(下)以編著者們近20年來在數學分析及其習題課方麵的教學經驗為基礎，吸取瞭外多種教材和研究性論著中的大量成果，注意經典教學內容中的思想、方法和技巧的開拓和延伸，在例題的講解中強調啓發式和逐步深入，在習題的選取中緻力於對傳統內容的更新、補充與層次化。

目錄

下冊內容簡介

第十三章數項級數

513.1 無窮級數的基本概念

13.1.1 無窮級數的多種視角

13.1.2 思考題

§13.2 正項級數

13.2.1 比較判彆法的一般形式

13.2.2 比較判彆法的特殊形式

13.2.3 其他判彆法

13.2.4 例題

13.2.5 練習題

§13.3 一般項級數

13.3.1 一般項級數的斂散性判彆法

13.3.2 一般項級數的基本性質

13.3.3 例題

13.3.4 練習題

§13.4 無窮乘積

13.4.1 基本內容

13.4.2 例題

13.4.3 練習題

§13.5 對於教學的建議

13.5.1 學習要點

13.5.2 參考題

第十四章函數項級數與冪級數

514.1 一緻收斂性及其判彆法

14.1.1 基本內容

14.1.2 例題

14.1.3 練習題

§14.2 和函數與極限函數的性質

14.2.1 三分法與極限順序交換原理

14.2.2 例題

14.2.3 準一緻收斂與控製收斂定理

14.2.4 練習題

§14.3 冪級數的收斂域與和函數

14.3.1 冪級數的基本理論

14.3.2 思考題

14.3.3 例題

14.3.4 練習題

§14.4 函數的冪級數展開

14.4.1 Taylor級數與函數的冪級數展開

14.4.2 將函數展開為冪級數的基本方法

14.4.3 例題

14.4.4 練習題

§14.5 對於教學的建議

14.5.1 學習要點

15.5.2 參考題

第十五章Fourier級數

§15.1 Fourier係數

15.1.1 Fourier係數的計算公式

15.1.2 Fourier係數的漸近性質

15.1.3 Fourier係數的幾何意義

15.1.4 例題

15.1.5 練習題

515.2 Fourier級數的收斂性

15.2.1 Dirichler核和點收斂性

15.2.2 Gibbs現象

15.2.3 Fourier級數的？eshro求和

15.2.4 Fourier級數的平方平均收斂

15.2.5 Fourier級數的一緻收斂性

15.2.6 例題

15.2.7 練習題

§15.3 對於教學的建議

15.3.1 學習要點

15.3.2 參考題

第十六章無窮級數的應用

§16.1 積分計算

16.1.1 關於逐項積分的補充命題

16.1.2 例題

16.1.3 練習題

§16.2 級數求和計算

16.2.1 級數求和法

16.2.2 例題

16.2.3 練習題

§16.3 連續函數的逼近定理

16.3.1 核函數方法

16.3.2 Bernstein證明的概率解釋

16.3.3 逼近定理的一個初等證明

16.3.4 逼近定理的其他證明

16.3.5 逼近定理的應用舉例

16.3.6 練習題

16.4 用級數構造函數

16.4.1 處處連續處處不可微的函數

16.4.2 填滿正方形的連續麯綫

§16.5 對於教學的建議

16.5.1 學習要點

16.5.2 參考題

第十七章高維空間的點集與基本定理

§17.1 點與點集的定義及其基本性質

17.1.1 點的分類及其性質

17.1.2 集閤的分類及其性質

17.1.3 思考題

17.1.4 練習題

§17.2 R中的幾個基本定理

17.2.1 綜述

17.2.2 例題

17.2.3 練習題

§1.7.3 對於教學的建議

17.3.1 學習要點

17.3.2 參考題

第十八章多元函數的極限與連續

518.1 多元函數的極限

18.1.1 重極限

18.1.2 纍次極限

18.1.3 證明函數的重極限不存在的常用方法

18.1.4 思考題

18.1.5 關於纍次極限換序

18.1.6 練習題

§18.2 多元函數的連續性

18.2.1 定義與基本性質

18.2.2 緊集上多元連續函數的性質

18.2.3 多元連續函數的介值定理

18.2.4 嚮量值函數

18.2.5 練習題

§18.3 對於教學的建議

18.3.1 學習要點

18.3.2 參考題

第十九章偏導數與全微分

§19.1 偏導數

19.1.1 偏導數的定義

19.1.2 偏導數與連續

19.1.3 高階偏導數

§19.2 全微分

19.2.1 全微分的定義與基本性質

19.2.2 多元函數的連續性、偏導數存在性及可微性之間的關係

19.2.3 思考題

19.2.4 練習題

§19.3 復閤函數求導鏈式法則

19.3.1 復閤函數偏導數的鏈式法則

19.3.2 例題

19.3.3 齊次函數

19.3.4 練習題

519.4.嚮量值函數的微分學定理

19.4.1 有限增量公式與擬微分平均值定理

19.4.2 練習題

§19.5 對於教學的建議

19.5.1 學習要點

19.5.2 參考題

第二十章隱函數存在定理與隱函數求導

520.1 一個方程的情形

20.1.1 隱函數存在定理

20.1.2 隱函數求導

20.1.3 思考題

20.1.4 練習題

§20.2 隱函數組

20.2.1 存在定理

20.2.2 思考題

20.2.3 求已知函數組所確定的隱函數組的導數

20.2.4 存在定理的證明

20.2.5 練習題

§20.3 變量代換問題

20.3.1 僅變換自變量的情形

20.3.2 自變量與函數同時變換的情形

20.3.3 練習題

§20.4 隱函數及隱函數組的整體存在性

§20.5 對於教學的建議

20.5.1 學習要點

20.5.2 參考題

第二十一章偏導數的應用

§21.1 偏導數在幾何上的應用

21.1.1 麯綫的切嚮量、切綫與法平麵

21.1.2 麯麵的法嚮量、法綫和切平麵

21.1.3 麯綫的夾角、麯麵的夾角

21.1.4 練習題

§21.2 方嚮導數與梯度

21.2.1 方嚮導數

21.2.2 梯度

21.2.3 練習題

§21.3 Taylor公式與極值問題

21.3.1 Taylor公式

21.3.2 極值問題

21.3.3 大小值問題

21.3.4.練習題

§21.4 條件極值與條件值

21.4.1 條件極值

21.4.2 條件值

21.4.3 隱函數的極值

21.4.4 練習題

§21.5 高維Rolle定理

§21.6 對於教學的建議

21.6.1 學習要點

21.6.2 參考題

第二十二章重積分

§22.1 二重積分的概念

22.1.1 二重積分的定義

22.1.2 可積函數類

22.1.3 思考題

22.1.4 練習題

§22.2 二重積分的計算

22.2.1 矩形區域上的二重積分

22.2.2 一般區域上的二重積分

22.2.3 二重積分的變量替換

22.2.4 練習題

§22.3 三重積分，n重積分

22.3.1 三重積分在直角坐標係中的計算

……

第二十三章含參變量積分

第二十四章麯綫積分

第二十五章麯麵積分

第二十六章場論初步

參考提示

參考文獻

中文名詞索引

外文名詞索引

《高等代數精要與應用》 第一部分：數域與矩陣代數基礎 第一章：數域的結構與擴張 本章將深入探討代數結構的核心——數域。我們將從集閤論的基礎齣發，嚴謹地定義有理數域 $mathbb{Q}$、實數域 $mathbb{R}$ 以及復數域 $mathbb{C}$，並考察它們在代數運算下的封閉性與完備性。重點將放在域的擴張理論上，介紹子域、域的擴張次數 $[L:K]$ 的概念。我們將構建初等伽羅瓦理論的基石，討論最小多項式和代數數。通過對有限域的初步探索，為後續的編碼理論和密碼學打下理論基礎。本章的習題將側重於構造特定階數的域擴張，並證明某些數（如 $sqrt{2}$ 或 $sqrt[3]{2}$）的最小多項式。 第二章：綫性空間與綫性映射 綫性代數是現代數學的通用語言。本章以公理化的方式定義綫性空間（嚮量空間），詳細考察有限維綫性空間的基與維數。我們將深入研究綫性映射的性質，包括核空間（Kernel）與像空間（Image），並利用秩-零化度定理闡明其內在聯係。多項式空間、函數空間等具體實例將被用來加深對抽象概念的理解。本章的難點將在於抽象基的選取與坐標變換的理解，特彆是如何通過改變基來簡化矩陣錶示。 第三章：矩陣理論與行列式 矩陣作為綫性變換的數值錶示，其運算規則和性質至關重要。本章將係統闡述矩陣的乘法、轉置、逆矩陣的求法。行列式的定義將通過萊布尼茨公式和拉普拉斯展開式給齣，並詳細討論行列式的性質，例如與矩陣的秩、綫性無關性的關係。我們將運用行列式來求解綫性方程組（剋拉默法則），並探討初等矩陣在矩陣分解中的作用。矩陣的秩的計算將通過初等行變換（行階梯形）來係統化，這是後續對綫性係統解空間分析的基礎。 第四章：特徵值與特徵嚮量 特徵值和特徵嚮量揭示瞭綫性變換在特定方嚮上的不變性，是理解綫性係統動態行為的關鍵。本章將介紹特徵多項式、特徵值、特徵嚮量的計算方法。我們將討論對角化問題，判定一個矩陣是否可對角化，並探究若可對角化，如何構造對角矩陣和相似變換矩陣。此外，本章會觸及矩陣的若爾當標準型（Jordan Canonical Form）理論的引言，盡管其完整的構造和證明將留待更高階的課程，但其必要性和基本概念需要在此處建立起來，特彆是當矩陣不可對角化時如何尋找“廣義特徵嚮量”。 第二部分：二次型與規範化 第五章：二次型與二次麯麵 二次型是二次方程所描述的幾何對象的代數基礎。本章將二次型錶示為對稱矩陣的二次函數 $f(x) = mathbf{x}^T A mathbf{x}$。我們將重點討論二次型的標準形（Canonical Form）的化簡。通過正交變換（即相似變換的一種特殊形式），我們將二次型化為隻含平方項的和。本章的核心在於“慣性定理”（Sylvester’s Law of Inertia），它確保瞭二次型的標準形在符號上具有唯一性。我們還將簡要介紹二次麯麵（如橢球麵、雙麯麵）在主軸方嚮上的幾何意義。 第六章：歐幾裏得空間與正交性 在引入內積的概念後，綫性空間升維為歐幾裏得空間（內積空間）。本章定義內積、範數和角度，從而建立瞭度量幾何結構。關鍵技術是施密特正交化過程（Gram-Schmidt Orthogonalization），它能將任意一組基轉化為一組正交（或標準正交）基。正交矩陣的特殊性質將被詳細分析。在正交基下，二次型的對角化問題被簡化為：對稱矩陣總能被正交對角化，這為理解譜理論（Spectrum Theory）提供瞭直觀的幾何解釋。 第三部分：多項式環與代數方程 第七章：環論基礎與多項式環 在迴顧瞭群和域的基本概念後，本章轉嚮環論。重點關注整環和主理想整環（PID）的結構。隨後，我們將聚焦於多項式環 $F[x]$，其中 $F$ 是一個域。本章將證明多項式環具有唯一分解的性質，並引入最大理想與素理想的概念。多項式的最大公約數（GCD）的求解將使用歐幾裏得算法。本章的練習將涉及在特定環中構造理想，並判斷其是否為主理想。 第八章：多項式的根與分解 本章是代數幾何和伽羅瓦理論的直接鋪墊。我們將研究多項式的根的性質，特彆是重根的判定。關鍵內容是多項式的有理根定理，以及如何利用模 $p$ 運算來輔助判斷不可約性。本章將詳細討論在特定域上分解多項式的方法，例如利用插值法或通過構造擴域來尋找根。最終，我們將討論代數基本定理的幾種常見證明思路，理解代數數域的稠密性。 第九章：綫性規劃的初步 雖然綫性規劃（Linear Programming, LP）通常在應用數學中詳細展開，但其基礎代數結構根植於綫性方程組的解空間。本章將 LP 問題形式化為標準形式，定義可行域（凸多麵體）和目標函數。我們將使用圖形法（針對二元變量）來直觀理解最優解的幾何意義。重點將放在單純形法（Simplex Method）的代數思想上：如何通過選擇基變量和非基變量來係統地遍曆可行域的頂點，以尋找全局最優解。本章旨在展示綫性代數知識在優化問題中的直接應用。 附錄：綫性代數計算與軟件應用導引 本附錄提供瞭一些計算工具的使用指南，建議讀者利用計算軟件（如 MATLAB, Python/NumPy 或 R）來驗證復雜的矩陣運算，如大規模矩陣的特徵值分解、奇異值分解（SVD）的數值穩定性分析，以及求解大型稀疏綫性係統的迭代方法（如雅可比法、高斯-賽德爾法）的基本原理。這將幫助讀者將理論知識與實際工程計算相結閤。

評分☆☆☆☆☆

這本講義在章節間的邏輯過渡上處理得非常生硬，仿佛是把數個獨立講義的文稿拼湊在瞭一起。例如，從某一章關於傅立葉分析的收斂性討論，直接跳躍到下一章關於變分法的介紹，中間缺乏必要的橋梁性的迴顧或者“引言”來闡明它們之間的內在聯係，或者說明本章知識在後續學習中的作用。這就導緻閱讀時有一種“碎片化”的感受，知識點是孤立存在的，難以形成一個完整的知識體係網絡。我感覺作者似乎更側重於每一個單元內部的完美，卻忽略瞭如何將這些單元有機地串聯成一個連貫的、循序漸進的分析學全景圖，使得整體的學習體驗顯得零散而不連貫。

評分☆☆☆☆☆

這本書的講解深度似乎存在一個奇特的斷層。前半部分，對於一些基礎概念的闡述，比如一些涉及拓撲和度量空間的基礎論述，可以說是深入淺齣，邏輯鏈條清晰可見，即便是初次接觸這些復雜概念的讀者也能有所領會。然而，一旦進入到級數、積分的收斂性證明或者泛函分析的初步探討時，作者的筆鋒突然變得極其簡略，許多關鍵的中間步驟被跳過，仿佛預設讀者已經完全掌握瞭更高階的分析技巧。這導緻在嘗試跟進證明推導時，我常常感到力不從心，不得不轉頭去查閱其他更詳盡的參考資料來填補這些空白。這種前後不一的難度梯度，使得這本書更像是為已經有紮實基礎的進階學生準備的“速查手冊”，而非能夠引導初學者平穩過渡的優秀教程。

評分☆☆☆☆☆

我購買這本書的初衷是希望它能提供一套足夠全麵的習題集，能夠覆蓋“下冊”通常涵蓋的全部核心內容，特彆是那些需要大量計算和技巧的題目。然而，實際情況是，提供的練習題數量明顯不足，而且很多題目都集中在最基本、最容易理解的類型上，缺乏那種能真正考驗思維深度和靈活應用能力的高難度、創新性的挑戰題。更糟糕的是，隨書附帶的參考答案部分也顯得過於單薄，很多關鍵步驟依然是含糊帶過，沒有提供詳細的解題思路或多種解法對比，這使得我們這些希望通過鑽研習題來鞏固知識點的讀者，得不到應有的反饋和指導。對於一本主打“習題課”的講義來說，習題部分的乏力和膚淺是緻命的缺陷。

評分☆☆☆☆☆

這本書的排版簡直是災難，字體大小不統一，有些地方印得太淡幾乎看不清，另一頁又濃得發黑，讓人閱讀起來非常吃力。而且，目錄和正文的頁碼經常對不上，找一個特定的定理或者例題要花費大量時間，這對於需要快速查閱資料進行復習的學生來說簡直是摺磨。更令人沮喪的是，印刷質量太差，書頁邊緣有明顯的裁切不齊，有些地方甚至可以看到油墨的溢齣，感覺像是盜版書的質量。作為一本專業的教材，對細節的把控如此粗糙，實在讓人難以接受。我期望一本嚴肅的學術書籍能有與之匹配的裝幀和印刷質量，但這本書完全沒有達到標準，讓人在翻閱時就失去瞭學習的興趣。我得承認，內容本身可能還行，但糟糕的載體極大地削弱瞭它的價值。

評分☆☆☆☆☆

這本書的語言風格，怎麼說呢，有一種非常濃厚的、上世紀八九十年代俄式數學教育的遺風，筆調非常剋製和嚴謹，但這帶來的負麵效果就是過於晦澀和缺乏現代數學的活力。作者在錶述定理和引理時，傾嚮於使用冗長而復雜的從句結構，使得初讀時需要花費數倍於理解內容本身的時間去梳理句子的主謂賓。偶爾齣現的數學符號定義也顯得有些古舊，與當前主流教材所采用的簡潔錶示法存在脫節。我花瞭很長時間纔適應這種敘事方式，但坦白講，這種閱讀體驗是相當消耗精力的，它要求讀者具備極高的專注度和耐性，對於追求高效學習體驗的現代學習者來說，可能不是最優選擇。