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[美] Walter Rudin 編

圖書標籤:

• 數學分析
• 實分析
• 微積分
• 數學
• 高等教育
• Rudin
• 數學教材
• 經典教材
• 數學分析原理
• 工科數學

店鋪： 美妙絕倫圖書專營店

齣版社： 機械工業齣版社

ISBN：9787111133063

商品編碼：28234312339

叢書名： 數學分析原理(英文版第3版) - - 經典原

經典原版書庫

數學分析原理

          英文版·第3版              

作 者：[美]著

齣 版 社：

齣版時間：2004-1-1

• 版 次：1版1次
• 頁 數：342
• 印刷時間：2004-1-1
• 紙 張：膠版紙
• I S B N：9787111133063
• 包 裝：平裝
• 定價：35.00元

這是一部近代的數學名著，一直受到數學界的推崇。作為Rudin的分析學經典著作之一，本書在西方各國乃至我國均有著廣泛而深遠的影響，被許多高校用做數學分析課的必選教材。本書涵蓋瞭高等微積分學的豐富內容，精彩的部分集中在基礎拓撲結構、函數項序列與級數、多變量函數以及微分形式的積分等章節。第3版經過增刪與修訂，更加符閤學生的閱讀習慣與思考方式。本書內容相當精練，結構簡單明瞭，這也是作者著作的一大特色。與其說這是一部教科書，不如說這是一部字典。

這是一部近代的數學名著，一直受到數學界的推崇。作為Rudin的分析學經典著作之一，本書在西方各國乃至我國均有著廣泛而深遠的影響，被許多高校用做數學分析課的必選教材。本書涵蓋瞭高等微積分學的豐富內容，精彩的部分集中在基礎拓撲結構、函數項序列與級數、多變量函數以及微分形式的積分等章節。第3版經過增刪與修訂，更加符閤學生的閱讀習慣與思考方式。本書內容相當精練，結構簡單明瞭，這也是作者著作的一大特色。與其說這是一部教科書，不如說這是一部字典。

Walter Rudin，1953年於杜剋大學獲得數學博士學位。曾先後執教於麻省理工學院、羅切斯特大學、威斯康星大學麥迪遜分校、耶魯大學等。他的主要研究興趣集中在調和分析和復變函數。除本書外，他還著有另外兩本名著：《Functional Analysis》和《Real and Complex Analysis》，這些教材已被翻譯成13種語言，在世界各地廣泛使用。

Preface
Chapter 1 The Real and Complex Number Systems
Chapter 2 Basic Topology
Chapter 3 Numerical Sequences and Series
Chapter 4 Continuity
Chapter 5 Differentiation
Chapter 6 The Riemann-Stieltjes Integral
Chapter 7 Sequences and Series of Functions
Chapter 8 Some Specital Functions
Chapter 9 Functions of Several Variables
Chapter 10 Integration of Differential Forms
Chapter 11 The Lebesgue Theory
Bibiliography
List of Special Symbols
Index

 

現代分析導論：從基礎概念到高級理論 內容概要 本書旨在為數學專業本科生及研究生提供一套嚴謹、深入且富有啓發性的現代數學分析課程的教材。全書結構清晰，邏輯嚴密，內容涵蓋瞭從最基本的實數係統到高等拓撲空間理論的廣闊領域。它不僅注重對經典分析學概念的精確闡述，更著力於將分析學置於更宏大的現代數學結構（如集閤論、拓撲學）的背景下進行考察，培養讀者進行嚴格數學論證的能力和深刻的數學直覺。 第一部分：實數係統與基礎 本書的開篇聚焦於構建現代分析學的基石——實數係統 ($mathbb{R}$)。我們不會將實數視為理所當然的已知對象，而是從皮亞諾公理齣發，在有理數域 ($mathbb{Q}$) 上，通過戴德金截割 (Dedekind Cuts) 或 Cauchy 序列完備性 的方法嚴格構造齣實數集。此過程詳盡地展示瞭數學的嚴謹性，並為後續所有基於順序和距離的討論奠定瞭堅實的基礎。 隨後，內容轉嚮對拓撲基礎的引入。我們首先在 $mathbb{R}^n$ 上定義開集、閉集、鄰域、極限點和緊集。對緊集的深刻理解，特彆是 Heine-Borel 定理的證明，是後續收斂性和連續性定理的必要前提。我們強調瞭集閤的“局部性質”與“全局性質”之間的聯係，這是現代數學分析區彆於初等微積分的關鍵所在。 在討論完拓撲結構後，本書迴歸到函數分析的起點：序列與級數的收斂性。我們將深入探討 Cauchy 收斂準則，並詳細分析各種重要序列（如冪級數、傅立葉級數的部分和）的斂散性。對級數收斂性的討論，不僅限於絕對收斂和條件收斂，更引入瞭更強大的工具，例如 Abel 變換（分部求和）和 Dirichlet 判彆法，用以處理更復雜的交替序列和振蕩級數。 第二部分：連續性、微分與積分 本部分是分析學的心髒，對經典微積分的概念進行瞭嚴格的重構和推廣。 連續性與一緻連續性： 我們嚴格區分瞭點態連續性和一緻連續性 (Uniform Continuity)。通過反例和構造性證明，展示瞭後者在交換極限與函數運算（如求導或積分）中的核心作用。狄利剋雷函數和波雷爾函數被用作說明這些概念差異的經典案例。 微分學： 導數的定義被提升到瞭一般嚮量空間（或歐幾裏得空間）的背景下進行考察。我們詳細分析瞭導數的保號性、中值定理（如羅爾定理、拉格朗日中值定理）的嚴謹證明。進階內容包括高階導數的定義，以及Taylor 定理在函數逼近中的關鍵作用。我們特彆關注瞭 $C^k$ 空間的結構，並引入瞭反函數定理 (Inverse Function Theorem) 和隱函數定理 (Implicit Function Theorem)，這些是處理微分方程和多元函數局部性質的強大工具。 黎曼積分： 黎曼積分的構造被細緻地分解，從上和、下和的定義到可積性的判彆準則（如勒貝格可測集的初步概念，盡管此處仍以黎曼和為主）。我們證明瞭連續函數在緊區間上一定可積，並深入探討瞭一緻收斂與積分的可交換性這一核心問題，這直接導嚮瞭傅立葉分析的收斂性討論。 第三部分：序列、函數空間與度量 本部分將分析學的對象從 $mathbb{R}$ 上的實值函數擴展到更一般的函數空間，引入瞭現代泛函分析的視角。 等度連續性與緊性： 我們重新審視瞭緊集的概念，並將其推廣到函數空間。Ascoli-Arzelà 定理被作為核心定理詳細闡述，它為判斷函數序列是否包含一個一緻收斂的子序列提供瞭強有力的工具。這一定理是證明許多存在性定理（如常微分方程的解的存在性）的關鍵橋梁。 度量空間 (Metric Spaces)： 為瞭將 $mathbb{R}^n$ 上的距離概念抽象化，本書係統地介紹瞭度量空間。在這個框架下，我們重新定義瞭開集、閉集、完備性、收斂性、開/閉映射。完備性的概念得到瞭極大的強調，例如巴拿赫不動點定理（Contraction Mapping Theorem）的應用，它不僅是理論上的裏程碑，也是數值分析中迭代法收斂性的理論基礎。 賦範空間與拓撲： 在完備的度量空間基礎上，我們引入瞭賦範空間 (Normed Spaces)，這是嚮量空間與拓撲結構相結閤的産物。雖然不深入無限維綫性代數，但本書為讀者理解 $L^p$ 空間、Banach 空間等概念提供瞭必要的預備知識。 第四部分：勒貝格測度與積分（選讀或深入章節） 本部分對分析學的工具箱進行瞭根本性的升級，引入瞭二十世紀數學分析的標誌性成就——勒貝格積分。 測度論基礎： 我們從 $mathbb{R}$ 上的長度概念齣發，構建瞭 $sigma$-代數和測度的抽象框架。外測度的概念被用來定義可測集，並最終構造齣勒貝格測度。這一構造過程展現瞭數學傢如何通過精妙的集閤論操作來剋服黎曼積分在處理不規則函數時的局限性。 勒貝格積分： 基於可測函數和簡單函數，我們定義瞭勒貝格積分。本書將清晰地闡明勒貝格積分相較於黎曼積分的優越性，特彆是在處理極限和積分順序交換問題上。我們將詳盡分析單調收斂定理 (MCT)、法圖引理 (Fatou's Lemma) 和勒貝格控製收斂定理 (LCT)，這些定理是現代概率論和偏微分方程分析中不可或缺的工具。 總結與特點 本書的特點在於其對結構和證明的強調。它不僅是“如何計算”的指南，更是“為何如此”的探究。通過對抽象結構的逐步引入和對經典結果的重新審視，讀者將能夠構建起一個統一的、堅實的現代分析學知識體係，為未來深入研究泛函分析、微分幾何或偏微分方程打下堅實的基礎。語言力求精確而流暢，配有大量的例題和習題，以鞏固理論理解和訓練嚴謹的數學思維。

評分☆☆☆☆☆

這部《數理分析原理》，初次捧讀時，那種撲麵而來的嚴謹與深刻，真讓人有些手足無措。它不像某些入門書籍那樣，恨不得把每個步驟都掰開揉碎瞭喂到你嘴裏，而是直接將你推到瞭數學世界的腹地。書中的邏輯鏈條如同精密的瑞士鍾錶，一旦你跟上瞭它的節奏，便會為之傾倒。我尤其欣賞它對極限、連續性以及積分概念的闡述，那種從最基本的 $epsilon-delta$ 定義齣發，層層遞進，最終構建起宏大分析體係的敘事方式，簡直是一種享受。然而，對於初學者來說，這無疑是一座需要攀登的高峰，那些看似簡潔的證明背後，隱藏著作者對數學本質的深刻洞察，需要讀者付齣極大的心力去咀嚼和消化。每一次攻剋一個定理，都像是完成瞭一次智力上的遠徵，帶來的成就感是無與倫比的。它強迫你停止依賴直覺，轉而完全信賴邏輯的推導，這對於培養真正的數學思維至關重要。 讀完一章，我常常需要閤上書本，在腦海中反復演練那些抽象的構造，試圖用自己的語言重述作者的論證，否則便有如空中樓閣，隨時有崩塌的風險。

評分☆☆☆☆☆

老實說，這本書的閱讀體驗，更像是在與一位要求極高的導師進行一對一的研討。它的行文風格是如此的精煉，以至於任何一個遺漏的細節都可能讓你在接下來的章節中迷失方嚮。我記得在處理傅裏葉級數那一部分時，作者幾乎沒有留下任何“廢話”，所有的論證都直擊核心，這對於已經有一定基礎的讀者來說，是一種莫大的福祉——它極大地提高瞭閱讀效率，避免瞭在瑣碎的細節上浪費時間。但這種“高效”也帶來瞭挑戰，那就是對讀者預備知識的極高要求。它假設你已經對集閤論和拓撲學的基本概念有著紮實的理解，否則，書中的許多跳躍性步驟會讓你感到睏惑不解。我個人非常喜歡它在處理收斂性問題時的那種‘無情’的徹底性，不留下任何模糊地帶，所有結論都建立在堅不可摧的公理基礎之上。它不像某些教材那樣熱衷於展示各種“漂亮”的例子來討好讀者，而是專注於構建一個完美無瑕的理論框架，這或許是它能夠長盛不衰的根本原因。

評分☆☆☆☆☆

當我將這本書放在桌麵上，它給人的感覺是沉甸甸的，不僅是物理上的重量，更是知識含金量的體現。這本書的價值，不在於教你如何“應用”分析學，而在於讓你“理解”分析學的“為什麼”。它仿佛在邀請你進入一個純粹的數學殿堂，去欣賞那些由邏輯編織而成的藝術品。我特彆欣賞作者在引入勒貝格積分時的那種敘事節奏，它不是簡單地替換黎曼積分，而是在一個更廣闊的測度空間中，展示瞭積分概念的必然演進。這種曆史的必然性和數學的優雅性被完美地結閤在一起。不過，我必須坦誠，這本書的習題設置是齣瞭名的“硬核”。它們往往不是簡單的計算題，而是對定理證明的變體、推廣或者深入挖掘，做完一套習題，比讀完三章正文感覺更纍，但也更有收獲。它不是一本讓你輕鬆度過考試周的書，而是一本能讓你在未來數十年裏，依然能從中汲取營養的工具書和參考書。

評分☆☆☆☆☆

這本書的排版和結構設計，體現瞭一種古典的、近乎禁欲的美學。每一個定理的陳述都力求簡潔，證明的展開則是在邏輯的嚴密性與篇幅的經濟性之間找到瞭一個精妙的平衡點。我發現，這本書最大的“陷阱”在於其看似平鋪直敘的章節布局下，隱藏著巨大的概念深度。例如，在處理反常積分和瑕積分的比較時，作者的處理方式就極其巧妙，它引導你思考，在什麼條件下，看似更寬鬆的積分定義可以被更嚴格的定義所涵蓋，這其中蘊含著對“廣義”與“局部”關係的深刻理解。對於那些希望真正掌握實分析“精髓”的讀者來說，這本書是繞不開的。它要求你不僅記住結論，更要理解證明的“骨架”，那種剝離瞭所有修飾後的純粹結構。我常常會翻到關於巴拿赫不動點定理的那一頁，不僅僅因為這個定理本身的強大，更是因為它在那裏被放在瞭一個極其恰當的位置，起到瞭承上啓下的作用，讓整個理論體係顯得渾然一體，密不透風。

評分☆☆☆☆☆

這本書給我的整體感覺，就像是站在一座極簡主義風格的摩天大樓頂端俯瞰城市。視野開闊，但每一根支撐柱的結構都清晰可見，不容一絲一毫的偏差。它很少使用花哨的比喻或者圖示來輔助理解，這使得它更像是一份純粹的數學“憲法”。我最欣賞它對序列緊緻性的處理，那種將拓撲概念巧妙地融入實數分析的綫性結構的筆法，真是神來之筆。它迫使你從多個角度審視“有界”和“收斂”這兩個看似簡單的概念，一旦領悟，眼界為之一開。對於一個想要跨越“計算導嚮”的微積分思維，進入“結構導嚮”的現代分析思維的讀者來說，這本書是最好的引路人。它不會輕易地給你答案，而是提供一套完整的“提問”工具箱，讓你自己去探索數學世界的邊界。每次翻閱，總能發現一些被上次閱讀忽略掉的微妙之處，這種持續的發現感，是其他任何教材難以比擬的深度體驗。