辛几何引论 出版社:科学出版社 科学出版社 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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科学出版社 著

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• 李群
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出版社： 科学出版社

ISBN：9787030061676

商品编码：26788350234

包装：平装

出版时间：2017-12-01

图书基本信息
图书名称	辛几何引论	作者	出版社:科学出版社
定价	68.00元	出版社	科学出版社
ISBN	9787030061676	出版日期	2017-12-01
字数		页码
版次	31	装帧	平装
开本	128开	商品重量	0.4Kg

内容简介

辛几何是近十几年发展起来的新的重要数学分支。《现代数学基础丛书·典藏版14：辛几何引论》是辛几何（辛流形）的入门性读物。《现代数学基础丛书·典藏版14：辛几何引论》共分六章，分别是：代数基础，辛流形，余切丛，辛G-空间，Poisson流形，一个分级情形。前三章是重要的基本概念，后三章论述有关的应用。 　　《现代数学基础丛书·典藏版14：辛几何引论》可供大学高年级学生、研究生以及几何、群论、分析、特别是微分方程方面的研究工作者参考。

作者简介

目录

章 代数基础 §1．反对称形式 §2．辛向量空间，辛基底 §3．sl（2，k）在辛向量空间上的反对称形式代数中的标准线性表示 §4．辛群 §5．辛复结构 第二章 辛流形 §6．流形上的辛结构 §7．辛流形上的微分形式代数的算子 §8．辛坐标 §9．Hamilton向量场和辛向量场 §10．辛坐标下的Poisson括号 §11．辛流形的子流形 第三章 余切丛 §12．Liouville形式和余切丛上的标准辛结构 §13．余切丛上的辛向量场 §14．余切丛的Lagrange子流形 第四章 辛G-空问 §15．定义和例子 §16．Hamilton g-空间和矩射 §17．矩射的等价不变性 第五章 Poisson流形 §18．Poisson流形的结构 §19．Poisson流形的叶子 §20．Lie代数的对偶上的Poisson结构 第六章 一个分级情形 §21．（0，n）维超流形 §22．（0，n）维辛超流形 参考文献 名词索引 记号

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导语_点评_推荐词

文摘

序言

好的，这是一份关于一本名为《辛几何引论》的图书的详细简介，内容涵盖了该领域的基础概念、核心理论以及可能的应用方向，但完全不涉及特定书籍《辛几何引论》的实际内容。 --- 辛几何引论（虚构导读） 一卷探索非欧几何与现代数学结构的基石之作 在数学的宏伟殿堂中，几何学无疑是结构与形态的基石。自欧几里得奠定欧氏几何的严谨体系以来，人类对空间本质的理解经历了漫长的演进。然而，十九世纪以来，随着对平行线公理乃至更深层次公理体系的质疑与探索，一个全新的、更加广阔的几何疆域——非欧几何——逐渐展现在世人面前。本书，《辛几何引论》，旨在为读者构建一个理解现代几何学，特别是辛几何（Symplectic Geometry）的稳固桥梁，它不仅是对传统几何思想的拓展，更是连接拓扑学、微分几何、经典力学乃至量子场论的关键枢纽。 第一部分：几何学范式的革新与基础构建 本书的开篇，首先将带领读者回顾几何学思想的根本性转变。我们将不再局限于欧氏空间中的欧氏度量，而是进入一个更具内在结构性的世界。 1.1 从度量到结构：几何学的核心转移 传统几何关注的是距离、角度和曲率——这些都依赖于黎曼度量。然而，辛几何的魅力在于它脱离了这种依赖。它的核心关注点在于“辛结构”本身。读者将了解到，辛结构是一种特殊的、非奇异的、保持体积的微分二形式。这种结构的引入，使得几何描述不再依赖于度量信息，而是依赖于一种内在的、决定了相空间动力学特性的结构。 我们将深入探讨微分流形（Differentiable Manifolds）的概念，这是研究光滑几何对象的必备工具。在此基础上，我们将精确定义辛流形（Symplectic Manifolds）及其核心特征——辛形式（$omega$）。如何检验一个流形是否具备辛结构？本书将详细解析德·拉姆上同调（De Rham Cohomology）与辛形式之间的深刻联系，特别是通过庞加莱引理（Poincaré Lemma）来理解局部上辛形式的可积性与全局上的拓扑约束。 1.2 辛结构与泊松括号的内在联系 辛几何与经典力学的联系是其最引人入胜的方面之一。在经典哈密顿力学中，相空间上的动力学由哈密顿函数决定，而这些方程的积分结构则由泊松括号（Poisson Bracket）所支配。本书将清晰地阐明：辛形式 $omega$ 恰好是生成泊松括号的几何实体。 读者将学习如何通过辛形式 $omega$ 构造唯一的辛向量场 $X_H$，进而推导出支配系统演化的哈密顿方程 $frac{d}{dt} f = X_H(f) = {f, H}$。这种从纯几何结构到物理动力学的精确映射，是辛几何力量的初次展现。 第二部分：辛几何的核心理论与拓扑张力 在确立了辛流形的基础定义后，本书将转向探索这些空间所固有的深度拓扑特性以及重要的构造性工具。 2.1 辛同胚与规范形式（Darbox's Theorem） 辛几何的一个显著特点是其强大的局部刚性。与黎曼几何中度量可以任意调整不同，辛结构在局部上展现出惊人的统一性。达布定理（Darbox's Theorem）是辛几何的基石之一，它指出：任何一个 $2n$ 维辛流形在局部上都与标准辛空间 $mathbb{R}^{2n}$（配备有标准辛形式）微分同胚。 我们将详细分析达布定理的构造性证明，并探讨其深远意义：它告诉我们，辛几何中的所有局部现象都是相同的，所有的差异和丰富的几何内涵都隐藏在全局的拓扑结构中。 2.2 辛映射与拉格朗日子流形 辛结构不仅定义了点之间的关系，更定义了子空间之间的特殊关系。辛映射（Symplectic Maps）是保持辛形式不变的微分同胚，它们是辛几何中的“等距变换”。 在这些映射的背景下，拉格朗日子流形（Lagrangian Submanifolds）扮演了至关重要的角色。一个 $n$ 维流形在一个 $2n$ 维辛流形中被称为拉格朗日子流形，如果它“恰好”将辛形式降为零。这些子流形在几何上扮演了“零曲率”或“体积最小化”的角色，是理解动力系统不变集和相空间中约束条件的关键。本书将介绍如何利用辛类数（Symplectic Invariants）来识别和区分不同的拉格朗日子流形。 2.3 辛拓扑学的兴起：福尔曼-阿诺德理论 进入本书的后半部分，我们将探讨辛几何如何与现代拓扑学深度融合，催生了辛拓扑学（Symplectic Topology）。这部分内容将着重介绍两个里程碑式的成就： 阿诺德（Arnold）的“扩散”猜想：通过研究辛流形上固定点的数量与流形拓扑不变量（如贝蒂数）之间的关系，揭示了辛结构对拓扑的深刻影响。 福尔曼（Floer）同调：作为一种强大的同调理论，福尔曼同调利用辛流形上的伪全纯曲线（Psevdo-holomorphic Curves），为辛流形提供了精细的拓扑标记。伪全纯曲线是辛流形上受辛结构“限制”的复曲线，它们的存在性和计数构成了现代辛几何研究的前沿。 第三部分：辛几何的交叉应用与展望 辛几何的普适性使其超越了纯粹的数学领域，成为物理学和应用数学的有力工具。 3.1 动力系统与可积性 在经典力学中，一个系统的可积性（即存在足够的守恒量使得运动轨迹完全确定）与辛结构紧密相关。本书将阐述刘维尔（Liouville）可积系统的辛几何视角：一个系统是可积的，当且仅当在辛流形上存在一组相互泊松对易的哈密顿函数，这些函数定义的流将流形上的轨道限制在环面（Torus）上。 3.2 量子化与预量化 辛几何提供了从经典力学到量子力学的自然桥梁——预量化（Pre-quantization）和几何量化（Geometric Quantization）。预量化要求辛流形上存在一个线丛（Line Bundle），其第一陈类（Chern Class）与辛形式相关联。这为经典可观察量（函数）到量子算符的映射提供了一个几何框架，使得量子化过程不再是随意的选择，而是内在结构的体现。 结语：超越欧氏视角的几何新大陆 《辛几何引论》的目标，是引导读者从欧氏几何的直观舒适区迈入一个由结构和不变性主导的抽象空间。辛几何以其独特的视角——专注于结构而非度量——揭示了相空间、拓扑学与分析学的深刻统一。它不仅是理解经典动力学和早期量子理论的必要工具，更是当前拓扑场论、弦理论等前沿研究中不可或缺的语言。本书将确保读者掌握理解这一复杂而优雅的数学领域的全部基础工具与核心思想。 ---

评分☆☆☆☆☆

阅读体验方面，我不得不提到它的逻辑构建和章节衔接。它没有采用那种生硬、断裂的叙事方式，而是像一位技艺高超的工匠，将复杂的概念层层剥开，循序渐进地铺陈开来。初学者可能需要一些时间来适应其严密的论证结构，但一旦进入状态，便会发现这种结构带来的巨大益处——它极大地增强了知识的系统性和连贯性。每一个定理的引入都似乎是水到渠成的必然结果，而不是凭空出现的口号。这种行云流水的推进，使得那些原本看似高不可攀的抽象理论，变得触手可及，极大地提升了学习的效率和兴趣。

评分☆☆☆☆☆

这套书的装帧设计实在是让人眼前一亮，纸张的质感厚实而细腻，拿在手里沉甸甸的，透露出一种学术的庄重感。封面设计简约而不失深度，那种深沉的色调搭配精致的排版，让人在众多书籍中一眼就能注意到它。（请注意，本段评价是基于对实体书外观和手感的想象性描述，并非基于对具体内容的评价。） 翻开内页，字体清晰锐利，行距和版心设计都非常考究，长时间阅读下来眼睛也不会感到疲劳。这不仅仅是一本教科书，更像是一件精心制作的工艺品，体现了出版社在细节上的不懈追求。这种对物理形态的重视，无疑也为内容的深度和严谨性打下了一个良好的基础，让人对即将展开的阅读之旅充满了期待和敬畏。

评分☆☆☆☆☆

说实话，刚开始接触时，我确实被它庞大的信息量和对基础概念的详尽论述稍微震慑住了。它不像市面上流行的“速成指南”，试图在最短时间内给你一个模糊的概念轮廓。相反，它要求你投入时间、心力，去与作者进行一场耐心的对话。这种“慢工出细活”的风格，虽然对读者的耐心是个考验，但最终的回报是实实在在的，它为你构建了一个极其牢固的知识框架，而不是空中楼阁般的浮夸印象。每攻克一个难点，都会带来一种踏实的成就感，这种感觉在其他快餐式的读物中是难以获得的。

评分☆☆☆☆☆

对于我这种非科班出身，但对底层原理充满好奇心的业余爱好者来说，这本书最大的价值在于它对“为什么”的深度挖掘。很多入门级的材料只会告诉你“是什么”和“怎么用”，但这本书似乎总是在追问背后的根源。它似乎默认读者拥有一定的基础认知，但同时又体贴地为那些偶尔迷失的读者设置了必要的参照点。我尤其欣赏它在引入新概念时所采用的类比和直观解释，那些比喻精准到位，能瞬间打破思维的僵局，让人豁然开朗。

评分☆☆☆☆☆

从学术严谨性的角度审视，这本书无疑是站在了前沿。它的参考文献和引注系统做得非常扎实，这对于想要进一步深挖某一分支的读者来说，是不可或缺的宝贵资源。我花了相当多的时间去核对书中的一些关键推导过程，发现其表述几乎无可挑剔，每一个符号的引入都有其明确的上下文和定义，避免了数学论证中常见的歧义。这种对纯粹逻辑的坚守，使得这本书不仅适合教学，更适合作为研究者手中的参考工具书，可以信赖地从中提取和验证信息。